第一章 章末检测(一) 常用逻辑用语

章末检测(一) 常用逻辑用语
时间：120分钟满分：150分
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．命题“若x>1，则x>0”的否命题是()
A．若x>1，则x≤0B．若x≤1，则x>0
C．若x≤1，则x≤0 D．若x<1，则x<0
解析：由否命题的定义可知应选C.
答案：C
2．下列语句是命题的是()
A．2 018是一个大数
B．若两直线平行，则这两条直线没有公共点
C．对数函数是增函数吗？
D．a≤15
解析：A、D不能判断真假，不是命题；B能够判断真假而且是陈述句，是命题；C是疑问句，不是命题．
答案：B
3．“a＋c>b＋d”是“a>b且c>d”的()
A．充分不必要条件B．既不充分也不必要条件
C．充分必要条件D．必要不充分条件
解析：由“a＋c>b＋d”不能得知“a>b且c>d”，反过来，由“a>b且c>d”可得知
“a＋c>b＋d”，因此“a＋c>b＋d”是“a>b且c>d”的必要不充分条件，选D. 答案：D
4．已知命题①若a>b，则1
a<
1
b，②若－2≤x≤0，则(x＋2)(x－3)≤0，则下列说法
正确的是()
A．①的逆命题为真B．②的逆命题为真
C．①的逆否命题为真D．②的逆否命题为真
解析：①的逆命题为1
a<
1
b，则a>b，若a＝－2，b＝3，则不成立，故A错；②的
逆命题为若(x＋2)(x－3)≤0，则－2≤x≤0是假命题，故B错；①为假命题，其逆否命题也为假命题，故C错；②为真命题，其逆否命题也为真命题，D正确．答案：D
5．将a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2改写成全称命题是()
A．∃a，b∈R，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2
B．∃a<0，b>0，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2
C．∀a>0，b>0，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2
D．∀a，b∈R，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2
解析：全称命题含有量词“∀”，故排除A、B，又等式a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2对于全体实数都成立．
答案：D
6．“2a>2b”是“log2a>log2b”的()
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
解析：2a>2b⇔a>b，但由a>b⇒/log2a>log2b，反之成立．
答案：B
7．已知直线l1：x＋ay＋1＝0，直线l2：ax＋y＋2＝0，则命题“若a＝1或
a＝－1，则直线l1与l2平行”的否命题为()
A．若a≠1且a≠－1，则直线l1与l2不平行
B．若a≠1或a≠－1，则直线l1与l2不平行
C．若a＝1或a＝－1，则直线l1与l2不平行
D．若a≠1或a≠－1，则直线l1与l2平行
解析：命题“若A，则B”的否命题为“若綈A，则綈B”，显然“a＝1或
a＝－1”的否定为“a≠1且a≠－1”，“直线l1与l2平行”的否定为“直线
l1与l2不平行”．
答案：A
8．已知函数y＝f(x)(x∈R)，则“f(1)<f(2)”是“函数y＝f(x)在R上是增函数”的()
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
解析：若f(x)在R上是增函数，则f(1)<f(2)，但由f(1)<f(2)不一定判断出f(x)为增函数．
答案：B
9．下列说法中，正确的是()
A．命题“若am2<bm2，则a<b”的逆命题是真命题
B．命题“p∨q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题
C．已知x∈R，则“x>1”是“x>2”的充分不必要条件
D．命题“∃x∈R，x2－x>0”的否定是：“∀x∈R，x2－x≤0”
解析：选项A的逆命题，若m＝0时，则是假命题；选项B，p，q可以有一个为假命题；选项C为必要不充分条件；选项D符合存在性命题的否定规则．故选D.
答案：D
10．命题p：关于x的不等式(x－2)x2－3x＋2≥0的解集为{x|x≥2}，命题q：若函数y＝kx2－kx－1的值恒小于0，则－4<k≤0，那么不正确的是() A．“綈p”为假命题B．“綈p”为真命题
C．“p或q”为真命题D．“p且q”为假命题
解析：∵不等式(x－2)x2－3x＋2≥0的解集是{x|x≥2或x＝1}，∴p假；
当y＝kx2－kx－1<0恒成立时，k<0且Δ<0或k＝0，
∴－4<k≤0，∴q真．
∴p或q真，p且q假，綈p真，綈q假．
答案：A
11．已知命题p ：“∀x ∈[0,1]，a ≥e x ”；命题q ：“∃x 0∈R ，x 20＋4x 0＋a ＝0”．若
命题“p ∧q ”是假命题，则实数a 的取值范围是( )
A ．(－∞，4]
B ．(－∞，1)∪(4，＋∞)
C ．(－∞，e)∪(4，＋∞)
D ．(1，＋∞)
解析：当p 为真命题时，a ≥e ；当q 为真命题时，x 2＋4x ＋a ＝0有解， 则Δ＝16－4a ≥0，
∴a ≤4.∴“p ∧q ”为真命题时，e ≤a ≤4.
“p ∧q ”为假命题时，a <e 或a >4.
答案：C
12．“x ∈{3，a }”是“不等式2x 2－5x －3≥0成立”的一个充分不必要条件，则实数a 的取值范围是( )
A ．a ≥0
B ．a <0或a >2
C ．a <0
D ．a ≤－12或a >3
解析：由2x 2－5x －3≥0得x ≤－12或x ≥3.
∵“x ∈{3，a }”是“不等式2x 2－5x －3≥0成立”的一个充分不必要条件，又根据集合中元素的互异性知a ≠3.
∴a ≤－12或a >3.
答案：D
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上)
13．命题“能被5整除的数，末位是0”的否定是________．
解析：省略了全称量词“任何一个”，否定为：有些可以被5整除的数，末位不是0.
答案：有些可以被5整除的数，末位不是0
14．有下列几个命题：
①“若a >b ，则a 2>b 2”的否命题；
②“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题；
③“若x 2<4，则－2<x <2”的逆否命题．
其中真命题的序号是________．
解析：①原命题的否命题为“若a ≤b ，则a 2≤b 2”错误．
②原命题的逆命题为：“x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”正确．
③原命题的逆否命题为“若x ≥2或x ≤－2，则x 2≥4”正确．
答案：②③
15．若“x 2>1”是“x <a ”的必要不充分条件，则a 的最大值为________． 解析：由x 2>1，得x <－1，或x >1，
又“x 2>1”是“x <a ”的必要不充分条件，知由“x <a ”可以推出“x 2>1”，反之不成立， 所以a ≤－1，即a 的最大值为－1.
答案：－1
16. 下列四个结论中，正确的有________(填所有正确结论的序号)．
①若A 是B 的必要不充分条件，则非B 也是非A 的必要不充分条件；
②“⎩⎨⎧
a >0，Δ＝
b 2－4a
c ≤0
”是“一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为R ”的充分必要条件；
③“x ≠1”是“x 2≠1”的充分不必要条件；
④“x ≠0”是“x ＋|x |>0”的必要不充分条件．
解析：根据命题的等价性，结论①正确；根据二次函数图象与不等式的关系，结论②正确；结论③即x 2＝1是x ＝1的充分不必要条件，显然错误；x ≠0时也可能有x ＋|x |＝0，故条件不充分，反之，x ＋|x |>0⇒x >0⇒x ≠0，结论④正确． 答案：①②④
三、解答题(本大题共有6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(12分)写出命题“已知a ，b ∈R ，若关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0有非空解
集，则a2≥4b”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．
解析：(1)逆命题：已知a，b∈R，若a2≥4b，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，为真命题．
(2)否命题：已知a，b∈R，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集，则a2<4b，为真命题．
(3)逆否命题：已知a，b∈R，若a2<4b，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集，为真命题．
18．(12分)分别写出下列各组命题构成的“p或q”“p且q”“非p”形式的新命题，并判断其真假．
(1)p：3是9的约数，q：3是18的约数；
(2)p：方程x2＋x－1＝0的两实根符号相同，
q：方程x2＋x－1＝0的两实根绝对值相等；
(3)p：π是有理数，q：π是无理数．
解析：(1)p或q：3是9的约数或是18的约数，真；
p且q：3是9的约数且是18的约数，真；
非p：3不是9的约数，假．
(2)p或q：方程x2＋x－1＝0的两实根符号相同或绝对值相等，假；
p且q：方程x2＋x－1＝0的两实根符号相同且绝对值相等，假；
非p：方程x2＋x－1＝0的两实根符号不同，真．
(3)p或q：π是有理数或是无理数，真；
p且q：π是有理数且是无理数，假；
非p：π不是有理数，真．
19．(12分)求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充分必要条件是a＋b＋c＝0.
证明：充分性：
∵a＋b＋c＝0，
∴c＝－a－b，代入方程ax2＋bx＋c＝0中得ax2＋bx－a－b＝0，
即(x－1)(ax＋a＋b)＝0.
∴方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1.
必要性：
∵方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，
∴x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0.
∴有a×12＋b×1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.
故关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充分必要条件是a＋b＋c＝0. 20．(12分)若命题p：函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，写出綈p，若綈p是假命题，则a的取值范围是什么？
解析：綈p：函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上不是减函数．
因为綈p为假命题，所以p为真命题．
因此－(a－1)≥4.
故a≤－3，即所求a的取值范围是(－∞，－3]．
21．(13分)已知a>0且a≠1，设命题p：函数y＝log a(x＋1)在区间(－1，＋∞)内单调递减；q：曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴有两个不同的交点，如果p∨q 为真命题，那么a的取值集合是怎样的呢？并写出求解过程．
解析：由y＝log a(x＋1)在区间(－1，＋∞)上单调递减知0<a<1，
∵曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于两个不同的点，
∴Δ＝(2a －3)2－4×1×1>0，
解之得a <12或a >52.
∴p 真对应集合A ＝{a |0<a <1}，
q 真对应集合B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪ a <12或a >52. 由于p ∨q 真，即p 、q 中至少有一个为真命题．
因此适合题数目要求的a 的取值集合是：
A ∪
B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪ a <1或a >52. 22．(13分)已知命题：“∀x ∈{x |－1≤x ≤1}，都有不等式x 2－x －m <0成立”是真命题．
(1)求实数m 的取值集合B ；
(2)设不等式(x －3a )(x －a －2)<0的解集为A ，若x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．
解析：(1)命题：“∀x ∈{x |－1≤x ≤1}，都有不等式x 2－x －m <0成立”是真命题，得x 2－x －m <0在－1≤x ≤1时恒成立，
∴m >(x 2－x )max ，得m >2，
即B ＝{m |m >2}．
(2)不等式(x －3a )(x －a －2)<0.
①当3a >2＋a ，即a >1时，解集A ＝{x |2＋a <x <3a }，若x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，则A B ，
∴2＋a ≥2，此时a ∈(1，＋∞)．
②当3a ＝2＋a ，即a ＝1时，解集A ＝∅，若x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，则A B 成立．
③当3a <2＋a ，即a <1时，解集A ＝{x |3a <x <2＋a }，若x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，则A B 成立，
∴3a ≥2，此时a ∈⎣⎢⎡⎭
⎪⎫23，1. 综上①②③可得a ∈⎣⎢⎡⎭
⎪⎫23，＋∞.。