关于 轨迹问题的探究的课堂教学改进案例

关于“轨迹问题的探究”的课堂教学改进案例
——高一新课程(工大附中王欣)
一、行动前的反思
1、新课程的指导思想
《普通高中数学课程标准》中，提出数学课程设计的基本指导思想，重点强调了：倡导积极主动、勇于探索的学习方式；注重信息技术与数学课程的整合。

2、选题的思考
新课程的解析几何部分同旧教材相比有了很大的调整。

在必修中，只讲直线和圆，重在使学生建立用代数方法去研究几何问题的基本思想，不断体会数形结合的方法。

新教材首先突出的是学生形象思维与直观想象的能力，在此基础上训练学生逻辑推理的能力。

在学习解析几何的初级阶段，学生这种直观想象的能力往往比较弱，这就需要借助辅助工具帮助学生快速地建立起这种能力。

在解析几何中，轨迹问题是贯穿始终的，而且随着学习的不断深入，学生的认识也是逐渐发展的。

因此，考虑选择轨迹问题探究这个专题，来帮助学生初步建立直观认识的能力，学会从图形中去发现、分析曲线的几何性质，感受图形与方程之间的对应关系。

3、处理问题的方法
采用TI图形计算器这个辅助工具，作出动点的轨迹，可以使学生用运动变化的观念全面地去看待问题。

这种手持技术的应用，可以转变学生的学习方式，由教师的演示、学生被动接受，转变为学生的主动探究。

学生可以通过操作，预测数学结论，进行合情推理，而这个工具恰恰为学生提供探索数学问题、多角度理解数学思想的机会。

4、课程的设计思路
（1）本节课的主要目的是对于方程与曲线间的对应关系进行探究。

通过学生的实际操作，观察运动规律，推导曲线方程。

然后改变问题的条件，引导学生对轨迹再次进行探究，并归纳总结，重点强调学生的主动学习，教师处在引导的地位。

（2）考虑到在现阶段学生对于轨迹方程的理解还比较浅显，很难从代数抽象的角度由方程想象出曲线的类型。

因此设计了一种利用方程来探究曲线形状的题型，学生可以借助图形计算器，快速有效地改变方程中的参数，观察图形的变化。

这样可以使学生进一步的认识到方程与曲线之间的对应关系，为后续学习奠定基础。

5、教学流程
5
高一.2班是理科班，学生的基础比较好，学习的热情比较高，有一定的探究问题的能力。

此外，本班
也是TI图形计算器的试验班，掌握图形计算器的基本操作。

从试验的效果看，借助这个辅助工具，确实从一定程度上培养了学生的直观想象能力，为后续学习打下了基础。

二、教学设计方案
1、课堂效果：（1）在教学中，调整了例1与例2的顺序，因为本节课的变式引申是针对例1进行的，因
此在授课时临时决定调整顺序，从效果上看，这个选择是正确的。

此外，原例2设计
的目的是对比坐标转移法与直接作图法，但是由于坐标转移法对于学生有困难，学生
刚刚接触轨迹问题，因此在课上运用坐标转移法推出结论很困难，也会使这节课的重
点数形结合培养学生直观想象能力发生偏移。

因此没有讲坐标转移法，只是让学生通
过图形计算器画处图象，挖掘几何性质得到方程，突出主题。

（2）在教学中，学生在探究参数变化对曲线形态的影响时，对于参数变化的理解不是很明确，当参数a取2、3时，轨迹是双曲线，学生不会转变思路去尝试-2、-3，而是去尝
试10、11等更大的数值，并且对于参数取0，-1等特殊值也没有进行讨论。

从中说明，
学生的思维有一定的局限性，平时对这方面的训练不够，另外，从教师的角度去看，
教师的指导作用发挥的不充分，没有适当地指出学生的问题。

因此，本节课最终的结
论推出的有些牵强，有点老师牵引学生去被动接受结论的意味在其中，而本节课的目
的恰恰是学生参与解决归纳能力的训练，结论并不是重要的，思维过程的训练目的没
有达到，存在需要改进的地方。

2、与同组的教师交换意见
（1）在三维目标的制定上，分得过细。

事实上在教学目标中的知识、技能、方法、价值观等内容是相互渗透的，不能完全的割裂开，因此三维目标要重新进行划分。

（2）在学生作出图形后，教师指导学生分析图形性质，连结辅助线从而发现图形满足圆的定义，对于为何要连结辅助线分析得不透澈。

此外，例2中，主动点与被动点的关系，分析得不够简单明了，也需要改进。

（3）在学生自己通过给参数赋值画出图形归纳结论时，教师没有进行方法和思路上的指导，学生着手的方向有问题，可以采取适当的措施弥补这个问题。

3、改进措施
综合多方面的意见，对于在第一次授课中出现的问题，决定将教学方案进行调整。

在授课时，通过主动点与被动点关系的分析，让学生自己发现需要连结的线段，构造出三角形中位线，发现距离的不变量。

其次，将学生分组，合作学习，对参数的取值进行相互补充，此外，在进行操作前，教师可以引导学生对参数有一个整体的认识，通过提问，让学生提出几个备选的方案，相互进行验证，这样就不会出现学生尝试的数值存在大量重复的现象。

4、再次进行课堂教学尝试
再次尝试的目的就是检验第一次课堂改进后效果是否明显，新的方案是否能顺利实施。

授课后发现这一次教学比较流畅，将学生进行分组后，确实收到了意想不到的效果，一个小组的成员能够把所有的情况都实验出来，由教师进行投影展示，并且由学生来进行总结。

但是由图形计算器让学生进行的探究过程，参数的取值是离散的，得到的结论仍然是一种猜测，且对于参数的整体变化对曲线的影响学生不能把握。

经过反复思考，决定运用几何画板来配合图形计算器，因为几何画板可以连续改变参数的取值，有利于学生直观想象能力的培养。

如下：
器作出图形，用圆的定义来说明
得出结论： ⑴a>0，双曲线 ⑵a=0,x 轴 ⑶a<0,椭圆
其中a=-1圆,特殊情况
四、小结
本节课借助图形计算器，研究了动点的轨迹与方程之间的关系，初步实现了数与形的转化
五、课后思考题： 已知动点M 到两个定点（0，0）和（3，0）的距离比是一个常数a ，求动点的轨迹方程椭圆--竖直
a<-1
圆a= -1椭圆--水平-1<a<0直线（x 轴）a=0y=0
双曲线a>0曲线类型a 的范围方程形式
1a 4y 4x 2
2=-1a
4y 4x 2
2=-1a
4y 4x 2
2=-1a
4y 4x 2
2=-
三、行动后的反思
第三次授课后，综合两次试讲以及本专题所体现的特点，对这个问题重新进行了如下思考：
1、本节课的特点是细节体现想法，两个例题一个是由图形得到方程，一个是对方程进行画图检验，将图
形计算器与教材几何画板有机地整合在一起，体现开放性和探索性。

2、由探究问题的解决方法把方程与函数联系在一起，体现高考的特点。

3、新课程的内容设计是螺旋式上升的，一定要通过变式训练培养学生的能力。

就解析几何而言，它的特
点就是：代数运算表其外，几何性质表其内。

因此，解析几何的学习，培养直观想象能力是很重要的，本节课恰恰就是在学习这个内容的初级阶段，尝试借助图形计算器训练学生的这种能力。

4、本节课给出了科学研究数学问题的方法：猜想－验证－结论，为学生指明了科学研究的道路，为他们
的终身学习奠定了一定的基础。

四、对于新课程的认识
解析几何部分新旧教材对比分析
教材比较重视知识的应用性，沟通了代数和几何之间的联系，它要求学生在解析几何初步的学习中经历将几何问题代数化、处理代数问题、分析代数结果的几何含义、解决几何问题几个过程。

新教材把那些学生比较难掌握的圆锥曲线的问题放到了选修系列中，可以起到分散知识难点的作用，还可以在学习解析几何初级阶段，将重点放在对于解析几何的本质思想和研究方法的教学上来，有助于学生形成正确的数学观。

此外，新课程解析几何的教学重视学生探究能力的培养。

学生可以借助现代信息技术，由代数关系来探究轨迹问题，反之由轨迹来探究代数条件并加以总结归纳。

通过这个过程，学生可以初步掌握科学研究的方法，培养科学精神和创新意识，为他们的终身学习指引了一条科学道路。

在新课程的解析几何教学中运用TI手持技术，可以使学生用运动变化的观念全面地去看待问题，通过形象思维能力的培养，刺激逻辑思维以及创造思维的发展。

这种手持技术的应用，可以转变学生的学习方式，由教师的演示、学生被动接受，转变为学生的主动探究。

学生可以通过操作，预测数学结论，进行合情推理，而这个工具恰恰为学生提供探索数学问题、多角度理解数学思想的机会。

总之，在新课程背景下，我们对于解析几何内容的教学，要尽量突出学生思维发展的方向，让技术与教材有效地整合在一起，让技术在培养学生形象思维的同时，留给学生更多的思考空间。