2022山东济宁中考数学试卷+答案解析

2022年山东济宁中考数学
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)
1.用四舍五入法取近似值，将数0.015 8精确到0.001的结果是()
A.0.015
B.0.016
C.0.01
D.0.02
2.如图是由6个完全相同的小正方体搭建而成的几何体，则这个几何体的主视图是()
A B C D
3.下列各式运算正确的是()
A.-3(x-y)=-3x+y
B.x3·x2=x6
C.(π-3.14)0=1
D.(x3)2=x5
4.下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是()
A.x2-x-1=x(x-1)-1
B.x2-1=(x-1)2
C.x2-x-6=(x-3)(x+2)
D.x(x-1)=x2-x
5.某班级开展“共建书香校园”读书活动。

统计了1至7月份该班同学每月阅读课外书的本数，并绘制出如图所示的折线统计图。

则下列说法正确的是()
A.从2月到6月，阅读课外书的本数逐月下降
B.从1月到7月，每月阅读课外书本数的最大值比最小值多45
C .每月阅读课外书本数的众数是45
D .每月阅读课外书本数的中位数是58
6. 一辆汽车开往距出发地420 km 的目的地，若这辆汽车比原计划每小时多行10 km ，则提前1小时到达目的地。

设这辆汽车原计划的速度是x km/h ，根据题意所列方程是 ( )
A .
420x
=420
x−10+1
B .
420x
+1=420
x+10
C .
420x
=420
x+10+1
D .
420x
+1=420
x−10
7. 已知圆锥的母线长为8 cm ，底面圆的直径为6 cm ，则这个圆锥的侧面积是
( )
A .96π cm 2
B .48π cm 2
C .33π cm 2
D .24π cm 2
8. 若关于x 的不等式组{x −a >0,
7−2x >5
仅有3个整数解，则a 的取值范围是 ( )
A .-4≤a <-2
B .-3<a ≤-2
C .-3≤a ≤-2
D .-3≤a <-2
9. 如图，三角形纸片ABC 中，∠BAC =90°，AB =2，AC =3。

沿过点A 的直线将纸片折叠，使点B 落在边BC 上的点D 处；再折叠纸片，使点C 与点D 重合，若折痕与AC 的交点为E ，则AE 的长是
( )
A .13
6
B .5
6
C .7
6
D .6
5
10. 如图，用相同的圆点按照一定的规律拼出图形.第一幅图有4个圆点，第二幅图有7个圆点，第三幅图有10个圆点，第四幅图有13个圆点，......按照此规律，第一百幅图中圆点的个数是
( )
A .297
B .301
C .303
D .400
二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分) 11. 若二次根式√x −3有意义，则x 的取值范围是 .
12.如图，直线l1，l2，l3被直线l4所截，若l1∥l2，l2∥l3，∠1=126°32'，则∠2的度数是.
13.已知直线y1=x-1与y2=kx+b相交于点(2，1)。

请写出一个b值(写出一个即可)，使x>2时，y1>y2。

14.如图，A是双曲线y=8
(x>0)上的一点，点C是OA的中点，过点C作y轴的
x
垂线，垂足为D，交双曲线于点B，则△ABD的面积是.
15.如图，点A，C，D，B在☉O上，AC=BC，∠ACB=90°。

若CD=a，
tan∠CBD=1
，则AD的长是.
3
三、解答题(本大题共7小题，共55分)
16.( 6分)已知a=2+√5，b=2-√5，求代数式a2b+ab2的值。

17.( 7分)6月5日是世界环境日.某校举行了环保知识竞赛，从全校学生中随机抽取了n名学生的成绩进行分析，并依据分析结果绘制了不完整的统计表和统计图(如下图所示)。

学生成绩分布统计表
请根据以上图表信息，解答下列问题：
(1)填空：n=，a=；
(2)请补全频数分布直方图；
(3)求这n名学生成绩的平均分；
(4)从成绩在75.5≤x<80.5和95.5≤x<100.5的学生中任选两名学生。

请用列表法或画树状图的方法，求选取的学生成绩在75.5≤x<80.5和95.5≤x<100.5中各一名的概率。

18.如图，在矩形ABCD中，以AB的中点O为圆心，以OA为半径作半圆，连接OD交半圆于点E，在BE上取点F，使EF=AE，连接BF，DF。

(1)求证：DF与半圆相切；
(2)如果AB=10，BF=6，求矩形ABCD的面积。

19.( 8分)某运输公司安排甲、乙两种货车24辆恰好一次性将328吨的物资运往A，B两地，两种货车载重量及到A，B两地的运输成本如下表：
(1)求甲、乙两种货车各用了多少辆；
(2)如果前往A 地的甲、乙两种货车共12辆，所运物资不少于160吨，其余货车将剩余物资运往B 地.设甲、乙两种货车到A ，B 两地的总运输成本为ω元，前往A 地的甲种货车为t 辆。

①写出ω与t 之间的函数解析式； ②当t 为何值时，ω最小？最小值是多少？ 20.( 8分)知识再现
如图1，在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c. ∵sin A =a
c ，sin B =b
c ， ∴c =a
sinA ，c =b
sinB . ∴
a sinA =
b
sinB
.
拓展探究
如图2，在锐角△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c. 请探究
a
sinA ，b
sinB ，c
sinC 之间的关系，并写出探究过程。

解决问题
如图3，为测量点A 到河对岸点B 的距离，选取与点A 在河岸同一侧的点C ，测得AC =60 m ，∠A =75°，∠C =60°。

请用拓展探究中的结论，求点A 到点B 的距离。

图1
图2
图3
21.( 9分)已知抛物线C 1：y =-1
2(m 2+1)x 2-(m +1)x -1与x 轴有公共点。

(1)当y 随x 的增大而增大时，求自变量x 的取值范围；
(2)将抛物线C1先向上平移4个单位长度，再向右平移n个单位长度得到抛物线C2(如图所示)，抛物线C2与x轴交于点A，B(点A在点B的右侧)，与y轴交于点C。

当OC=OA时，求n的值；
(3)在(2)的条件下D为抛物线C2的顶点，过点C作抛物线C2的对称轴l的垂线，垂足为G，交抛物线C2于点E，连接BE交l于点F。

求证：四边形CDEF 是正方形。

22.( 10分)如图，△AOB是等边三角形，过点A作y轴的垂线，垂足为C，点C 的坐标为(0，√3)。

P是直线AB上在第一象限内的动点，过点P作y轴的垂线，垂足为D，交AO于点E，连接AD，作DM⊥AD交x轴于点M，交AO于点F，连接BE，BF。

(1)填空：若△AOD是等腰三角形，则点D的坐标为；
(2)当点P在线段AB上运动时(点P不与点A，B重合)，设点M的横坐标为m.
①求m值最大时点D的坐标：
②是否存在这样的m值，使BE=BF？若存在，求出此时的m值；若不存在，请说明理由。

2022年山东济宁中考数学
（参考答案）
1.B 0.015 8精确到0.001的结果是0.016.故选B .
2.A 主视图是从正面看到的图形，有三列，最右边一列有3个小正方形，中间一列有2个小正方形，最左边一列有1个小正方形.故选A .
3.C 选项A ，-3(x -y )=-3x +3y ；选项B ，x 3·x 2=x 3+2=x 5；选项C ，任何一个不为0的实数的0次幂是1；选项D ，(x 3)2=x 6.故选C .
4.C 选项A ，没有化成积的形式，不是因式分解；选项B ，x 2-1=(x +1)(x -1)；选项C 正确；选项D 是整式乘法.故选C .
5.D 选项A ，在4月到5月之间，阅读课外书的本数是上升的，故A 选项中说法错误；选项B ，从1月到7月，阅读课外书的本数的最大值是78，最小值是28，其差为78-28=50，故B 选项中说法错误；选项C ，这7个月阅读课外书的本数的众数是58，故C 选项中说法错误；选项D ，这7个月阅读课外书的本数的中位数是58，故D 选项中说法正确.
6.C 根据“原计划所用时间=实际所用时间+1”，得
420x
=420
x+10+1.故选C .
7.D 由题意得，圆锥的底面周长l 为6π cm ，又圆锥的母线长为8 cm ，所以圆锥的侧面积为1
2×6π×8=24π cm 2.故选D . 8.D {
x −a >0①,
7−2x >5②,
解不等式①得x >a ，解不等式②得x <1，
∵不等式组仅有3个整数解，则只能是0，-1，-2， ∴-3≤a <-2.故选D .
9.A 由题意得∠ADB =∠B ，∠CDE =∠C ，AB =AD =3，
ED =CE.∵∠B +∠C =90°，∴∠ADB +∠CDE =90°，∴∠ADE =90°.在Rt △ADE
中，AD =2，设ED =EC =x ，则AE =3-x ，根据勾股定理得AD 2+DE 2=AE 2，即22+x 2=(3-x )2，解得x =5
6，∴AE =3-56=13
6.
10.B 第一幅图有4个圆点，第二幅图有7个圆点，比第一幅图多3个圆点，第三幅图比第二幅图多3个圆点，第四幅图比第三幅图多3个圆点，照此规律，第n 幅图有(3n +1)个圆点.所以第一百幅图中圆点的个数为3×100+1=301. 11.答案 x ≥3
解析 根据二次根式有意义的条件，可得x -3≥0，解得x ≥3. 12.答案 53°28'
解析 由题意得l 1∥l 3，∴∠3=∠1=126°32'. ∴∠2=180°-∠3=180°-126°32'=53°28'.
13.答案 0(答案不唯一)
解析 画出直线y 1=x -1，要使得当x >2时y 1>y 2，需直线y 2=kx +b 过点(2，1)且与y 轴的交点在(0，-1)以上，所以b >-1.故b 的值可以为0.
14.答案 4
解析 设点A (m,8
m )，∵点C 为OA 的中点，
∴C (m 2,4
m ).∵BD ∥x 轴，∴B (2m,4
m )，D (0,4
m )，过点A 作AE ⊥BD 交BD 于点E ，则S △ABD =1
2BD ·AE =1
2·2m ·4
m
=4.
15.答案 2√2a
解析 连接AB ，过点C 作CE ⊥AD 于D ，
∵AC =BC ，∠ACB =90°，∴∠ABC =∠CAB =45°，∴∠CDE =∠ABC =45°.在Rt △CDE 中，∵CD =a ，∴DE =CE =√2
2a.∵tan ∠CBD =1
3，∴tan ∠CAE =1
3.在Rt △ACE 中，∵tan ∠CAE =1
3，CE =√2
2a ，∴AE =3√2
2
a. ∴AD =AE +DE =2√2a. 16.解析 a 2b +ab 2=ab (a +b ) =(2+√5)(2-√5)[(2+√5)+(2-√5)] =(4-5)×4=-4.
17.解析 (1)由题意得n =20.05=40. 又40-2-15-11-2=10(人)，∴a =1040=0.25. (2)补全频数分布直方图如图所示.
×(78×2+83×10+88×15+93×11+98×2)=88.125(分). (3)由题意得，平均分为1
40
(4)用A1，A2表示成绩在75.5≤x<80.5组的学生.
用B1，B2表示成绩在95.5≤x<100.5组的学生.
列表可得：
共有12种等可能的情况，其中选取的学生成绩在75.5≤x<80.5和95.5≤x<100.5中各一名的情况有8种，∴所求概率为2
.
3
18.解析(1)证明：连接OF，
∵AE
=EF ，∴∠1=∠2. ∵四边形ABCD 是矩形，∴∠OAD =90°.
在△OAD 与△OFD 中，{OA =OF,
∠1=∠2,OD =OD,
∴△OAD ≌△OFD ，∴∠OFD =∠OAD =90°.
∴DF 与半圆相切.
(2)连接AF ，交OD 于点G ，
∵AB 为直径，∴∠AFB =90°.
∵AB =10，BF =6，
∴AF =√AB 2−BF 2=8.
∵DA 、DF 都与半圆相切，∴DO 垂直平分AF.
∴AG =4.
在Rt △AOG 中，AG =4，AO =5，∴OG =3.
∴tan ∠1=43.
在Rt △AOD 中，tan ∠1=AD AO =43，
∴AD =43AO =203.
∴S 矩形ABCD =AD ·AB =203×10=2003.
19.解析 (1)设甲种货车用了x 辆，乙种货车用了y 辆，根据题意得， {x +y =24,16x +12y =328,
解得{x =10,y =14. 答：甲种货车用了10辆，乙种货车用了14辆.
(2)①前往A 地的甲种货车为t 辆，则前往A 地的乙种货车为(12-t )辆，前往B 地的甲种货车为(10-t )辆，前往B 地的乙种货车为14-(12-t )=(t +2)辆，根据题意得，
ω=1 200t +1 000(12-t )+900(10-t )+750(2+t )
=50t +22 500.
②∵前往A地的两种货车所运物资不少于160吨，
∴{t≥0,
12−t≥0,
16t+12(12−t)≥160,
解得4≤t≤12.
∵50>0，∴ω随t的增大而增大.
当t=4时，ω最小，
此时ω=50×4+22 500=22 700.
故当t为4辆时，ω取得最小值，最小值为22 700元.
20.解析拓展探究
过点A作AD⊥BC于点D，设AD=h，
在Rt△ABD中，∵sin B=ℎ
c
，∴h=c·sin B.
在Rt△ACD中，∵sin C=ℎ
b
，∴h=b·sin C.
∴c·sin B=b·sin C.∴b
sinB =c sinC
.
同理，过点B作BE⊥AC于点E，可得a
sinA =c sinC
.
∴a
sinA =b
sinB
=c
sinC
.
解决问题
∵∠A=75°，∠C=60°，∴∠B=180°-∠A-∠C=45°.
根据AB
sinC =AC
sinB
，得AB=AC·sinC
sinB
=60×sin60°
sin45°
=30√6(m).
答：点A到点B的距离为30√6m. 21.解析(1)∵抛物线与x轴有公共点，∴[-(m+1)]2+4×[−1
2
(m2+1)]≥0.
整理得-(m-1)2≥0，
∴m=1.
∴y=-x2-2x-1=-(x+1)2，
∴抛物线的对称轴为直线x =-1，且开口向下，
∴当y 随x 的增大而增大时，x <-1.
(2)将抛物线C 1：y =-(x +1)2向上平移4个单位，再向右平移n 个单位，得到抛物线C 2的解析式为y =-(x +1-n )2+4，
令x =0，得y =4-(1-n )2，
令y =0，得(x +1-n )2=4，
解得x 1=n +1，x 2=n -3.
∴A (n +1，0)，B (n -3，0).
∵OA =OC ，∴4-(1-n )2=n +1，即n 2-n -2=0.
解得n 1=2，n 2=-1(舍去).
∴当OC =OA 时，n =2.
(3)证明：当n =2时，y =-(x -1)2+4，
∴顶点D (1，4)，C (0，3)，B (-1，0).
∵点G 在对称轴上，∴G (1，3).
∵C 、E 关于对称轴l 对称，∴E (2，3).
设直线BE 的解析式为y =kx +b ，则{2k +b =3,−k +b =0,解得{k =1,b =1. ∴直线BE 的解析式为y =x +1，当x =1时，y =2.
∴F (1，2).
则DG =GF =GC =EG =1，
∴DF 与EC 相等且互相垂直平分，
∴四边形CDEF 为正方形.
22.解析 (1)(0,2√33
)或(0，2). 详解：∵△AOB 是等边三角形，∴∠OAB =∠OBA =∠AOB =60°. ∴∠AOC =30°，
∵AC ⊥y 轴于点C ，∴∠ACO =90°，∠AOC =30°，∠OAC =60°. ∵C (0，√3)，∴OC =√3.
在Rt △OAC 中，OA =OC cos30°=2，∴AC =12OA =1.
①当OD =AD 时，∠DAO =∠AOD =30°，
∴∠DAC =60°-30°=30°.
在Rt △ACD 中，AD =AC cos30°=
2√33
. ∴OD =AD =2√33.∴D (0,2√33). ②当OD =OA 时，OD =2，∴D (0，2)或(0，-2)(不含题意). ③当AO =AD 时，点D 在直线AB 与y 轴的交点上，不成立. ∴点D 的坐标为(0,2√33
)或(0，2). (2)①∵AD ⊥DM ，∴∠ADM =90°.
∴∠ADC +∠ODM =90°.
又∵∠ACD =90°，∴∠ADC +∠CAD =90°，
∴∠ODM =∠CAD.
又∵∠DOM =∠ACD =90°，
∴△DOM ∽△ACD ，∴OM CD =OD AC .
设点D (0，n )，则OD =n ，CD =√3-n.
又AC =1，OM =m.
∴√3−n m =1n
，∴m =n (√3-n )=-n 2+√3n. ∴当n =√32时，m 有最大值.
此时点D 的坐标为(0,√32
). ②存在.∵BF =BE ，∴∠BEF =∠BFE ，
∴∠AEB =∠OFB ，
又∠EAB =∠FOB =60°，AB =OB ，
∴△AEB ≌△OFB ，
∴AE =OF ，
设AE =t ，则EF =2-2t ，DE =1-t 2，CD =√32t ，OD =√3-√32t ， 易证△MOD ∽△DCA ，
∴OM CD =OD CA ，即√32t =√3−√3t 2
1，①
∵DP ∥OM ，∴△OMF ∽△EDF ， ∴OM DE =OF EF ，即m
1−t 2=t 2−2t ，②
联立得①②，解得t =23，m =23.
∴存在m =23，使BE =BF.。