用类比法拓展推广不等式
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－ －
＋
Ｏ ＼
ｎ
６ ＋ 警 ２ ｒ
Ｔ
ｃ
ｃ
警＿ １
／
因为 ｎ ＋ 孚
１
＝ — —
６ 十 一 警 警 ２ ｒ
＋６ ＋ … ＋ ６ 警 警
（） １利用算 ３ 专ｂ 羞 ６ ｎ ，
ｎ
ｎ
墨＋ ２ 吾≥ ３ ￣ ｃ ａ ｃ： ２ 号＋ ２ 号＋ ２ 号≥ ａ ６ ｃ
维普资讯
２０ 年第 ６ ０８ 期
数 学教 学
６ ３ —３
用类 比法拓 展推 广 不 等式
０４１ 内蒙古赤峰市喀喇沁旗十家乡上烧锅 中学 雷 金 ２４ ５
我们对不等式
＋ 一 ｃ 十 ｂ＋
十 十
≥ ＿． ３＿ …
… … ・① ’①
．
＼ ｎ一 １ Ｊ
… … … ・ ・
③
∑ Ｘ —ｘ ｉ ｊ —
∑ｘ ｉ‘ ～
（ 礼 ）（ ｎ ）（ ｎ ） ＋ ＋ （
ｎ
叠 加后 即 可 得 ② 式 ．
（ 由而 ３ ） ａ ≥
，
我们类 比猜
∑
Ｊ ＝１
（ Ｎ … ⑨ ｍＥ ）
下面用数学归纳法证 明 测
事 宴 ｝ 用 微 积 分 的 知 识 可 以 明 当 ｎ ＝ ＝ ． ≥
，
ｌｇ 。 ｛２时
，３）ｎＲ． ２ （ ＋ ≥三（ ） Ｅ
ｎ≥
… ｎ
所 以⑦式成立，
用叠 加 法 即得 ⑥ 式 ．
（） ５上述三种情况对 不等式次数 的开拓限于
正 自然数域， 是否能开拓到正实数域， ⑨式是否
成立 ？
２ ￣ ０５ ４ ６ ５ ．８ ９ ２
，
＾ （ 圭 ） （ 击 ： ＋ ） ） （ ＋ ≥（ … … … … …⑨ ３ … … … … ． ．
１
值域・
≥
，
易 （ ）苎 、 ｎ ｍ 知 声、 ） ｒ ＼ ， ｆ ， ≤ ＊ ，
＝１ ／ ＼ －ｉ ￣ ／ ＝１
对 （ （ ｎ 赤 于＝ａ ＋ ） ＋ （
当 ＝） （ ≥ 。 （ ＋） ２ 兰 丢 ，
解等２３） 不式≥（ 丢得
角 的连线平行 于底边且等于两底差的一半‘
证 明： 图６ 如 ，
、
质点几何学的味道了． 看似和回路无关， 其实是 相同， ＭＮ Ａ ｆ Ｄ， ＭＮ ＝ 三 即 ｆＢ Ｃ 且 （Ｂ一
中点
谈 谈 向量法解 一类平 面几何题 的繁简 比较 数 学 教 学 ． ０ ８ ． ２ ０ ．１
９．
＝
＝
三 一 ）三 十 ） （ 一（
孝 十） （ （ 一 ） 孝 ＋
社 宏 罗 ． 解回 戡 宾 增例 题 的 、 儒谈 顾
数 ．０５ 学学２． ０ ． ７
．
（ 上接第６３ 页） －３
⑨ ×⑧得
由０ 、ｃ 、ｂ 在不等式 中对称， 固定 ６ ， 、ｃ 讨论
（ ｎ ） ≥
证 明： 式 等价 于 ④
＝１
ｘｊ
是 否成 立 ？
≥
（
ｎ ｍ ｎ
∑ Ｘ一 ｉ
１ 时成立
ｘｊ
∑
ｔ １ ＝
３ 号ｂ ） 口 （＋ｃ－≤２ Ｉ３ ＋６ ＋ｃ ） ⑤ ＇“。 孚 ｇ ｎ ｔ 警 ． …．
（） １ 中已经证 ａＴｍ ＝ １ 的情况即③式 ， 设
ｉ １ ＝
．
）
ｌ ≥
（ ｎ—ｒ ＋・ 一 】 ２， ） 一十 ＝ ｎ
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２０ 年第 ６ ０８ 期
＝
数 学教 学
６２ －７
（一 ） ． －＝ Ｘ
＝ （ ） 一 ． １
３ 墨
＋
．
ｎ个
２ ｎ ｒ 个 （－ ）
３ ￣ ＋ ３ ４ ； ａ ６ ｎ －
≥
—
２ ｒ个
从而用叠加法易证得不等式 ①成立．
≥
ｎ
３ ｎ
．
（） 比① 式我们推测 Ｉ 时应有 ２类 ｔ 元
≥ ｎ
… … … … …
＝ ３ ｎ号６ — ｃ ｎ ｒｒ
②
所 以
．
．
警 的系数和为： 【 ＋２ ＋… ＋ｒ ＋ ＋ｎ 】 ２ ， “ ＝ ｎ
ｃ
（、ｂ ∈Ｒ＋ 已经非常熟悉 了， ａ 、ｃ ） 本文用类 比的
办法将此不等式从元 数和次数上分别进行了开
拓 ， 到 了 更 一般 的结 论 ． 得
因此 ，⑤ 式 的 右 边
＝
ｒ
由￣Ａ ／ Ｂ／ ＤＯ， 所以ＡＢ、ＤＣ、 Ⅳ方向
ＤＣ） ． 综上所述 ， 笔者希望在利用 向量法解一类向 量 问题尤其是一类平 面向量 问题 时要 吸取解析 法的教训， 关注图形， 重视 回路， 尽可能借助图形
减 运算・
．
这种用一个字母表示向量的方式， 已经带有
用了向量的定 比分点公式的省略形式， 而这公式 也是利用回路推导出来 的， 直接用其解题可减少 过多的回路带来 的“ 绕来绕去” 相 当简洁， 例 ， 如 ６ ．
一
在式子 ∑ ｕ Ｔ ｂ
ｒ
ｒ （ ｌ６ 孚 ＼ 孚２ ） － ｎ Ｌ ＋ｃ ０ 警 ｌ？ ｒ
ｎ
中， 警 的系数和为： ＋ ＋ … ＋ ＝２ ， ｎ ｎ
ｎＩ ｌ
ｆ １
一
ｊ
６ 的系数和为： 孚
＋（一１ 十… ＋ ｎ ）
∑ 一
． ．
【 普通高中课程标准实验教科书 （ ２ ］ 必修） 数
学 ４ 江苏教育 出版社． ０ ６ ６ ． ２０． ．
［ 张景中、彭翕成． ３ 】 深入思考 精益求精． 数
学 通 讯 ． ０ ７ ３ ２ ０ ．１ ．
ｆ袁桐． ４ 】 重视“ 向量方法” 数学教学． ０７ ． ２０．
图 ６
ｔ ） ６ １ 警 ＋２Ｉ ７ ＋２＂警１ （ 一＇ 警 ｃ ６ 警＋一ｃ
。 ・
’（一１ ｎ ）
ｘｊ
十ｘ ≥ｎ ｊ ・ｉｉ ， ｊ ｘ （≠ ） ～Ｘ
ｎ
Ｃ ３ 号 ｎ ｒ ０ （＋ｃｎ ≥ ∑ ｎ ６－ｃ ＝ ３号 ｂ ）．
ｒ－ Ｏ －
即⑤式成立， 从而 ④式成立． 用叠加法即得
＋
Ｏ ＼
ｎ
６ ＋ 警 ２ ｒ
Ｔ
ｃ
ｃ
警＿ １
／
因为 ｎ ＋ 孚
１
＝ — —
６ 十 一 警 警 ２ ｒ
＋６ ＋ … ＋ ６ 警 警
（） １利用算 ３ 专ｂ 羞 ６ ｎ ，
ｎ
ｎ
墨＋ ２ 吾≥ ３ ￣ ｃ ａ ｃ： ２ 号＋ ２ 号＋ ２ 号≥ ａ ６ ｃ
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数 学教 学
６ ３ —３
用类 比法拓 展推 广 不 等式
０４１ 内蒙古赤峰市喀喇沁旗十家乡上烧锅 中学 雷 金 ２４ ５
我们对不等式
＋ 一 ｃ 十 ｂ＋
十 十
≥ ＿． ３＿ …
… … ・① ’①
．
＼ ｎ一 １ Ｊ
… … … ・ ・
③
∑ Ｘ —ｘ ｉ ｊ —
∑ｘ ｉ‘ ～
（ 礼 ）（ ｎ ）（ ｎ ） ＋ ＋ （
ｎ
叠 加后 即 可 得 ② 式 ．
（ 由而 ３ ） ａ ≥
，
我们类 比猜
∑
Ｊ ＝１
（ Ｎ … ⑨ ｍＥ ）
下面用数学归纳法证 明 测
事 宴 ｝ 用 微 积 分 的 知 识 可 以 明 当 ｎ ＝ ＝ ． ≥
，
ｌｇ 。 ｛２时
，３）ｎＲ． ２ （ ＋ ≥三（ ） Ｅ
ｎ≥
… ｎ
所 以⑦式成立，
用叠 加 法 即得 ⑥ 式 ．
（） ５上述三种情况对 不等式次数 的开拓限于
正 自然数域， 是否能开拓到正实数域， ⑨式是否
成立 ？
２ ￣ ０５ ４ ６ ５ ．８ ９ ２
，
＾ （ 圭 ） （ 击 ： ＋ ） ） （ ＋ ≥（ … … … … …⑨ ３ … … … … ． ．
１
值域・
≥
，
易 （ ）苎 、 ｎ ｍ 知 声、 ） ｒ ＼ ， ｆ ， ≤ ＊ ，
＝１ ／ ＼ －ｉ ￣ ／ ＝１
对 （ （ ｎ 赤 于＝ａ ＋ ） ＋ （
当 ＝） （ ≥ 。 （ ＋） ２ 兰 丢 ，
解等２３） 不式≥（ 丢得
角 的连线平行 于底边且等于两底差的一半‘
证 明： 图６ 如 ，
、
质点几何学的味道了． 看似和回路无关， 其实是 相同， ＭＮ Ａ ｆ Ｄ， ＭＮ ＝ 三 即 ｆＢ Ｃ 且 （Ｂ一
中点
谈 谈 向量法解 一类平 面几何题 的繁简 比较 数 学 教 学 ． ０ ８ ． ２ ０ ．１
９．
＝
＝
三 一 ）三 十 ） （ 一（
孝 十） （ （ 一 ） 孝 ＋
社 宏 罗 ． 解回 戡 宾 增例 题 的 、 儒谈 顾
数 ．０５ 学学２． ０ ． ７
．
（ 上接第６３ 页） －３
⑨ ×⑧得
由０ 、ｃ 、ｂ 在不等式 中对称， 固定 ６ ， 、ｃ 讨论
（ ｎ ） ≥
证 明： 式 等价 于 ④
＝１
ｘｊ
是 否成 立 ？
≥
（
ｎ ｍ ｎ
∑ Ｘ一 ｉ
１ 时成立
ｘｊ
∑
ｔ １ ＝
３ 号ｂ ） 口 （＋ｃ－≤２ Ｉ３ ＋６ ＋ｃ ） ⑤ ＇“。 孚 ｇ ｎ ｔ 警 ． …．
（） １ 中已经证 ａＴｍ ＝ １ 的情况即③式 ， 设
ｉ １ ＝
．
）
ｌ ≥
（ ｎ—ｒ ＋・ 一 】 ２， ） 一十 ＝ ｎ
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＝
数 学教 学
６２ －７
（一 ） ． －＝ Ｘ
＝ （ ） 一 ． １
３ 墨
＋
．
ｎ个
２ ｎ ｒ 个 （－ ）
３ ￣ ＋ ３ ４ ； ａ ６ ｎ －
≥
—
２ ｒ个
从而用叠加法易证得不等式 ①成立．
≥
ｎ
３ ｎ
．
（） 比① 式我们推测 Ｉ 时应有 ２类 ｔ 元
≥ ｎ
… … … … …
＝ ３ ｎ号６ — ｃ ｎ ｒｒ
②
所 以
．
．
警 的系数和为： 【 ＋２ ＋… ＋ｒ ＋ ＋ｎ 】 ２ ， “ ＝ ｎ
ｃ
（、ｂ ∈Ｒ＋ 已经非常熟悉 了， ａ 、ｃ ） 本文用类 比的
办法将此不等式从元 数和次数上分别进行了开
拓 ， 到 了 更 一般 的结 论 ． 得
因此 ，⑤ 式 的 右 边
＝
ｒ
由￣Ａ ／ Ｂ／ ＤＯ， 所以ＡＢ、ＤＣ、 Ⅳ方向
ＤＣ） ． 综上所述 ， 笔者希望在利用 向量法解一类向 量 问题尤其是一类平 面向量 问题 时要 吸取解析 法的教训， 关注图形， 重视 回路， 尽可能借助图形
减 运算・
．
这种用一个字母表示向量的方式， 已经带有
用了向量的定 比分点公式的省略形式， 而这公式 也是利用回路推导出来 的， 直接用其解题可减少 过多的回路带来 的“ 绕来绕去” 相 当简洁， 例 ， 如 ６ ．
一
在式子 ∑ ｕ Ｔ ｂ
ｒ
ｒ （ ｌ６ 孚 ＼ 孚２ ） － ｎ Ｌ ＋ｃ ０ 警 ｌ？ ｒ
ｎ
中， 警 的系数和为： ＋ ＋ … ＋ ＝２ ， ｎ ｎ
ｎＩ ｌ
ｆ １
一
ｊ
６ 的系数和为： 孚
＋（一１ 十… ＋ ｎ ）
∑ 一
． ．
【 普通高中课程标准实验教科书 （ ２ ］ 必修） 数
学 ４ 江苏教育 出版社． ０ ６ ６ ． ２０． ．
［ 张景中、彭翕成． ３ 】 深入思考 精益求精． 数
学 通 讯 ． ０ ７ ３ ２ ０ ．１ ．
ｆ袁桐． ４ 】 重视“ 向量方法” 数学教学． ０７ ． ２０．
图 ６
ｔ ） ６ １ 警 ＋２Ｉ ７ ＋２＂警１ （ 一＇ 警 ｃ ６ 警＋一ｃ
。 ・
’（一１ ｎ ）
ｘｊ
十ｘ ≥ｎ ｊ ・ｉｉ ， ｊ ｘ （≠ ） ～Ｘ
ｎ
Ｃ ３ 号 ｎ ｒ ０ （＋ｃｎ ≥ ∑ ｎ ６－ｃ ＝ ３号 ｂ ）．
ｒ－ Ｏ －
即⑤式成立， 从而 ④式成立． 用叠加法即得