2019高三数学人教A版理一轮课时分层训练20 三角函数的

课时分层训练(二十) 三角函数的图象与性
质
(对应学生用书第294页)
A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)
一、选择题 1．函数y ＝
cos x －3
2的定义域为( )
【导学号：97190113】
A ．⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π6，π6
B ．⎣⎢⎡
⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π6(k ∈Z )
C ．⎣⎢⎡
⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋π6(k ∈Z )
D ．R
C [由cos x －32≥0，得cos x ≥32，∴2k π－π6≤x ≤2k π＋π
6，k ∈Z .] 2．(2017·广州五校联考)下列函数中，周期为π的奇函数为( ) A ．y ＝sin x cos x B ．y ＝sin 2x C ．y ＝tan 2x
D ．y ＝sin 2x ＋cos 2x
A [y ＝sin 2x 为偶函数；y ＝tan 2x 的周期为π
2；y ＝sin 2x ＋cos 2x 为非奇非偶函数，故B 、C 、D 都不正确，选A ．]
3．已知函数f (x )＝sin x ＋a cos x 的图象关于直线x ＝5π
3对称，则实数a 的值为( )
A ．－ 3
B ．－3
3
C ． 2
D ．22
B [由x ＝5π
3是f (x )图象的对称轴， 可得f (0)＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
10π3，
即sin 0＋a cos 0＝sin 10π3＋a cos 10π
3， 解得a ＝－3
3.]
4．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6－1(ω＞0)的最小正周期为2π3，则f (x )的图象的一条对称轴方程是( )
A ．x ＝π
9 B ．x ＝π
6 C ．x ＝π
3
D ．x ＝π
2
A [依题意，得2π|ω|＝2π3，|ω|＝3，又ω＞0，所以ω＝3，令3x ＋π6＝k π＋π
2(k ∈Z )，解得x ＝k π3＋π9(k ∈Z )，当k ＝0时，x ＝π
9.因此，函数f (x )的图象的一条对称轴方程是x ＝π
9.]
5．已知ω＞0，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范
围可以是( )
A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤
12，54
B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤
12，34
C ．⎣⎢⎡
⎦
⎥⎤0，12
D ．(0,2]
A [由π2＜x ＜π，ω＞0得π2ω＋π4＜ωx ＋π4＜πω＋π
4，由题意结合选项，令⎝ ⎛⎭⎪⎫π2ω＋π4，πω＋π4⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤
π2，3π2，所以⎩⎪⎨⎪⎧
π2ω＋π4≥π2，πω＋π4≤3π
2，
所以12≤ω≤5
4.]
二、填空题
6．已知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x ＋π4，x ∈[0，π]，则f (x )的单调递增区间为________.
【导学号：97190114】
⎣⎢⎡
⎦⎥⎤0，π4 [由－π2＋2k π≤x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－3π4＋2k π≤x ≤π4＋2k π，k ∈Z .
又x ∈[0，π]，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡
⎦
⎥⎤0，π4.]
7．(2018·兰州模拟)已知下列函数： ①f (x )＝2sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x ＋π3；
②f (x )＝2sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x －π6；
③f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
12x ＋π3；
④f (x )＝2sin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2x －π3.
其中，最小正周期为π且图象关于直线x ＝π
3对称的函数的序号是________． ② [③中函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
12x ＋π3的最小正周期为4π，故③错误．将x ＝π3分别代入①②④中，得其函数值分别为0,2，3，因为函数y ＝A sin x 在对称轴处取得最值，故①④错误，②正确．]
8．函数y ＝tan ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x ＋π4的图象与x 轴交点的坐标是________．
⎝ ⎛⎭⎪⎫
k π2－π8，0，k ∈Z [由2x ＋π4＝k π(k ∈Z )得，x ＝k π2－π8(k ∈Z )，
∴函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象与x 轴交点的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫
k π2－π8，0，k ∈Z .]
三、解答题
9．已知函数f (x )＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x 2＋π4－sin(x ＋π)．
(1)求f (x )的最小正周期；
(2)若将f (x )的图象向右平移π
6个单位长度，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在区间[0，π]上的最大值和最小值．
[解] (1)f (x )＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x 2＋π4－sin(x ＋π)
＝3cos x ＋sin x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x ＋π3，
于是T ＝2π
1＝2π.
(2)由已知得g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6. ∵x ∈[0，π]，∴x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤
π6，7π6，
∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－12，1，
∴g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x ＋π6∈[－1,2]．
故函数g (x )在区间[0，π]上的最大值为2，最小值为－1. 10．已知函数f (x )＝(sin x ＋cos x )2＋cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期；
(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡
⎦
⎥⎤0，π2上的最大值和最小值．
[解] (1)因为f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＋2sin x ·cos x ＋cos 2x ＝1＋sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2x ＋π4＋1，
所以函数f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π. (2)由(1)的计算结果知，f (x )＝2sin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2x ＋π4＋1.
当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4，由正弦函数y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤
π4，5π4上的图象
知，当2x ＋π4＝π2，即x ＝π
8
时，f (x )取最大值2＋1；
当2x ＋π4＝5π4，即x ＝π2时，f (x )取最小值0.综上，f (x )在⎣⎢⎡
⎦⎥⎤0，π2上的最大值为2＋1，最小值为0.
B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)
11．(2017·郑州二次质量预测)将函数f (x )＝－cos 2x 的图象向右平移π
4个单位后得到函数g (x )，则g (x )具有性质( )
A ．最大值为1，图象关于直线x ＝π
2对称 B ．在⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，π4上单调递减，为奇函数
C ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫
－3π8，π8上单调递增，为偶函数
D ．周期为π，图象关于点⎝ ⎛⎭
⎪⎫
3π8，0对称
B [由题意得函数g (x )＝－cos ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x －2×π4＝－sin 2x ，易知其为奇函数，由
－π2＋2k π＜2x ＜π2＋2k π，k ∈Z 得－π4＋k π＜x ＜π
4＋k π，k ∈Z ，所以函数g (x )＝－sin 2x 的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫
－π4＋k π，π4＋k π，k ∈Z ，所以函数g (x )＝－sin 2x 在
⎝ ⎛
⎭
⎪⎫0，π4上单调递减，故选B.] 12．(2017·安徽江南十校联考)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛
⎭⎪⎫ω＞0，||φ＜π2的最
小正周期为4π，且∀x ∈R ，有f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π3成立，则f (x )图象的一个对称中心坐标
是( )
A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3，0
B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫
－π3，0
C ．⎝ ⎛⎭
⎪⎫2π3，0
D ．⎝ ⎛⎭
⎪⎫5π3，0
A [由f (x )＝sin(ωx ＋φ)的最小正周期为4π，得ω＝12.因为f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π3恒成立，
所以f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π3，即12×π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，
由|φ|＜π2，得φ＝π3， 故f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12x ＋π3.
令12x ＋π3＝k π(k ∈Z )，得x ＝2k π－2π
3(k ∈Z )，
故f (x )图象的对称中心为⎝ ⎛
⎭⎪⎫2k π－2π3，0(k ∈Z )，
当k ＝0时，f (x )图象的对称中心为⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－2π3，0.]
13．若函数f (x )＝sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω＞0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，
且该函数图象关于点(x 0,0)成中心对称，x 0∈⎣⎢⎡
⎦
⎥⎤0，π2，则x 0＝________.
【导学号：97190115】
5π12 [由题意得T 2＝π2，T ＝π，ω＝2.又2x 0＋π6＝k π(k ∈Z )，x 0＝k π2－π
12(k ∈Z )，而x 0∈⎣⎢⎡
⎦
⎥⎤0，π2，所以x 0＝5π12.]
14．(2016·天津高考)已知函数f (x )＝4tan x ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3.
(1)求f (x )的定义域与最小正周期； (2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－π4，π4上的单调性．
[解]
(1)f (x )的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪
⎪⎪
x ≠π
2＋k π，k ∈Z
. f (x )＝4tan x cos x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x －π3－ 3
＝4sin x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x －π3－ 3
＝4sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋3
2sin x － 3
＝2sin x cos x ＋23sin 2x － 3 ＝sin 2x ＋3(1－cos 2x )－ 3 ＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x －π3.
所以f (x )的最小正周期T ＝2π
2＝π.
(2)令z ＝2x －π3，则函数y ＝2sin z 的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－π2＋2k π，π2＋2k π，
k ∈Z .
由－π2＋2k π≤2x －π3≤π
2＋2k π， 得－π12＋k π≤x ≤5π
12＋k π，k ∈Z . 设A ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π4，π4，
B ＝⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
－π12＋k π≤x ≤5π
12＋k π，k ∈Z
，易知A ∩B ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
－π12，π4.
所以，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－π12，π4上单调递增，在区间
⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π
4，－π12上单调递减．。