专题17 圆锥曲线全国卷高考真题填空题9道(解析版)-2021年高考数学圆锥曲线中必考知识专练

专题17：圆锥曲线全国卷高考真题填空题9道（解析版）
一、填空题
1，2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅱ）
已知双曲线过点，且渐近线方程为1
2
y x =±，则该双曲线的标准方程为____________________.
【答案】2
214
x y -=
【详解】
依题意，设所求的双曲线的方程为2
2
4x y λ-=.
点M 为该双曲线上的点，
16124λ∴=-=.
∴该双曲线的方程为：2
2
44x y -=，即2
214
x y -=.
故本题正确答案是2
214
x y -=.
2，2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ）
设12F F ，为椭圆22:+13620
x y C =的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限.若
12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为___________.
【答案】( 【分析】
根据椭圆的定义分别求出12MF MF 、
，设出M 的坐标，结合三角形面积可求出M 的坐标. 【详解】
由已知可得2
2
2
2
2
36,20,16,4a b c a b c ==∴=-=∴=，
11228MF F F c ∴===．∴24MF =．
设点M 的坐标为()()0000,0,0x y x y >>，则1212001
42
MF F S F F y y =⋅⋅=△，
又1201
442
MF F S y =
⨯=∴=△
0y ，
2
20
136
20
x ∴+=，解得03x =（03x =-舍去）
， M ∴
的坐标为(．
【点睛】
本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．
3，2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）
已知F 为双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，
且BF 垂直于x 轴.若AB 的斜率为3，则C 的离心率为______________. 【答案】2 【分析】
根据双曲线的几何性质可知，2
b BF a
=，AF c a =-，即可根据斜率列出等式求解
即可． 【详解】
联立2
222222
1x c
x y a b a b c =⎧⎪⎪-=⎨⎪⎪=+⎩
，解得2x c b y a =⎧⎪⎨=±⎪⎩，所以2
b BF a =.
依题可得，3BF AF =，AF c a =-，即()
2
22
3b c a a c a a c a -==--，变形得3c a a +=，2c a =,
因此，双曲线C 的离心率为2. 故答案为：2． 【点睛】
本题主要考查双曲线的离心率的求法，以及双曲线的几何性质的应用，属于基础题． 4，2018年全国卷Ⅲ理数高考试题
已知点()11M ，
-和抛物线2
4C y x =：，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于
A ，
B 两点．若90AMB ∠=︒，则k =________．
【答案】2 【分析】
利用点差法得到AB 的斜率，结合抛物线定义可得结果. 【详解】
详解：设()()1122A ,,B ,x y x y 则2112
22
4{
4y x y x ==
所以22
121244y y x x -=-
所以121212
4
k y y x x y y -=
=-+
取AB 中点()00M'x y ，,分别过点A,B 作准线x 1=-的垂线，垂足分别为A ,B'' 因为AMB 90∠︒=,
()()'111
MM '222
AB AF BF AA BB ∴=
=+=+'， 因为M’为AB 中点， 所以MM’平行于x 轴 因为M(-1,1)
所以01y =，则122y y +=即k 2= 故答案为 2.
【点睛】
本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查了抛物线的性质，设
()()1122A ,,B ,x y x y ，利用点差法得到121212
4
k y y x x y y -=
=-+，取AB 中点()00M'x y ，,
分别过点A,B 作准线x 1=-的垂线，垂足分别为A ,B''，由抛物线的性质得到
()'1
MM '2
AA BB '=
+，进而得到斜率． 5，2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷）
已知双曲线C ：22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，
圆A 与双曲线C 的一条渐近线于交M 、N 两点，若60MAN ∠=，则C 的离心率为
__________．
【答案】
23
【解析】
如图所示，
由题意可得|OA|=a，|AN|=|AM|=b，
∵∠MAN=60°，
∴|AP|=
3
2
b，
∴2222
3
||||
4
OA PA a b
-=-
设双曲线C的一条渐近线y=
b
a
x的倾斜角为θ，则tan θ=
22
3
||2
||3
4
AP
OP
a b
=
-
．
又tan θ=
b
a
，
22
3
2
3
4
b
a
a b
=
-
，解得a2=3b2，
∴
2
2
123
11
3
b
a
+=+=
答案
23
点睛：
求双曲线的离心率的值（或范围）时，可将条件中提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量,,
a b c的方程或不等式，再根据222
b c a
=-和
c
e
a
=转化为关于离心率e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值（或取值范围）．
6，2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷）
已知F 是抛物线C:28y x =的焦点，M 是C 上一点，F M 的延长线交y 轴于点N ．若
M 为F N 的中点，则F N =____________．
【答案】6 【分析】
如图所示，不妨设点M 位于第一象限，设抛物线的准线与x 轴交于点'F ，作
MB l ⊥与点B ，NA l ⊥与点A ，由抛物线的解析式可得准线方程为2x =-，则2,4AN FF'==，在直角梯形ANFF'中，中位线'
32
AN FF BM +=
=，由抛物线的定义有：3MF MB ==，结合题意，有3MN MF ==，故
336FN FM NM =+=+=．
点睛:抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化．
7．2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ）
一个圆经过椭圆22
1164
x y +=的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准
方程为___________. 【答案】223
25()24
x y -+= 【解析】
设圆心为（a ，0），则半径为4a -，则2
2
2
(4)2a a -=+，解得3
2
a =
，故圆的方程为22
325()2
4
x y -+=
. 考点：椭圆的几何性质；圆的标准方程
8，2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国Ⅱ卷）
设点M （0x ,1），若在圆O:221x y +=上存在点N ，使得∠OMN=45°，则0x 的取值范围是________. 【答案】[1,1]- 【解析】
由题意知：直线MN 与圆O 有公共点即可，即圆心O 到直线MN 的距离小于等于1即可，如图，
过OA ⊥MN ，垂足为A ，在Rt OMA ∆中，因为∠OMN=45，所以
sin 45OA OM =212
OM ≤，
解得2OM ，因为点M （0x ,1），所以2012OM x =+≤011x -≤≤，
故0x 的取值范围是
[1,1]-.
考点：本小题主要考查考查直线与圆的位置关系，考查数形结合能力和逻辑思维能力，考查同学们分析问题和解决问题的能力，有一定的区分度.
9，2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）
已知双曲线C ：22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C
的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =，120F B F B ⋅=，则C 的离心率为____________． 【答案】2. 【分析】
通过向量关系得到1F A AB =和1OA F A ⊥，得到1AOB AOF ∠=∠，结合双曲线的渐
近线可得21,BOF AOF ∠=∠0
2160,BOF AOF BOA ∠=∠=∠=从而由
0tan 603b
a
==可求离心率. 【详解】 如图，
由1,F A AB =得1.F A AB =又12,OF OF =得OA 是三角形12F F B 的中位线，即
22//,2.BF OA BF OA =由120F B F B =，得121,,F B F B OA F A ⊥⊥则1OB OF =有1AOB AOF ∠=∠，
又OA 与OB 都是渐近线，得21,BOF AOF ∠=∠又21BOF AOB AOF π∠+∠+∠=，得
02160,BOF AOF BOA ∠=∠=∠=．又渐近线OB 的斜率为
0tan 603b
a
==所以该双曲线的离心率为221()1(3)2c b
e a a
==+=+=． 【点睛】
本题考查平面向量结合双曲线的渐进线和离心率，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取几何法，利用数形结合思想解题．。