2013年普通高等学校招生全国统一考试数学(山东卷)理

2013年普通高等学校招生全国统一考试
(山东卷)
数学(理科)
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共4页,满分150分.考试用时120分钟.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
注意事项:
1.答题前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上.
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.答案不能答在试卷上.
3.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答.答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置,不能写在试卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.
4.填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
参考公式:
如果事件A,B互斥,那么P(A+B)=P(A)+P(B),如果事件A,B独立,那么P(AB)=P(A)·P(B).
第Ⅰ卷(共60分)
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(2013山东,理1)复数z满足(z-3)(2-i)=5(i为虚数单位),则z的共轭复数z为().
A.2+i
B.2-i
C.5+i
D.5-i
答案:D
解析:由题意得z-3=5
2-i
=2+i,所以z=5+i.故z=5-i,应选D.
2.(2013山东,理2)已知集合A={0,1,2},则集合B={x-y|x∈A,y∈A}中元素的个数是().
A.1
B.3
C.5
D.9
答案:C
解析:当x,y取相同的数时,x-y=0;当x=0,y=1时,x-y=-1;当x=0,y=2时,x-y=-2;当x=1,y=0时,x-y=1;当x=2,y=0时,x-y=2;其他则重复.故集合B中有0,-1,-2,1,2,共5个元素,应选C.
3.(2013山东,理3)已知函数f(x)为奇函数,且当x>0时,f(x)=x2+1
x
,则f(-1)=().
A.-2
B.0
C.1
D.2
答案:A
解析:因为f(x)是奇函数,故f(-1)=-f(1)=-(12+1
1
)=-2,应选A.
4.(2013山东,理4)已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直,体积为9
4
,底面是边长为√3的正三角形.若P为底面A1B1C1的中心,则PA与平面ABC所成角的大小为().
A.5π
12B.π
3
C.π
4
D.π
6
答案:B
解析:如图所示,由棱柱体积为9
4
,底面正三角形的边长为√3,可求得棱柱的高为√3.设P在平面ABC上
射影为O,则可求得AO长为1,故AP长为√12+(√3)2=2.故∠PAO=π
3
,即PA与平面ABC所成的角为π
3
.
5.(2013山东,理5)将函数y=sin(2x+φ)的图象沿x轴向左平移π
8
个单位后,得到一个偶函数的图象,则φ的一个可能取值为().
A.3π
4 B.π
4
C.0
D.-π
4
答案:B
解析:函数y=sin(2x+φ)的图象向左平移π8个单位后变为函数y=sin [2(x +π8)+φ]=sin (2x +π
4+φ)的图象,又y=sin (2x +π4
+φ)为偶函数,故π4
+φ=π2
+k π,k ∈Z ,∴φ=π4
+k π,k ∈Z .
若k=0,则φ=π4.故选B .
6.(2013山东,理6)在平面直角坐标系xOy 中,M 为不等式组{2x -y -2≥0,
x +2y -1≥0,3x +y -8≤0所表示的区域上一动点,则
直线OM 斜率的最小值为( ).
A.2
B.1
C.-1
3 D.-1
2
答案:C
解析:不等式组表示的区域如图阴影部分所示,结合斜率变化规律,当M 位于C 点时OM 斜率最小,且为-13
,故选C .
7.(2013山东,理7)给定两个命题p,q,若 p 是q 的必要而不充分条件,则p 是 q 的( ). A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件
D.既不充分也不必要条件 答案:A
解析:由题意:q ⇒ p, p q,根据命题四种形式之间的关系,互为逆否的两个命题同真同假,所以{q⇒ p , pq 等价于{p⇒ q ,
qp ,所以p 是 q 的充分而不必要条件.故选A . 8.(2013山东,理8)函数y=x cos x+sin x 的图象大致为( ).
答案:D
解析:因f(-x)=-x ·cos (-x)+sin (-x)=-(x cos x+sin x)=-f(x),故该函数为奇函数,排除B ,又x ∈(0,π
2),y>0,排
除C ,而x=π时,y=-π,排除A ,故选D .
9.(2013山东,理9)过点(3,1)作圆(x-1)2+y 2=1的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB 的方程为( ). A.2x+y-3=0 B.2x-y-3=0 C.4x-y-3=0 D.4x+y-3=0
答案:A
解析:该切线方程为y=k(x-3)+1,即kx-y-3k+1=0,由圆心到直线距离为
√k +(-1)=1,得k=0或43
,切线方
程分别与圆方程联立,求得切点坐标分别为(1,1),(9
5,-3
5),故所求直线的方程为2x+y-3=0.故选A . 10.(2013山东,理10)用0,1,…,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为( ). A.243 B.252 C.261 D.279
答案:B
解析:构成所有的三位数的个数为C 91C 101C 101=900,而无重复数字的三位数的个数为C 91C 91C 81
=648,故所
求个数为900-648=252,应选B .
11.(2013山东,理11)抛物线
C 1:y=1
2p x 2(p>0)的焦点与双曲线
C 2:x 23-y 2
=1的右焦点的连线交
C 1于第一
象限的点M.若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线,则p=( ). A.√3
16 B.√3
8
C.
2√3
3
D.
4√3
3
答案:D
解析:设M (x 0,12p x 02
),y'=(12p x 2)'=x p ,故在M 点处的切线的斜率为x 0p
=√3
3
,故M (√33p ,1
6p).由题意又可知抛物线的焦点为(0,p 2),双曲线右焦点为(2,0),且(√33p ,16p),(0,p
2),(2,0)三点共线,可求得p=4
3√3,故选D .
12.(2013山东,理12)设正实数x,y,z 满足x 2-3xy+4y 2-z=0,则当xy z
取得最大值时,2x
+1y
−2z
的最大值为( ). A.0 B.1
C.9
4
D.3
答案:B
解析:由x 2-3xy+4y 2-z=0
得x 2-3xy+4y 2
z =1≥2√x 2·4y 2-3xy z
, 即xy
z ≤1,当且仅当x 2=4y 2时成立,又x,y 为正实数,故x=2y.此时将x=2y 代入x 2-3xy+4y 2-z=0得z=2y 2,所以2
x +1
y −2
z =-1
y 2+2
y =-(1
y -1)2
+1,
当1
y
=1,即y=1时,2x
+1y
−2z
取得最大值为1,故选B .
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.
13.(2013山东,理13)执行右面的程序框图,若输入的ε的值为0.25,则输出的n 的值为 . 答案:3
解析:第1次运行将F 0+F 1赋值给F 1,即将3赋值给F 1,然后将F 1-F 0赋值给F 0,即将3-1=2赋值给F 0,n 增加1变成2,此时
1F 1
=13
比ε大,故循环,新F 1为2+3=5,新F 0为5-2=3,n 增加1变成3,此时
1F 1
=15
≤ε,
故退出循环,输出n=3.
14.(2013山东,理14)在区间[-3,3]上随机取一个数x,使得|x+1|-|x-2|≥1成立的概率为 . 答案:1
3
解析:设y=|x+1|-|x-2|={3,2x -1,-3,x ≥2,
-1<x <2,x ≤-1,利用函数图象(图略)可知|x+1|-|x-2|≥1的解集为[1,+∞).而在
[-3,3]上满足不等式的x 的取值范围为[1,3],故所求概率为
3-1
3-(-3)
=13
.
15.(2013山东,理15)已知向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为120°,且|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3,|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2,若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,且AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则实数λ的值为 .
答案:7
12
解析:∵AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,又BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0.∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+λAB
⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ -λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=0,即4+(λ-1)×3×2×(-12)-9λ=0,即7-12λ=0,∴λ=7
12.
16.(2013山东,理16)定义“正对数”:ln +x ={0,0<x <1,lnx ,x ≥1,
现有四个命题
:
①若a>0,b>0,则ln+(a b)=b ln+a;
②若a>0,b>0,则ln+(ab)=ln+a+ln+b;
③若a>0,b>0,则ln+(a
b
)≥ln+a-ln+b;
④若a>0,b>0,则ln+(a+b)≤ln+a+ln+b+ln 2.
其中的真命题有.(写出所有真命题的编号)
答案:①③④
三、解答题:本大题共6小题,共74分.
17.(2013山东,理17)(本小题满分12分)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且
a+c=6,b=2,cos B=7
9
.
(1)求a,c的值;
(2)求sin(A-B)的值.
解:(1)由余弦定理b2=a2+c2-2ac cos B,
得b2=(a+c)2-2ac(1+cos B),
又b=2,a+c=6,cos B=7
9
,
所以ac=9,解得a=3,c=3.
(2)在△ABC中,sin B=√1-cos2B=4√2
9
.
由正弦定理得sin A=asinB
b =2√2
3
.
因为a=c,所以A为锐角.
所以cos A=√1-sin2A=1
3
.
因此sin(A-B)=sin A cos B-cos A sin B=10√2
27
.
18.(2013山东,理18)(本小题满分12分)如图所示,在三棱锥P-ABQ中,PB⊥平面
ABQ,BA=BP=BQ,D,C,E,F分别是AQ,BQ,AP,BP的中点,AQ=2BD,PD与EQ交于点G,PC与FQ交于点H,连接GH.
(1)求证:AB∥GH;
(2)求二面角D-GH-E的余弦值.
(1)证明:因为D,C,E,F分别是AQ,BQ,AP,BP的中点,
所以EF∥AB,DC∥AB.所以EF∥DC.
又EF⊄平面PCD,DC⊂平面PCD,
所以EF∥平面PCD.
又EF⊂平面EFQ,平面EFQ∩平面PCD=GH,
所以EF∥GH.
又EF∥AB,所以AB∥GH.
(2)解法一:在△ABQ中,AQ=2BD,AD=DQ,
所以∠ABQ=90°,即AB⊥BQ.
因为PB⊥平面ABQ,
所以AB⊥PB.
又BP∩BQ=B,
所以AB⊥平面PBQ.
由(1)知AB ∥GH,所以GH ⊥平面PBQ. 又FH ⊂平面PBQ,所以GH ⊥FH. 同理可得GH ⊥HC,
所以∠FHC 为二面角D-GH-E 的平面角. 设BA=BQ=BP=2,连接FC,
在Rt △FBC 中,由勾股定理得FC=√2, 在Rt △PBC 中,由勾股定理得PC=√5. 又H 为△PBQ 的重心,
所以HC=1
3PC=√5
3.
同理FH=√5
3
.
在△FHC 中,由余弦定理得
cos ∠FHC=59+5
9-22×59
=-4
5.
故二面角D-GH-E 的余弦值为-4
5.
解法二:在△ABQ 中,AQ=2BD,AD=DQ, 所以∠ABQ=90°. 又PB ⊥平面ABQ, 所以BA,BQ,BP 两两垂直.
以B 为坐标原点,分别以BA,BQ,BP 所在直线为x 轴,y 轴,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系. 设BA=BQ=BP=2,
则E(1,0,1),F(0,0,1),Q(0,2,0),D(1,1,0),C(0,1,0),P(0,0,2). 所以EQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,2,-1),FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,-1), DP
⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,-1,2),CP ⃗⃗⃗⃗ =(0,-1,2). 设平面EFQ 的一个法向量为m =(x 1,y 1,z 1), 由m ·EQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,m ·FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 得{-x 1+2y 1-z 1=0,2y 1-z 1=0,
取y 1=1,得m =(0,1,2).
设平面PDC 的一个法向量为n =(x 2,y 2,z 2), 由n ·DP
⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·CP ⃗⃗⃗⃗ =0, 得{-x 2-y 2+2z 2=0,
-y 2+2z 2=0,
取z 2=1,得n =(0,2,1). 所以cos <m ,n >=m ·n
|m ||n |=4
5. 因为二面角D-GH-E 为钝角,
所以二面角D-GH-E 的余弦值为-45
.
19.(2013山东,理19)(本小题满分12分)甲、乙两支排球队进行比赛,约定先胜3局者获得比赛的胜利,比赛随即结束.除第五局甲队获胜的概率是1
2外,其余每局比赛甲队获胜的概率都是2
3.假设各局比赛结果相互独立.
(1)分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率;
(2)若比赛结果为3∶0或3∶1,则胜利方得3分、对方得0分;若比赛结果为3∶2,则胜利方得2分、对方得1分,求乙队得分X 的分布列及数学期望.
解:(1)记“甲队以3∶0胜利”为事件A 1,“甲队以3∶1胜利”为事件A 2,“甲队以3∶2胜利”为事件A 3,
由题意,各局比赛结果相互独立,
故P(A 1)=(23)3=827,
P(A 2)=C 32(23)2(1-23)×23=827,
P(A 3)=C 42(23)2(1-23)2×12=427.
所以,甲队以3∶0胜利、以3∶1胜利的概率都为827,以3∶2胜利的概率为427.
(2)设“乙队以3∶2胜利”为事件A 4,
由题意,各局比赛结果相互独立,
所以P(A 4)=C 42(1-23)2(23)2×(1-12)=427. 由题意,随机变量X 的所有可能的取值为0,1,2,3,
根据事件的互斥性得
P(X=0)=P(A 1+A 2)=P(A 1)+P(A 2)=1627,
又P(X=1)=P(A 3)=427,
P(X=2)=P(A 4)=427,
P(X=3)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=2)=327.
故X 的分布列为
所以EX=0×1627+1×427+2×427+3×327=79.
20.(2013山东,理20)(本小题满分12分)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且S 4=4S 2,a 2n =2a n +1.
(1)求数列{a n }的通项公式;
(2)设数列{b n }的前n 项和为T n ,且T n +a n +12n =λ(λ为常数).令c n =b 2n (n ∈N *).求数列{c n }的前n 项和R n . 解:(1)设等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d,
由S 4=4S 2,a 2n =2a n +1得
{4a 1+6d =8a 1+4d ,a 1+(2n -1)d =2a 1+2(n -1)d +1.
解得a 1=1,d=2.
因此a n =2n-1,n ∈N *.
(2)由题意知,T n =λ-n
2n -1,
所以n ≥2时,b n =T n -T n-1=-n
2n -1+n -1
2n -2=n -2
2n -1.
故c n =b 2n =2n -2
22n -1=(n-1)(14)n -1,n ∈N *.
所以R n =0×(14)0+1×(14)1+2×(14)2+3×(14)3+…+(n-1)×(14)n -1,
则14R n =0×(14)1+1×(14)2+2×(14)3+…+(n-2)×(14)n -1+(n-1)×(14)n ,
两式相减得
34R n =(14)1+(14)2+(14)3+…+(14)n -1-(n-1)×(14
)n =14-(14)n
1-14
-(n-1)×(14)n =13−1+3n 3(14)n ,
整理得R n =19(4-3n+1
4n -1),
所以数列{c n }的前n 项和R n =19(4-3n+1
4n -1).
21.(2013山东,理21)(本小题满分13分)设函数f(x)=x e 2x +c (e =2.718 28…是自然对数的底数,c ∈R ).
(1)求f(x)的单调区间、最大值;
(2)讨论关于x 的方程|ln x|=f(x)根的个数.
解:(1)f'(x)=(1-2x)e -2x ,
由f'(x)=0,解得x=12.
当x<12时,f'(x)>0,f(x)单调递增;
当x>12时,f'(x)<0,f(x)单调递减.
所以,函数f(x)的单调递增区间是(-∞,12),单调递减区间是(12,+∞),
最大值为f (12)=12e -1+c.
(2)令g(x)=|ln x|-f(x)=|ln x|-x e -2x -c,x ∈(0,+∞).
①当x ∈(1,+∞)时,ln x>0,则g(x)=ln x-x e -2x -c,
所以g'(x)=e -2x (e 2x x +2x -1).
因为2x-1>0,e 2x x >0,
所以g'(x)>0.
因此g(x)在(1,+∞)上单调递增.
②当x ∈(0,1)时,ln x<0,则g(x)=-ln x-x e -2x -c.
所以g'(x)=e -2x (-e 2x x +2x -1).
因为e 2x ∈(1,e 2),e 2x >1>x>0,
所以-e 2x x <-1.又2x-1<1,
所以-e 2x x +2x-1<0,即g'(x )<0.
因此g(x)在(0,1)上单调递减.
综合①②可知,当x ∈(0,+∞)时,g(x)≥g(1)=-e -2-c.
当g(1)=-e -2-c>0,即c<-e -2时,g(x)没有零点,
故关于x 的方程|ln x|=f(x)根的个数为0;
当g(1)=-e -2-c=0,即c=-e -2时,g(x)只有一个零点,
故关于x 的方程|ln x|=f(x)根的个数为1;
当g(1)=-e -2-c<0,即c>-e -2时,
当x ∈(1,+∞)时,由(1)知
g(x)=ln x-x e -2x -c ≥ln x-(12e -1+c)>ln x-1-c,
要使g(x)>0,只需使ln x-1-c>0,即x ∈(e 1+c ,+∞);
当x ∈(0,1)时,由(1)知
g(x)=-ln x-x e -2x -c ≥-ln x-(12e -1+c)>-ln x-1-c,
要使g(x)>0,只需-ln x-1-c>0,
即x ∈(0,e -1-c );
所以c>-e -2时,g(x)有两个零点,
故关于x 的方程|ln x|=f(x)根的个数为2.
综上所述,
当c<-e -2时,关于x 的方程|ln x|=f(x)根的个数为0;
当c=-e -2时,关于x 的方程|ln x|=f(x)根的个数为1;
当c>-e -2时,关于x 的方程|ln x|=f(x)根的个数为2.
22.(2013山东,理22)(本小题满分13分)椭圆
C:x 2a 2+y 2
b 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F 1,F 2,离心率为√32,过F 1且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1.
(1)求椭圆C 的方程;
(2)点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点,连接PF 1,PF 2.设∠F 1PF 2的角平分线PM 交C 的长轴于点M(m,0),求m 的取值范围;
(3)在(2)的条件下,过点P 作斜率为k 的直线l,使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点.设直线PF 1,PF 2的斜率分别为k 1,k 2.若k ≠0,试证明1
kk 1+1kk 2
为定值,并求出这个定值. (1)解:由于c 2=a 2-b 2,将x=-c 代入椭圆方程x 2a 2+y 2b 2=1, 得
y=±b 2a , 由题意知2b 2a =1,即a=2b 2.
又e=c a =√32,所以a=2,b=1.
所以椭圆C 的方程为x 24
+y 2=1. (2)解法一:设P(x 0,y 0)(y 0≠0).
又F 1(-√3,0),F 2(√3,0),
所以直线PF 1,PF 2的方程分别为
l PF 1:y 0x-(x 0+√3)y+√3y 0=0,
l PF 2:y 0x-(x 0-√3)y-√3y 0=0. 由题意知0√3y 0√y 0+(x 0+√3)=0√3y 0√y 0+(x 0-√3).
由于点P 在椭圆上,
所以x 02
4+y 02=1,
所以√3|√(√32x 0+2)2=√3|√(√32
x 0-2)2. 因为-√3<m<√3,-2<x 0<2,
可得m+√3√32x 0+2=√3-m 2-√32x 0. 所以m=34x 0.
因此-32<m<32.
解法二:设P(x 0,y 0).
当0≤x 0<2时,
①当x 0=√3时,直线PF 2的斜率不存在,易知P (√3,12)或P (√3,-12).
若P (√3,12),则直线PF 1的方程为x-4√3y+√3=0. 由题意得|m+√3|7=√3-m,
因为-√3<m<√3,
所以m=
3√34. 若P (√3,-12),同理可得m=
3√34. ②当x 0≠√3时, 设直线PF 1,PF 2的方程分别为y=k 1(x+√3),y=k 2(x-√3). 由题意知1√3k 1√1+k 1=2√3k 2√1+k 2,
所以√3)2(m -√3)2=1+1k 121+1k 2
2.
因为04
+y 02=1, 并且k 1=0
x +√3,k 2=0
x -√3, 所以√3)2
(m -√3)2=0√3)20
24(x -√3)2+4-x 2 =3x 02+8√3x 0+16
3x 02-8√3x +16=√3x 0+4)2
(√3x -4)2,
即|m+√3m -√3|=|√3x 0+4
√3x -4|.
因为-√3<m<√3,0≤x 0<2且x 0≠√3, 所以√3+m
√3-m =4+√3x 04-√3x . 整理得m=3x 04
, 故0≤m<32且m ≠3√34
. 综合①②可得0≤m<3
2
. 当-2<x 0<0时,同理可得-3
2
<m<0. 综上所述,m 的取值范围是(-32,32).
(3)设P(x 0,y 0)(y 0≠0),则直线l 的方程为y-y 0=k(x-x 0). 联立{x 24+y 2=1,
y -y 0=k (x -x 0), 整理得(1+4k 2)x 2+8(ky 0-k 2x 0)x+4(y 02-2kx 0y 0+k 2x 02-1)=0.
由题意Δ=0,
即(4-x 02)k 2+2x 0y 0k+1-y 02=0.
又0
4
+y02=1,
所以16y02k2+8x0y0k+x02=0,
故k=-x0
4y0
.
由(2)知1
k1+1
k2
=x0+√3
y0
+x0-√3
y0
=2x0
y0
,
所以1
kk1+1
kk2
=1
k
(1
k1
+1
k2
)
=(-4y0
x0)·2x0
y0
=-8,
因此1
kk1+1
kk2
为定值,这个定值为-8.。