2023届广西数学高一上期末质量检测试题含解析
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2．若直线 过点 且倾角为 ，若直线 与 轴交于点 ，则点 的坐标为（）
A. B.
C. D.
3．已知函数 则函数 的最大值是
A.4B.3
C.5D.
4．数学可以刻画现实世界中的和谐美，人体结构、建筑物、国旗、绘画、优选法等美的共性与黄金分割相关．黄金分割常数 也可以表示成 ，则 （）
A. B.
C. D.
（2）求圆上的点到直线3x﹣4y+23＝0的最小距离.
参考答案
一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）
1、B
【解析】根据充分条件与必要条件的定义判断即可.
【详解】解：因为 为锐角，所以 ，所以 ，所以“ ”是“ 为锐角”的必要条件；
故选B
【点睛】本题考查三角函数的化简，考查诱导公式、二倍角公式的运用，属于基础题
11、A
【解析】直接利用全称命题的否定即可得到结论
【详解】因为命题p： ， ，所以 ： ， .
故选：A.
12、C
【解析】因为函数 的值域为 ，所以 可以取到所有非负数，即 的最小值非正.
【详解】因为 ，
且 的值域为 ，
所以 ，解得 .
故选：C.
二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）
13、12
【解析】 ，展开后利用基本不等式可求
【详解】∵ ， ，且 ，
∴
，
当且仅当 ，即 ， 时取等号，
故 的最小值为12
故答案为：12
14、
【解析】根据圆锥的底面周长等于半圆形纸片的弧长建立等式,再根据半圆形纸片的半径为圆锥的母线长求解即可.
【详解】由题得,半圆形纸片弧长为 ,设圆锥的底面半径为 ,则 ,
故圆锥的高为 .
故答案为：
【点睛】本题主要考查了圆锥展开图中的运算,重点是根据圆锥底面的周长等于展开后扇形的弧长,属于基础题.
15、
【解析】首先保证真数位置 在 上恒成立，得到 的范围要求，再分 和 进行讨论，由复合函数的单调性，得到关于 的不等式，得到答案.
当 时，依题意 ，
若 ， ，解得 或 （舍去）；
若 ， ，产生矛盾，故舍去；
当 时，依题意， 即
解得 ， 产生矛盾，故舍去
综上：存在满足条件的m，n，其中 ，
18、（1）人数为 ， ；
（2）7.42；（3）约为 人.
【解析】（1）由分层抽样等比例性质求高一年级学生的人数，根据直方图及频率和为1求参数a.
9、B
【解析】利用充分条件和必要条件的定义判断.
【详解】当角 为第二象限角时， ，所以 ，故充分；
当 时， 或 ，所以 在第二象限或在第三象限，故不必要；
故选：B
10、B
【解析】利用诱导公式，化简条件及结论，再利用二倍角公式，即可求得结论
【详解】解：∵sin ，∴sin ，
∵sin sin cos（2α ）＝1﹣2sin2 1
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）
1．“ ”是“ 为锐角”的（）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件
【详解】函数 ，
所以真数位置上的 在 上恒成立，
由一次函数保号性可知， ，
当 时，外层函数 为减函数，
要使 为减函数，则 为增函数，
所以 ，即 ，所以 ，
当 时，外层函数 为增函数，
要使 为减函数，则 为减函数，
所以 ，即 ，所以 ，
综上可得 的范围为 .
故答案为 .
【点睛】本题考查由复合函数的单调性，求参数的范围，属于中档题.
由图可知，样本数据落在 的频率为 .
故全校睡眠时间不低于7个小时的学生人数约为 人.
19、（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）由题意得 ， ，即可得到 平面 ，从而得到 ⊥ ，再根据 ，得到 ，证得 平面 ，即可得证；
（2）首先求出 ，利用勾股定理求出 ，即可求出 ，再根据锥体的体积公式计算可得
【详解】解：（1）证明：由题设知 ， ， ， 平面 ，
17．已知二次函数 满足： ，且该函数的最小值为1.
（1）求此二次函数 的解析式；
（2）若函数 的定义域为 （其中 ），问是否存在这样的两个实数m，n，使得函数 的值域也为A？若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由.
18．某中学共有3000名学生，其中高一年级有1200名学生，为了解学生的睡眠情况，现用分层抽样的方法，在三个年级中抽取了200名学生，依据每名学生的睡眠时间（单位：小时），绘制出了如图所示的频率分布直方图.
令 ，解得 ，点 的坐标为
故选：C
【点睛】本题考查点斜式直线方程的应用，考查学生计算能力，属于基础题
3、B
【解析】 ，从而当 时，∴ 的最大值是
考点：与三角函数有关的最值问题
4、A
【解析】利用同角三角函数平方关系，诱导公式，二倍角公式进行求解.
【详解】
故选：A
5、C
【解析】 详解】令 ，则 ，选C.
反之，当 时， ，但是 不是锐角，所以“ ”是“ 为锐角”的非充分条件.
故“ ”是“ 为锐角”必要不充分条件.
故选：B.
【点睛】本题主要考查充分条件与必要条件，与角的余弦在各象限的正负，属于基础题.
2、C
【解析】利用直线过的定点和倾斜角写出直线的方程，求出与 轴的交点，得出答案
【详解】直线 过点 且倾角为 ，则直线方程为 ，化简得
（1）求样本中高一年级学生的人数及图中a的值；
（2）估计样本数据 中位数（保留两位小数）；
（3）估计全校睡眠时间不低于7个小时的学生人数.
19．如图，三棱柱 中，侧棱垂直底面， ， ，点 是棱 的中点
（1）证明：平面 平面 ；
（2）求三棱锥 的体积
20．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，且△ABC为正三角形，D为AC中点
所以 平面 ，
又因为 平面 ，所以
因为 ，
所以 ，即
因为 ， 平面 ，
所以 平面 ，又因为 平面 ，
所以平面 平面
（2）由 ，得 ，所以 ，
所以 ，
所以 的面积 ，
所以
20、（1）见解析； （2）见解析.
【解析】（1）连接 交 于点 ，连接 ，可得 为 中位线， ，结合线面平行的判定定理，得 平面 ；（2）由 底面 ，得 ,正三角形 中，中线 ，结合线面垂直的判定定理，得 平面 ，最后由面面垂直的判定定理，证出平面 平面 .
（2）由频率直方图及中位数的性质估计中位数.
（3）由直方图计算 区间的频率，进而估计全校睡眠时间不低于7个小时的学生人数.
【小问1详解】
由分层抽样等比例的性质，样本中高一年级学生的人数为 .
由 ，可得 .
【小问2详解】
设中位数为x，
由 、 ，知： ，
∴ .得 ，故样本数据的中位数约为7.42.Fra bibliotek【小问3详解】
7、C
【解析】根据函数的解析式，结合零点的存在定理，进行分类讨论判定，即可求解.
【详解】由题意，函数 的定义域为 ，且 的零点为 ，
即 ，解得 ，
又因为 ，
可得 中，有1个负数、两个正数，或3个都 负数，
若 中，有1个负数、两个正数，
可得 ，即 ，
根据零点的存在定理，可得 或 ；
若 中，3个都是负数，则满足 ，
9．“角 为第二象限角”是“ ”的（）
A.充要条件B.充分不必要条件
C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件
10．已知 ,则 （ ）
A. B.
C. D.
11．已知命题p： ， ，则 （）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
12．若函数 的值域为 ，则实数 的取值范围是（）
A. B.
C. D.
二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）
16、
【解析】由题意，利用复合函数的单调性，对数函数、二次函数的性质，求得 的范围
【详解】解： 函数 在 上单调递增，
函数 在 上单调递增，且 ，
，解得 ，即 ，
故答案 ：
三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
17、（1） ；（2）存在， ， .
2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
即 ，此时函数的零点 .
故选：C.
8、D
【解析】根据线面平行的位置关系及线线位置关系的分类及定义，可由已知两直线平行于同一平面，得到两直线的位置关系
【详解】解：若 ，且
则 与 可能平行，也可能相交，也有可能异面
故平行于同一个平面的两条直线的位置关系是平行或相交或异面
故选
【点睛】本题考查的知识点是空间线线关系及线面关系，熟练掌握空间线面平行的位置关系及线线关系的分类及定义是详解本题的关键，属于基础题
（1）求证：直线AB1∥平面BC1D；
（2）求证：平面BC1D⊥平面ACC1A1
21．已知函数 ， 为偶函数
（1）求k的值.
（2）若函数 ， 是否存在实数m使得 的最小值为0，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由
22．已知圆经过（2，5），（﹣2，1）两点，并且圆心在直线y x上.
（1）求圆的标准方程；
①当 时， 在 上单调递增，故 ，不合题意；
②当 时， 图象对称轴为 ，则 在 上单调递增，故 ，不合题意；
5．设函数 ，则当 时， 的取值为
A.-4B.4
C.-10D.10
6．若 ， ， ， ，则 ， ， 的大小关系是
A. B.
C. D.
7．设函数 满足 ， 的零点为 ，则下列选项中一定错误的是（）
A. B.
C. D.
8．平行于同一平面的两条直线的位置关系是
A.平行B.相交或异面
C.平行或相交D.平行、相交或异面
6、D
【解析】分析：利用指数函数与对数函数及幂函数的行贿可得到 ，再构造函数 ，通过分析 和 的图象与性质，即可得到结论.
详解：由题意 在 上单调递减，所以 ，
在 上单调递则，所以 ，
在 上单调递则，所以 ，
令 ，则其为单调递增函数，显然在 上一一对应，
则 ，
所以 ，在坐标系中结合 和 的图象与性质，
【解析】（1）设 ，由 ，求出 值，可得二次函数 的解析式；
（2）分①当 时，②当 时，③当 时，三种情况讨论，可得存在满足条件的 ， ，其中 ，
【详解】解：（1）依题意，可设，
因 ，代入得 ，
所以 .
（2）假设存在这样 m，n，分类讨论如下：
当 时，依题意， 即 两式相减，整理得
，代入进一步得 ，产生矛盾，故舍去；
13．已知 ， ，且 ，则 的最小值为________.
14．用半径为 的半圆形纸片卷成一个圆锥，则这个圆锥的高为__________
15．函数 在 上是x的减函数，则实数a的取值范围是______
16．已知函数 在 上单调递增，则实数a的取值范围为____.
三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
量曲线分别相交于在 和 处，
可见，在 时， 小于 ；在 时， 大于 ；
在 时， 小于 ，
所以 ，所以 ，即 ，综上可知 ，故选D.
点睛：本题主要考查了指数式、对数式和幂式的比较大小问题，本题的难点在于 的大小比较，通过构造指数函数与一次函数的图象与性质分析解决问题是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，试题有一定难度，属于中档试题.
【详解】
（1）连接 交 于点 ，连接 ，则点 为 的中点
为 中点，得 为 中位线，
，
平面 平面 ，
∴直线 平面 ；
（2）证明： 底面 ，
，
∵底面 正三角形， 是 中点
，
平面 ，
平面 ，∴平面 平面
【点睛】本题考查了直三棱柱的性质，线面平行的判定定理、面面垂直的判定定理，，属于中档题．证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面.
21、（1）
（2）存在 使得 的最小值为0
【解析】（1）利用偶函数的定义可得 ，化简可得 对一切 恒成立，进而求得 的值；
（2）由（1）知， ，令 ，则 ，再分 、 、 进行讨论即可得解
【小问1详解】
解：由函数 是偶函数可知， ，即 ，
所以 ，即 对一切 恒成立，
所以 ；
【小问2详解】
解：由（1）知， ， ，令 ，则 ，
A. B.
C. D.
3．已知函数 则函数 的最大值是
A.4B.3
C.5D.
4．数学可以刻画现实世界中的和谐美，人体结构、建筑物、国旗、绘画、优选法等美的共性与黄金分割相关．黄金分割常数 也可以表示成 ，则 （）
A. B.
C. D.
（2）求圆上的点到直线3x﹣4y+23＝0的最小距离.
参考答案
一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）
1、B
【解析】根据充分条件与必要条件的定义判断即可.
【详解】解：因为 为锐角，所以 ，所以 ，所以“ ”是“ 为锐角”的必要条件；
故选B
【点睛】本题考查三角函数的化简，考查诱导公式、二倍角公式的运用，属于基础题
11、A
【解析】直接利用全称命题的否定即可得到结论
【详解】因为命题p： ， ，所以 ： ， .
故选：A.
12、C
【解析】因为函数 的值域为 ，所以 可以取到所有非负数，即 的最小值非正.
【详解】因为 ，
且 的值域为 ，
所以 ，解得 .
故选：C.
二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）
13、12
【解析】 ，展开后利用基本不等式可求
【详解】∵ ， ，且 ，
∴
，
当且仅当 ，即 ， 时取等号，
故 的最小值为12
故答案为：12
14、
【解析】根据圆锥的底面周长等于半圆形纸片的弧长建立等式,再根据半圆形纸片的半径为圆锥的母线长求解即可.
【详解】由题得,半圆形纸片弧长为 ,设圆锥的底面半径为 ,则 ,
故圆锥的高为 .
故答案为：
【点睛】本题主要考查了圆锥展开图中的运算,重点是根据圆锥底面的周长等于展开后扇形的弧长,属于基础题.
15、
【解析】首先保证真数位置 在 上恒成立，得到 的范围要求，再分 和 进行讨论，由复合函数的单调性，得到关于 的不等式，得到答案.
当 时，依题意 ，
若 ， ，解得 或 （舍去）；
若 ， ，产生矛盾，故舍去；
当 时，依题意， 即
解得 ， 产生矛盾，故舍去
综上：存在满足条件的m，n，其中 ，
18、（1）人数为 ， ；
（2）7.42；（3）约为 人.
【解析】（1）由分层抽样等比例性质求高一年级学生的人数，根据直方图及频率和为1求参数a.
9、B
【解析】利用充分条件和必要条件的定义判断.
【详解】当角 为第二象限角时， ，所以 ，故充分；
当 时， 或 ，所以 在第二象限或在第三象限，故不必要；
故选：B
10、B
【解析】利用诱导公式，化简条件及结论，再利用二倍角公式，即可求得结论
【详解】解：∵sin ，∴sin ，
∵sin sin cos（2α ）＝1﹣2sin2 1
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）
1．“ ”是“ 为锐角”的（）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件
【详解】函数 ，
所以真数位置上的 在 上恒成立，
由一次函数保号性可知， ，
当 时，外层函数 为减函数，
要使 为减函数，则 为增函数，
所以 ，即 ，所以 ，
当 时，外层函数 为增函数，
要使 为减函数，则 为减函数，
所以 ，即 ，所以 ，
综上可得 的范围为 .
故答案为 .
【点睛】本题考查由复合函数的单调性，求参数的范围，属于中档题.
由图可知，样本数据落在 的频率为 .
故全校睡眠时间不低于7个小时的学生人数约为 人.
19、（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）由题意得 ， ，即可得到 平面 ，从而得到 ⊥ ，再根据 ，得到 ，证得 平面 ，即可得证；
（2）首先求出 ，利用勾股定理求出 ，即可求出 ，再根据锥体的体积公式计算可得
【详解】解：（1）证明：由题设知 ， ， ， 平面 ，
17．已知二次函数 满足： ，且该函数的最小值为1.
（1）求此二次函数 的解析式；
（2）若函数 的定义域为 （其中 ），问是否存在这样的两个实数m，n，使得函数 的值域也为A？若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由.
18．某中学共有3000名学生，其中高一年级有1200名学生，为了解学生的睡眠情况，现用分层抽样的方法，在三个年级中抽取了200名学生，依据每名学生的睡眠时间（单位：小时），绘制出了如图所示的频率分布直方图.
令 ，解得 ，点 的坐标为
故选：C
【点睛】本题考查点斜式直线方程的应用，考查学生计算能力，属于基础题
3、B
【解析】 ，从而当 时，∴ 的最大值是
考点：与三角函数有关的最值问题
4、A
【解析】利用同角三角函数平方关系，诱导公式，二倍角公式进行求解.
【详解】
故选：A
5、C
【解析】 详解】令 ，则 ，选C.
反之，当 时， ，但是 不是锐角，所以“ ”是“ 为锐角”的非充分条件.
故“ ”是“ 为锐角”必要不充分条件.
故选：B.
【点睛】本题主要考查充分条件与必要条件，与角的余弦在各象限的正负，属于基础题.
2、C
【解析】利用直线过的定点和倾斜角写出直线的方程，求出与 轴的交点，得出答案
【详解】直线 过点 且倾角为 ，则直线方程为 ，化简得
（1）求样本中高一年级学生的人数及图中a的值；
（2）估计样本数据 中位数（保留两位小数）；
（3）估计全校睡眠时间不低于7个小时的学生人数.
19．如图，三棱柱 中，侧棱垂直底面， ， ，点 是棱 的中点
（1）证明：平面 平面 ；
（2）求三棱锥 的体积
20．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，且△ABC为正三角形，D为AC中点
所以 平面 ，
又因为 平面 ，所以
因为 ，
所以 ，即
因为 ， 平面 ，
所以 平面 ，又因为 平面 ，
所以平面 平面
（2）由 ，得 ，所以 ，
所以 ，
所以 的面积 ，
所以
20、（1）见解析； （2）见解析.
【解析】（1）连接 交 于点 ，连接 ，可得 为 中位线， ，结合线面平行的判定定理，得 平面 ；（2）由 底面 ，得 ,正三角形 中，中线 ，结合线面垂直的判定定理，得 平面 ，最后由面面垂直的判定定理，证出平面 平面 .
（2）由频率直方图及中位数的性质估计中位数.
（3）由直方图计算 区间的频率，进而估计全校睡眠时间不低于7个小时的学生人数.
【小问1详解】
由分层抽样等比例的性质，样本中高一年级学生的人数为 .
由 ，可得 .
【小问2详解】
设中位数为x，
由 、 ，知： ，
∴ .得 ，故样本数据的中位数约为7.42.Fra bibliotek【小问3详解】
7、C
【解析】根据函数的解析式，结合零点的存在定理，进行分类讨论判定，即可求解.
【详解】由题意，函数 的定义域为 ，且 的零点为 ，
即 ，解得 ，
又因为 ，
可得 中，有1个负数、两个正数，或3个都 负数，
若 中，有1个负数、两个正数，
可得 ，即 ，
根据零点的存在定理，可得 或 ；
若 中，3个都是负数，则满足 ，
9．“角 为第二象限角”是“ ”的（）
A.充要条件B.充分不必要条件
C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件
10．已知 ,则 （ ）
A. B.
C. D.
11．已知命题p： ， ，则 （）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
12．若函数 的值域为 ，则实数 的取值范围是（）
A. B.
C. D.
二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）
16、
【解析】由题意，利用复合函数的单调性，对数函数、二次函数的性质，求得 的范围
【详解】解： 函数 在 上单调递增，
函数 在 上单调递增，且 ，
，解得 ，即 ，
故答案 ：
三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
17、（1） ；（2）存在， ， .
2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
即 ，此时函数的零点 .
故选：C.
8、D
【解析】根据线面平行的位置关系及线线位置关系的分类及定义，可由已知两直线平行于同一平面，得到两直线的位置关系
【详解】解：若 ，且
则 与 可能平行，也可能相交，也有可能异面
故平行于同一个平面的两条直线的位置关系是平行或相交或异面
故选
【点睛】本题考查的知识点是空间线线关系及线面关系，熟练掌握空间线面平行的位置关系及线线关系的分类及定义是详解本题的关键，属于基础题
（1）求证：直线AB1∥平面BC1D；
（2）求证：平面BC1D⊥平面ACC1A1
21．已知函数 ， 为偶函数
（1）求k的值.
（2）若函数 ， 是否存在实数m使得 的最小值为0，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由
22．已知圆经过（2，5），（﹣2，1）两点，并且圆心在直线y x上.
（1）求圆的标准方程；
①当 时， 在 上单调递增，故 ，不合题意；
②当 时， 图象对称轴为 ，则 在 上单调递增，故 ，不合题意；
5．设函数 ，则当 时， 的取值为
A.-4B.4
C.-10D.10
6．若 ， ， ， ，则 ， ， 的大小关系是
A. B.
C. D.
7．设函数 满足 ， 的零点为 ，则下列选项中一定错误的是（）
A. B.
C. D.
8．平行于同一平面的两条直线的位置关系是
A.平行B.相交或异面
C.平行或相交D.平行、相交或异面
6、D
【解析】分析：利用指数函数与对数函数及幂函数的行贿可得到 ，再构造函数 ，通过分析 和 的图象与性质，即可得到结论.
详解：由题意 在 上单调递减，所以 ，
在 上单调递则，所以 ，
在 上单调递则，所以 ，
令 ，则其为单调递增函数，显然在 上一一对应，
则 ，
所以 ，在坐标系中结合 和 的图象与性质，
【解析】（1）设 ，由 ，求出 值，可得二次函数 的解析式；
（2）分①当 时，②当 时，③当 时，三种情况讨论，可得存在满足条件的 ， ，其中 ，
【详解】解：（1）依题意，可设，
因 ，代入得 ，
所以 .
（2）假设存在这样 m，n，分类讨论如下：
当 时，依题意， 即 两式相减，整理得
，代入进一步得 ，产生矛盾，故舍去；
13．已知 ， ，且 ，则 的最小值为________.
14．用半径为 的半圆形纸片卷成一个圆锥，则这个圆锥的高为__________
15．函数 在 上是x的减函数，则实数a的取值范围是______
16．已知函数 在 上单调递增，则实数a的取值范围为____.
三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
量曲线分别相交于在 和 处，
可见，在 时， 小于 ；在 时， 大于 ；
在 时， 小于 ，
所以 ，所以 ，即 ，综上可知 ，故选D.
点睛：本题主要考查了指数式、对数式和幂式的比较大小问题，本题的难点在于 的大小比较，通过构造指数函数与一次函数的图象与性质分析解决问题是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，试题有一定难度，属于中档试题.
【详解】
（1）连接 交 于点 ，连接 ，则点 为 的中点
为 中点，得 为 中位线，
，
平面 平面 ，
∴直线 平面 ；
（2）证明： 底面 ，
，
∵底面 正三角形， 是 中点
，
平面 ，
平面 ，∴平面 平面
【点睛】本题考查了直三棱柱的性质，线面平行的判定定理、面面垂直的判定定理，，属于中档题．证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面.
21、（1）
（2）存在 使得 的最小值为0
【解析】（1）利用偶函数的定义可得 ，化简可得 对一切 恒成立，进而求得 的值；
（2）由（1）知， ，令 ，则 ，再分 、 、 进行讨论即可得解
【小问1详解】
解：由函数 是偶函数可知， ，即 ，
所以 ，即 对一切 恒成立，
所以 ；
【小问2详解】
解：由（1）知， ， ，令 ，则 ，