2022-2023学年天津市河东区高一(下)期末数学试卷【答案版】

2022-2023学年天津市河东区高一（下）期末数学试卷
一、选择题：（本题共8个小题，每小题4分，共32分．每小题给出的四个选项只有一个符合题目要求） 1．如果两条直线a 与b 有公共点，那么a 与b （ ） A ．平行 B ．是异面直线 C ．共面
D ．垂直
2．若直线a 不平行于平面α，则下列结论成立的是（ ） A ．平面α内不存在与a 平行的直线 B ．平面α内所有直线与a 相交 C ．平面α内所有直线与a 异面
D ．直线a 与平面α至少存在一个公共点
3．已知m 、n 是平面α内的两条直线，则“直线l ⊥m 且l ⊥n ”是“l ⊥α”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．数据x 1，x 2，…，x m 的平均数为x ，数据y 1，y 2，…，y n 的平均数为y ，下列选项中与∑ m i=1x i +∑ n
i=1y i
m+n
相等的为（ ） A ．x +y
B ．
m x +n y
C ．
∑(x i +y i )
m+n
i=1m+n
D ．
n
m+n
x +
m m+n
y
5．某中学调查了200名学生暑期每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于25小时的人数是（ ）
A ．24
B ．48
C ．60
D ．140
6．用木块制作的一个四面体，四个面上分别标记1，2，3，4，重复抛掷这个四面体200次，记录每个面落在地上的次数（如表）．下列说法正确的是（ ）
A ．该四面体一定不是均匀的
B ．再抛掷一次，估计标记2的面落地概率0.72
C ．再抛掷一次，标记4的面落地
D ．再抛掷一次，估计标记3的面落地概率0.2
7．小明同学有5把钥匙，其中2把能打开门．如果随机地取一把钥匙试着开门，把不能开门的钥匙扔掉，那么第二次才能打开门的概率为P 1，如果试过的钥匙又混进去，第二次才能打开门的概率为P 2，则P 1，P 2的值分别为（ ） A ．
310
，
6
25
B ．12
，2
5
C ．12
，
6
25
D ．
3
10
，2
5
8．假设P （A ）＝0.6，P （B ）＝0.7，且A 与B 相互独立，则下列说法正确的个数为（ ） ①P （AB ）＝0.6；②P （A ∪B ）＝1.3；③P （AB ）＝0.42；④P(AB)=0.28；⑤P(AB)=0.5 A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）
9．某班级有男生28人，女生21人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方式从中抽出一个样本，其中女生抽取3人，则样本容量为 ．
10．从长度为1，2，4，5，7的5条线段中任取3条，这三条线段能构成一个三角形的概率为 ． 11．一个袋子中有n 个红球，4个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个绿球的概率为1
6，则n 的
值为 ．
12．数学兴趣小组的四名同学各自抛掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，四名同学的部分统计结果如下：
甲同学：中位数为3，方差为2.8；乙同学：平均数为3.4，方差为1.04； 丙同学：中位数为3，众数为3；丁同学：平均数为3，中位数为2． 根据统计结果，数据中肯定没有出现点数6的是 同学．
13．在三棱锥P ﹣ABC 中（如图所示）P A ＝PB ＝AC ＝AB ＝BC ＝2，PC =√5，则二面角P ﹣AB ﹣C 的余弦值为 ．
14．下列命题中正确的为 （写出命题序号）．
①如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β；
②四边形可以确定一个平面；
③如果平面α∥平面β且直线a∥平面β，那么直线a∥平面α；
④过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线垂直；
⑤过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线平行．
三、解答题：（本大题5个题，共44分，写出必要的解答过程）
15．（8分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1．
（1）写出正方体中与平面ABC1D1平行的棱和与平面ABC1D1垂直的平面（不需证明）；
（2）求A1D1和平面ABC1D1所成的角的大小．
16．（9分）三个家庭组织一次聚会，每个家庭恰好都有一男一女两个孩子，如果从6个孩子中随机地选取2人参加智力游戏，那么，
（1）写出样本空间；
（2）求下列事件的概率：
（ⅰ）A＝“2个孩子来自于同一个家庭”；
（ⅱ）B＝“2个孩子都是男孩”
17．（9分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，侧面P AD是正三角形，侧面P AD⊥平面ABCD，M，N为PD，P A的中点．
（1）求证：MN∥平面PBC；
（2）求证：AM⊥平面PCD．
18．（9分）人类的四种血型与基因类型的对应为：O型的基因类型为ii，A型的基因类型为ai或aa，B型的基因类型为bi或bb，AB型的基因类型为ab．其中a和b是显性基因，i是隐性基因．孩子分别继承
父母一个基因，组成一个基因类型，则：
（1）若一对夫妻的血型一个是A型，一个是AB型，分析他们子女的血型是O，A，B或AB型的概率；
（2）父母为哪种血型时，孩子的血型不可能为O型（写出结论即可）．
19．（9分）《天津日报》2022年11月24日报道，我市扎实推进实施深入打好污染防治攻坚战“1+3+8”
行动方案，生态环境质量持续稳定向好，特别是大气环境质量改善成效显著．记者从市生态环境局获悉，1至10月份，全市PM2.5平均浓度为34微克/立方米，同比改善8.1%，优良天数222天，同比增加3天，重污染天2天，同比减少4天，为10年来最好水平．小明所在的数学兴趣小组根据2022年8月天津市空气质量指数（AQI趋势图）进行数据统计，分析空气质量指数在不同范围内的天数占一个月天数的比例，步骤为“求极差”“决定组距与组数”“数据分组”“列频率分布表”“画频率分布直方图”，请完成上述步骤，绘制频率分布直方图（横轴为空气质量指数，纵轴保留两位有效数字）．
2022-2023学年天津市河东区高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本题共8个小题，每小题4分，共32分．每小题给出的四个选项只有一个符合题目要求） 1．如果两条直线a 与b 有公共点，那么a 与b （ ） A ．平行 B ．是异面直线 C ．共面
D ．垂直
解：由两条直线a 与b 有公共点，可得两直线为相交直线， 根据平面的性质，可得两直线a ，b 在同一个平面内． 故选：C ．
2．若直线a 不平行于平面α，则下列结论成立的是（ ） A ．平面α内不存在与a 平行的直线 B ．平面α内所有直线与a 相交 C ．平面α内所有直线与a 异面
D ．直线a 与平面α至少存在一个公共点
解：由于直线a 不平行于平面α，所以直线a 与平面α相交或直线a 在平面α内， 直线a 在平面α内时，平面α内存在与a 平行的直线，故A 错误； 直线a 与平面α相交时，平面α内存在直线与a 异面，故B 错误； 直线a 在平面α内时，平面α内存在与a 平行的相交，故C 错误；
直线a 与平面α相交或直线a 在平面α内，直线a 与平面α至少存在一个公共点， 故D 正确． 故选：D ．
3．已知m 、n 是平面α内的两条直线，则“直线l ⊥m 且l ⊥n ”是“l ⊥α”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解：由m 、n 是平面α内的两条直线，l ⊥α⇒直线l ⊥m 且l ⊥n ，反之不成立，因为m 与n 不一定垂直． ∴“直线l ⊥m 且l ⊥n ”是“l ⊥α”的必要不充分条件． 故选：B ．
4．数据x 1，x 2，…，x m 的平均数为x ，数据y 1，y 2，…，y n 的平均数为y ，下列选项中与∑ m i=1x i +∑ n
i=1y i
m+n
相等的为（ ） A ．x +y
B ．
m m+n x +n m+n y
C ．
∑(x i +y i )
m+n
i=1m+n
D ．
n
x +
m y
解：因为x =
1m ∑ m i=1x i ，y =1n ∑ n i=1y i
， 所以∑ m i=1x i =mx ，∑ n
i=1y i =ny ，
则
∑ m i=1x i +∑ n i=1y i
m+n
=
mx+ny m+n
=
mx m+n
+
ny m+n
．
故选：B ．
5．某中学调查了200名学生暑期每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于25小时的人数是（ ）
A ．24
B ．48
C ．60
D ．140
解：由频率分布直方图可知自习时间不少于25小时的频率为（0.08+0.04）×2.5＝0.3， 故这200名学生中每周的自习时间不少于25小时的人数为0.3×200＝60（人）． 故选：C ．
6．用木块制作的一个四面体，四个面上分别标记1，2，3，4，重复抛掷这个四面体200次，记录每个面落在地上的次数（如表）．下列说法正确的是（ ）
A ．该四面体一定不是均匀的
B ．再抛掷一次，估计标记2的面落地概率0.72
C ．再抛掷一次，标记4的面落地
D ．再抛掷一次，估计标记3的面落地概率0.2
解：对于A 选项，就算四面体是均匀的，理论上每个面落地的次数仍旧可能不一样， 在均匀的条件下，随着试验次数的增多，每个面落地的次数将会变得越来越接近，
换句话说，即使是均匀的四面体，仅仅在200次试验下，得到落地的面的统计结果也可能不一样，故A 错误；
BCD 选项，由于这200次实验2，3，4落在底面的频率分别为
36
200
，
42200
，
78200
，即0.18，0.21，0.39，
对于B 选项，估计的概率0.72和频率0.18差别过大，故B 错误；
对于C 选项，认为标记4的面必定落地，是必然事件，概率为1，但频率只有0.39， 因此不能认为必然发生，故C 错误；
对于D 选项，标记3的面落地概率估计是0.2，和实验频率0.21非常接近，D 选项正确． 故选：D ．
7．小明同学有5把钥匙，其中2把能打开门．如果随机地取一把钥匙试着开门，把不能开门的钥匙扔掉，那么第二次才能打开门的概率为P 1，如果试过的钥匙又混进去，第二次才能打开门的概率为P 2，则P 1，P 2的值分别为（ ） A ．
310
，
6
25
B ．12
，2
5
C ．12
，
6
25
D ．
3
10
，2
5
解：将5把钥匙分别标号为1，2，3，4，5，其中标号为4，5的钥匙是能打开门的，标号为1，2，3的钥匙是不能打开门的，
如果随机地取一把钥匙试着开门，把不能开门的钥匙扔掉，即为不放回地抽取，则P 1=3
5×1
2=3
10， 如果试过的钥匙又混进去，即为有放回地抽取，则P 2=3
5×2
5=6
25． 故选：A ．
8．假设P （A ）＝0.6，P （B ）＝0.7，且A 与B 相互独立，则下列说法正确的个数为（ ） ①P （AB ）＝0.6；②P （A ∪B ）＝1.3；③P （AB ）＝0.42；④P(AB)=0.28；⑤P(AB)=0.5 A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解：由P （A ）＝0.6，P （B ）＝0.7，且事件A 与B 相互独立， 则A 与B 相互独立，A 与B 相互独立，
则P （AB ）＝P （A ）P （B ）＝0.6×0.7＝0.42，所以①不正确，③正确； 又由P(AB)=P(A)P(B)=(1−0.6)×0.7=0.28，所以④正确； 由P(AB)=P(A)P(B)=(1−0.6)(1−0.7)=0.12，所以⑤不正确； 又由事件A 与B 不一定时互斥事件，
所以P （A ∪B ）与P （A ）+P （B ）不一定相等，所以②不正确． 故选：B ．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）
9．某班级有男生28人，女生21人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方式从中抽出一个样本，其中女生抽取3人，则样本容量为 7 ．
解：依题意，该样本的样本容量为3
21
×(28+21)=7．
故答案为：7．
10．从长度为1，2，4，5，7的5条线段中任取3条，这三条线段能构成一个三角形的概率为
15
．
解：从5条线段中任取3条线段的基本事件有{（1，2，4），（1，2，5），（1，2，7），（1，4，5），（1，4，7），（1，5，7），（2，4，5），（2，4，7），（2，5，7），（4，5，7）}， 总数为10，能构成三角形的情况有：（2，4，5），（4，5，7），共2个基本事件， 故这三条线段能构成一个三角形的概率为210
=1
5
．
故答案为：1
5．
11．一个袋子中有n 个红球，4个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个绿球的概率为1
6
，则n 的
值为 5 ．
解：依题意得，根据古典概型的计算公式，1
6
=
C 42C n+4
2，
即C n+42=6C 42=36，即
(n+4)(n+3)
2
=36，
整理可得（n +12）（n ﹣5）＝0， 解得n ＝5（负值舍去）． 故答案为：5．
12．数学兴趣小组的四名同学各自抛掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，四名同学的部分统计结果如下：
甲同学：中位数为3，方差为2.8；乙同学：平均数为3.4，方差为1.04； 丙同学：中位数为3，众数为3；丁同学：平均数为3，中位数为2． 根据统计结果，数据中肯定没有出现点数6的是 乙 同学．
解：对于甲同学，当投掷骰子出现结果为1，2，3，3，6时，满足中位数为3，
平均数为：x =1
5(1+2+3+3+6)=3，方差为S 2=15
[(1−3)2+(2−3)2+(3−3)2+(3−3)2+(6−3)2]=2.8，可以出现点数6；
对于乙同学，若平均数为3.4，且出现点数6，则方差S 2＞1
5(6−3.4)2=1.352＞1.04， 所以当平均数为3.4，方差为1.04时，一定不会出现点数6；
对于丙同学，当掷骰子出现的结果为1，2，3，3，6时，满足中位数为3，众数为3，可以出现点数6； 对于丁同学，当投掷骰子出现的结果为2，2，2，3，6时，满足平均数为3，中位数为2，可以出现点数6，综上，根据统计结果，数据中肯定没有出现点数6的是乙同学．
故答案为：乙．
13．在三棱锥P ﹣ABC 中（如图所示）P A ＝PB ＝AC ＝AB ＝BC ＝2，PC =√5，则二面角P ﹣AB ﹣C 的余弦值为
16
．
解：如图，取AB 的中点M ，连接PM ，CM ，
在△P AB 中，P A ＝PB ＝AB ＝2，所以PM ⊥AB ，PM =√3， 同理可得，CM ⊥AB ，CM =√3，
所以∠PMC 即为二面角P ﹣AB ﹣C 的平面角． 因为PM =CM =√3，PC =√5，
在△PMC 中，由余弦定理得cos ∠PMC =PM 2+CM 2−PC 2
2PM×CM =3+3−52×3×3=1
6
，
所以二面角P ﹣AB ﹣C 的余弦值为1
6
．
故答案为：1
6
．
14．下列命题中正确的为 ①④ （写出命题序号）．
①如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β； ②四边形可以确定一个平面；
③如果平面α∥平面β且直线a ∥平面β，那么直线a ∥平面α； ④过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线垂直； ⑤过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线平行．
解：①如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β，故①正确； ②空间四边形不能确定一个平面，故②错误；
③如果平面α∥平面β且直线a∥平面β，那么直线直线a⊂平面α或a∥平面α，故③错误；
④过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线垂直，故④正确；
⑤过直线外一点，有无数个平面与这条直线平行，故⑤错误．
故答案为：①④．
三、解答题：（本大题5个题，共44分，写出必要的解答过程）
15．（8分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1．
（1）写出正方体中与平面ABC1D1平行的棱和与平面ABC1D1垂直的平面（不需证明）；
（2）求A1D1和平面ABC1D1所成的角的大小．
解：（1）正方体中与平面ABC1D1平行的棱有A1B1，CD，
正方体中与平面ABC1D1垂直的平面有平面BCC1B1，平面ADD1A1；
（2）连接A1D，交AD1于点O，
由正方体的性质可知，A1D⊥AD1，A1D⊥C1D1，
又AD1∩C1D1＝D1，AD1⊂平面ABC1D1，C1D1⊂平面ABC1D1，
所以A1D⊥平面ABC1D1，
则A1D1和平面ABC1D1所成的角即为∠A1D1O，
又△A1D1O为等腰直角三角形，则∠A1D1O＝45°，
即A1D1和平面ABC1D1所成的角的大小为45°．
16．（9分）三个家庭组织一次聚会，每个家庭恰好都有一男一女两个孩子，如果从6个孩子中随机地选取2人参加智力游戏，那么，
（1）写出样本空间；
（2）求下列事件的概率：
（ⅰ）A＝“2个孩子来自于同一个家庭”；
（ⅱ）B＝“2个孩子都是男孩”
解：（1）同一个家庭的男、女孩分别记为x i，y i，i＝1，2，3，
则样本空间为：Ω＝{x1y1，x1y2，x1y3，x2y1，x2y2，x2y3，x3y1，x3y2，x3y3，x1x2，x1x3，x2x3，y1y2，y1y3，y2y3}．
（2）（ⅰ）由（1）知，n（Ω）＝15，
因为A＝{x1y1，x2y2，x3y3}，
所以n（A）＝3，
从而P(A)=n(A)
n(Ω)
=
3
15
=
1
5
；
（ⅱ）由（1）知，n（Ω）＝15，因为B＝{x1x2，x1x3，x2x3}，
所以n（B）＝3，
从而P(B)=n(B)
n(Ω)
=
3
15
=
1
5
．
17．（9分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，侧面P AD是正三角形，侧面P AD⊥平面ABCD，M，N为PD，P A的中点．
（1）求证：MN∥平面PBC；
（2）求证：AM⊥平面PCD．
（1）证明：在△P AD中，M，N为PD，P A的中点，
可得MN∥AD，
又因为ABCD为正方形，
可得AD∥BC，
所以MN∥BC，
因为BC⊂平面PBC，MN⊄平面PBC，
所以MN∥平面PBC．
（2）证明：因为侧面P AD⊥平面ABCD，且侧面P AD∩平面ABCD＝AD，
又因为CD ⊂平面ABCD ，且CD ⊥AD ，所以CD ⊥平面P AD ， 因为AM ⊂平面P AD ， 所以CD ⊥AM ，
由△P AD 为等边三角形，且M 为PD 的中点， 所以AM ⊥PD ，
因为PD ∩CD ＝D 且PD ，CD ⊂平面PCD ， 所以AM ⊥平面PCD ．
18．（9分）人类的四种血型与基因类型的对应为：O 型的基因类型为ii ，A 型的基因类型为ai 或aa ，B 型的基因类型为bi 或bb ，AB 型的基因类型为ab ．其中a 和b 是显性基因，i 是隐性基因．孩子分别继承父母一个基因，组成一个基因类型，则：
（1）若一对夫妻的血型一个是A 型，一个是AB 型，分析他们子女的血型是O ，A ，B 或AB 型的概率； （2）父母为哪种血型时，孩子的血型不可能为O 型（写出结论即可）． 解：（1）若一对夫妻的血型一个是A 型，一个是AB 型，
则他们子女血型的基因的可能结果如下：aa ，ab ，ai ，bi ，aa ，ab ，aa ，ab 共8个，
O 型的基因类型有0个，A 型的基因类型有4个，B 型的基因类型有1个，AB 型的基因类型有3个， 故他们子女的血型是O 的概率为0，他们子女的血型是A 的概率为4
8
=1
2，
他们子女的血型是B 型的概率为18
，他们子女的血型是AB 型的概率为3
8
；
（2）当父母的血型一个是A 型，一个是AB 型时，孩子的血型不可能为O 型；
当父母的血型都是AB 型时，子女血型的基因的可能结果如下：aa ，ab ，ab ，bb 共4个，O 型的基因类型有0个，
故子女的血型是O 的概率为0，即孩子的血型不可能为O 型；
当父母的血型一个是B 型，一个是AB 型时，则子女血型的基因的可能结果如下：ab ，bb ，ai ，bi ，ab ，bb ，ab ，bb 共8个，
O 型的基因类型有0个，故子女的血型是O 的概率为0，即孩子的血型不可能为 O 型；
当父母的血型一个是O 型，一个是AB 型时，则子女血型的基因的可能结果如下：ai ，ai ，ai ，bi 共4个， O 型的基因类型有0个，
故子女的血型是O 的概率为0，即孩子的血型不可能为O 型； 综上，父母有一方是AB 血型时，孩子的血型不可能为O 型．
19．（9分）《天津日报》2022年11月24日报道，我市扎实推进实施深入打好污染防治攻坚战“1+3+8”行动方案，生态环境质量持续稳定向好，特别是大气环境质量改善成效显著．记者从市生态环境局获悉，
1至10月份，全市PM2.5平均浓度为34微克/立方米，同比改善8.1%，优良天数222天，同比增加3天，重污染天2天，同比减少4天，为10年来最好水平．小明所在的数学兴趣小组根据2022年8月天津市空气质量指数（AQI趋势图）进行数据统计，分析空气质量指数在不同范围内的天数占一个月天数的比例，步骤为“求极差”“决定组距与组数”“数据分组”“列频率分布表”“画频率分布直方图”，请完成上述步骤，绘制频率分布直方图（横轴为空气质量指数，纵轴保留两位有效数字）．
解：已知空气质量指数的最大值为64，最小值为23，
所以极差为64﹣23＝41，
则组距为7，组数为6，
频率分布表如下：
由频率分布表可得频率分布直方图，如下所示：。