八年级(上)期中数学试卷 (解析版)

2018-2019学年八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36分）
1．下列每组数分别是三根木棒的长度，能用它们摆成三角形的是（）A．3cm，4cm，8cm B．8cm，7cm，15cm
C．5cm，5cm，11cm D．13cm，12cm，20cm
2．下列图形中，不是轴对称图形的是（）
A．B．
C．D．
3．将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠α的度数为（）
A．75°B．105°C．135°D．165°
4．用直尺和圆规作一个角等于已知角的作图痕迹如图所示，则作图的依据是（）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
5．如图，已知EB＝FC，∠EBA＝∠FCD，下列哪个条件不能判定△ABE≌△DCF（）
A．∠E＝∠F B．∠A＝∠D C．AE＝DF D．AC＝DB
6．如图OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，D在OB上，PC＝3，则PD的大小关系是（）
A．PD≥3 B．PD＝3 C．PD≤3 D．不能确定
7．如图，△ABC中，AB+BC＝10，AC的垂直平分线分别交AB、AC于点D和E，则△BCD的周长是（）
A．6 B．8 C．10 D．无法确定
8．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，以C为圆心，CB的长为半径作圆弧，交AB于点D，连接CD，则∠ACD等于（）
A．30°B．45°C．60°D．75°
9．如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3＝（）
A．90°B．135°C．150°D．180°
10．如图所示，小华从A点出发，沿直线前进10米后左转24°，再沿直线前进10米，又向左转24°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走的路程是（）
A．140米B．150米C．160米D．240米
11．下列说法：
①关于某条直线对称的两个三角形是全等三角形
②两个全等的三角形关于某条直线对称
③到某条直线距离相等的两个点关于这条直线对称
④如果图形甲和图形乙关于某条直线对称，则图形甲是轴对称图形
其中，正确说法个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
12．如图，是由大小一样的小正方形组成的网格，△ABC的三个顶点均落在小正方形的顶点上．在网格上能画出的三个顶点都落在小正方形的顶点上，且与△ABC成轴对称的三角形共有（）
A．5个B．4个C．3个D．2个
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
13．已知等腰三角形的两个内角之和为100°，顶角度数为．
14．如图，DB是△ABC的高，AE是角平分线，∠BAE＝26°，则∠BFE＝．
15．如图，∠A＝∠E，AC⊥BE，AB＝EF，BE＝10，CF＝4，则AC＝．
16．如图，△ABC中，点D在边BC上，若AB＝AD＝CD，∠BAD＝100°，则∠C＝度．
17．如图，在△ABC中，∠A＝64°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；∠A2BC和∠A2CD的平分线交于点A3，则∠A3＝．
18．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是12，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E、F，若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则△BDM的周长的最小值为．
三、解答题（本大题共7小题，共68.0分）
19．作图题，求作一点P，使PM＝PN，且到∠AOB的两边距离也相等．
20．如果一个多边形的内角和是它的外角和的6倍，那么这个多边形是几边形．
21．已知：如图，在平面直角坐标系中．
（1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出△A1B1C1三个顶点的坐标：A1（），B1（），C1（）；
（2）直接写出△ABC的面积为；
（3）在x轴上画点P，使PA+PC最小．
22．如图，小明在A处看见前面山上有个气象站，仰角为15°，当笔直向山行4千米时，小明看气象站的仰角为30°．你能算处这个气象站离地面的高度CD吗？是多少？
23．如图，点E在CD上，BC与AE交于点F，AB＝CB，BE＝BD，∠1＝∠2．（1）求证：△ABE≌△CBD；
（2）证明：∠1＝∠3．
24．如图，四边形ABCD中，∠ABC+∠D＝180°，AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD．试说明：（1）△CBE≌△CDF；
（2）AB+DF＝AF．
25．如图1，在△ABC中，AE⊥BC于E，AE＝BE，D是AE上的一点，且DE＝CE，连接BD，
CD．
（1）试判断BD与AC的位置关系和数量关系，并说明理由；
（2）如图2，若将△DCE绕点E旋转一定的角度后，试判断BD与AC的位置关系和数量关系是否发生变化，并说明理由；
（3）如图3，若将（2）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变．
①试猜想BD与AC的数量关系，请直接写出结论；
②你能求出BD与AC的夹角度数吗？如果能，请直接写出夹角度数；如果不能，请说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．下列每组数分别是三根木棒的长度，能用它们摆成三角形的是（）A．3cm，4cm，8cm B．8cm，7cm，15cm
C．5cm，5cm，11cm D．13cm，12cm，20cm
【分析】根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，即两短边的和大于最长的边，即可作出判断．
【解答】解：A、3+4＜8，故以这三根木棒不可以构成三角形，不符合题意；
B、8+7＝15，故以这三根木棒不能构成三角形，不符合题意；
C、5+5＜11，故以这三根木棒不能构成三角形，不符合题意；
D、12+13＞20，故以这三根木棒能构成三角形，符合题意．
故选：D．
2．下列图形中，不是轴对称图形的是（）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形进行分析即可．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项符合题意；
B、是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：A．
3．将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠α的度数为（）
A．75°B．105°C．135°D．165°
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠1，再求出∠α即可．
【解答】解：由三角形的外角性质得，∠1＝45°+90°＝135°，
∠α＝∠1+30°＝135°+30°＝165°．
故选：D．
4．用直尺和圆规作一个角等于已知角的作图痕迹如图所示，则作图的依据是（）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
【分析】由作法可知，两三角形的三条边对应相等，所以利用SSS可证得△OCD≌△O′C′D′，那么∠A′O′B′＝∠AOB．
【解答】解：由作法易得OD＝O′D'，OC＝0′C'，CD＝C′D'，那么△OCD≌△O′C′D′，可得∠A′O′B′＝∠AOB，所以利用的条件为SSS．
故选：A．
5．如图，已知EB＝FC，∠EBA＝∠FCD，下列哪个条件不能判定△ABE≌△DCF（）A．∠E＝∠F B．∠A＝∠D C．AE＝DF D．AC＝DB
【分析】根据判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL进行分析即可．
【解答】解：A、可利用ASA判定△ABE≌△DCF，故此选项不合题意；
B、可利用AAS判定△ABE≌△DCF，故此选项不合题意；
C、不能判定△ABE≌△DCF，故此选项符合题意；
D、可利用SAS判定△ABE≌△DCF，故此选项不合题意；
故选：C．
6．如图OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，D在OB上，PC＝3，则PD的大小关系是（）
A．PD≥3 B．PD＝3 C．PD≤3 D．不能确定
【分析】过点P作PE⊥OB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PE＝PC，再根据垂线段最短解答．
【解答】解：如图，过点P作PE⊥OB于E，
∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，
∴PE＝PC＝3，
∵D在OB上，
∴PD≥PE，
∴PD≥3．
故选：A．
7．如图，△ABC中，AB+BC＝10，AC的垂直平分线分别交AB、AC于点D和E，则△BCD的周长是（）
A．6 B．8 C．10 D．无法确定
【分析】垂直平分线可确定两条边相等，然后再利用线段之间的转化进行求解．
【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，∴AD＝DC，
△BCD的周长＝BC+BD+DC＝BC+BD+AD＝10
故选：C．
8．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，以C为圆心，CB的长为半径作圆弧，交AB于点D，连接CD，则∠ACD等于（）
A．30°B．45°C．60°D．75°
【分析】根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC＝∠ACB，再求出∠BCD，然后根据∠ACD ＝∠ABC﹣∠BCD计算即可得解．
【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝30°，
∴∠ACB＝∠ABC＝（180°﹣∠A）＝（180°﹣30°）＝75°，
∵以C为圆心，BC的长为半径圆弧，交AC于点D，
∴BC＝CD，
∴∠BCD＝180°﹣2∠ACB＝180°﹣2×75°＝30°，
∴∠ACD＝∠ABC﹣∠BCD＝75°﹣30°＝45°．
故选：B．
9．如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3＝（）
A．90°B．135°C．150°D．180°
【分析】标注字母，利用“边角边”判断出△ABC和△DEA全等，根据全等三角形对应角相等可得∠1＝∠4，然后求出∠1+∠3＝90°，再判断出∠2＝45°，然后计算即可得解．【解答】解：如图，在△ABC和△DEA中，
，
∴△ABC≌△DEA（SAS），
∴∠1＝∠4，
∵∠3+∠4＝90°，
∴∠1+∠3＝90°，
又∵∠2＝45°，
∴∠1+∠2+∠3＝90°+45°＝135°．
故选：B．
10．如图所示，小华从A点出发，沿直线前进10米后左转24°，再沿直线前进10米，又向左转24°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走的路程是（）
A．140米B．150米C．160米D．240米
【分析】多边形的外角和为360°每一个外角都为24°，依此可求边数，再求多边形的周长．
【解答】解：∵多边形的外角和为360°，而每一个外角为24°，
∴多边形的边数为360°÷24°＝15，
∴小华一共走了：15×10＝150米．
故选：B．
11．下列说法：
①关于某条直线对称的两个三角形是全等三角形
②两个全等的三角形关于某条直线对称
③到某条直线距离相等的两个点关于这条直线对称
④如果图形甲和图形乙关于某条直线对称，则图形甲是轴对称图形
其中，正确说法个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】利用轴对称图形的性质逐一分析探讨得出答案即可．
【解答】解：①关于某条直线对称的两个三角形是全等三角形，是正确的；
②两个全等的三角形不一定组成轴对称图形，原题是错误的；
③对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，且到这条直线距离相等的两个点关于
这条直线对称，原题错误；
④如果图形甲和图形乙关于某条直线对称，则图形甲不一定是轴对称图形，原题错误．
正确的说法有1个．
故选：A．
12．如图，是由大小一样的小正方形组成的网格，△ABC的三个顶点均落在小正方形的顶点上．在网格上能画出的三个顶点都落在小正方形的顶点上，且与△ABC成轴对称的三角形共有（）
A．5个B．4个C．3个D．2个
【分析】认真读题，观察图形，根据图形特点先确定对称轴，再根据对称轴找出相应的三角形．
【解答】解：如图：与△ABC成轴对称的三角形有：
①△FCD关于CG对称；②△GAB关于EH对称；
③△AHF关于AD对称；④△EBD关于BF对称；
⑤△BCG关于AG的垂直平分线对称．共5个．
故选：A．
二．填空题（共5小题）
13．已知等腰三角形的两个内角之和为100°，顶角度数为20°或80°．【分析】题中没有指明这两个角是都是底角还是一个底角一个顶角，故应该分两种情况进行分析：100°是顶角和一底角的和；100°是两底角的和．
【解答】解：①当100°是顶角和一底角的和，则
另一个底角＝180°﹣100°＝80°，所以顶角＝100°﹣80°＝20°；
②当100°是两底角的和，则
顶角＝180°﹣100°＝80°；
综上所述，此等腰三角形的顶角为：20°或80°．
故答案为：20°或80°
14．如图，DB是△ABC的高，AE是角平分线，∠BAE＝26°，则∠BFE＝64°．
【分析】由角平分线的定义可得，∠FAD＝∠BAE＝26°，而∠AFD与∠FAD互余，与∠BFE 是对顶角，故可求得∠BFE的度数．
【解答】解：∵AE是角平分线，∠BAE＝26°，
∴∠FAD＝∠BAE＝26°，
∵DB是△ABC的高，
∴∠AFD＝90°﹣∠FAD＝90°﹣26°＝64°，
∴∠BFE＝∠AFD＝64°．
故答案为：64°．
15．如图，∠A＝∠E，AC⊥BE，AB＝EF，BE＝10，CF＝4，则AC＝ 6 ．
【分析】由AAS证明△ABC≌△EFC，得出对应边相等AC＝EC，BC＝CF＝4，求出EC，即可得出AC的长．
【解答】解：∵AC⊥BE，
∴∠ACB＝∠ECF＝90°，
在△ABC和△EFC中，，
∴△ABC≌△EFC（AAS），
∴AC＝EC，BC＝CF＝4，
∵EC＝BE﹣BC＝10﹣4＝6，
∴AC＝EC＝6；
故答案为：6．
16．如图，△ABC中，点D在边BC上，若AB＝AD＝CD，∠BAD＝100°，则∠C＝20 度．
【分析】根据题意可知∠ADB的度数，然后再利用∠ADC是三角形ADC的一个外角即可求得答案．
【解答】解：∵若AB＝AD＝CD，∠BAD＝100°，
∴∠B＝∠ADC＝（180°﹣100°）＝40°，
又∵在等腰三角形ADC中，∠ADB是三角形ADC的外角，
∴∠BDA＝∠DAC+∠C，
又∵∠C＝∠DAC，
∴∠C＝×40°＝20°，
故答案为：20．
17．如图，在△ABC中，∠A＝64°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和
∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；∠A2BC和∠A2CD的平分线交于点A3，则∠A3＝8°．
【分析】利用角平分线的性质、三角形外角性质，易证∠A1＝∠A，进而可求∠A1，由于∠A1＝∠A，∠A2＝∠A1＝∠A，故∠A3＝∠A2＝∠A．
【解答】解：∵A1B平分∠ABC，A1C平分∠ACD，
∴∠A1BC＝∠ABC，∠A1CA＝∠ACD，
∵∠A1CD＝∠A1+∠A1BC，
即∠ACD＝∠A1+∠ABC，
∴∠A1＝（∠ACD﹣∠ABC），
∵∠A+∠ABC＝∠ACD，
∴∠A＝∠ACD﹣∠ABC，
∴∠A1＝∠A，
∴∠A1＝×64°＝32°，
∵∠A1＝∠A，∠A2＝∠A1＝∠A，
∴∠A3＝∠A2＝∠A＝×64°＝8°．
故答案为：8°．
18．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是12，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E、F，若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则△BDM的周长的最小值为8 ．
【分析】连接AD交EF与点M′，连结AM，由线段垂直平分线的性质可知AM＝MB，则BM+DM ＝AM+DM，故此当A、M、D在一条直线上时，MB+DM有最小值，然后依据要三角形三线合一的性质可证明AD为△ABC底边上的高线，依据三角形的面积为12可求得AD的长．【解答】解：连接AD交EF与点M′，连结AM．
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC•AD＝×4×AD＝12，解得AD＝6，
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴AM＝BM．
∴BM+MD＝MD+AM．
∴当点M位于点M′处时，MB+MD有最小值，最小值6．
∴△BDM的周长的最小值为DB+AD＝2+6＝8．
三．解答题（共7小题）
19．作图题，求作一点P，使PM＝PN，且到∠AOB的两边距离也相等．
【分析】利用角平分线的作法以及线段垂直平分线的作法分别得出进而求出其交点即可．【解答】解：如图所示：P点即为所求．
20．如果一个多边形的内角和是它的外角和的6倍，那么这个多边形是几边形．【分析】一个多边形的内角和是它的外角和的4倍，而外角和是360°，则内角和是6×360°．n边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，设这个多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数．
【解答】解：设这个多边形有n条边．
由题意得：（n﹣2）×180°＝360°×6，
解得n＝14．
则这个多边形是十四边形．
21．已知：如图，在平面直角坐标系中．
（1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出△A1B1C1三个顶点的坐标：A1（0，﹣
2 ），B1（﹣2，﹣4 ），C1（﹣4，﹣1 ）；
（2）直接写出△ABC的面积为 5 ；
（3）在x轴上画点P，使PA+PC最小．
【分析】（1）直接利用轴对称图形的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）直接利用△ABC所在矩形面积减去周围三角形面积进而得出答案；
（3）直接利用轴对称求最短路线的方法得出P点位置．
【解答】解：（1）如图所示：A1（0，﹣2），B1（﹣2，﹣4），C1（﹣4，﹣1）；
故答案为：（0，﹣2），（﹣2，﹣4），（﹣4，﹣1）；
（2）△ABC的面积为：12﹣×1×4﹣×2×2﹣×2×3＝5；
故答案为：5；
（3）如图所示：点P即为所求．
22．如图，小明在A处看见前面山上有个气象站，仰角为15°，当笔直向山行4千米时，小明看气象站的仰角为30°．你能算处这个气象站离地面的高度CD吗？是多少？
【分析】由∠A与∠CBD的关系，可求出BC的长，进而可求出高CD的值．
【解答】解：∵∠A＝15°，∠CBD＝30°，
∴∠ACB＝∠A＝15°，
∴BC＝AB＝4千米
在直角△BCD中，则CD＝BC＝2千米．
23．如图，点E在CD上，BC与AE交于点F，AB＝CB，BE＝BD，∠1＝∠2．（1）求证：△ABE≌△CBD；
（2）证明：∠1＝∠3．
【分析】（1）由已知角相等，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS即可得证；
（2）利用全等三角形对应角相等得到一对角相等，再由对顶角相等及内角和定理即可得证．
【解答】证明：（1）∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠CBE＝∠2+∠CBE，即∠ABE＝∠CBD，
在△ABE和△CBD中，
，
∴△ABE≌△CBD（SAS）；
（2）∵△ABE≌△CBD，
∴∠A＝∠C，
∵∠AFB＝∠CFE，
∴∠1＝∠3．
24．如图，四边形ABCD中，∠ABC+∠D＝180°，AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD．试说明：（1）△CBE≌△CDF；
（2）AB+DF＝AF．
【分析】（1）根据角平分线的性质可得到CE＝CF，根据余角的性质可得到∠EBC＝∠D，已知CE⊥AB，CF⊥AD，从而利用AAS即可判定△CBE≌△CDF．
（2）已知EC＝CF，AC＝AC，则根据HL判定△ACE≌△ACF得AE＝AF，最后证得AB+DF＝AF即可．
【解答】（1）证明：∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD
∴CE＝CF
∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠EBC＝180°
∴∠EBC＝∠D
∵∠CEB＝∠CFD＝90°
∴△CBE≌△CDF
（2）证明：∵CE＝CF，AC＝AC
∴△ACE≌△ACF
∴AE＝AF
∴AB+DF＝AB+BE＝AE＝AF
25．如图1，在△ABC中，AE⊥BC于E，AE＝BE，D是AE上的一点，且DE＝CE，连接BD，CD．
（1）试判断BD与AC的位置关系和数量关系，并说明理由；
（2）如图2，若将△DCE绕点E旋转一定的角度后，试判断BD与AC的位置关系和数量关系是否发生变化，并说明理由；
（3）如图3，若将（2）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变．
①试猜想BD与AC的数量关系，请直接写出结论；
②你能求出BD与AC的夹角度数吗？如果能，请直接写出夹角度数；如果不能，请说明
理由．
【分析】（1）延长BD交AC于F，求出∠AEB＝∠AEC＝90°，证出△BED≌△AEC，推出BD＝AC，∠DBE＝∠CAE，根据∠EBD+∠BDE＝90°推出∠ADF+∠CAE＝90°，求出∠AFD＝90°即可；
（2）求出∠BED＝∠AEC，证出△BED≌△AEC，推出BD＝AC，∠BDE＝∠ACE，根据∠ACE+∠EOC＝90°求出∠BDE+∠DOF＝90°，求出∠DFO＝90°即可；
（3））①如图3中，结论：BD＝AC，只要证明△BED≌△AEC即可；
②求出∠BED＝∠AEC，证出△BED≌△AEC，推出∠BDE＝∠ACE，根据三角形内角和定理求出∠DFC即可．
【解答】解：（1）BD＝AC，BD⊥AC，
理由是：延长BD交AC于F．
∵AE⊥BC，
∴∠AEB＝∠AEC＝90°，
在△BED和△AEC中，
，
∴△BED≌△AEC，
∴BD＝AC，∠DBE＝∠CAE，
∵∠BED＝90°，
∴∠EBD+∠BDE＝90°，
∵∠BDE＝∠ADF，
∴∠ADF+∠CAE＝90°，
∴∠AFD＝180°﹣90°＝90°，
∴BD⊥AC；
（2）不发生变化．
理由：∵∠BEA＝∠DEC＝90°，
∴∠BEA+∠AED＝∠DEC+∠AED，
∴∠BED＝∠AEC，
在△BED和△AEC中，
，
∴△BED≌△AEC，
∴BD＝AC，∠BDE＝∠ACE，
∵∠DEC＝90°，
∴∠ACE+∠EOC＝90°，
∵∠EOC＝∠DOF，
∴∠BDE+∠DOF＝90°，
∴∠DFO＝180°﹣90°＝90°，
∴BD⊥AC；
（3）①如图3中，结论：BD＝AC，
理由是：∵△ABE和△DEC是等边三角形，
∴AE＝BE，DE＝EC，∠EDC＝∠DCE＝60°，∠BEA＝∠DEC＝60°，∴∠BEA+∠AED＝∠DEC+∠AED，
∴∠BED＝∠AEC，
在△BED和△AEC中，
，
∴△BED≌△AEC，
∴BD＝AC．
②能．∵△ABE和△DEC是等边三角形，
∴AE＝BE，DE＝EC，∠EDC＝∠DCE＝60°，∠BEA＝∠DEC＝60°，∴∠BEA+∠AED＝∠DEC+∠AED，
∴∠BED＝∠AEC，
在△BED和△AEC中，
，
∴△BED≌△AEC，
∴∠BDE＝∠ACE，
∴∠DFC＝180°﹣（∠BDE+∠EDC+∠DCF）
＝180°﹣（∠ACE+∠EDC+∠DCF）
＝180°﹣（60°+60°）
＝60°，即BD与AC所成的角的度数为60°．。