基本不等式归类(解析版)

第19讲 基本不等式16类
【题型一】基础型
【典例分析】
在下列函数中,最小值是2的是
A.22x y x =+
B.0)1y x x =>+
C.πsin cos ,0,2y x x x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭
D.77x x
y -=+
【答案】D 【解析】A.2
2x y x
=+,当0x <时2y ≤-,不符合题意; B.y 1
x +1x +121x x +≥+,当0x =时取等号,不符合题意; C.y =sin cos x x +=
π2sin 4x ⎛⎫
+ ⎪
⎝⎭
,∵
π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,∵ππ3π,444x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,∵π2sin 4x ⎫⎛⎫+∈⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
,∵(2y ∈不符合题意;
D.772x x y -=+≥,当且仅当0x =时取等号,符合题意.故选D ．
【变式演练】
1.已知关于x 的不等式()2
2
5200x ax a a -+<>的解集为()12,x x ，则1212
a
x x x x ++
的最小值是______． 10
【详解】由于0a >，故一元二次方程22520x ax a -+=的判别式：2222542170a a a ∆=-⋅=>，
由韦达定理有：1221252x x a x x a +=⎧⎨=⎩，则：122
1211
552510222a a x x a a a x x a a a ++=+=+≥⨯= 当且仅当1105,210a a a ==时等号成立.综上可得：12
12
a x x x x ++10. 2.若a
b 、都是正数，则411b a
a b ⎛
⎫⎛⎫
++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
的最小值为( ). A.5 B.7
C.9
D.13
【答案】C
【详解】因为a b 、都是正数，所以44411=5+5+2b a
b a b a a b a b a b ⎛⎫⎛⎫
+++≥⋅ ⎪⎪
⎝⎭⎝⎭
，（当且仅当20b a =>时取等号），故本题选C.
3.在区间[﹣2，4]上随机地取一个数x ，使 2
21
1
a x a +
≥+恒成立的概率是（ ） A ．13
B ．1
2
C ．23
D ．34
【答案】A 【详解】
2211a x a +≥+恒成立，即22min
11x a a ⎛⎫≤+ ⎪+⎝⎭，设2
211y a a =++，则()
22
1112111y a a =++-≥-=+，当且仅当
22
1
11
a a =++，即0a =时，等号成立，所以问题转化为1x ≤，即11x -≤≤，所以在区间[]2,4-上随机地取一个数x 时，使2
2
1
1
a x a +
≥+恒成立的概率是()()111423P --==--，故选择A.
【题型二】 “1”的代换型
【典例分析】
已知x ，y 均为正实数，且
27
62
x y xy +=+，则x+3y 的最小值为__________ 【详解】x ，y 均为正实数,
2217
62
x y xy y x +=+=+)1
2113233)776
622
y x
x y x y y x x y ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭++ 1726 2.762≥+=32x =时等号成立.故答案为：2.
【变式演练】
1.已知0a >，0b >，32
1b a
+=，则23a b +的最小值为（ ）
A ．20
B ．24
C ．25
D ．28
【答案】C
【分析】凑配出积为定值后用基本不等式求最小值．
【详解】由题意236666()()2325231313a b a b
a b b a a b b a
a b +=+=+⨯≥+++，当且仅当66a b b a =，即5a b ==时等号成立．故选：C ．
2.已知0a >，0b >，431a b +
=，则1
3b a
+的最小值为（ ）
A ．13
B ．19
C ．21
D ．27
【答案】D
【分析】利用基本不等式“1”的妙用求最小值.
【详解】114433331291524927b b a ab a a b ab ⎛⎫⎛
⎫+=++=++
++⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝
⎭，当且仅当49ab ab =，即19a =，b ＝6时，等号成立，故1
3b a
+的最小值为27。

故选：D
3.已知正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则222124
a b a b
+++
的最小值为_____ 【详解】因为1a b +=，且,a b 都是正实数.所以2221
241414222a b a b a
b a b a b ++⎛⎫
+
=+++=++ ⎪⎝⎭
()14144421277211
b a b a a b a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫
=++⨯=+++=++≥+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
当且仅当12
,33a b =
=时，等号成立.所以222124a b a b
+++的最小值为11
【题型三】 “和”与“积”互消型
【典例分析】
已知x 、y 都是正数，且满足230x y xy ++=，则xy 的最大值为_________． 【答案】18. 【分析】
根据基本不等式222x y xy +≥，xy xy 从而得到xy 的范围，求出答案. 【详解】因为,0x y >，且230x y xy ++=，所以30222xy x y xy -=+≥（当且仅当2x y =时，取等号）
即
2
02230xy
xy ≤+，解得3522xy ≤-180xy ≤<，
所以xy 的最大值是18.此时6x =，3y =.故答案为：18.
【变式演练】
1.已知0x >，0y >，且420x y xy +-=，则2x y +的最小值为（ ） A ．16
B ．842+
C ．12
D ．642+
【答案】A
【分析】由题意得，24
1x y
+=，再根据基本不等式乘“1”法即可得最小值.
【详解】由题可知241x y +=，乘“1”得2482822(2)82816x y x y
x y x y x y y
x y x ⎛⎫+=++=+
+≥⋅= ⎪⎝⎭，当且仅当82x y
y x
=时，取等号，则2x y +的最小值为16.故选：A 2.已知0,0x y >>，且2969x y xy ++=，则29x y +的最小值为___________． 【答案】6
【分析】利用基本不等式有2
1129629332x y xy x y +⎛⎫=⨯⨯≤⨯ ⎪⎝⎭
，再利用一元二次不等式的解法，由21
9(29)(29)12
x y x y -+≤
+求解.【详解】 由2969x y xy ++=，得69(29)xy x y =-+，又0,0x y >>，2
1129629332x y xy x y +⎛⎫
∴=⨯⨯≤⨯ ⎪⎝⎭
， 21
9(29)(29)12
x y x y ∴-+≤
+，即2(29)12(29)1080x y x y +++-≥，解得：296x y +≥或2918x y +≤-， 又290x y +>，296x y ∴+≥，当且仅当29x y =，即31,23
x y ==时取等号．故答案为：6． 3.已知x ，0y >，260x y xy ++-=，则（ 多选题 ） A ．xy 的最大值为2 B ．2x y +的最小值为4 C ．x y +的最小值为3 D ．x y +的最小值为423
【答案】ABD
【详解】对于A 选项：由均值不等式得222x y xy +≥，则2622x y xy xy +=-≥， ()0xy t t >，2t +(2
22602
80t t -≤⇒+-≤，解得02t <≤2xy 2xy ≤，
当且仅当2x =，1y =时，等号成立，故A 正确；对于B 选项：由均值不等式得
()2
22222228
x y x y
x y xy xy xy +++≥⇒≥≥，又()62xy x y =-+， ∴(
)()()()2
2
2622824808
x y x y x y x y +≥-+⇒+++-≥，解得24x y +≥，212x y +≤-（舍）
， 当且仅当2x =，1y =时，等号成立，故B 正确； 对于C ，D 选项：令x y m +=，0m >，则y m x =-，
则260x y xy ++-=可化为()(2x m x x m +-+)60x --=，整理()2
1620x m x m +-+-=，
∴此方程一定有解，∴0∆≥，即()()2
14620m m --⨯-≥，解得423m ≥，423m ≤-（舍），故C 错误，D 正确. 故选：ABD.
【题型四】 以分母为主元构造型
【典例分析】
已知非负数,x y 满足1x y +=，则19
12
x y +++的最小值是（ ） A ．3
B ．4
C ．10
D ．16
【答案】B
【分析】根据基本不等式，结合“1”的妙用即可得解.
【详解】由1x y +=，可得124x y +++=，19119()(12)12412
129(1)129(1)(19)(102)4412412
x y x y x y y x y x x y x y +=++++++++++++=+++≥+⋅=++++
当且仅当(21)3y x +=+取等号，故选：B
【变式演练】
1.已知1,0x y ，且
12
11x y
+=-，则21x y +-的最小值为（ ） A ．9 B ．10 C ．11 D ．726+【答案】A
【详解】1x >，10x ∴->，又0y >，且
12
11x y
+=-，[]1222(1)22(1)
21(1)2552111y x y x x y x y x y x y x y ⎛⎫--∴+-=-++=++≥+⋅ ⎪---⎝⎭
9=，
当且仅当
22(1)
1y x x y
-=-，解得4x =，3y =时等号成立，故21x y +-的最小值为9．故选：A ． 2.已知正数a 、b 满足1a b +=，则411a b
a b
+--的最小值是（ ） A ．1 B ．2
C ．4
D ．8
【答案】C 【分析】得出441511a b a b b a +=+---，将代数式14a b +与+a b 相乘，展开后利用基本不等式可求得411a b
a b
+--的最小值.
【详解】已知正数a 、b 满足1a b +=，则
()414141511b a b
a a
b b a b a
--+=+=+---()4144524a b a b a b b a b a b a ⎛⎫
=++-=+≥⋅= ⎪⎝⎭
， 当且仅当2b a =时，等号成立，因此，411a b
a b
+--的最小值是4.故选：C. 3.设0x y >>，则41
x x y x y
+++-的最小值为（ ） A ．32B ．3C ．4 D 310
【答案】A
【分析】原式可变形为()()41141122x x y x y x y x y x y x y ⎡⎤⎡⎤
++=+++-+⎢⎥⎢⎥+-+-⎣⎦⎣⎦
，然后根据基本不等式即可求解
【详解】0x y >>，0x y ∴->，()()41141122x x y x y x y x y x y x y ⎡⎤⎡⎤
∴+
+=+++-+⎢⎥⎢⎥+-+-⎣⎦⎣⎦
()()1411
2
22223222x y x y x y x y
≥+⨯
-⨯+-()()1411,22x y x y x y x y +=-=+-， 即322
x y ==
A
【题型五】 构造分母：待定系数
【典例分析】
已知正实数x ，y 满足434x y +=，则11
2132
x y +++的最小值为（ ） A ．32
8B ．122C ．122
D ．122
【答案】A 【分析】
将4x +3y =4变形为含2x +1和3y +2的等式,即2(2x +1)+(3y +2)=8,再将式子换元,由基本不等式换“1”法求解即可 【详解】
由正实数x,y 满足4x +3y =4,可得2(2x +1)+(3y +2)=8.令a =2x +1,b =3y +2,可得2a+b =8. 所求
11111121221213288a b a b x y a b a b b a +⎛⎫⎛⎫⎛⎫
+=+=+⨯=⨯+++ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭
1221328=8a b b a ⎛⎫≥⨯+⨯ ⎪ ⎪⎝+⎭
2a b b a =时取等号，所以答案为328故选:A.
【变式演练】
1.知正实数x 、y 满足11
132x y x y
+=++，则x y +的最小值为（ ） A 322
+B 332
+ C 222
+D 232
+【答案】A 【分析】
利用待定系数法可得出()()1
3225x y x y x y +=+++⎡⎤⎣
⎦，与1132x y x y +++相乘，展开后利用基本不等式可求得x y +的最小值. 【详解】
设()()()()3223x y m x y n x y m n m n y +=+++=+++，可得2131m n m n +=⎧⎨+=⎩，解得15
25m n ⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，
所以，()()()22111133223532532x y x y x y x y x y x y x y x y x y +⎡⎤
⎛⎫++=+++⋅+=++⎡⎤⎢⎥ ⎪⎣⎦++++⎝⎭⎣⎦
()223313223252x y x y x y x y ⎡
+≥+⎢⎢⎣++⋅++当且仅当)322x y x y ++时，等号成立， 因此，x y +322
+故选：A. 2.已知0a >，0b >，21a b +=，则
11
343a b a b
+++取到最小值为 ．
【答案】
32
5
+． 【解析】试题分析：令2(34)(3)(3)(43)a b a b a b a b λμλμλμ+=+++=+++，∴1315
43225
λλμλμμ⎧=⎪+=⎧⎪⇒⎨⎨
+=⎩⎪=
⎪⎩，∴
111112312(3)34()[(34)(3)][]3433435555343a b a b
a b a b a b a b a b a b a b a b
+++=+⋅+++=++++++++
322(3)34322553435a b a b a b a b +++≥⋅=++，当且仅当212(3)34343a b a b a b a b a b
+=⎧⎪++⎨⋅⎪++⎩时，等号成立，
即
11
343a b a b
+++的最小值是325+．
【题型六】 分子含参型：分离分子型
【典例分析】 若40x y >>，则4y x
x y y
+-的最小值为___________. 【答案】5
4
【详解】因为40x y >>，则40x y ->，
444141
244444444444
y x y x y x y y y x y y x y x y y x y y x y y x y y x y y -+--+=+=+=++≥⋅-----1152244=⨯+=，
当且仅当42x y y -=，即当34y x =时，等号成立， 因此，4y x x y y +-的最小值为54.故答案为：5
4
.
【变式演练】
1.已知正实数,a b 满足22a b +=，则22
121
a b a b +++的最小值是（ ）
A ．9
4
B ．73
C ．
174
D ．
133
【答案】A
【分析】根据已知等式把代数式22
121
a b a b +++进行变形为142(1)a b ++，再结合已知等式，利用基本不等式进
行求解即可.
【详解】221212(1)2(1)212
22111
a b b b b a a b a b a b a b ++-+++=++=+++-+++，因为22a b +=， 所以22121214112(1)a b a b a b a b ++=+=++++，因为22a b +=，所以2(1)4a b ++=， 因此11411412(1)44[][2(1)][][5]42(1)42(1)42(1)
b a
a b a b a b a b +⨯⋅+
=⋅++⋅+=+++++， 因为,a b 是正实数，所以12(1)412(1)49
[5][52]42(1)42(1)4
b a b a a b a b ++++≥+⋅=++，（当且仅当2(1)42(1)b a a b +=+
时取等号，即1a b =+时取等号，即41
,33
a b ==时取等号），故选：A
2.若,x y R +
∈，且21x y +=，则22212
x y x y +++的最小值为_________ 【答案】1
6
【分析】令1,2m x n y =+=+，可得26m n +=，化简可得
22218
412x y x y m n
+=+-++，再结合基本不等式可求解. 【详解】令1,2m x n y =+=+，则1,2x m y n =-=-，则()21221x y m n +=-+-=，即26m n +=， 则
()()2
2
22122218
21012m n x y m n x y m n m n --+=+=+++-++()181184246m n m n m n ⎛⎫=+-=++- ⎪⎝⎭
12812811742174666n m n m m n m n ⎛⎫⎛⎫=++-≥⋅-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，当且仅当28n m m n =，即612,55m n ==时等号成立， 故22212x y x y +++的最小值为16.故答案为：1
6
. 3.若正实数x ，y 满足2x+y=2，则
224122
x y y x +
++的最小值是
_____．
【答案】
45
【题型七】 反解代入型:消元法
【典例分析】
已知正数a ，b 满足11
2a b +=，则
31
a b -+的最大值为______
． 523-
【详解】由112a b +=，得21a b a =-，由0,0a b >>，得12
a >，所以3
33(21)
1
31
121
a a a a a
b a a --=
-=
-+-+- 511511523[()]()33133313a a a a -=-+-≤-⋅-=--11313a a =--，即13
a +=时等号成立，、 所以31a
b -+523-523
-
【变式演练】
1.已知1m ＞，0n ＞，且223m n m +=，则214m m n
+-的最小值为（ ） A ．94
B ．92
C ．32
D ．2
【答案】A
【分析】由已知得2
230n m m =->，所以()
22114123m m n m m +=+---，记1,3a m b m =-=-，可得291444m b a m n a b
+=++-，然后利用基本不等式可得答案. 【详解】因为223m n m +=，所以223n m m =-，因为0n ＞，1m ＞
，所以2230n m m =->，得13m <<， 所以()()
22221
14112323m m m n m m m m m +=+=+-----，记1,3a m b m =-=-，所以132a b m m +=-+-=，
所以
12
a b +=，且0,0a b >>，所以()221219141232444m a b a b b a
m n m m a b a b a b
+++=+=+=+=++--- 99444
a b b a ≥+⨯，当且仅当4a b b a =即24,33b a ==等号成立，此时73m = ， 49
77929
n -==. 2.若正数a ，b 满足2a b ab ++=，则31
11
a b +--的最小值是______，此时b =______. 【答案】2 2
【分析】先由2a b ab ++=求出2
1
b a b +=
-，再根据基本不等式求解即可． 解：2a b ab ++=，2b ab a ∴+=-，∴21b a b +=
-，因为0a >、0b >，所以
2
01
b b +>-，即1b > ∴31313111
(1)2(1)2(2)(1)111
111111
b b b b b a b b b b b b b +=+=+=-+-⨯++----------- 即
31
211a b +--，当且仅当111
b b -=-，即2b =时取等号，故答案为：2；2．
3.若正实数,x y 满足114x x y y ++=，则11
x x y
++的最小值为___________.
【答案】251
【详解】由114x x y y ++=且,0x y >知：(1)
41
x x y x +=-，∴
241555
112(1)1251(1)111
111x x x x x x x x y x x x x x x -++==++-≥+⋅=++++++=++当且仅当511x x +=+时等
号成立，即51x =时等号成立.故答案为：251
【题型八】 因式分解型
【典例分析】
非负实数,x y 满足2660xy x y ++-=，则2x y +的最小值为___________. 【答案】2
【分析】根据题意化简得(3)(21)9x y ++=,结合基本不等式求得2
(24)94
x y ++≥，
即可求得2x y +的最小值. 【详解】由题意，非负实数,x y 满足2660xy x y ++-=，可得(3)(21)9x y ++=,
又由2
2321(24)(3)(21)()24
x y x y x y +++++++≤=，当且仅当321x y +=+，即0,1x y ==时等号成立， 所以2
(24)94
x y ++≥，即2(24)36x y ++≥，所以246x y ++≥或246x y ++≤-，所以22x y +≥，
即0,1x y ==时，2x y +的最小值为2.故答案为：2.
【变式演练】
1.已知,a b R +∈，且()(2)9a b a b a b ++++=，则34a b +的最小值等于_______． 【答案】6
21
【详解】,a b R +
∈，且
()()29a b a b a b ++++=，即有219a b a b （）（）+++= ， 即
222118
a b a b （）（）+++= ，可得
()()34122212
22216
2
a b a b a b a b a b ++=++++≥+++=（）（），
当且仅当2221a b a b +=++ 时，上式取得等号，即有34a b +的最小值为621.故答案为：621
2.已知0,0x y >>，且241x y xy ++=，则2x y +的最小值是___．
【答案】628
【解析】原式可变形为(4)(2)9x y ++=，两边同时乘以2，得(4)(24)18x y ++=，所以
238
32(4)(24)2y x y ++=++≤，即x+2y ≥628，当且仅当424(4)(24)18x y x y +=+⎧⎨++=⎩
时等号成立。

填6
28。

3.已知a,b ∈R +，且(a +b)(a +2b)+a +b =9，则3a +4b 的最小值等于_______． 【答案】6√2−1
【详解】a,b ∈R +，且(a +b)(a +2b)+a +b =9，即有（a +b ）（a +2b +1）=9 ， 即（2a +2b ）（a +2b +1）=18 ，可得3a +4b +1=（2a +2b ）+（a +2b +1）≥2√(2a +2b )(a +2b +1)=6√2 ，
当且仅当2a +2b =a +2b +1 时，上式取得等号，即有3a +4b 的最小值为6√2−1.故答案为：6√2−1
【题型九】 均值用两次
【典例分析】
,,a b c 是不同时为0的实数，则
2
22
2ab bc
a b c +++的最大值为（ ）
A ．1
2 B ．14
C 2
D 3【答案】A
【分析】对原式变形，两次利用基本不等式，求解即可.
【详解】因为a ，b 均为正实数，则()222222222222222ab bc a c a c a b c a c a c b b b b ++=≤++++++⨯ ()
222222*********
222222
22a ac c ac ac a c a c a c ++=++=++⨯， 当且仅当22
2a c b b
+=，且a c =取等，即a b c ==取等号， 即则2
222ab bc a b c
+++的最大值为1
2，故选：A ．
【变式演练】
1.设正实数, x y 满足1
,12
x y >>，不等式
224121x y m y x +≥--恒成立，则m 的最大值为 （ ）A ．8
B ．16
C ．2
2D ．42【详解】．A
设1,21y b x a -=-=，则()()()1
10,102
y b b x a a =+>=
+> 所以
()
()
2
2
22
111114121
a b a b ab a b x y
y x b
a
ab
ab
++++++++=+
≥=--()122222228ab ab ab ab ab ab ab ⎛=≥⋅
=⋅+= ⎝
当且仅当1a b ==即2,1x y ==时取等号所以22
4121
x y y x +--的最小值是8，则m 的最大值为8.故选A 2.已知0a >，0b >222a b +___________.
【答案】2
【分析】由222122,a b b a +≥+≥可得答案.
【详解】因为0a >，0b >，所以2
2
22122,a b b a +≥+≥22222222222a b
a b a b a b
+≥++==+， 当且仅当1,2a b ==222a b + 2.故答案为：2.
3.已知正实数a ，b ，c 满足22243a b c +=，则2c c a b
+的最小值为______. 26
【详解】因为222344c a b ab =+≥，即2
43
c ab ≥，所以
226
2222c c c c c a b a b ab +≥⋅2a b =时取等号，所以2c c a b +的最小值26.26
．
【题型十】 换元型
【典例分析】
已知实数x ,y 满足方程x 2+y 2+2x -2y =0，则|x |+|y |的最大值为
A.2
B.4
C.32
D.22+
【答案】B 详解：将22220x y x y ++-=化为22
(1)(1)2x y ++-=，令21,21x y θθ=
-=+，
则22222cos 2sin 22(sin cos )2x y θθθθ+=++-+π
44sin()84
θ=+-≤， 又22
2
()22x y x y ++≤，所以2()42
x y +≤，即max ()4x y +=．
【变式演练】
1.若a,b ∈R ，且a 2+2ab −3b 2=1，则a 2+b 2的最小值为_____ 【详解】
√5+14
由a 2+2ab ﹣3b 2＝1得（a+3b ）（a ﹣b ）＝1，令x ＝a+3b ，y ＝a ﹣b ，则xy ＝1且a =
x +3y 4
，b =
x −y 4
，
所以
a 2+
b 2
＝（x +3y 4
）2+（x −y 4
）2=
x 2+5y 2+28
≥
2√5x 2y 2+2
8
=
√5+1
4
，当且仅当x 2=√5，y 2=
√55时取等．故答案为√5+1
4
． 2.已知x 2−2√3xy +5y 2=1，x,y ∈R ，则x 2+y 2的最小值为____. 【答案】
3−√72
【详解】因为x 2−2√3xy +5y 2=(x −√3y)2+(√2y)2=1，所以令x −√3y =cosθ,√2y =sinθ， 解得x =√6
2sinθ+cosθ,y =√2
2sinθ，所以x 2+y 2=(√6
2sinθ+cosθ)2+(√2
2sinθ)2=1+sin 2θ+
√6sinθcosθ =3
2+
√6
2
sin2θ−12cos2θ=3
2+
√7
2
sin(2θ−φ).因为−1≤sin(2θ−φ)≤1，所以x 2+y 2的最小值为
3−√72
.
3.已知x y ，为正实数，则
22x x y x y x
+++的最小值为_________.
【答案】
3
22
+ 【详解】原式12
21y
y x x
=
+++，令0y t x =>，则上式变为
1212t t +++()113121222
t t =++++()113312212222t t ≥⋅+=++()1121
12,122t t t -=+=
+
3
22
.
【题型十一】 “和”与所求和系数不一致型
【典例分析】
1、已知0a >，0b >，且21a b ab +=-，则2+a b 的最小值为 A ．526+
B ．2
C ．5
D ．9
【详解】由21a b ab +=-得3
102
a b =+
>-，解得2b >.所以2+a b ()()335225225622b b b b =+
+-≥+⋅-+--当且仅当
()3222b b =--，即622
b =+时等号成立.故本小题选A.
【变式演练】
1.若正实数x ，y 满足22x y +=，则22
4122
x y
y x +++的最小值是__________． 【答案】
45
【解析】根据题意，若22x y +=，则
()
2x=2-y
y=2-2
2
2x
2
2
4(2)(22)
122121x y y x y x y x --+=+++++
()()()
2
2
[13][12]916
2
121141
1
121y x y x y x y x （）（）+-+-=
+=++
+++-++++ 91y =+()16921x +-+；又由22x y +=，则有2115x y +++=（）（），则224 122
x y y x +
++()()()221916
91215x y y x （
）+++=+-++()()1818111699511
x y y x ++=+++-++（）()()1818114
25295115
x y y x ++≥+⨯-≥++（）；当且仅当51212y x +=+=（
）时，等号成立； 即224 122x y y x +++的最小值是45，故答案为4
5
.
2.2
2
1127153
x y x ++
+,44y p x y x y ==-已知正实数，，满足求的最小值
2223322215327+-44
153271612727=+-=x +++--44444
88112712751271=(x ++)+++-64+-=-=6x=2y=8y 84274116442
+44x ++p x y y x y x y y x x y y x y =
--≥裂项
方法一： （）33（，（））
3.262
x y x++
+8,y p x x y y ==-已知正实数，，满足求的最小值
22262424
+8-8=+x+++-8=2+++822280
x=1y=2p x x y x y x y y y x y x y x y
=-
--≥=此时，，检验满足条件
【题型十二】 “均值裂项”凑配型
【典例分析】
已知实数x ，y ，z 不全为0，则2222
2y xz
w x y z +=++的最小值是___，最大值是___．
【答案】 1- 1 【分析】根据不等式求最值.
【详解】由222xz x z ≤+，当且仅当x z =时取等号，
得2222
222222
21y xz y x z w x y z x y z
+++=≤=++++，当且仅当x z =时取等号； 又2222
2
2222221y xz y x z w x y z x y z +--=≥≥-++++，当且仅当0y =，x z =-时等号成立. 故答案为：，1.1-
【变式演练】
1.不等式
2222
1
122
xy yz a a x y z ++-++≤对任意正数x ，y ，z 恒成立，则a 的最大值是__________． 【答案】1
【分析】由条件转化为求2222xy yz x y z +++的最大值，再解不等式2
222max
1122xy yz a a x y z ⎛⎫++-≥ ⎪++⎝⎭，即可求解. 【详解】因为
2222222
1
2222
xy yz xy yz xy yz x y z x y y z xy yz +++==++++++≤，当x y z ==时取等号，所以
2222xy yz x y z +++的最大值是1
2，即211122
a a +-≥， 解得1
12
a -
≤≤，所以a 的最大值是1． 故答案为：1
2.已知实数,,a b c 满足222870,660a a bc b c bc a --+=++-+=，则实数a 的取值范围是_________． 【答案】[1,9]
【分析】由题设条件，化简得287bc a a =-+，2266b c bc a ++=-，再利用2()4b c bc +≥，得到不等式21090a a -+≤，即可求解．
【详解】由题意，实数,,a b c 满足2870a a bc --+=，可得287bc a a =-+， 由22660b c bc a ++-+=，可得2266b c bc a ++=-，
所以22222()668721b c b c bc bc a a a a a +=+++=-+-+=-+，
又由2()4b c bc +≥，得()
22
21487a a a a -+≥-+，
即21090a a -+≤，解得19a ≤≤． 故答案为：[1,9]．
3.已知0a >，0b >，4c ≥，且2a b +=，则5
2ac c c b ab +-+
___________． 55
由2
()22a b +=，先将112a b ab +-变形为2254a b ab +，运用基本不等式可得最小值，再求5511
5[(2)1]22
c c =-++-的最小值，运用函数单调性即可得到所求值. 【详解】解：因为0a >，0b >，4c ≥，且2a b +=，
所以511522ac c c a c b ab b ab ⎛⎫
+-=+- ⎪⎝⎭
2(22)52c a ab ab +-= 因为2
()22a b +=，所以2
2
2
()222222a b a ab a ab ab ab
++-+-=2252554a b ab ab +=≥=， 当且仅当5b a =时，取等号，
所以511522ac c c a c b ab b ab ⎛⎫+-=+- ⎪⎝⎭2(22)52c a ab ab +-=55≥115[(2)1]22c c =-++-。

令2(2)t c t =-≥11115[(2)5(1)222c t c t -++++-，
令11()=1(2)2f t t t t ++≥，则'
211()=02f t t
->，所以函数()f t 在[2,)+∞上单调递增，
所以115()(2)21222f t f ≥=⨯++=1111555
5[(2)1]=5(1)52222c t c t -++++≥- 55故答案为：
55
【题型十三】 整体化同乘方程型
【典例分析】
已知实数x ，y 满足1x >，0y >且114111x y x y +++=-.则11
1x y
+-的最大值为_____． 【答案】9
【分析】将已知等式变形为111x y +- ()1014x y ⎡⎤=--+⎣⎦，对等式两边同乘11
1x y
+-，构造关于所求式子的不等式，进行求解即可. 【详解】由114111x y x y ++
+=-，得11
1x y
+- ()1014x y ⎡⎤=--+⎣⎦， 则2
111x y ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭ 11111011x y x y ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ ()11411410511y x x y x y x y ⎛⎫⎛⎫-⎡⎤-+=+-++ ⎪ ⎪⎣⎦--⎝⎭⎝⎭ (11111052410911x y x y ⎛⎫⎛⎫
≤+-+=+- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭
，当且仅当411y x x y -=-， 即21y x =-时成立，令11
1t x y
=+-，则有2109t t ≤-， 解得19t ≤≤，故11
1x y
+-的最大值为9.故答案为9.
【变式演练】
1.已知正数满足，则的最大值为________．
【答案】8
【详解】试题分析：由已知得，19()()10()x y x y x y x y ++++=+，变形为2
9()10()(10)y x x y x y x y
+-+=-++， 因为0,0x y >>，由基本不等式得，96y x x y
+≥，故2()10()16x y x y +-+≤-，解得28x y ≤+≤. 2.已知,x y 为正数，且13
310x y x y
+++=，则3x y +的最大值为 ． 【答案】8
试题分析：因为13310x y x y +
++=，所以13310()x y x y +=-+，所以()()2
13310()3x y x y x y ⎡⎤+=-++⎢⎥⎣
⎦，即()()2
3103103y
x x y x y x y ⎛⎫
+=+--+
⎪⎝
⎭
，令3t x y =+，则 231010y x t t x y ⎛⎫+=-+- ⎪⎝⎭
，而2y x
x y +≥，所以210160t t -+≤，即28t ≤≤，故应填8．
【题型十四】 三元最值型
【典例分析】
已知实数,,a b c 满足222
11144
a b c ++=，则
的取值范围是
A ．(,4]-∞
B ．[4,4]-
C ．[2,4]-
D ．[1,4]-
【答案】C
【详解】试题分析：2222(2)04244022a b c a b c ab ac bc ab ac bc ++≥⇒+++++≥⇒++ 222222111
(4)2()2244
a b c a b c ≥-++=-++=-
即222ab ac bc ++≥-，
由222ab a b ≤+，2244ac a c ≤+，2244bc b c ≤+，
所以222
22211244228224()444
ab ac bc a b c ab ac bc a b c ++≤++⇒++≤++=，
即224ab ac bc ++≤，当且仅当2a b c ==时取等号， 综上所述，的取值范围是[2,4]-.
故答案选C
【变式演练】
1.若实数a 、b 、c +∈R ，且2256ab ac bc a +++-，则2a b c ++的最小值为 A 51 B 51 C ．252 D ．252
【答案】D
【详解】因为2256ab ac bc a +++=-，所以2ab a ac bc +++()()a a b c a b =+++()()a c a b =++)
2
62551=-=
，所以()()()()22
a b c a c a b a c a b ++=+++≥++252，
当且仅当()()a c a b +=+时，等号成立. 故选D.
点睛：本题主要考查均值不等式的灵活应用，关键是对已知等式分解为()())
2
=
51a c a b ++.
2.已知,,0a b c >，且22210a b c ++=，则ab ac bc ++的最大值是_______，
2ab ac bc ++的最大值是________．
【答案】 10 535
【分析】直接利用均值不等式得到答案；变换得到222(31)(2)a b c ab ac bc +++≥+，代入数据计算得到答案.
【详解】根据均值不等式：222a b ab +≥，222a c ac +≥，222c b cb +≥， 故222
222102
a b c ab ac bc ++++≤
=，当且仅当a b c ==时取等号； 又因为2212(01)2a xb xab x ≤≤+，22
12(01)2
a yc yac y ≤≤≥+，
22(1)(1)2(1)(1)x b y c x y bc ≥-+---，
22(1)(1)x y x y --23x y ==
故此时有222(31)(2)a b c ab ac bc +++≥+，即2535ab ac bc ++≤， 2
(23)(23)b c =-=-时取等号． 故答案为：10；535.
3.若正实数,,a b c 满足2,2ab a b abc a b c =+=++，则c 的最大值为________. 【答案】8
7
由题设1
11
c ab =+
-，由2ab a b =+结合基本不等式可得8ab ≥，从而可得c 的最大值. 【详解】因为2abc a b c =++，所以21
1111
a b ab c ab ab ab +=
==+---， 而2ab a b =+，故222ab a b ab =+≥8ab ≥， 当且仅当4,2a b ==等号成立，故c 的最大值为8
7.
故答案为：8
7
.
【题型十五】 恒成立求参数型
【典例分析】
对任意正实数,a b 不等式2(1)
2a b ab ab a b
λλ+-++ ） A ．实数λ有最小值1 B ．实数λ有最大值1 C ．实数λ有最小值1
2 D ．实数λ有最大值1
2
【答案】C 【分析】化简得到222a b ab ab ab a b a b λ+⎛⎫
-
⎪++⎝⎭
，考虑a b =和a b 两种情况得到2
2()ab a b λ+，根据均值不
等式得到最值得到答案.
【详解】2(1)
2a b ab ab a b λλ+-++222a b ab ab ab a b a b λ+⎛⎫-≥ ⎪++⎝⎭，()()
2
2022a b a b ab a b a b -+-=≥++， 当a b =时，不等式恒成立； 当a
b 时，2222()2ab
ab ab a b a b ab a b a b
λ+≥++-
+ 2
221
2
()4ab ab a b ab
=
+，a b =时等号成立，a b 2
2212()4ab ab a b ab
=
+，故12
λ≥. 故选：C.
【变式演练】
1.设正实数, x y 满足1
,12x y >>，不等式
224121x y m y x +≥--恒成立，则m 的最大值为 （ ） A ．8 B ．16
C ．22
D ．42【答案】A
【分析】设1,21y b x a -=-=，求出,x y 的值，代入22
4121x y y x +--中化简，利用基本不等式求出结果. 【详解】设1,21y b x a -=-=，则()()()1
10,102
y b b x a a =+>=
+> 所以()()2
2
22
11114121a a b ab a b x y y x b ab ab
+++++++=
≥=--()122222228ab ab ab ab ab ab ab ⎛=≥⋅
=⋅+= ⎝
当且仅当1a b ==即2,1x y ==时取等号
所以22
4121x y y x +--的最小值是8，则m 的最大值为8.故选A 2.正数,a b 满足1,a b +=若不等式214
43x x m a b
+≥+++对[3,0],x a b R +∀∈-∈，恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[)3,+∞ B ．(],3-∞
C ．(],6-∞
D ．[)6,+∞
【答案】C 【详解】1a b +=141444()()559a a
a b a b a b a b b b a b ∴+=++=++≥+⋅=
当且仅当
412
,,33
a a
b b a b ===时取等号
因此不等式2943x x m ≥+++对[3,0]x ∀∈-恒成立，即2460x x m +-+≤对[3,0]x ∀∈-恒成立， 令2()46f x x x m =+-+，则(3)91260(0)60f m f m -=--+≤⎧⎨=-+≤⎩，即9
6m m ≤⎧⎨≤⎩
，6m ∴≤ 故选：C
3.设,x y x y x y +，求实数k 的最大值. 2 【详解】由题意得x y k x y
++．0k >，2221x y xy xy
k +∴=
+=x ，y R +∈，2x y xy +≥21xy
≤∴
．22k ∴≤．∴02k <≤x y =时，k 2
【题型十六】 超难压轴小题
【典例分析】
设,x y 为正实数，若2241x y xy ++=则22
4220115x y
x xy y +++的取值范围是__________．
【答案】6 【分析】根据2
2
41x y xy ++=，可得2
2
41x y xy =-+，进而()
2
2
332231212212x y x y xy xy +⎛⎫
++=+≤+ ⎪⎝⎭
=，
有()2285x y +≤，而()()()()22222
22222242201155(41)156223x y x y x y x y x xy y x y xy xy x y ++++===+++++++，令82]5x y t +=∈，得到()2223
t
f t t =
+，再用导数法求解， 【详解】因为2
2
41x y xy ++=，所以2
2
41x y xy =-+，()
2
2
332231212212x y x y xy xy +⎛⎫
++=+≤+ ⎪⎝⎭
=
所以，所以()2
285x y +≤，所以()()()()2
222222222242201155(41)156223x y x y x y x y x xy y x y xy xy x y ++++===+++++++， 令8
2]5x y t +=∈，()2223t f t t =+，所以()()222
4623t f t t -+'=+， 当302t <<
()0f t '>38
25t <<()0f t '<所以当32t =
()f t 6
又()841000,5f f ==()f t 取值范围是6
]，
故答案为：6
]
【变式演练】
1.若x ，y 均为正实数，则221
(2)x y x y +++的最小值为_______.
25
【分析】将所求式子变为()222112x ty t y xy y
++-++，利用基本不等式可求得()2212212x y t xy t y
x y +++-+，则可
21
2
21t t =-时，可求得最小值.
【详解】
()()222
2211122122x ty t y x y t xy t y x y xy y ++-++++-=++()01t <<21
2
21t t =-，即15t =时 ()2212x y x y +++4
2125255xy y
+=25
成立的条件. 2.已知a,b ∈[0,1]，则S(a,b)=a
1+b +b
1+a +(1−a)(1−b)的最小值为________． 【答案】
13−5√5
2
【详解】试题分析：∵a,b ∈[0,1]，∴S(a,b)=a
1+b +b
1+a +(1−a)(1−b)=1+a+b+a 2b 2(1+a)(1+b)
=1−
ab(1−ab)
(1+a)(1+b)
，
令T =ab(1−ab)
(1+a)(1+b),x =√ab ，则T =ab(1−ab)1+a+b+ab
≤
1+2√ab+ab
=
x 2(1−x 2)(1+x)2
=
x 2(1−x)x+1
，令f(x)=x 2(1−x)x+1
,x ∈[0,1]，
可得f′(x)=
−2x(x 2+x−1)
(x+1)2,x ∈[0,1]，所以f(x)在[0,√5−12
)上单调递增，在(√5−12
,1]上单调递增减；所以
f(x)max =f(√5−1
2
)=
5√5−11
2
，所以S(a,b)得最小值为1−f(x)max =1−
5√5−11
2
=
13−5√5
2
．
3.已知1,2>>a b 22214
a b -+-的最小值为__________．
【答案】6
2214a m b n -=-=， 则原式2222222252(1)(4)14m n m n a b +++++=
=-+-2222225244m n m n m n ++++++=22225244
m n m n mn +++++≥
22252(2)m n mn ++++=
22
52(2)
m n mn m n ++++=+
2229m n mn m n +++=
+2()9
99()2()6m n m n m n m n m n m n ++==++≥+⋅+++， 以上两个等号当且仅当2m n =且9
m n m n
+=+，即1,2m n ==时同时成立． 所以所求的最小值为6．答案：6
【课后练习】
1.已知正实数a ，b 满足41a b +=，则1
b a
+的最小值为（ ） A ．4
B ．6
C ．9
D ．10
【详解】∵0a >，0b >，41a b +=，∵141b a b a b a ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
44
5529ab ab ab ab =+++⋅=，当且
仅当
4,41
ab ab
a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩时，即1,36
a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩时取“=”. 2.已知0a >，0b >，且23a b ab +=，则ab 的最小值为（ ） A ．1 B ．89
C ．49
D 22
【答案】B
【分析】将23a b ab +=变形为12
3b a
+=，再用基本不等式和解不等式即可.
【详解】因为0a >，0b >，且23a b ab +=，所以123b a +=，所以122
3b a ab
=+≥
22
ab ≥89ab ≥当且仅当12
23b a a b ab
⎧=⎪⎨⎪+=⎩，即43a =，23b =时等号成立，故ab 的最小值89．
故选：B.
3.已知0,0a b >>，且3ab a b =++，则a b +的最小值为（ ） A ．4 B ．8 C ．7 D ．6
【答案】D
【分析】根据条件利用均值不等式构造不等式，解二次不等式即可求解.
【详解】3,0,0a b b b a a >=++>, 2
3(
)2
a b a b +∴++≤,当且仅当a b =，即3a b ==时等号成立， 解得6a b +≥或2a b +≤-（舍去），a b ∴+的最小值为6故选：D 4.、设0a b >>，且2=ab ，则2
1
()
a a a
b +-的最小值是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【详解】D 因为0a b >>，∵()0a a b ->，又由2=ab ，所以
221112()2()()()a a ab a a b a a b a a b a a b +
=-++=-++---1
2()2224()
a a
b a a b ≥-⋅=+=-，
当且仅当()1a a b -=，即3a =
3
3
2=
b 时等号成立，所以21()a a a b +-的最小值是4，故选D.
5.若实数x ∴y 满足x ∴y ＞0∴且∴
∴1，则x ∴y 的最小值为______．
【答案】25/3
6.已知的最小值为 。

【答案】3 【解析】
试题分析：根据题意，由于
则根据均值不等式可知，11212(1)2222(2)21211122(4)3211
y y x x y x y x y y x y y x y x y +-+=+
+++++++=-++≥++（）()=故可知答案为.
7.已知正数,a b 满足2a b +=，则411
a b a b +++的最大值是（ ） A ．9
2
B ．
114
C ．1
D ．73
【答案】B
12
,(0,),2,21
x y x y x y ∈+∞+=++则12,(0,),
2,21x y x y x y ∈+∞+=++则
【分析】已知等式把代数式411a b a b +++进行变形为145()11
a b -+++，再结合已知等式，利用基本不等式进行求解即可. 【详解】4114(1)414
5()111111
a b a b a b a b a b +-+-+=+=-+++++++，因为2a b +=，所以(1)(1)4a b +++=， 因此
141141144()[(1)(1)]()11411411
a b a b a b a b +=⨯⋅+=⋅+++⋅+++++++ 114(1)114(1)9
[5][52]4114114
b a b a a b a b ++++=⋅++≥⋅+⋅=++++，（当且仅当14(1)11b a a b ++=++时取等号，即21b a =+时取等号，即15,33a b ==时取等号），所以
4114(1)414911
5()511111144
a b a b a b a b a b +-+-+=+=-+≤-=++++++. 故选：B.
8.若实数x ，y 满足2x y >，且1xy =，则22
42x y x y +-的最小值是_______________.
【答案】4
解：x ，y 满足2x y >，且1xy =，则
2224(2)444
(2)2(2)42222x y x y xy x y x y x y x y x y x y
+-+==-+-⋅----，当且仅当4
22x y x y
-=-且1xy =，即13x =31
y -=
时取等号，此时2242x y x y +-的最小值4．故答案为：4．
9.已知x >0,y >0,z >0,x −y +2z =0，则
2
xz
y 的 ( ) A ． 最大值为1
8 B ． 最小值为1
8 C ． 最大值为8 D ． 最小值为8
【答案】A
【详解】由题意知x >0,y >0,z >0,x −y +2z =0，则y =x +2z ，又由
xz
y 2
=
xz (x+2z)2
=
xz x 2+4xz+4z 2
=1
x
z +4z x
+4≤
2√x z ×4z
x
+4
=1
8，
当且仅当x
z =4z
x
，即x =2z 时等号成立，所以xz y 2最大值为1
8，故选A. 10.知0a >，0b >，2
3
3
(1)()a a a b a b -+-=+，则223a a b +＋2
23b a b
+的最小值为____．
【答案】1
2
【分析】将原等式化为()()2
10b a a b ab a ⎡⎤-+-++=⎣⎦
，从而可得1a b +=，利用换元法和基本不等式可求最值.
【详解】233(1)()a a a b a b -+-=+可化为()()2
10b a a b ab a ⎡⎤-+-++=⎣⎦
， 因为0a >，0b >，故()2
0a b ab a -++>，故10b a -+=，所以1a b +=.
设3,3x a b y a b =+=+，故3838y x a x y
b -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩
且4x y +=，故22
222222383338a b a b a b y y x x x y --⎛⨯⨯+=+++⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 221992032y x x y ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ 又()()22233316=43x y x y xy y x x y x y xy xy xy ⎡⎤++-⎛⎫+⎣⎦+=
=- ⎪⎝⎭
， 因为4,0,0x y x y +=>>，故42xy ≥4xy ≤，当且仅当2x y ==时等号成立，
故22y x x y +的最小值为4，故22
2233a b a b a b
+++的最小值为12.故答案为：12.
11.若0 , 0a b >>，则21a b
a
b ++的最小值为____________．
【答案】22【详解】0 , 0a b >>，221
122
2222a a b b a
b a b b b b b ∴+
+≥⋅=+≥⋅21a a b =且2b b
=，即2a b ==
21
a b a
b ++的最小值为22故答案为：22
12.已知实数x,y 满足194=+y
x
，则11
32+++y x 的取值范围是__ _
答案：(
]
132，
()
x y 22x+1y+12
x+1y+12a=2b=3a +b =1a=cos 0b=sin 02+3=2a+3b=2cos +3sin =13sin +132+3=2a+3b=2cos +3sin =
2cos +3sin =4+12cos sin +5sin 4=2
θθθθθϕθθθθθθθ>>≤⋅≥：，，则，再次三角换元，，（）方法一换元（方法不好又，了解）x y 22x+1y+1a=2b=3a +b =12+3=2a+3b=z 方法二数形结：，，则，此时，显然线性规划，合 半圆和直线
13.已知2,1a b >>，且满足21ab a b =++，则2a b +的最小值为
【答案】65试题分析：∴2,1a b >>，且满足21ab a b =++，∴13
122
a b a a +=
=+--， 2a b +=333
212(2)522(2)565222a a a a a a ++
=-++≥-+=---， 当且仅当3
2(2)2
a a -=
-时，2a b +的最小值为65。

14.已如2,,0c ab c a a ≤>>，则2a b c
c a
++-的最小值为______.
【答案】7
【分析】根据条件换元与放缩，再根据基本不等式求最值. 【详解】设c a t -=，则,0c a t t =+>，
所以22
()222443237
c a t a c a a t
a b c a t a t a a c a c a t t a t a
++++++++≥==++≥⋅=-- 当且仅当2t a =时取等号，即
2a b c
c a
++-的最小值为7.
15.若实数,x y 满足2221x xy y +-=，则22
2522x y
x xy y --+的最大值为________.
2已知条件可化为(2)()1x y x y -+=，故可设112,,x y t x y u t t t -=+==-，从而目标代数式可化为22
u
u +，利
用基本不等式可求其最大值.
【详解】由2221x xy y +-=，得(2)()1x y x y -+=，设1
2,x y t x y t -=+=，其中0t ≠.
则1121,3333x t y t t t =+=-，从而222
2112,522x y t x xy y t t t
-=--+=+，
记1
u t t =-，则22225222x y u x xy y u -=-++，不妨设0u >，则12
222u u u u
≤=+⨯
当且仅当2u u =，即2u =22。