专题1 几何证题常用思路（含答案）

第一章全等三角形
专题1几何证题常用思路
知识解读
接手一道几何题，如何寻找解决问题的思路？本专题向大家介绍的是寻找几何问题常用的解题思路.
1.分析法
分析是指在思想中把事物的整体分解为部分，把复杂事物分解为简单要素，把过程分解为阶段，并加以研究的思维方法，在数学中，我们把分析看作从结果追溯到产生这一结果的原因的一种思维方式，我们把这种思维方法称为分析法.具体地说，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步步探索下去，最后达到题设的已知条件.
2.综合法
综合是在思想中把事物的各个部分、各个方面、各种要素、各个阶段联结为整体进行考察的思维方法.而数学里面的综合法是指从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后得到待证结论或需求的问题.
3.两头凑
分析法与综合法各有优缺点，从寻求解题思路来看，分析法执果索因，常常根底渐进，有希望成功；综合法由因导果，往往枝节横生，不容易奏效.就表达过程而言，分析法叙述颊琐，文辞冗长；综合法形式简洁，条理清楚。

也就是说，分析法利于思考，综合法宜于表达，因此，在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来运用，先以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条理地表达解题过程.
培优学案
典例示范
一、分析法
例1 如图1－1－1，AB＝CD，AB//CD，CE＝AF.判断△ABE与△CDF是否全等，并说明理由.
【提示】要说明△ABE与△CDF是否全等，“AB＝CD”是题目直接提供的，由“CE＝AF”可得“AE＝CF”，再补充一个夹角相等即可，∠DCA＝∠CAB可由AB//CD证明得到.
【解答】
图1-1-1B
C
D
E
A
【技巧点评】
利用分析法寻找证明的思路，常表现为，要证明×××，已知×××条件，还需要补充×××条件，即从要证明的结论出发，根据已学过的定义、定理、公理，反过来寻找能使结论成立所需的条件，这样一步步地逆求，一直追溯到结论成立的条件与已知条件吻合，即结论→已知。

跟踪训练
1.如图1－1－2，AD ＝CB ，∠1＝∠
2.求证：AB //CD .
2
1
图1-1-2
B
C
D
二、综合法
例2 如图1－1－3，已知AB //CD ，OA ＝OD ，AE ＝DF .求证：CF //EB .
【提示】从已知看，由AB //CD 可得∠3＝∠4，加上QA ＝OD 和∠1＝∠2可得△QOD ≌△BOA ；由△COD ≌△BOA 又可以得到OC ＝0B 及AB ＝CD ，至此证明△COF ≌△BOE 或△CDF ≌△BAE 的三个条件就全有了，也就顺利得到∠E ＝∠F ，完成CF /∥EB 的证明.
【解答】
图1-1-3
4
3
2
1
B
C
D
E
F
O
A
【技巧点评】
利用综合法解几何题常常表现为执因索果，即由这个条件可以得出什么结论，由那个条件可以得出什么结论…一步步由已知条件结合已经学过的定义、定理、公理推论，推导出最终的结论.我们不少同学往往都习惯于用这种思路来解决问题. 跟踪训练
2.如图1－1－4，AB ＝AC ，BD ＝CD ，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，求证：DE ＝DF .
图1-1-4
A
D
C
拓展延伸
三、两头凑
例3 如图1－1－5，在△ABC 中，ADLBC 于点D ，AD ＝DC ，∠FCD ＝∠BAD ，点F 在AD 上，BF 的延长线交AC 于点E .
（1）求证：BE ⊥AC ；
（2）设CE 的长为m ，用含m 的代数式表示AC ＋BF .
【提示】从已知条件看，AD ⊥BC ，AD ＝DC ，∠FCD ＝∠BAD ，可利用ASA 证明得到△ABD ≌△CFD ；从结论看，要证明BE ⊥AC ，可证明∠EBC ＋∠ECB ＝90°.
综合来看，∠EBC ＋∠ECB ＝90°可由“△ABD ≌ACFD ”证得△BDF ，△ACD 是等腰直角三角形获得. 【解答】
图1-1-5A
F
E D
C
B
【技巧点评】
同学们做题的时候，往往习惯于用综合法，也就是从已知条件入手，一步步往后推导得出结论，然而当题目稍复杂一些的时候，往往推导一段后不能继续推导下去。

如果此时再从结论入手，看结论成立需要什么条件，就有可能找到解决问题的契合点，从而解决问题. 跟踪训练
3.如图1－1－6，AC ⊥CF 于点C ，DF ⊥CF 于点F ，AB 与DE 交于点O ，且EC ＝BF ，AB ＝DE ，求证： AE ＝BD .
图1-1-6
A
O
F
E
D
竞赛链接
例4 （启东中学竞赛题）如图1－1－7，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10厘米，BC ＝8厘米，点D 为AB 的中点. （1）如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动. ①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，△BPD 与△CQP 是否全等，请说明理由；②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使△BPD 与△CQP 全等？
（2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿△ABC 三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在△ABC 的哪条边上相遇？
【提示】（1）①求出当运动时间为1秒时，BP ，PC 和CQ 的长，由于∠B ＝∠C ，我们只需判断这对角的两边是否对应相等即可；②要使得△BPD 与△CQP 全等，已经具备的条件有∠B ＝∠C ，我们只需保证“BD ＝PC ，BP ＝CQ ”或“BD ＝CQ ，BP ＝PC ”即可.
（2）可将△ABC 看作一个跑道，点P 和点Q 看作两个运动员，求出当点Q 追到点P 时，两点所处的位置. 【解答】
B
C
D
P
Q
A
图1-1-7
跟踪训练
4.（安庆竞赛题）在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是线段BC 延长线上一点，以AD 为一边在AD 的右侧作 △ADE ，使AD ＝AE ，∠DAE ＝∠BAC ，连接CE .
（1）如图1－1－8，在D 在线段BC 延长线上，如果∠BAC ＝30°，求∠DCE 的度数；
（2）设∠BAC ＝a ，∠DCE ＝8
①如图1－1－8，当点D 在线段BC 延长线上移动，则a ，β之间有怎样的数量关系？请说明理由；②当点D 在直线BC 上移动（不与B ，C 重合），则a ，β之间有怎样的数量关系？请直接写出结论.
B
C
A
备用图
备用图A
C B
B
C D
E
A
图1-1-8
培优训练
1.如图1－1－9，AD ＝BC ，且AD ∥BC ，O 是DB 的中点，过点O 作EF 交AB ，DC 于E ，F ，求证：OE ＝OF .
B
C
D
E F
O
A
图1-1-9
2.如图1－1－10，在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，任一直线AN 过点A ，BD ⊥AN 于D ，CE ⊥AN 于E ，你能说说DE ＝BD －CE 的理由吗？
A N
E
D
C
图1-1-10
直击中考
3.★★（2017·湖北黄冈）如图1－1－11，∠BAC ＝∠DAM ，AB ＝AN ，AD ＝AM . 求证：∠B ＝∠ANM .
A
N
M
D
C
B
图1-1-11
4.★★★★（2017·山东莱芜）已知△ABC 与△DEC 是两个大小不同的等腰直角三角形。

（1）如图1－1－12①，连接AE ，DB .试判断线段AE 和DB 的数量和位置关系，并说明理由； （2）如图1－1－12②，连接DB ，将线段DB 绕D 点顺时针旋转90°到DF ，连接AF ，试判断线段DE 和AF
的数量和位置关系，并说明理由.
F
E D
B
图1-1-12
E B
A C D
①
②
挑战竞赛
5．（德州竞赛题）问题背景：
如图1－1－13①，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD ＝120°，∠B ＝∠ADC ＝90°，EF 分别是BC ，CD 上的点，且∠EAF ＝60°，探究图中线段BE ，EF ，FD 之间的数量关系．
小王同学探究此问题的方法是延长FD 到点G ，使DG ＝BE ，连接AG ，先证明△ABE ≌△ADG ，再证明△AEF ≌△AGF ，可得出结论．请写出该结论并给予证明；
x
N
图1-1-13
③
②①
O
F
E D
E F
A
B
C
A
C
A
E
F
B
G
B
D
探索延伸：
如图1－1－13②，若在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＋∠D ＝180°，E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且∠EAF ＝
1
2
∠BAD ，上述结论是否仍然成立，并说明理由； 实际应用：
如图1－1－13③，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O 处）北偏西30°的A 处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B 处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等．接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进，1．5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E ，F 处，且两舰艇之间夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．。