平行线的性质及平移

平行线的性质及平移
【学习目标】
1．掌握平行线的性质，并能依据平行线的性质进行简单的推理；
2．了解平行线的判定与性质的区别和联系，理解两条平行线的距离的概念；
3．了解图形的平移变换，知道一个图形进行平移后所得的图形与原图形之间所具有的联系和区别，能用平移变换有关知识说明一些简单问题及进行图形设计.
【要点梳理】
要点一、平行线的性质
性质1：两直线平行，同位角相等；
性质2：两直线平行，内错角相等；
性质3：两直线平行，同旁内角互补.
要点诠释：
（1）“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容，切不可忽视前提“两直线平行”．
(2)从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质．
要点二、两条平行线间的距离
同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线间的距离．
要点诠释：
（1）求两条平行线的距离的方法是在一条直线上任找一点，向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条平行线间的距离．
(2)两条平行线间的距离处处相等．
要点三、图形的平移
1. 定义：一个图形沿某个方向移动，在移动的过程中，原图形上所有的点都沿同一个方向移动相等的距离，这样的图形运动叫做图形的平移．
要点诠释：图形的平移的两要素：平移的方向与平移的距离．
2. 性质：
（1）平移不改变图形的形状与大小，只改变图形的位置.
（2）一个图形和它经过平移所得的图形中，连接各组对应点的线段互相平行（或在同一条直线上）且相等.
要点诠释：
（1）“连接各组对应点的线段”的线段的长度实际上就是平移的距离．
(2)要注意“连接各组对应点的线段”与“对应线段”的区别，前者是通过连接平移前后的对应点得到的，而后者是原来的图形与平移后的图形上本身存在的.
3. 作图：
平移作图是平移基本性质的应用，在具体作图时，应抓住作图的“四步曲”——定、找、移、连．
(1)定：确定平移的方向和距离； (2)找：找出表示图形的关键点；
(3)移：过关键点作平行且相等的线段，得到关键点的对应点； (4)连：按原图形顺次连接对应点．
【典型例题】 类型一、平行线的性质
1．（2015•东莞）如图，直线a ∥b ，∠1=75°，∠2=35°，则∠3的度数是（ ）
A ．75°
B ．
55°
C ． 40°
D ．35°
举一反三：
【变式】如图，已知1234//,//l l l l ，且∠1=48°，则∠2＝ ，∠3＝ ，∠4＝ .
2.（2015•泰安）如图，AB ∥CD ，∠1=58°，FG 平分∠EFD ，则∠FGB 的度数等于（ ）
A ．122°
B ． 151°
C ． 116°
D ．97°
举一反三：
【变式】(广安)如图所示，已知a∥b∥c，∠1＝105°，∠2＝140°，则∠3的度数是()
A．75°B．65°C．55°D．50°
类型二、两平行线间的距离
3．如图所示，直线l1∥l2，点A、B在直线l2上，点C、D在直线l1上，若△ABC的面积为S1，△ABD的面积为S2，则().
A．S1＞S2B．S1＝S2C．S1＜S2D．不确定
4.
举一反三：
【变式】下图是一个方形螺线．已知相邻均为1厘米，则螺线总长度是厘米.
类型三、图形的平移
5．如图所示，平移△ABC，使点A移动到点A′，画出平移后的△A′B′C′．
6．如图所示，将△ABC沿直线AB向右平移后到达△BDE的位置，若
∠CAB＝50°，∠ABC＝100°，则∠CBE的度数为________．
举一反三：
【变式】（2015•泉州）如图，△ABC沿着由点B到点E的方向，平移到△DEF，已知
BC=5．EC=3，那么平移的距离为（）
A．2 B． 3 C．5D．7
7.如图所示，①、②两图中，哪个图形中的一个三角形可以经过另一个三角形平移得到?
举一反三：
【变式】下面生活中的物体的运动情况可以看成平移的是(填写序号)．
（1）摆动的钟摆；（2）在笔直的公路上行驶的汽车；（3）随风摆动的旗帜；
（4）摇动的大绳；（5）汽车玻璃上雨刷的运动；（6）从楼顶自由落下的球（球不旋转）．
8. (苏州中考模拟)如图所示，在长为50m，宽为22m的长方形地面上修筑宽度都为2 m 的道路，余下的部分种植花草，求种植花草部分的面积．
举一反三：
【变式】（2015•临淄区一模）如图，将△ABC沿BC方向平移2cm得到△DEF，若△ABC 的周长为16cm，则四边形ABFD的周长为．
9.如图，AB∥CD，点M，N分别为AB，CD上的点.
（1）若点P1在两平行线内部，∠BMP1＝45°，∠DNP1＝30°，则∠MP1N＝；
（2）若P1，P2在两平行线内部，且P1P2不与AB平行，如图，请你猜想∠AMP1+∠P1 P2N 与∠MP1 P2+∠P2ND的关系，并证明你的结论；
（3）如图，若P1，P2，P3在两平行线内部，顺次连结M，P1，P2，P3，N，且P1P2，P2P3不与AB平行，直接写出你得到的结论.
举一反三：
【变式】如图所示，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐角∠A是120°，第二次拐的角∠B是150°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C是()．
A．120°B．130°C．140°D．150°
【基础练习】
一、选择题
1．下列说法：①两直线平行，同旁内角互补；②内错角相等，两直线平行；③同位角相等，两直线平行；④垂直于同一条直线的两条直线平行，其中是平行线的性质的是().
A．①B．②和③C．④D．①和④
2．如图所示，AB∥CD，若∠2是∠1的2倍，则∠2等于().
A．60°B．90°C．120°D．150°
3．下列图形中，由AB∥CD，能得到∠1＝∠2的是().
4．（2015•呼和浩特）如图，已知∠1=70°，如果CD∥BE，那么∠B的度数为（）
A．70°B．100°C．110°D．120°
5．如图所示，已知AD与BC相交于点O，CD∥OE∥AB．如果∠B＝40°，∠D＝30°，则∠AOC的大小为().
A．60°B．70°C．80°D．120°
６． (山东德州)如图所示，直线l1∥l2，∠1＝40°，∠2＝75°，则∠3等于().
A．55°B．30°C．65°D．70°
7．如图所示的图形中的小三角形可以由△ABC平移得到的有().
A．3个B．4个C．5个D．6个
二、填空题
8．如图，AB∥CD，BC∥AD．AC⊥BC于点C，CE⊥AB于点E，那么AB、CD间的距离是________的长，BC、AD间的距离是________的长．
9. 如图所示，△ABC经过平移得到△A′B′C′，图中△_________与△_________大小形状不变，线段AB与A′B′的位置关系是________，线段CC′与BB′的位置关系是________．
10.（2015•广州）如图，AB∥CD，直线l分别与AB，CD相交，若∠1=50°，则∠2的度数为．
11．如图，在四边形ABCD中，若∠A+∠B＝180°，则∠C+∠D＝_______．
12．将两张矩形纸片如图所示摆放，使其中一张矩形纸片的一个顶点恰好落在另一张矩形纸片的一条边上，则∠1+∠2＝________．
13．如图所示，AB∥CD，且∠BAP＝60°-a，∠APC＝45°+a，∠PCD＝30°-a，则a＝________．
三.解答题
14．如图，已知AB∥CD，MG、NH分别平分∠BMN与∠CNM，试说明NH∥MG?
15.（2015•益阳）如图，直线AB∥CD，BC平分∠ABD，∠1=65°，求∠2的度数．
16. 如图，将四边形ABCD平移到四边形EFGH的位置，根据平移后对应点所连的线段平行且相等，写出图中平行的线段和相等的线段．
【提高练习】
一、选择题
1. 若∠1和∠2是同旁内角，若∠1＝45°，则∠2的度数是().
A．45°B．135°C．45°或135°D．不能确定
2.（2015•枣庄）如图，把一块含有45°的直角三角形的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1=20°，那么∠2的度数是（）
A．15°B．20°C．25°D．30°
3．(湖北襄樊)如图所示，已知直线AB∥CD，BE平分∠ABC，交CD于D，∠CDE＝
150°，则∠C的度数为().
A．150°B．130°C．120°D．100°
4．如图，OP∥QR∥ST，则下列等式中正确的是().
A．∠1+∠2-∠3＝90°
B．∠2+∠3-∠1＝180°
C．∠1-∠2+∠3＝180°
D．∠1+∠2+∠3＝180°
5. 如图，AB∥CD∥EF，BC∥AD，AC平分∠BAD，且交EF于点O，则与∠AOE相等的
角有().
A．5个B．4个C．3个D．2个
6．（湖北潜江）如图，AB∥EF∥CD，∠ABC＝46°，∠CEF＝154°，则∠BCE等于（）.
A．23°B．16°C．20°D．26°
二、填空题
7.如图所示，在一个由4×4个小正方形组成的正方形网格中，把线段EF向右平移3个单位，向下平移1个单位得到线段GH，则阴影部分面积与正方形ABCD的面积比是.
8．如图所示，直线a ∥b ．直线c 与直线a ，b 分别相交于点A 、点B ，AM b ⊥，垂足
为点M ，若158∠=︒，则2∠＝ _____，直线a b 与之间的距离_____．
9.如图所示，AB ∥CD ，若∠ABE ＝120°，∠DCE ＝35°，则有∠BEC ＝________．
10.（2015•泸州）如图，AB ∥CD ，CB 平分∠ABD ．若∠C=40°，则∠D 的度数为_______.
11.一个人从点A 出发向北偏东60°方向走了4m 到点B ，再向南偏西80°方向走了3m 到点C ，那么∠ABC 的度数是________．
12.如图所示，在长方形ABCD 中，AB ＝10cm ，BC ＝6cm ，将长方形ABCD 沿着AB 方向平移________cm ，才能使平移后的长方形HEFG 与原来的长方形ABCD 重叠部分的面积为24cm 2．
三、解答题
13．如图所示，AD ⊥BC ，EF ⊥BC ，∠3＝∠C ，则∠1和∠2什么关系?并说明理由．
14．已知如图(1)，CE∥AB，所以∠1＝∠A，∠2＝∠B，∴∠ACD＝∠1+∠2＝∠A+∠B．这是一个有用的事实，请用这个结论，在图(2)的四边形ABCD内引一条和边平行的直线，求∠A+∠B+∠C+∠D的度数．
15．（2015•建湖县一模）如图，AB∥CD，EF分别交AB、CD与M、N，∠EMB=50°，MG 平分∠BMF，MG交CD于G，求∠MGC的度数．
16.如图所示，已知AB∥CD，∠1＝110°，∠2＝125°，求∠x的大小．
【答案与解析】
一.选择题
1. 【答案】A ；
【解析】两直线平行−−−→←−−−性质
判定角的关系. 2. 【答案】C ；
【解析】∠2+∠1＝180°，又∠2＝2∠1，所以∠2＝120°.
3. 【答案】Ｂ；
【解析】∠2与∠1的对顶角是同位角的关系.
4. 【答案】C ．
【解析】如图，∵∠1=70°，∴∠2=∠1=70°，∵CD ∥BE ，∴∠B=180°﹣∠1=180°﹣70°=110°．
5. 【答案】B
【解析】注意到CD ∥OE ∥AB ，由“两直线平行，同位角相等”可知∠AOE ＝∠D ＝
30°，∠EOC ＝∠B ＝40°．故∠AOC ＝∠EOC+∠AOE ＝40°+30°＝70°．
6. 【答案】C ；
【解析】∠3＝180°－40°－75°＝65°.
7. 【答案】C ；
【解析】图中小三角形△BDE ，△CEF ，△DGH ，△EHI ，△FIJ 都可以由△ABC 平移得
到．
二、填空题
8.【答案】线段CE ，线段AC ；
9.【答案】ABC ， A ′B ′C ′，平行，平行；
【解析】平移的性质．
10.【答案】50.
11．【答案】180°；
【解析】由已知可得：AD ∥BC ，由平行的性质可得：∠D+∠C ＝180°.
12.【答案】90°；
13.【答案】15°；
【解析】由图可知：∠APC ＝∠BAP+∠PCD ，即有45°+a ＝60°-a+30°-a ，
解得：a ＝15°.
三、解答题
14.【解析】
证明：∵AB ∥CD (已知)，∴ ∠BMN ＝∠MNC (两直线平行，内错角相等)． ∵MG 、NH 分别平分∠BMN 、∠CNM (已知)．
∴∠MNH ＝12∠MNC ，∠NMG ＝12
∠BMN (角平分线定义)．
∴∠MNH＝∠NMG，∴NH∥MG(内错角相等，两直线平行)．
15.【解析】
解：∵AB∥CD，
∴∠ABC=∠1=65°，∠ABD+∠BDC=180°，
∵BC平分∠ABD，
∴∠ABD=2∠ABC=130°，
∴∠BDC=180°﹣∠ABD=50°，
∴∠2=∠BDC=50°．
16.【解析】
解：平行的线段：AE∥BG∥DH，相等的线段：AE＝BF＝CG＝DH．
【答案与解析】
一、选择题
1. 【答案】D；
【解析】本题没有给出两条直线平行的条件，因此同旁内角的数量关系是不确定的.
2.【答案】C．
【解析】∵直尺的两边平行，∠1=20°，∴∠3=∠1=20°，∴∠2=45°﹣20°=25°．
3. 【答案】C；
【解析】解：如图，
∠3＝30°，∠1＝∠2＝30°，∠C＝180°－30°－30°＝120°.
4. 【答案】B；
【解析】反向延长射线ST交PR于点M,则在△MSR中，
180°－∠2+180°－∠3+∠1＝180°，即有∠2+∠3-∠1＝180°.
5. 【答案】A
【解析】与∠AOE相等的角有：∠DCA，∠ACB，∠COF，∠CAB，∠DAC．
6. 【答案】C；
【解析】解：∵AB∥EF∥CD，∠ABC＝46°，∠CEF＝154°，
∴∠BCD＝∠ABC＝46°，∠FEC＋∠ECD＝180°，
∴∠ECD＝180°—∠FEC＝26°，
∴∠BCE＝∠BCD—∠ECD＝46°—26°＝20°．
二.填空题
7. 【答案】5:8；
【解析】=22+312=10S ⨯⨯⨯阴，=44=16S ⨯正ABCD ，所以ABCD S =10:165:8S =正阴：．
8. 【答案】32°，线段AM 的长；
【解析】因为//a b ，所以∠ABM ＝∠1＝58°．又因为AM ⊥b ，所以∠2＋∠ABM ＝90°，所以∠2＝90°－58°＝32°．
9.【答案】95°；
【解析】如图，过点E 作EF ∥AB ．所以∠ABE+∠FEB ＝180°(两直线平行，同旁内角互补)，所以∠FEB ＝180°-120°＝60°．又因为AB ∥CD ，EF ∥AB ，所以EF ∥CD ，所以∠FEC ＝∠DCE ＝35°(两直线平行，内错角相等)，所以∠BEC ＝∠FEB+∠FEC ＝60°+35°＝95°．
10.【答案】100°
【解析】∵AB ∥CD ，∠C=40°，∴∠ABC=40°，∵CB 平分∠ABD ，∴∠ABD=80°，∴∠D=100°．
11．【答案】20°；
【解析】根据题意画出示意图，可得：∠ABC ＝80°－60°＝20°.
12.【答案】6；
【解析】重叠部分长方形的一边长为6cm ，另一边长为：24÷6＝4 cm ，所以平移的距离为：AE ＝10－4＝6 cm.
三.解答题
13.【解析】
解：∠1＝∠2．理由如下：
∵ AD ⊥BC ，EF ⊥BC (已知)，∴ ∠ADB ＝∠EFB ＝90°．
∴ AD ∥EF (同位角相等，两直线平行)，
∴ ∠1＝∠4(两直线平行，同位角相等)．
又∵ ∠3＝∠C (已知)，
∴ AC ∥DG (同位角相等，两直线平行)．
∴ ∠2＝∠4(两直线平行，内错角相等)，
∴ ∠1＝∠2．
14.【解析】
解：如图，过点D 作DE ∥AB 交BC 于点E ．
∴∠A+∠2＝180°，∠B+∠3＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．又∵∠3＝∠1+∠C，
∴∠A+∠B+∠C+∠1+∠2＝360°，
即∠A+∠B+∠C+∠ADC＝360°．
15.【解析】
解：∵∠EMB=50°，
∴∠BMF=180°﹣50°=130°．
∵MG平分∠BMF，
∴∠BMG=∠BMF=65°．
∵AB∥CD，
∴∠MGC=∠BMG=65°．
16.【解析】
解：过E点作EF∥AB，则∠3＝180°-∠1＝70°．
因为EF∥AB，AB∥CD，
所以EF∥CD．
所以∠4＝180°-∠2＝55°．
所以∠x＝180°-∠3-∠4＝55°．。