1点直线平面的投影

投影相关知识
设空间有一平面P，平面外有一定点S(光源)。若 把空间点A投影到平面P上，可连接SA延长与平面 P交于a，点a称为空间点A在平面P上的投影，P为 投影面，S为投影中心，SAa为投射线。
为反映投影物体的实形和便于绘图，采用正投影方法。 平行投影法----正投影法
S
H
投影方向S垂直于投影面
1．从属性 若点在直线上，则点的各个投影必在直线 的各同面投影上。利用这一特性可以在直线上找点，或 判断已知点是否在直线上。
2．定比性 属于线段上的点分割线段之比等于其投影 之比。即
A C: C B = a c : c b= ac : cb = ac : c b
利用这一特性，在不作侧面投影的情况下，可以在侧 平线上找点或判断已知点是否在侧平线上。
AB
b
|yA-yB|
AB
ab
|yA-yB|
a
X
ab
b
AB
a
|yA-yB|
|yA-yB|
3． 求直线的实长及对侧面投影面的夹角 角
b B b
a
b
A
a
a
|xA-xB|
[例题1] 已知 线段的实长AB，求它的水平投影。
|zA-zB|
AB
|zA-zB|
ab
ab
a
四、直线上的点
直线上的点具有两个特性：
判断它们的相对位置。
判断方法： x 坐标大的在左 y 坐标大的在前
左右 上 下
后前 上 下
z 坐标大的在上
后
前 左右
a
b
B
A
a
b
b a
两点中x值大的点 —— 在左 两点中y 值大的点 —— 在前 两点中z 值大的点 —— 在上
［例］如图，已知点A的三投影，另一点B在 点A上方8mm，左方12mm，前方10mm处，求: 点B的三个投影。
作图步骤：
1) 在a′左方12mm，上 方8mm处确定b′； 2) 作b′b⊥X轴，且在 a前10mm处确定b；
3) 按投影关系求得b″
各种位置点的投影
空间点：点的x、y、z三个坐标均不为零，其三
个投影都不在投影轴上。
投影面上的点：点的某一个坐标为零，其一个
投影与投影面重合，另外两个投影分别在投影轴上。
z
oW
H
Y
点的投影及投影规律
点的投影
a 点A的水平投影
Z
V
a●
a 点A的正面投影
X
A
●
● a
oW
a 点A的侧面投影
a●
规定：空间点用大写字母表示，
H
点的三个投影都用同一个小写字
Y
母表示，其中H投影不加撇，V
投影加一撇，W投影加两撇
投影面展开
V a
●
Z
az
W ●a
不动 V a
●
X
ax
a● H
O
ay ay
一般位置直线投影特性： 1、各投影的长度均小于直线本身的实长 2、直线的各投影均不平行于各投影轴
我们判断一般位置直线的标准！
2 投影面平行线
水平线
正平线
a b a b 实长 a a
b α γ
b
a β γ b
实长
ba
与H面的夹角:α 与V面的夹角:β 与W面的夹角: γ
侧平线
a
a 实长
β
b
α b
a
重影点在某投影面的重合投影，由于两 点的相对位置关系而存在一个可见与不可 见的问题，坐标大的点可见，坐标小的点 不可见。
a
d(c)
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
点的投影绘图注意事项：
1、H面的投影为a，V面的投影为a ，W面的投影为 a，而且要标注在相应的投影面上； 2、绘图时一般采用分规量取宽度； 3、注意特殊位置点的投影； 4、重影点可见性的标注方法。
点的两个投影能唯一确定该点的空间位置
两面投影图的画法
V
a
z
X
ax
x
O
y
aLeabharlann aHH两面投影图的性质
1) aaOX 2) aax =Aa , aax =Aa
3、两投影面中点的投影规律
1）点在水平面和正面投影的连线垂直于X轴； 2）点的水平投影到X轴的距离等于空间点到V面的距离； 3）点的正面投影到X轴的距离等于空间点到H面的距离。
水平线（平行于Ｈ面）
统称特殊位置直线
正垂线（垂直于Ｖ面）
投影面垂直线 侧垂线（垂直于Ｗ面） 垂直于某一投影面
铅垂线（垂直于Ｈ面）
一般位置直线 与三个投影面都倾斜的直线
1 一般位置直线
直线与H、V、和W三投影面 的夹角分别用α、β、γ表示
ab=ABcos α a’b’=ABcos β a”b”=ABcos γ
b
投影面平行线的投影特性：
1、在其平行的那个投影面上的投影反映实长， 并反映直线与另两投影面的真实倾角。
2、另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴。
名称
立体图
水平线
（∥H）
投 影
面 正平线
平 行
（∥V）
线
侧平线
（∥W）
投影图
投影特性
(1)ab∥OX, ab∥OYW； (2)ab=AB； (3)反映夹角 、大小
(1)ab∥OX, ab∥OZ； (2)ab=AB； (3)反映夹角 、大小
(1)ab∥OYH, ab∥OZ； (2)ab=AB； (3)反映夹角 、大小
3 投影面垂直线
铅垂线
a
a
b
b
a(●b)
正垂线
c(d) d c ●
d c
侧垂线
e f e(f)
●
ef
投影面垂直线投影特性:
① 在其垂直的投影面上，投影有积聚性。
仅有点的一个 投影不能确定点的 空间位置。
增加投影面。
V
B1
● b
B B2 ●
3●
●
一、点在两投影面体系中的投影
1、两投影面体系
2、第一分角两面投影
V
X
O
水平投影面 —— H 正立投影面 —— V 投 影 轴 —— OX
两投影面体系中点的投影
a
A
Z X
Y
a
点A的水平投影 —— a 点A的正面投影 —— a
3.2 直线的投影
一、直线对一个投影面的投影特征 二、直线在三投影体系中的投影特征 三、 一般位置线段的实长及它与投影面的夹角 四、直线上的点 五、直线的迹点 六、两直线的相对位置
两点确定一条直线，将两点的同面投 影用直线连接，就得到直线的投影。
a● b
●
●a ● b
a● b●
一、直线对一个面的投影特征
作图步骤：
1）过a(或b)任作一直线aB1（或bB1)； 2）在aB1上取C1，使aC1∶C1B1＝1∶2； 3）连接B1、b； 4）过C1作C1c∥B1b，与ab交于c； 5）过c作X轴的垂线与a′b′交于c′。
则c、c′即所求分点C的投影。
[例2] 已知直线EF及点K的二投影，是判断点K是否在
例：已知点的两个投影，求第三投影。
a● ax
a●
az ●a
通过作45°转宽线使 aaz=aax
四、点的直角坐标与三面投影的关系
Z
V
a
az
y
x
a
X
ax A
z
OW
a
ay
Y
1. aaz = aay =Aa = xA 2. aax = aaz =Aa =yA 3. aax =aa y = Aa=zA
点的坐标与三面投影的关系
投影轴上的点：点的两个坐标为零，其两个投
影于所在投影轴重合，另一个投影在原点上。
与原点重合的点：点的三个坐标为零，三个投
影都与原点重合。
特殊点的投影
Bb
a
b
Cc
c
Aa
V
b
a c
X
O
b
c
a
H
其他分角投影面和投影轴上点的投影
自 学 部 分
六、重影点及其投影的可见性
当空间两点位于对投影面的同一条投影 线上时，这两点在该投影面上的投影重合， 称这两点为对该投影面的重影点。
例：判断点K是否在线段AB上。
a
a
k● b
●k b 因k不在a b上，
a
故点K不在AB上。
k●
b
另一判断法? 应用简单比定理
［例1］试在AB线段上取一点C，使AC∶CB＝ 1∶2， 分析：求分:分点点C的C的投投影影，必在AB 线段的同面投影上，且ac∶cb ＝a′c′∶c′b′＝1∶2，可用比例 作图法作图。
若把三个投影面当作空间直角坐标面，投影轴当 作直角坐标轴，则点的空间位置可用其（x,y,z）三 个坐标来确定，点的投影就反映了点的坐标值，其 投影与坐标值之间存在着对应关系。
例：作空间点A（5，10，15）的三面投影。
五、两点的相对位置
两点的相对位置指两点在空间的上下、前后、左
右位置关系。可以根据两点与投影平面的距离远近
② 另外两个投影,反映线段实长，且垂直于 相应的投影轴。
名称
立体图
铅垂线
（H）
投
影
面 垂 直
正垂线 （V）
线
侧垂线 （W）
投影图
投影特性
(1)H投影为 一点，有积聚 性； (2)abOX, abOYW ； (3)ab=ab
=AB
(1)V投影为一 点，有积聚性； (2)abOX, abOZ ； (3)ab=ab
1) aa⊥OX轴、aa⊥OZ轴 2) aax= aaz=y=A到V面的距离
aax= aay=z=A到H面的距离 aay= aaz=x=A到W面的距离
1、点的投影连线垂直于相应的投影轴 2、点的投影到投影轴的距离等于空间点 到投影面的距离。
长对正 高平齐 宽相等
三、根据点的两个投影求第三投影
点的一个投影反映了点的两个坐标。已知点的两 个投影，则点的x，y，z三个坐标就可确定，即空 间点是唯一确定的。因此已知一个点的任意两个投 影就可以求出第三投影。
1、平行两直线 2、相交两直线 3、交叉两直线 4、交叉两直线重影点投影的可见性判断
例题讲解
⒈ 两直线平行
b
V
d
a A
Bc C
D
a
X
a c
b
dH
d b
c
d b c
a
若空间两直线相互平行，则它们的同名投影必然相互平行。 反之，如果两直线的各个同名投影相互平行，则此两直线在空 间也一定相互平行。
判断两直线是否平行的方法
➢ 对于一般位置直线，只要两直线的任意两对同名 投影相互平行，就能肯定两条直线在空间上是相互 平行的。
A● M● B●
●
a≡b≡m
直线垂直于投影面 投影重合为一点
积聚性
B
●
A●
●b a●
直线平行于投影面 投影反映线段实长
ab=AB
●B α A●
●b a●
直线倾斜于投影面 投影比空间线段短
ab=AB*cosα
二、直线在三个投影面中的投影特性
正平线（平行于Ｖ面）
投影面平行线
侧平线（平行于Ｗ面）
平行于某一投影面而 与其余两投影面倾斜
直线EF线上。
分析：
e
根据直线上的点的投影性质来解题。因EF
k
是侧平线，所以此题有两种解法:(1)画出其
W投影，观察k是否在ef上；（2）不做
f
W投影，而用比例作图法判断点K。
X
作图步骤：
e
1）在H投影上，过f（或e）任作一条直线fE1; k1
2) 在fE1上取fK1=f k,K1E1= ke;
k
E1 K1
3、其他分角中点的投影 H面向下旋转90度，H1面向上旋转90度
二、点在三投影面体系中的投影
三投影面体系 用三个相互垂直 的投影面构成投 影面体系。
水平投影面（H面）
正立投影面（V面）
V
侧立投影面（W面）
X
两投影面相交，
其交线称为投影轴
V ∩ H =OX轴 H ∩ W=OY 轴
V ∩ W=OZ轴
第三章 点、直线、平面的投影
§3-1 点的投影 §3-2 直线的投影 §3-3 平面的投影
本章目标：
1、重点掌握点、直线和平面在三投影面体系中的 投影规律及作图方法和步骤； 2、根据点、直线和平面的多面投影想象他们的的 三维空间的位置； 3、培养空间想象和分析能力。
3.1 点的投影
一、两投影面体系中点的投影 二、三投影面体系中点的投影 三、根据点的两个投影求第三投影 四、点的投影和坐标的关系 五、两点间的相对位置 六、重影点的投影及可见性
三、一般位置线段的实长及其与投影面的夹角
1． 求直线的实长及对水平投影面的夹角角 2． 求直线的实长及对正面投影面的夹角角 3． 求直线的实长及对侧面投影面的夹角角
例题1
1． 求直线的实长及对水平投影面的夹角角
|zA-zB|
AB
ab
|zA-zB|
AB
|zA-zB|
ab
AB
|zA-zB |
2． 求直线的实长及对正面投影面的夹角 角
=AB
(1)W投影为 一点，有积聚 性； (2)abOYH, abOZ ； (3)ab=ab
=AB
小结:各种位置直线的投影特性
⒈ 一般位置直线
三个投影与各投影轴都倾斜。
⒉ 投影面平行线
在其平行的投影面上的投影反映线段实长及 与相应投影面的夹角。另两个投影平行于相应 的投影轴。
⒊ 投影面垂直线
在其垂直的投影面上的投影积聚为一点。另 两个投影反映实长且垂直于相应的投影轴。
3) 连接E1e，过K1作直线平行于E1e，与fe交
f
于k1；因已知投影k与k1不重合，所以点K不在
直线EF上。
五、直线的迹点
直线与投影面的交点称为迹点。 水平迹点 M 正面迹点 N侧面迹点 S
特征： 它既属于直线，又属于投影面
直线的各个分角的分界点即为迹点
直线迹点的求法：
六、两直线的相对位置
Y
Y X ax 向下翻
Z
az
A
●
O
a● H
向右翻
● a W
ay
Y
点的投影规律:
1)V、H两投影都反映横标，且投影连线垂直X轴； 2)V、W两投影都反映高标，且投影连线垂直Z轴； 3)H、W两投影都反映纵标，投影连线是一条折线， 其中W面上的一段垂直OYW，H面上的一段垂直 OYH，中间可用以O为圆心的圆弧联系起来。