浙江省11市2015年中考数学试题分类解析汇编(20专题)19综合型问题

浙江省11市2015年中考数学试题分类解析汇编（20专题）
专题19:综合型问题
江苏泰州鸣午数学工作室 编辑
1. （2015年浙江杭州3分）如图，已知点A ，B ，C ，D ,E ，F 是边长为1的正六边形的顶点，连接任意两点均可得到一条线段，在连接两点所得的所有线段中任取一条线段，取到长度为3的线段的概率为【 】
A 。

14 B. 25 C. 23 D. 59
【答案】B.
【考点】概率；正六边形的性质。

【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部等可能情况的总数；②符合条件的情况数目;二者的比值就是其发生的概率. 因此，
如答图，∵正六边形的顶点，连接任意两点可得15条线段,其中6条的连长
度为3：AC 、AE 、BD 、BF 、CE 、DF ，
∴所求概率为62
155
=。

故选B 。

2。

（2015年浙江嘉兴4分) 如图，抛物线221y x x m =-+++交x 轴于点A (a ，0）和B （b ， 0）,交y 轴于点C ,抛物线的顶点为D .下列四个命题:①当>0x 时，>0y ;②若1a =-，则4b =；③抛物线上有两点P （1x ，
1y )和Q （2x ,2y ），若12<1<x x ，且12>2x x +，则12>y y ；④点C 关于抛物线对称轴的对称点为E ，点G ，
F 分别在x 轴和y 轴上，当2m =时，四边形EDF
G 周长的最小值为62。

其中真命题的序号是【 】
A 。

①
B 。

② C. ③ D 。

④ 【答案】C.
【考点】真假命题的判断；二次函数的图象和性质；曲线上点的坐标与方程的关系；轴对称的应用（最短线路问题）；勾股定理。

【分析】根据二次函数的图象和性质对各结论进行分析作出判断：
①从图象可知当>>0x b 时，<0y ，故命题“当>0x 时，>0y ”不是真命题； ②∵抛物线221y x x m =-+++的对称轴为2
12
x =-
=-，
点A 和B 关于轴对称，∴若1a =-,则3b =，故命题“若1a =-,则4b =”不是真命题；
③∵故抛物线上两点P （1x ，1y )和Q （2x ，2y ）有12<1<x x ，且12>2x x +，∴211>1x x --，
又∵抛物线221y x x m =-+++的对称轴为1x =，∴12>y y ，故命题“抛物线上有两点P （1x ，1y ）和Q （2x ，2y ）
，若12<1<x x ，且12>2x x +，则12>y y ” 是真命题； ④如答图，作点E 关于x 轴的对称点M ，作点D 关于y 轴的对称点N ，
连接MN ，ME 和ND 的延长线交于点P ，则MN 与x 轴和y 轴的交点G ，F 即为使四边形EDFG 周长最小的点。

∵2m =，
∴223y x x =-++的顶点D 的坐标为（1，4)，点C 的坐标为（0，3）。

∵点C 关于抛物线对称轴的对称点为E ，∴点E 的坐标为(2，3）. ∴点M 的坐标为()2,3- ,点N 的坐标为()1,4- ,点P 的坐标为（2，4)。

∴2222112,3758DE MN =+==+= 。

∴当2m =时，四边形EDFG 周长的最小值为258DE MN +=+.
故命题“点C 关于抛物线对称轴的对称点为E ，点G ，F 分别在x 轴和y 轴上，当2m =时,四边形
EDFG 周长的最小值为62” 不是真命题。

综上所述，真命题的序号是③. 故选C 。

3. （2015年浙江宁波4分）二次函数)0(4)4(2
≠--=a x a y 的图象在2<x 〈3这一段位于x 轴的下方，在6〈x <7这一段位于x 轴的上方，则a 的值为【 】
A. 1
B. —1
C. 2 D 。

-2
【答案】A 。

【考点】二次函数的性质;解一元一次不等式组；特殊元素法的应用.
【分析】∵二次函数2(4)4(0)y a x a =--≠的图象在2<x 〈3这一段位于x 轴的下方，在6<x <7这一段位于
x 轴的上方,
∴当52x =
时，二次函数2(4)4(0)y a x a =--≠的图象位于x 轴的下方；当132
x =时，二次函数2(4)4(0)y a x a =--≠的图象位于x 轴的上方。

∴2
2165<(4)4<016169
2<<1316
259(4)4>0>225a a a a a ⎧⎧--⎪⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎪⎪--⎪⎪⎩⎩
.
∴a 的值为1。

故选A 。

4. （2015年浙江衢州3分)如图，已知等腰,ABC AB BC ∆= ，以AB 为直径的圆交AC 于点D ,过点D 的O 的切线交BC 于点E ，若5,4CD CE == ,则O 的半径是【 】
A. 3
B. 4 C 。

256 D. 25
8
【答案】D ．
【考点】等腰三角形的性质；切线的性质；平行的判定和性质；矩形的判定和性质；勾股定理；方程思想的应用．
【分析】如答图,连接OD ，过点B 作BF OD ⊥于点F ，
∵AB BC =,∴A C ∠=∠.
∵AO DO =，∴A ADO ∠=∠。

∴C ADO ∠=∠。

∴//OD BC . ∵DE 是O 的切线，∴DE OD ⊥。

∴DE BC ⊥。

∴90CED ∠=︒，且四边形DEBF 是矩形。

∵5,4CD CE == ，∴由勾股定理,得3DE =. 设
O 的半径是x ,
则(),3,244OB x BF OF x BE x x x ===-=--=- .
∴由勾股定理,得2
2
2
OB OF BF =+,即()2
22
34x x =+-，解得258
x =。

∴
O 的半径是
258。

故选D ．
5。

（2015年浙江温州4分）如图,点A 的坐标是（2，0）,△ABO 是等边三角形，点B 在第一象限. 若反比例函数x
k
y =
的图象经过点B,则k 的值是【 】
A. 1 B 。

2 C 。

3 D. 32
【答案】C 。

【考点】反比例函数综合题；曲线上点的坐标与方程的关系；等边三角形的性质;勾股定理. 【分析】如答图,过点B 作BD ⊥x 于点D ，
∵点A 的坐标是(2，0），△ABO 是等边三角形， ∴OB=OA=2,OD=1。

∴由勾股定理得，BD=3。

∵点B 在第一象限,∴点B 的坐标是1,3 。

∵反比例函数k y x =的图象经过点B ，∴331
k
k =⇒=. 故选C.
6. (2015年浙江温州4分）如图，C 是以AB 为直径的半圆O 上一点,连结AC,BC ，分别以AC ，BC 为边向外
作正方形ACDE,BCFG,DE,FG ，AC BC ，
的中点分别是M ，N ，P ，Q. 若MP+NQ=14,AC+BC=18，则AB 的长是【 】
A 。

29
B 。

7
90
C. 13
D. 16 【答案】C.
【考点】正方形的性质;垂径定理；梯形的中位线定理；方程思想、转换思想和整体思想的应用。

【分析】如答图，连接OP 、OQ,
∵DE ，FG ，AC BC ，
的中点分别是M,N ，P ，Q ， ∴点O 、P 、M 三点共线,点O 、Q 、N 三点共线。

∵ACDE,BCFG 是正方形， ∴AE=CD=AC,BG=CF=BC 。

设AB=2r ，则,OM MP r ON NQ r =+=+ . ∵点O 、M 分别是AB 、ED 的中点， ∴OM 是梯形ABDE 的中位线.
∴()()()1112222OM AE BD AE CD BC AC BC =+=++=+，即()1
22
MP r AC BC +=+. 同理,得()1
22
NQ r BC AC +=+.
两式相加，得()3
22
MP NQ r AC BC ++=+。

∵MP+NQ=14,AC+BC=18,∴3
142182132
r r +=⨯⇒=。

故选C.
7。

(2015年浙江舟山3分） 如图，抛物线221y x x m =-+++交x 轴于点A （a ，0）和B （b , 0)，交y 轴于点C ,抛物线的顶点为D 。

下列四个命题：①当>0x 时，>0y ；②若1a =-,则4b =；③抛物线上有两点P （1x ,1y ）和Q (2x ，2y ）,若12<1<x x ，且12>2x x +,则12>y y ；④点C 关于抛物线对称轴的对称点为E ，点G ，F 分别在x 轴和y 轴上，当2m =时，四边形EDFG 周长的最小值为62。

其中真命题的序号是【 】
A. ① B 。

② C 。

③ D 。

④ 【答案】C 。

【考点】真假命题的判断；二次函数的图象和性质;曲线上点的坐标与方程的关系；轴对称的应用(最短线路问题）；勾股定理。

【分析】根据二次函数的图象和性质对各结论进行分析作出判断：
①从图象可知当>>0x b 时,<0y ，故命题“当>0x 时，>0y "不是真命题； ②∵抛物线221y x x m =-+++的对称轴为2
12
x =-
=-,点A 和B 关于轴对称，
∴若1a =-,则3b =，故命题“若1a =-，则4b ="不是真命题；
③∵故抛物线上两点P （1x ，1y ）和Q （2x ，2y ）有12<1<x x ,且12>2x x +，∴211>1x x --，
又∵抛物线221y x x m =-+++的对称轴为1x =，∴12>y y ,故命题“抛物线上有两点P （1x ，1y )和Q （2x ，2y ）,若12<1<x x ，且12>2x x +,则12>y y ” 是真命题;
④如答图，作点E 关于x 轴的对称点M ，作点D 关于y 轴的对称点
N ,连接MN ，ME 和ND 的延长线交于点P ，则MN 与x 轴和y 轴的交点G ，F 即为使四边形EDFG 周长最小的点。

∵2m =，
∴223y x x =-++的顶点D 的坐标为（1，4），点C 的坐标为（0，3）. ∵点C 关于抛物线对称轴的对称点为E ，∴点E 的坐标为（2,3). ∴点M 的坐标为()2,3- ，点N 的坐标为()1,4- ,点P 的坐标为（2，4). ∴2222112,3758DE MN =+==+= .
∴当2m =时，四边形EDFG 周长的最小值为258DE MN +=+.
故命题“点C 关于抛物线对称轴的对称点为E ，点G ，F 分别在x 轴和y 轴上，当2m =时，四边形
EDFG 周长的最小值为62" 不是真命题.
综上所述，真命题的序号是③. 故选C 。

1。

（2015年浙江杭州4分）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，设点P (1，t )在反比例函数2
y x
=的图象上，过点P 作直线l 与x 轴平行,点Q 在直线l 上,满足QP =OP ，若反比例函数k
y x
=的图象经过点Q ，则k = ▲ 【答案】225+或225-
【考点】反比例函数的性质;曲线上点的坐标与方程的关系；勾股定理；分类思想的应用. 【分析】∵点P （1，t ）在反比例函数2y x =
的图象上，∴2
21
t ==.∴P (1，2）。

∴OP =5。

∵过点P 作直线l 与x 轴平行，点Q 在直线l 上,满足QP =OP ， ∴Q ()15,2+ 或Q ()
15,2- . ∵反比例函数k
y x
=
的图象经过点Q ， ∴当Q ()
15,2+ 时，()152225k =+⋅=+；Q ()15,2- 时，()
152225k =-⋅=-。

2。

（2015年浙江湖州4分)已知正方形ABC 1D 1的边长为1，延长C 1D 1到A 1，以A 1C 1为边向右作正方形A 1C 1C 2D 2，延长C 2D 2到A 2，以A 2C 2为边向右作正方形A 2C 2C 3D 3(如图所示），以此类推⋯，若A 1C 1=2,且点A ，D 2， D 3,⋯，D 10都在同一直线上，则正方形A 9C 9C 10D 10的边长是 ▲
【答案】8732
.
【考点】探索规律题（图形的变化）；正方形的性质；相似三角形的判定和性质.
【分析】如答图，设AD 10与A 1C 1相交于点E ，
则121AD E D A E ∆∆∽，∴
11211AD D E
D A A E
=。

设1A E x =，
∵AD 1=1,A 1C 1=2，∴2112,1D A D E x ==- . ∴
11223
x x x -=⇒=。

易得21322D A E D A D ∆∆∽，∴
2113222
D A A E
D A A D =. 设32D A y =，则222A D y =-，∴2
2332y y y =⇒=-即21323222332C C D A --===. 同理可得，3141
4354324233,,22
C C C C ----==⋅⋅⋅
∴正方形A 9C 9C 10D 10的边长是918
1099273322
C C --==.
3。

(2015年浙江嘉兴5分）如图，在直角坐标系xOy 中，已知点A （0，1），点P 在线段OA 上，以AP 为半径的⊙P 周长为1. 点M 从A 开始沿⊙P 按逆时针方向转动，射线AM 交x 轴于点N （n ,0）. 设点M 转过的路程为m （0<<1m ）.
（1）当1
4
m =
时，n = ▲ ； (2）随着点M 的转动，当m 从1
3
变化到23时，点N 相应移动的路径长为 ▲
【答案】（1）1-;（2）
23
3。

【考点】单点和线动旋转问题；圆周角定理；等腰直角三角形的判定和性质;等边三角形的判定和性质；含30度直角三角形的性质. 【分析】(1）当1
4
m =
时,090APM ∠=,∴045NAO ∠=. ∵A （0，1)，∴1ON OA ==。

∴1n =-. (2)∵以AP 为半径的⊙P 周长为1，
∴当m 从13变化到
2
3
时，点M 转动的圆心角为120°，即圆周角为60°。

∴根据对称性，当点M 转动的圆心角为120°时,点N 相应移动的路径起点和终点关于y 轴对称。

∴此时构成等边三角形，且030OAN ∠=。

∵点A （0，1),即OA =1，∴1333
ON =
=。

∴当m 从1
3变化到
2
3
时，点N 相应移动的路径长为323233⨯=。

4. （2015年浙江金华4分）如图，在平面直角坐标系中，菱形OBCD 的边OB 在x 轴正半轴上，反比例函数
k
y (x 0)x
=
>的图象经过该菱形对角线的交点A ，且与边BC 交于点F 。

若点D 的坐标为(6，8），则点F 的坐标是 ▲
【答案】8123⎛⎫ ⎪⎝⎭
，。

【考点】反比例函数综合题；曲线上点的坐标与方程的关系；待定系数法的应用；菱形的性质;中点坐标;方程思想的应用.
【分析】∵菱形OBCD 的边OB 在x 轴正半轴上，点D 的坐标为（6，8），
∴22OD DC OD 6810===+.∴点B 的坐标为（10，0）,点C 的坐标为(16，8）。

∵菱形的对角线的交点为点A ，∴点A 的坐标为（8，4）.
∵反比例函数k
y (x 0)x =>的图象经过点A ，∴k 8432=⋅=。

∴反比例函数为32
y x
=。

设直线BC 的解析式为y mx n =+，∴4m 16m n 83
10m n 040n 3⎧=
⎪+=⎧⎪⇒⎨⎨
+=⎩⎪=-
⎪⎩
. ∴直线BC 的解析式为440
y x 33
=
-。

联立440x 12y x 33832y y 3x ⎧
==-⎧⎪⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎪=⎩⎪⎩。

∴点F 的坐标是8123⎛
⎫ ⎪⎝⎭
，。

5. （2015年浙江丽水4分）如图,反比例函数x
k
y =
的图象经过点(—1,22-),点A 是该图象第一象限分支上的动点，连结AO 并延长交另一支于点B ，以AB 为斜边作等腰直角三角形ABC ，顶点C 在第四象限，AC 与x 轴交于点P ，连结BP 。

（1)k 的值为 ▲ .
（2）在点A 运动过程中，当BP 平分∠ABC 时，点C 的坐标是 ▲ 。

【答案】（1）22k = ；（2）（2，2-).
【考点】反比例函数综合题；曲线上点的坐标与方程的关系;勾股定理；等腰直角三角形的性质;角平分线的性质；相似、全等三角形的判定和性质;方程思想的应用. 【分析】（1)∵反比例函数k
y x
=
的图象经过点(—1,22-）， ∴22221
k
k -=
⇒=-。

（2）如答图1，过点P 作PM ⊥AB 于点M ，过B 点作BN ⊥x 轴于点N ，
设22,A x x ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ ，则22,B x x ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝
⎭ -. ∴228
2AB x x
=+
. ∵△ABC 是等腰直角三角形,∴22
82BC AC x x ⎛
⎫
==+ ⎪⎝
⎭
，∠BAC =45°。

∵BP 平分∠ABC ，∴()BPM BPC AAS ∆∆≌。

∴2282BM BC x x ⎛
⎫==+ ⎪⎝
⎭.
∴()
22
8
22
AM AB BM x x =-=-+
.∴()
22
822PM AM x x ==-+
.
又∵22
8
OB x x =+
，∴(
)
22
8
21
OM BM OB x x =-=-+。

易证OBN OPM ∆∆∽,∴
ON BN OB
OM PM OP
==。

由ON BN
OM PM
=得，()()
()
222
2
228821
22x x x x x
x
⎛⎫-- ⎪
--⎝⎭
=
-+-+，
解得2x =。

∴(
)2,2A
，()
2,2B - -。

如答图2，过点C 作EF ⊥x 轴,过点A 作AF ⊥EF 于点F ,过B 点作BE ⊥EF 于点E , 易知，()BCE CAF HL ∆∆≌，∴设CE AF y ==. 又∵23,22BC BE y ==+ ，
∴根据勾股定理，得222BC BE CE =+,即()(
)
2
2
223
22y
y =++。

∴22220y y +-=，解得22y =-或22y =+（舍去）。

∴由(
)
2,2A
，()2,2B - -可得()
2,2C -.
6。

（2015年浙江绍兴5分)在平面直角坐标系的第一象限内，边长为1的正方形ABCD 的边均平行于坐标轴,A 点的坐标为(a ，a ）.如图，若曲线3
(0)=>y x x
与此正方形的边有交点,则a 的取值范围是 ▲
【答案】313-≤≤a .
【考点】反比例函数的性质;正方形的性质；曲线上点的坐标与方程的关系；分类思想和数形结合思想的应用。

【分析】根据题意，当点A 在曲线3(0)=>y x x 上时，a 取得最大值；当点C 在曲线3
(0)=>y x x
上时，a 取得最小值。

当点A 在曲线3(0)=
>y x x 上时，23
33=⇒=⇒=±a a a a (舍去负值）. 当点C 在曲线3
(0)=>y x x 上时，易得C 点的坐标为()11++a a ，，
∴()2
311313131+=⇒+=⇒+=±⇒=-±+a a a a a （舍去负值）。

∴若曲线3
(0)=>y x x
与正方形的边有ABCD 交点,a 的取值范围是313-≤≤a .
7. （2015年浙江义乌4分）在平面直角坐标系的第一象限内,边长为1的正方形ABCD 的边均平行于坐标轴，A 点的坐标为（a ,a )。

如图，若曲线3
(0)=>y x x
与此正方形的边有交点,则a 的取值范围是 ▲
313≤≤a .
【考点】反比例函数的性质;正方形的性质；曲线上点的坐标与方程的关系;分类思想和数形结合思想的应用. 【分析】根据题意，当点A 在曲线3(0)=>y x x 上时，a 取得最大值；当点C 在曲线3
(0)=>y x x
上时，a 取得最小值.
当点A 在曲线3(0)=
>y x x 上时,23
33=⇒=⇒=±a a a a （舍去负值）。

当点C 在曲线3
(0)=>y x x 上时，易得C 点的坐标为()11++a a ，,
∴()2
311313131+=
⇒+=⇒+=±⇒=-+a a a a a 舍去负值）. ∴若曲线3
(0)=>y x x
与正方形的边有ABCD 交点，a 313≤≤a 8. （2015年浙江舟山4分）如图，在直角坐标系xOy 中，已知点A (0，1）,点P 在线段OA 上，以AP 为半径的⊙P 周长为1. 点M 从A 开始沿⊙P 按逆时针方向转动，射线AM 交x 轴于点N （n ，0）. 设点M 转过的路程为m (0<<1m ). 随着点M 的转动,当m 从13变化到
2
3
时，点N 相应移动的路径长为 ▲
【答案】
23
3
. 【考点】单点和线动旋转问题；圆周角定理；等边三角形的判定和性质；含30度直角三角形的性质。

【分析】∵以AP 为半径的⊙P 周长为1，
∴当m 从13变化到
2
3
时,点M 转动的圆心角为120°，即圆周角为60°。

∴根据对称性，当点M 转动的圆心角为120°时，点N 相应移动的路径起点和终点关于y 轴对称。

∴此时构成等边三角形，且030OAN ∠=. ∵点A （0，1），即OA =1,∴13
33
ON =
=。

∴当m 从1
3变化到
2
3
时,点N 相应移动的路径长为323233⨯=。

1. （2015年浙江杭州12分）方成同学看到一则材料,甲开汽车，乙骑自行车从M 地出发沿一条公路匀速前往N 地，设乙行驶的时间为t (h ），甲乙两人之间的距离为y (km )，y 与t 的函数关系如图1所示，方成思考后发现了图1的部分正确信息，乙先出发1h ，甲出发0。

5小时与乙相遇，⋯⋯，请你帮助方成同学解决以下问题： （1）分别求出线段BC ，CD 所在直线的函数表达式； （2）当20〈y <30时,求t 的取值范围；
（3）分别求出甲、乙行驶的路程S 甲、S 乙与时间t 的函数表达式,并在图2所给的直角坐标系中分别画出它们的图象;
（4）丙骑摩托车与乙同时出发，从N 地沿同一条公路匀速前往M 地，若丙经过h 与乙相遇，问丙出发后多少时间与甲相遇。

图2
图1t (h )y (km )
1003
73
11.54
O
A C D
B 1
10S (km )
t (h )
【答案】解：（1）设线段BC 所在直线的函数表达式为11y k t b =+，
∵37100,0,,233B C ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，∴11113
0271003
3k b k b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=
⎪⎩，解得114060k b =⎧⎨=-⎩。

∴线段BC 所在直线的函数表达式为4060y t =-。

设线段CD 所在直线的函数表达式为22y k t b =+,
∵()7100,,4,033C D ⎛⎫
⎪⎝⎭ ,∴22117
1003340
k b k b ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得222080k b =-⎧⎨=⎩。

∴线段BC 所在直线的函数表达式为2080y t =-+.
（2）∵线段OA 所在直线的函数表达式为()2001y t t =≤≤，∴点A 的纵坐标为20。

当20<<30y 时，即20<4060<30t -或20<20800<30t -+， 解得92<<
4t 或5
<<32
t . ∴当20<<30y 时， t 的取值范围为92<<
4t 或5
<<32
t . （3)()60601<3S t t =-≤甲，()201<4S t t =≤乙.所画图形如答图：
(4）当4
3
t =
0时,803S =乙，
∴丙距M地的路程S
丙与时间t的函数关系式为()
408002
S t t
=-+≤≤
丙。

联立
6060
4080
S t
S t
=-
⎧
⎨
=-+
⎩
，解得()
60601<3
S t t
=-≤
甲
与()
408002
S t t
=-+≤≤
丙
图象交点的
横坐标为7
5
，
∴丙出发后
7
5
h与甲相遇.
【考点】一次函数的图象和性质；待定系数法的应用;直线上点的坐标与方程的关系;解方程组和不等式组；分类思想的应用.
【分析】（1）应用待定系数法即可求得线段BC，CD所在直线的函数表达式.
（2）求出点A的纵坐标，确定适用的函数，解不等式组求解即可.
（3）求函数表达式画图即可。

（4)求出S
丙与时间t的函数关系式,与()
60601<3
S t t
=-≤
甲
联立求解。

2。

（2015年浙江嘉兴12分）某企业接到一批粽子生产任务，按要求在15天内完成，约定这批粽子的出厂价为每只6元。

为按时完成任务,该企业招收了新工人，设新工人李明第x天生产的粽子数量为y只，y与x
满足如下关系式：
()
()
5005
301205<15
x x
y
x x
⎧≤≤
⎪
=⎨
+≤
⎪⎩。

（1）李明第几天生产的粽子数量为420只？
（2）如图,设第x天每只粽子的成本是p元，p与x之间的关系可用图中的函数图象来刻画. 若李明第x天创造的利润为w元，求w与x之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大？最大值是多少元（利润=出厂价-成本)？
【答案】解:（1)设李明第n 天生产的粽子数量为420只，
根据题意，得30120420n +=， 解得10n =.
答：李明第10天生产的粽子数量为420只。

（2)由图象可知,当0<9x ≤时, 4.1p =；
当915x ≤≤时，设p kx b =+，
把点(9,4.1），（15，4.7）代入止式,得9 4.115 4.7k b k b +=⎧⎨+=⎩,解得0.1
3.2k b =⎧⎨=⎩
.
∴0.1 3.2p x =+。

①05x ≤≤时，()6 4.154102.6w x x =-⋅=，当5x =时，513w =最大（元）； ②5<<9x 时,()()6 4.130********w x x =-⋅+=+, ∵x 是整数，∴当8x =时，684w =最大（元）；
③915x ≤≤时,()()()2
260.1 3.230120372336312768w x x x x x =--⋅+=-++=--+， ∵3<0-，∴当12x =时，768w =最大（元).
综上所述，w 与x 之间的函数表达式为()
()()
2
102.605572285<<9372336915x x w x x x x x ⎧≤≤⎪
=+⎨⎪-++≤≤⎩，第12天的利润
最大,最大值是768元.
【考点】一元一次方程、一次函数和二次函数的综合应用；分类思想的应用。

【分析】（1）方程的应用解题关键是找出等量关系,列出方程求解. 本题设李明第n 天生产的粽子数量为420只，等量关系为：“第n 天生产的粽子数量等于420只”。

(2）先求出p 与x 之间的关系式，分05x ≤≤，5<<9x ，915x ≤≤三种情况求解即可.
3。

（2015年浙江金华10分）图1，图2为同一长方体房间的示意图,图2为该长方体的表面展开图。

（1）蜘蛛在顶点A'处①苍蝇在顶点B 处时，试在图1中画出蜘蛛为捉住苍蝇,沿墙面爬行的最近路线;②苍蝇在顶
点C 处时，图2中画出了蜘蛛捉住苍蝇的两条路线，往天花板ABCD 爬行的最近路线A'GC 和往墙面BB'C'C 爬行的最近路线A'HC ,试通过计算判断哪条路线更近？
（2）在图3中，半径为10dm 的⊙M 与D'C'相切，圆心M 到边CC'的距离为15dm ，蜘蛛P 在线段AB 上，苍蝇Q 在⊙M 的圆周上，线段PQ 为蜘蛛爬行路线。

若PQ 与⊙M 相切,试求PQ 的长度的范围。

【答案】解:（1）①如答图1，连结A'B ，线段A'B 就是所求作的最近路线。

②两种爬行路线如答图2所示， 由题意可得:
在Rt △A'C ’C 2中， A ’HC 2=2
2
2
2
2A'C'C'C 70305800+=+= （dm); 在Rt △A ’B ’C 1中, A'GC 1=22221A'B'B'C 40605200+=+=(dm ） ∵5800＞，∴路线A ’GC 1更近。

（2)如答图，连接MQ ，
∵PQ 为⊙M 的切线，点Q 为切点， ∴MQ ⊥PQ 。

∴在Rt △PQM 中，有PQ 2=PM 2－QM 2= PM 2－100， 当MP ⊥AB 时，MP 最短，PQ 取得最小值，如答图3, 此时MP=30+20=50，
∴PQ=2222PM QM 5010206-=-= （dm)。

当点P 与点A 重合时, MP 最长，PQ 取得最大值，如
答图4，
过点M 作MN ⊥AB ，垂足为N ， ∵由题意可得 PN=25，MN=50，
∴在Rt △PMN 中,22222PM AN MN 2550=+=+. ∴
在
Rt △PQM
中
，
PQ=22222PM QM 25501055-=
+-= （dm ）。

综上所述， PQ 长度的取值范围是206dm PQ 55dm ≤≤。

【考点】长方体的表面展开图;双动点问题;线段、垂直线段最短的性质；直线与圆的位置关系；勾股定理。

【分析】（1)①根据两点之间线段最短的性质作答。

②根据勾股定理，计算两种爬行路线的长，比较即可得到结论。

（2）当MP ⊥AB 时，MP 最短,PQ 取得最小值;当点P 与点A 重合时， MP 最长，PQ 取得最大值.
求出这两种情况时的PQ 长即可得出结论。

4。

(2015年浙江金华12分)如图，抛物线2y ax c(a 0)=+≠与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ，C 两点（点C 在x 轴正半轴上）,△ABC 为等腰直角三角形，且面积为4。

现将抛物线沿BA 方向平移，平移后的抛物线经过点C 时，与x 轴的另一交点为E ，其顶点为F ，对称轴与x 轴的交点为H 。

(1）求a ，c 的值；
(2）连结OF,试判断△OEF 是否为等腰三角形,并说明理由；
（3）现将一足够大的三角板的直角顶点Q 放在射线AF 或射线HF 上，一直角边始终过点E ，另一直角边与y 轴相交于点P ，是否存在这样的点Q ，使以点P,Q ，E 为顶点的三角形与△POE 全等？若存在，求出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由。

【答案】解：（1)∵△ABC 为等腰直角三角形，∴OA=
1
2
BC 。

又∵△ABC 的面积=
12
BC×OA=4，即2OA =4，∴OA=2. ∴A 02 （，），B 20- （，），C 20 （，）。

∴c 24a c 0=⎧⎨+=⎩，解得1a 2c 2
⎧=-⎪⎨⎪=⎩。

∴1
a ,c 22
=-= .
（2）△OEF 是等腰三角形。

理由如下：如答图1,
∵A 02 （，），B 20- （，）， ∴直线AB 的函数表达式为y x 2=+， 又∵平移后的抛物线顶点F 在射线BA 上， ∴设顶点F 的坐标为（m ，m+2）.
∴平移后的抛物线函数表达式为21y (x m)m 22
=--++. ∵抛物线过点C 20 （，）
， ∴21(2m)m 202
--++=，解得12m 0(m 6==舍去），. ∴平移后的抛物线函数表达式为21y (x 6)82
=--+，即2
1y x 6x 102
=-+-.。

当y=0时，2
1x 6x 1002
-
+-=,解得12x 2,x 10==。

∴E （10，0）,OE=10。

又F （6，8），OH=6，FH=8。

∴2222OF OH FH 6810=+=+=，2222EF FH HE 8445=+=+=，
∴OE=OF ，即△OEF 为等腰三角形。

（3）存在. 点Q 的位置分两种情形：
情形一：点Q 在射线HF 上， 当点P 在x 轴上方时，如答图2. ∵△PQE ≌△POE,∴ QE=OE=10.
在Rt △QHE 中，2222QH QE HE 104221=-=-=， ∴Q (6,221) .
当点P 在x 轴下方时,如答图3，有PQ=OE=10， 过P 点作PK HF ⊥于点K ，则有PK=6.
在Rt △PQK 中，2222QK PQ PK 1068=-=-=, ∵PQE 90︒
∠=,∴PQK HQE 90︒
∠+∠=。

∵HQE HEQ 90︒∠+∠=，∴PQK HEQ ∠=∠. 又∵PKQ QHE 90︒∠=∠=,∴PKQ QHE ∆∆∽. ∴PK QK QH HE =， 即68QH 4=，解得QH 3=。

∴Q ()63 ，。

情形二：点Q 在射线AF 上，
当PQ=OE=10时，如答图4，有QE=PO, ∴四边形POEQ 为矩形，∴Q 的横坐标为10。

当x 10=时，y x 212=+=， ∴Q (10,12) . 当QE=OE=10时,如答图5.
过Q 作QM y ⊥轴于点M ，过E 点作x 轴的垂线交QM 于点N ， 设Q 的坐标为(x,x 2)+ ，∴MQ x,QN 10x,EN x 2==-=+ 。

在Rt QEN ∆中，有2
2
2
QE QN EN =+， 即2
2
210(10x)(x 2)=-++，解得x 414=±。

当x 414=+时，如答图5，y x 2614=+=+，∴Q (414,614)++ 。

当x 414=-时，如答图6，y x 2614=+=-，∴Q (414,614)-- 。

综上所述，存在点Q (6,221) 或()63 ，或(10,12) 或(414,614)++ 或
(414,614)-- ，使以P ，Q,E 三点为顶点的三角形与△POE 全等。

【考点】二次函数综合题；线动平移和全等三角形存在性问题；等腰直角三角形的性质；待定系数法的应用;曲线上点的坐标与方程的关系;勾股定理;全等三角形的判定和性质;相似三角形的判定和性质；分类思想和方程思想的应用。

【分析】（1）由△ABC 为等腰直角三角形求得点A 、B 、C 的坐标，应用待定系数法即可求得a ，c 的值.
(2)求得平移后的抛物线解析式,从而求得点E 、F 的坐标，应用勾股定理分别求出OE 、OF 、EF 的长，
从而得出结论。

(3）分点Q 在射线HF 上和点Q 在射线AF 上两种情况讨论即可。

5. （2015年浙江丽水8分)某运动品牌对第一季度A 、B 两款运动鞋的销售情况进行统计，两款运动鞋的销售量及总销售额如图所示:
（1）一月份B 款运动鞋的销售量是A 款的
4
5
，则一月份B 款运动鞋销售了多少双？ （2）第一季度这两款运动鞋的销售单价保持不变，求三月份的总销售额(销售额=销售单价×销售量); （3)结合第一季度的销售情况，请你对这两款运动鞋的进货、销售等方面提出一条建议。

【答案】解：（1）∵4
50405
⨯
=，
∴一月份B 款运动鞋销售了40双。

（2）设A 、B 两款运动鞋的销售单价分别为,x y 元，
则根据题意，得504040000605250000x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得400
500x y =⎧⎨=⎩。

∴三月份的总销售额为400655002039000⨯+⨯=(元）。

(3)答案不唯一,如:
从销售量来看，A 款运动鞋销售量逐月上升，比B 款运动鞋销售量大,建议多进A 款运动鞋,
少进或不进B 款运动鞋.
从总销售额来看，由于B 款运动鞋销售量逐月减少，导致总销售额减少,建议采取一些促销
手段，增加B 款运动鞋的销售量。

【考点】开放型;代数和统计的综合题；条形统计图和折线统计图; 二元一次方程组的应用。

【分析】（1)根据条形统计图A 款运动鞋的销售量和B 款运动鞋的销售量是A 款的
4
5
即可列式求解. (2）方程（组）的应用解题关键是找出等量关系，列出方程（组）求解。

本题设A 、B 两款运动鞋的
销售单价分别为,x y 元，等量关系为：“一月份A 、B 两款运动鞋的总销售额40000元"和“二月份A 、B 两款运动鞋的总销售额50000元”。

（3）答案不唯一,合理即可.
6. (2015年浙江宁波12分）如图1,点P 为∠MON 的平分线上一点,以P 为顶点的角的两边分别与射线OM ,ON 交于A ,B 两点,如果∠APB 绕点P 旋转时始终满足2
OP OB OA =⋅，我们就把∠APB 叫做∠MON 的智慧角。

(1）如图2,已知∠MON =90°，点P 为∠MON 的平分线上一点,以点P 为顶点的角的两边分别与射线OM ，ON 交于A ，B 两点,且∠APB =135°. 求证：∠APB 是∠MON 的智慧角；
（2）如图1，已知∠MON =α（0°<α〈90°）,OP =2，若∠APB 是∠MON 的智慧角，连结AB ，用含α的式子分别表示∠APB 的度数和△AOB 的面积； (3)如图3，C 是函数)0(3
>=
x x
y 图象上的一个动点，过点C 的直线CD 分别交x 轴和y 轴于点A ，B 两点，且满足BC =2CA ，请求出∠AOB 的智慧角∠APB 的顶点P 的坐标。

【答案】解：(1）证明：∵∠MON =90°，点P 为∠MON 的平分线上一点，
∴1
452
AOP BOP MON ∠=∠=∠=︒。

∵180AOP OAP APO ∠+∠+∠=︒，∴135OAP APO ∠+∠=︒。

∵135APB ∠=︒,∴135APO OPB ∠+∠=︒.∴OAP OPB ∠=∠. ∴AOP POB ∆∆∽.∴
OA OP
OP OB
=
,即2OP OA OB =⋅。

∴∠APB 是∠MON 的智慧角。

（2）∵∠APB 是∠MON 的智慧角,
∴2OP OA OB =⋅，即
OA OP
OP OB
=
. ∵点P 为∠MON 的平分线上一点， ∴12
AOP BOP α∠=∠=.
∴AOP POB ∆∆∽.∴OAP OPB ∠=∠。

∴11802
APB OPB OPA OAP OPA α∠=∠+∠=∠+∠=︒-。

如答图1,过点A 作AH ⊥OB 于点H ， ∴2111
sin sin 222
AOB S OB AH OB OA OP αα∆=
⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅. ∵2OP =，∴2sin AOB S α∆=.
（3）设点(),C a b ，则3ab =.如答图,过C 点作CH ⊥OA 于点H 。

i ）当点B 在y 轴的正半轴时，
如答图2，当点A 在x 轴的负半轴时,2BC CA =不可能。

如答图3,当点A 在x 轴的正半轴时， ∵2BC CA =，∴
1
3
CA AB =。

∵CH ∥OB ，∴ACH ABO ∆∆∽。

∴13CH AH CA OB OA AB ===.∴3
3,2
OB b OA a == 。

∴927
22
OA OB ab ⋅=
=. ∵∠APB 是∠AOB 的智慧角，∴273
622
OP OA OB =⋅=
=。

∵∠AOB=90°，OP 平分∠AOB ,∴点P 的坐标为3333,22⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
.
ii ）当点B 在y 轴的负半轴时，如答图4 ∵2BC CA =，∴AB CA =。

∵∠AOB=∠AHC=90°，∠BAO=∠CAH ,∴ACH ABO ∆∆∽. ∴1,2OB CH b OA AH a ====
.∴13
22
OA OB ab ⋅==. ∵∠APB 是∠AOB 的智慧角,∴31
622
OP OA OB ⋅=
∵∠AOB=90°，OP 平分∠AOB ,∴点P 的坐标为33⎝⎭.
综上所述，点P 的坐标为3333⎝⎭ 或33⎝⎭
. 【考点】新定义和阅读理解型问题;单动点和旋转问题；相似三角形的判定和性质；锐角三角函数定义；反比例函数的性质;曲线上点的坐标与方程的关系；分类思想的应用.
【分析】（1）通过证明AOP POB ∆∆∽,即可得到2OP OA OB =⋅，从而证得∠APB 是∠MON 的智慧角。

（2）根据2111
sin sin 222
AOB S OB AH OB OA OP αα∆=
⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅得出结果. （3)分点B 在y 轴的正半轴，点B 在y 轴的负半轴两种情况讨论.
7. (2015年浙江宁波14分）如图，在平面直角坐标系中，点M 是第一象限内一点,过M 的直线分别交x 轴，y 轴的正半轴于A ，B 两点，且M 是AB 的中点。

以OM 为直径的⊙P 分别交x 轴，y 轴于C ，D 两点,交直线AB 于点E (位于点M 右下方），连结DE 交OM 于点K .
（1）若点M 的坐标为（3,4),①求A ，B 两点的坐标； ②求ME 的长；
（2）若
3=MK
OK
，求∠OBA 的度数； （3)设x OBA =∠tan （0〈x 〈1)，
y MK
OK
=，直接写出y 关于x 的函数解析式.
【答案】解：（1）①如答图，连接,DM MC ，
∵OM 是⊙P 的直径，∴90MDO MCO ∠=∠=︒. ∵90AOB ∠=︒，∴MD ∥OA ,MC ∥OB 。

∵点M 是AB 的中点，
∴点D 是AB 的中点，点C 是OA 的中点. ∵点M 的坐标为（3，4）,
∴28,26OB MC OA MD ==== 。

∴点B 的坐标为（0，8），点A 的坐标为（6,0）. ②在Rt AOB ∆中，∵6,8OA OB == , ∴由勾股定理，得10AB =. ∵点M 是AB 的中点，∴1
52
BM AB =
=. ∵BOM BED ∠=∠，OBM EBD ∠=∠，∴OBM EBD ∆∆∽.∴BM BO
BD BE
=。

∴48
6.45
BO BD BE BM ⋅⨯=
==.∴ 6.45 1.4ME BE BM =-=-=。

(2）如答图，连接DP ,
∵
3OK
MK
=，∴3,4OK MK OM MK == .∴PK MK =. ∵,OP PM BD DO == ，∴DP 是BOM ∆的中位线. ∴DP ∥BM .∴PDK MEK ∠=∠ 又∵PKD MKE ∠=∠.∴()DPK EMK AAS ∆∆≌。

∴DK KE =. ∵OM 是⊙P 的直径，∴OM DE ⊥。

∴cos PK
DPK PD
∠=。

∵2DP PM M E ==，∴1
cos 2
DPK ∠=
.∴60,30DPK DOM ∠=︒∠=︒ 。

∵在Rt AOB ∆中，点M 是AB 的中点，∴BM MO =. ∴30OBA DOM ∠=∠=︒。

（3）y 关于x 的函数解析式为2
2
1y x
=
-. 【考点】圆的综合题；圆周角定理；平行的性质；点的坐标；勾股定理；相似三角形的判定和性质；三角形中位线定理;全等三角形的判定和性质；锐角三角函数定义；特殊角的三角函数值;等腰三角形的性质；由实际问题列函数关系式；方程思想的应用.
【分析】（1)①连接,DM MC ,由三角形中位线定理求得A ，B 两点的坐标.
②要求ME 的长,由ME BE BM =-知只要求出BE 和BM 的长即可,BM 的长可由AB 长的一半
求得，而AB 长可由勾股定理求得；BE 的长可由OBM EBD ∆∆∽的对应边成比例列式求得。

(2）连接DP ,求得()DPK EMK AAS ∆∆≌得到DK KE =，由2DP PM M E ==得到1
cos 2
DPK ∠=
,即60,DPK ∠=︒因此求得30OBA DOM ∠=∠=︒。

(3）如答图，连接PC ，
∵OM 是⊙P 的直径,∴90NEO ∠=︒。

∵tan OBA x ∠=(0<x 〈1），不妨设1BE =， ∴在Rt OBE ∆中，tan OE BE OBA x =⋅∠=. 设BM OM m ==,则1ME BE BM m =-=-。

∵在Rt OME ∆中，()2
2
2
1m x m -+=，∴2
12
x m +=。

∴22
11111,2224
x m ME m DP BM m -+=-====。

∵DPK MKE ∆∆∽，∴()
2
2221141212
x PK DP x x KM ME x ++===--。

∴()()()
22
2
2212132121x x MP PK MK x MK MK x x ++-+-===--。

∵点P 是MO 的中点，∴22
231OM MP x MK MK x -==
-. ∴()()22
22
312
11x x OK OK MK y MK MK x x ----====--. ∴y 关于x 的函数解析式为2
2
1y x =
-. 8. （2015年浙江绍兴14分）在平面直角坐标系中，O 为原点，四边形OABC 的顶点A 在x 轴的正半轴上，
OA=4,OC=2，点P ，点Q 分别是边BC ，边AB 上的点，连结AC,PQ ，点B 1是点B 关于PQ 的对称点。

（1）若四边形OABC 为矩形，如图1， ①求点B 的坐标；
②若BQ ：BP=1：2，且点B 1落在OA 上，求点B 1的坐标；
（2）若四边形OABC 为平行四边形，如图2，且OC ⊥AC,过点B 1作B 1F ∥x 轴，与对角线AC 、边OC 分别交于点E 、点F 。

若B 1E:B 1F=1:3，点B 1的横坐标为m ，求点B 1的纵坐标,并直接写出m 的取值范围.
【答案】解：（1）①∵四边形OABC 为矩形，OA=4，OC=2，∴点B （4，2).
②如答图1，过点P 作PD ⊥OA 于点D ，
∵BQ ：BP=1：2，点B 1是点B 关于PQ 的对称点， ∴∠PDB 1=∠PB 1Q=∠B 1AQ=90°。

∴∠PB 1D=∠B 1QA 。

∴△PB 1D ∽△B 1QA 。

∴
1
11PB PD 2AB B Q
==。

∴B 1A=1。

∴OB 1=3，即B 1（3,0).
(2）∵四边形OABC 为平行四边形，OA=4，OC=2，且OC ⊥AC ，
∴∠OAC=30°。

∴点C ()
1
3 ，. ∵B 1E:B 1F=1：3，
∴点B 1不与点E 、F 重合，也不在线段EF 的延长线上。

①当点B 1在线段FE 的延长线上时，如答图2，延长B 1F 与y 轴交于点G ，点B 1的横坐标
为m ，B 1F ∥x 轴，
∵B 1E ：B 1F=1：3，∴B 1G=m 。