最新-高中数学 第三章之《基本不等式》课件 新人教A版必修5 精品
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问题：是否积或和为定值时， 就一定可以求最值？
小结:在使用“和为常数，积有最大值”
和“积为常数，和有最小值”这两个结论时，应 把握三点：“一正、二定、三相等、四最值”. 当条件不完全具备时，应创造条件.
正：两项必须都是正数； 定：求两项和的最小值，它们的积应为定值；
求两项积的最大值，它们的和应为定值。
等 ： 等号成立的条件必须存在.
方法1:利用基本不等式
y2 4 2
(2x 1)(5 2x) 2
2
8,当且仅当x
3 时， 2
y的最大值为2 2。
方法2:求二次函数定区间上的最值 解题心得:根式的问题可以平方转化.注意一题多解.
例5、已知a、b （0，+），且a b 1，
求证：（1）a2 b2 1 ； 综合法 2
y
x2
2x 1x 2
x2
的最大值；
例2、已知a、b R ，且a 2b 1， 求 1 1 的最小值.
ab 用代换法构造基本不等式
练习：已知x、y R，且lgx+lgy 1， 求 2 5 的最小值.
xy
例3、已知a、b R，且a b+3 ab，
求ab的最小值. ab 9
方法1 a b 2 ab,2 ab 3 ab.解不等式可得。
（2）（a+ 1）2 （b 1）2 25 . 分析法
a
b2
应用均值不等式时要注意 “一正、二定、三相等”
下面运算是否正确?
若xy 2, x 0, y 0, 求z 2x y x2 y2的最小值. 解: z 2 2xy x2 y2 4 x2 y2 4 2xy 8 z 2x y x2 y2的最小值为8.
求a 1 b2 的最大值.
2
a 1 b2
a2 1 b2
2a 2
1 2
b2 2
2
a2
1 2
b2 2
2
3
2
2
4
例１:已知 x 5 ，则函数 y 4x 2 1
4
4x 5
的最大值是＿1＿．
变形:函数 y x2 6x 14 (x 1) 的最小值 x 1
是＿＿10＿．
练习:求函数
用均值不等式求最值，必须满足“定值”这个条 件．
3 求函数y sin 4 其中 （0， ]
sin
2
的最小值。
解：y sin 4 2 sin • 4
sin
sin
4,函数的最小值为4。
用均值不等式求最值,必须注意 “相等” 的条 件.
如果取等的条件不成立,则不能取到该最值.
注意:在使用“和为常数，积有最大值”
和“积为常数，和有最小值”这两个结论时，应 把握三点：“一正、二定、三相等、四最值”. 当条件不完全具备时，应创造条件.
正：两项必须都是正数； 定：求两项和的最小值，它们的积应为定值；
求两项积的最大值，它们的和应为定值。
等 ： 等号成立的条件必须存在.
下面请大家来研究下列几个问题:
1.下列函数中，最小值为4的有那些? B
13.4 基本不等式(2课时)
ab a b (a 0,b 0) 2
复习:
1.要了解基本不等式的变式：
(1)a2+b2≥2ab(a，b∈R)；(2)
ab
a
2
b
2
(3)
b a
a b
2
(ab＞0)；
(a，b∈R)；
(4)
a2
b2 2
a
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
b
2
(a，b∈R).
以上各式当且仅当a＝b时取等号，并注意各式
积xy有最大值 1 s2 . 4
和定积大
想一想:错在哪里？
１．已知函数 f (x) x 1 ，求函数的 最小值和此时x的取值． x
运用均值不等式的过程中，忽略了“正数”这个 条件．
２．已知函数 f (x) x 3 (x 2) ， x2
求函数的最小值．
大家把x 2 3代入看一看，会有 什么发现？用什么方法求该函数的 最小值？
方法2 a b 3 abb a 1 a 3
b a 3 a 0,b 0.a 1. a 1
a a 3 a 12 5a 1 4
ab
a 1
a 1
例4、求函数y=
2x-1+
5-2x的最大值.
(1 2
x
5) 2
y2 2x 1 2 (2x 1)(5 2x) 5 2x
4 2 2x 15 2x 根式:利用平方转化
中字母的取值要求.
2.理解四个“平均数”的大小关系；a，b∈R+，
则 2ab ab a b a2 b2
ab
2
2
其中当且仅当a＝b时取等号.
3.已知两个正数x，y，求x+y与积xy的最值.
(1)xy为定值p，那么当x＝y时， x+y有最小值 2 p ； 积定和小
(2)x+y为定值s，那么当x＝y时，
(A)
y x 4 x
(B) y 4e x e-x
(C) y log3 x log x 30 x 1
(D)
y
sinx
4 sinx
0
x
构造法
(2)已知:x>0,y>0.且2x+5y=20,
求 xy的最大值. 方法1:基本不等式法
2
xy 2x 5y 2x 5y 10.
10
40
20 2x 5y 2 2x 5y, xy 10.
方法2:减元构造函数
(4)已知a、b是实数，且a+b=4, 求2a+2b的最小值
当且仅当a=b=2时,2a+2b取得最小值8.
(5)．y=2x 1 x2 ,(0<x<1), 求y的最大值
y 2
x2 1 x2
2
x2
(6)．已知a、b是正数
1 x2 2
2
，且a2+
1b2当且=1仅，当x
2 2
小结:在使用“和为常数，积有最大值”
和“积为常数，和有最小值”这两个结论时，应 把握三点：“一正、二定、三相等、四最值”. 当条件不完全具备时，应创造条件.
正：两项必须都是正数； 定：求两项和的最小值，它们的积应为定值；
求两项积的最大值，它们的和应为定值。
等 ： 等号成立的条件必须存在.
方法1:利用基本不等式
y2 4 2
(2x 1)(5 2x) 2
2
8,当且仅当x
3 时， 2
y的最大值为2 2。
方法2:求二次函数定区间上的最值 解题心得:根式的问题可以平方转化.注意一题多解.
例5、已知a、b （0，+），且a b 1，
求证：（1）a2 b2 1 ； 综合法 2
y
x2
2x 1x 2
x2
的最大值；
例2、已知a、b R ，且a 2b 1， 求 1 1 的最小值.
ab 用代换法构造基本不等式
练习：已知x、y R，且lgx+lgy 1， 求 2 5 的最小值.
xy
例3、已知a、b R，且a b+3 ab，
求ab的最小值. ab 9
方法1 a b 2 ab,2 ab 3 ab.解不等式可得。
（2）（a+ 1）2 （b 1）2 25 . 分析法
a
b2
应用均值不等式时要注意 “一正、二定、三相等”
下面运算是否正确?
若xy 2, x 0, y 0, 求z 2x y x2 y2的最小值. 解: z 2 2xy x2 y2 4 x2 y2 4 2xy 8 z 2x y x2 y2的最小值为8.
求a 1 b2 的最大值.
2
a 1 b2
a2 1 b2
2a 2
1 2
b2 2
2
a2
1 2
b2 2
2
3
2
2
4
例１:已知 x 5 ，则函数 y 4x 2 1
4
4x 5
的最大值是＿1＿．
变形:函数 y x2 6x 14 (x 1) 的最小值 x 1
是＿＿10＿．
练习:求函数
用均值不等式求最值，必须满足“定值”这个条 件．
3 求函数y sin 4 其中 （0， ]
sin
2
的最小值。
解：y sin 4 2 sin • 4
sin
sin
4,函数的最小值为4。
用均值不等式求最值,必须注意 “相等” 的条 件.
如果取等的条件不成立,则不能取到该最值.
注意:在使用“和为常数，积有最大值”
和“积为常数，和有最小值”这两个结论时，应 把握三点：“一正、二定、三相等、四最值”. 当条件不完全具备时，应创造条件.
正：两项必须都是正数； 定：求两项和的最小值，它们的积应为定值；
求两项积的最大值，它们的和应为定值。
等 ： 等号成立的条件必须存在.
下面请大家来研究下列几个问题:
1.下列函数中，最小值为4的有那些? B
13.4 基本不等式(2课时)
ab a b (a 0,b 0) 2
复习:
1.要了解基本不等式的变式：
(1)a2+b2≥2ab(a，b∈R)；(2)
ab
a
2
b
2
(3)
b a
a b
2
(ab＞0)；
(a，b∈R)；
(4)
a2
b2 2
a
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
b
2
(a，b∈R).
以上各式当且仅当a＝b时取等号，并注意各式
积xy有最大值 1 s2 . 4
和定积大
想一想:错在哪里？
１．已知函数 f (x) x 1 ，求函数的 最小值和此时x的取值． x
运用均值不等式的过程中，忽略了“正数”这个 条件．
２．已知函数 f (x) x 3 (x 2) ， x2
求函数的最小值．
大家把x 2 3代入看一看，会有 什么发现？用什么方法求该函数的 最小值？
方法2 a b 3 abb a 1 a 3
b a 3 a 0,b 0.a 1. a 1
a a 3 a 12 5a 1 4
ab
a 1
a 1
例4、求函数y=
2x-1+
5-2x的最大值.
(1 2
x
5) 2
y2 2x 1 2 (2x 1)(5 2x) 5 2x
4 2 2x 15 2x 根式:利用平方转化
中字母的取值要求.
2.理解四个“平均数”的大小关系；a，b∈R+，
则 2ab ab a b a2 b2
ab
2
2
其中当且仅当a＝b时取等号.
3.已知两个正数x，y，求x+y与积xy的最值.
(1)xy为定值p，那么当x＝y时， x+y有最小值 2 p ； 积定和小
(2)x+y为定值s，那么当x＝y时，
(A)
y x 4 x
(B) y 4e x e-x
(C) y log3 x log x 30 x 1
(D)
y
sinx
4 sinx
0
x
构造法
(2)已知:x>0,y>0.且2x+5y=20,
求 xy的最大值. 方法1:基本不等式法
2
xy 2x 5y 2x 5y 10.
10
40
20 2x 5y 2 2x 5y, xy 10.
方法2:减元构造函数
(4)已知a、b是实数，且a+b=4, 求2a+2b的最小值
当且仅当a=b=2时,2a+2b取得最小值8.
(5)．y=2x 1 x2 ,(0<x<1), 求y的最大值
y 2
x2 1 x2
2
x2
(6)．已知a、b是正数
1 x2 2
2
，且a2+
1b2当且=1仅，当x
2 2