2012北京春季高中合格性考试试卷数学含答案

2012年北京市春季高中会考
数 学
第一部分 选择题（每小题3分，共60分）
一、在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的． 1．已知集合{}0,1,2A =，{}1,4B =，那么集合A
B 等于（ ）
． A ．{}1 B ．{}4 C ．{}2,3 D ．{}0,1,2,4 2．在等比数列{}n a 中，已知12a =，24a =，那么5a 等于（ ）．
A ．6
B ．8
C ．32
D ．16 3．已知向量(3,1)a =，(2,5)b =-，那么2+a b 等于（ ）．
A ．()1,11-
B ．()4,7
C ．()1,6
D ．()5,4- 4．函数2log (+1)y x =的定义域是（ ）．
A ．()0,+∞
B ．()1,+-∞
C ．()1,+∞
D ．[)1,-+∞ 5．如果直线30x y -=与直线10mx y +-=平行，那么m 的值为（ ）．
A ．3-
B ．13-
C ．1
3
D ．3
6．函数=sin y x ω的图象可以看做是把函数=sin y x 的图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的1
2
倍而得到，那么ω的值为（ ）．
A ．4
B ．2
C ．
1
2
D ．3
7．在函数3y x =，2x y =，2log y x =，y 中，奇函数的是（ ）．
A ．3y x =
B ．2x y =
C ．2log y x =
D ．y = 8．11sin
6
π
的值为（ ）．
A ．2
B ．12-
C ．1
2
D ．2 9．不等式23+20x x -<的解集是（ ）．
A ．{}2x x >
B ．{}1x x >
C ．{}12x x <<
D ．{1x x <，或}2x > 10．实数lg 4+2lg5的值为（ ）．
A ．2
B ．5
C ． 10
D ． 20
11．某城市有大型、中型与小型超市共1500个，它们的个数之比为1：5：9．为调查超市每日的零售额情况，需通过分层抽样抽取30个超市进行调查，那么抽取的小型超市个数为（ ）．
A ．5
B ．9
C ．18
D ．20 12．已知平面//α平面β，直线m ⊂平面α，那么直线m 与平面β的关系是( )．
A ．直线m 在平面β内
B ．直线m 与平面β相交但不垂直
C ．直线m 与平面β垂直
D ．直线m 与平面β平行 13．在ABC ∆中，3a =，2b =，1c =，那么A 的值是（ ）．
A ．
2π B ．3π C ．4π D ．6
π
14．一个几何体的三视图如右图所示，该几何体的表面积是（ ）． A ．3π B ．8π C ．12π D ．14π
15．当0x >时，1
22x x
+的最小值是（ ）．
A ．1
B ．2
C ．22
D ．4
16．从数字1，2，3，4，5中随机抽取两个数字（不允许重复），那么这两个数字的和是奇数的概率为（ ）．
A ．
45 B ．35 C ．25 D ．1
5
17．当x ，y 满足条件1
0260y x y x y ⎧⎪
-⎨⎪+-⎩
≥≤≤时，目标函数z x y =+的最小值是（ ）．
A ．2
B ．2.5
C ．3.5
D ．4 18．已知函数2,0
(),0x x f x x x ⎧=⎨-<⎩
≥，如果0()2f x =，那么实数0x 的值为（ ）．
A ．4
B ．0
C ．1或4
D ．1或2-
19．为改善环境，某城市对污水处理系统进行改造．三年后，城市污水排放量由原来每年排放125万吨降到27万吨，那么污水排放量平均每年降低的百分率是（ ）．
A ．50%
B ．40%
C ．30%
D ．20% 20．在ABC △中，()
2
BC BA AC AC +⋅=，那么ABC △的形状一定是（ ）．
A ．等边三角形
B ．等腰三角形
C ．直角三角形
D ．等腰直角三角形
第二部分 非选择题（共40分）
二、填空题（共4个小题，每小题3分，共12分）
21．已知向量(2,3)a =，(1,)b m =，且a b ⊥，那么实数m 的值为 ．
22．右图是甲、乙两名同学在五场篮球比赛中得分情况的茎叶图．那么甲、乙两人得分的标准差1S 2S （填<，>，=）．
竖直窗户
屋顶
y (m )
x (m)
A
a=a +15
否
是n >3n=n +1
输出a
n =1，a =0
结束
开始
23．某程序框图如下图所示，该程序运行后输出的a 的最大值为 ．
24．数学选修课中，同学们进行节能住房设计，在分析气候和民俗后，设计出房屋的剖
面图（如下图所示）．屋顶所在直线的方程分别是1=+32y x 和1
=+56y x -，为保证采光，
竖直窗户的高度设计为1m 那么点A 的横坐标是 ．
三、解答题：（共4小题，共28分） 25．(本小题满分7分)
在三棱锥中P ABC -中，侧棱PA ⊥底面ABC ，AB BC ⊥，E ，（Ⅰ）证明：//EF 平面PAB ； （Ⅱ）证明：EF BC ⊥． 26．(本小题满分7分)
已知向量()2sin ,2sin a x x =，=(cos ,sin )b x x -，函数()=+1f x a b ⋅．
（Ⅰ）如果1
()=2f x ，求sin 4x 的值；
（Ⅱ）如果0,2x π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭，求()f x 的取值范围．
27．(本小题满分7分)
已知图1是一个边长为1的正三角形，三边中点的连线将它分成四个小三角形，去掉中间的一个小三角形，得到图
2，再对图2中剩下的三个小三角形重复前述操作，得到图3，重复这种操作可以得到一系列图形．记第n 个图形
中所有剩下的．．．．．小三角形的面积之和为n a ，所以去掉的．．．．．
三角形的周长之和为n b ．
（Ⅰ）试求4a ，4b ； （Ⅱ）试求n a ，n b ．
28．(本小题满分7分)
已知圆C 的方程是22+2+=0x y y m -．
（Ⅰ）如果圆C 与直线=0y 没有公共点，求实数m 的取值范围；
（Ⅱ）如果圆C 过坐标原点，直线l 过点()()0,02P a a ≤≤，且与圆C 交于A ，B 两点，对于每一个确定的a ，当
ABC △的面积最大时，记直线l 的斜率的平方为u ，试用含a 的代数式表示u ，试求u 的最大值．
2012年北京市春季高中会考数学
参考答案
一、在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的． 1．【答案】D ．
【解析】因为集合{}0,1,2A =，{}1,4B =，所以{}0,1,2,4A B =，故选D ．
2．【答案】C ．
【解析】根据题意，等比数列的公比214
22
a q a ===，44512232a a q =⋅=⋅=，故选C ． 3．【答案】B ．
【解析】根据坐标运算法则有，()()()2+23,12,54,7a b =+-=，故选B ． 4．【答案】B ．
【解析】要使函数有意义需满足，10x +>，解得1x >-，故选B ． 5．【答案】A ．
【解析】由两条直线平行的关系有，()3110m ⨯--=，得3m =-，故选A ． 6．【答案】B ．
【解析】由函数=sin y x 的图象变化为函数=sin y x ω的需满足纵坐标不变，横坐标伸长或缩短为原来的
1
ω
倍，即
11
2
=ω，从而2ω=，故选B ． 7．【答案】A ．
【解析】对于A ，定义域为R ，()()()3
3f x x x f x -=-=-=-，是奇函数；
对于B ，定义域为R ，()()2x f x f x --=≠±，因此是非奇非偶函数； 对于C ，定义域()0,+∞，不关于原点对称，因此是非奇非偶函数； 对于D ，定义域[)0,+∞，不关于原点对称，因此是非奇非偶函数，故选A ．
8．【答案】B ．
【解析】根据诱导公式，111sin sin 2sin 6662⎛
⎫=-=-=- ⎪⎝
⎭ππππ，故选B ． 9．【答案】C ．
【解析】令23+20x x -=，解得1x =，2x =，因此不等式23+20x x -<的解集是{}12x x <<，故选C ． 10．【答案】A ．
【解析】根据对数的运算法则，22lg 4+2lg5lg 4+lg5lg 425lg100lg102==⨯===，故选A ．
11．【答案】C ．
【解析】根据分层抽样的原理，抽取小型超市的个数为9
3018159
⨯=++，故选C ．
12．【答案】D ．
【解析】根据线面关系有，如果两个平面平行，那么其中一个面内的任意一条直线平行于另一个平面，故选D ． 13．【答案】B ．
【解析】根据余弦定理：2
222
2
2
211cos 2221
2b c a
A bc
+-
+-==
=
⨯⨯，解得3
A π
=，故选B ． 14．【答案】B ．
【解析】由三视图可知该空间几何体的直观图为圆柱，其中底面半径1r =，3h =，
26S r h =π⋅=π侧，2=22r S ⋅π=π底，
因此表面积+=628S S S =π+π=π侧底，故选B ．
15．【答案】B ．
【解析】根据题意知，求122x x +
的最小值可用均值不等式，1222x x +=≥，
当且仅当122x x =，即1
2
x =时等号成立，故选B ．
16．【答案】B ．
【解析】由古典概型可得，基本事件空间为：{()1,2，()1,3，()1,4，()1,5，()2,3，()2,4，()2,5，()3,4，()3,5，
()4,5}基本事件总数为10， 其中两个数字的和是奇数基本事件为：{()1,2，()1,4，()2,3，()2,5，()3,4，
()4,5}基本事件数为6，因此这两个数字的和是奇数的概率为
63
105
=，故选B ． 17．【答案】A ．
【解析】根据题意，不等式组表示的平面区域如图所示，由图可知，当过点()1,1时，
z 取得最小值2，故选A ．
18．【答案】D ．
【解析】当0x ≥时，有022x =，得01x =，
当0x <时，有02x -=，得02x =-，实数0x 的值为1或2-，故选D ．
19．【答案】B ．
【解析】设污水排放量平均每年降低的百分率是x ，根据题意有，()3
125127x -=，解得2
5
x =
， 因此百分率为40%，故选B ．
20．【答案】C ．
【解析】根据向量的运算法则，AC BC BA =-，
从而()()()
222
22BC BA AC BC BA BC BA BC BA BC BA AC +⋅=+⋅-=-=-=， 即2
2
2
BC BA AC =+，因此是直角三角形，故选C ．
二、填空题（共4个小题，每小题3分，共12分）
21．【答案】2
3
-．
【解析】因为a b ⊥，所以0a b ⋅=，即2130m ⨯+=，可得23m =-，故答案为：2
3-．
22．【答案】>．
【解析】由于方差表示一组数围绕平均数波动的大小，因此从该茎叶图中可以看出，甲组数相对平均数比较
分散，而乙组数相对平均数比较集中，所以12S S >，故答案为：>．
23．【答案】45．
【解析】当1n =时，15a =，输出15，此时23<；
当2n =时，30a =，输出30，此时33=；
当3n =时，45a =，输出45，此时43>，循环结束， 从而输出的a 最大值为45，故答案为：45．
24．【答案】
9
2
． 【解析】设点A 的横坐标为0x ，根据题意可知0011+3+5+126x x =-，解得，092x =，故答案为：9
2．
三、解答题：（共4小题，共28分）
25．证明：（Ⅰ）∵E ，F 分别是BC ，PC 的中点，
∴//EF PB ．
∵EF ⊄平面PAB ，PB ⊂平面PAB ， ∴//EF 平面PAB ． （Ⅱ）在三棱锥中P ABC -中，
∵侧棱PA ⊥底面ABC ， ∴BC ⊂底面ABC ∴PA BC ⊥ ∵AB BC ⊥， 且PA AB A =
∴BC ⊥平面PAB ∵PB ⊂平面PAB ， ∴BC PB ⊥
由（Ⅰ）知//EF PB ， ∴EF BC ⊥．
26． 解：（Ⅰ）∵=(2sin ,2sin )a x x ，=(cos ,sin )b x x -，
∴2()1=2sin cos 2sin +1=sin 2cos 2f x a b x x x x x =⋅+-+
∵1()=2f x ，∴1
sin 2cos2=2x x +，
∴1
1+2sin 2cos2=4x x ．
∴3
sin 44
x =-．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知()=sin 2cos2f x x x +22)x x
2cos
+cos2sin
)4
4
x x π
π
+)4
x π
．
∵(0,
)2
x π
∈∴
52+
4
4
4
x π
π
π<<
sin (2+)14x π<≤．
∴()f x 的取值范围为(
-．27．解：（Ⅰ）4a ，457
=8
b ． （Ⅱ）由图易知，后一个图形中剩下的三角形个数是前一个的3倍，
∴第n 个图形中剩下的三角形个数为13n -． 又∵后一个图形中剩下的三角形边长是前一个的
1
2
倍，
∴第n 个图形中每个剩下的三角形边长是11
()2
n -11)4n -．
∴1
3)4
n n a -． 设第n 个图形中所有剩下的小三角形周长为n c ，由图可知，=3n n c b -． 因为后一个图形中剩下的三角形边长是前一个的
1
2
倍， ∴第n 个图形中每个剩下的三角形边长是11()2n -，周长是11
3()2n -．
∴13=3()2n n c -，从而13
=3=3()32
n n n b c ---．
28．解：（Ⅰ）由22+2+=0x y y m -可得：22
+1=1x y m --（）
． ∵22
+1=1x y m --（）
表示圆， ∴10m ->，即1m <．
又∵圆C 与直线=0y 没有公共点， ∴11m -<，即0m >．
综上，实数m 的取值范围是01m <<．
（Ⅱ）∵圆C 过坐标原点，∴=0m ．
∴圆C 的方程为22
+1=1x y -（）
，圆心()0,1C ，半径为1． 当=1a 时，直线l 经过圆心C ，ABC △不存在，故[0,1)(1,2]a ∈． 由题意可设直线l 的方程为=+y kx a ，ABC △的面积为S ． 则11
sin sin 22
S CA CB ACB ACB =
⋅∠=∠． ∴当sin ACB ∠最大时，S 取得最大值． 要使sin 2
ACB π
∠=
，只需点C 到直线l
的距离等于
2
． 整理得22=2(1)10k a --≥
．解得1a -≤
a ≥．
①当2
[0,1[1+,2]a ∈-
时，sin ACB ∠最大值是1． 此时22=24+1k a a -，即2=24+1u a
a -． ②当2(1(1,1+
)a ∈时，,2ACB ππ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭
． ∵=sin y x 是(,)2π
π上的减函数，
∴当ACB ∠最小时，sin ACB ∠最大．
过C 作CD AB ⊥于D ，则1
2ACD ACB ∠=∠．
∴当ACD ∠最大时，ACB ∠最小． ∵sin CD
CAD CD CA ∠=
=，且0,2CAD π⎛⎫
∠∈ ⎪⎝⎭
， ∴当CD 最大时，sin CAD ∠取得最大值，即CAD ∠最大． ∵CD CP ≤，∴当CP l ⊥时，CD 取得最大值CP ． ∴当ABC △的面积最大时，直线l 的斜率=0k
．∴=0u ．
综上所述，22
24+1,[0,1[1+,2]22
20,(1(1,1+a a a a μ⎧-∈-
⎪⎪=⎨⎪∈-⎪⎩．
i)2[0,1[1+,2]a ∈，22=24+1=2(1)1u a a a ---，当=2a 或=0a 时，u 取得最大值1．
ii)
2
(1(1,1+
a∈，=0
u．
由i)，ii)得u的最大值是1．。