湖北省天门市三校高二数学下学期期中试题 理

2016-2017学年度下学期期中联考
高二数学（理科）试卷
考试时间：120分钟 试卷满分：150分
第I 卷（选择题）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.下列随机变量中不是离散型随机变量的是( ).
A.掷5次硬币正面向上的次数M
B.某人每天早晨在某公共汽车站等某一路车的时间T
C.从标有数字1至4的4个小球中任取2个小球，这2个小球上所标的数字之和Y
D.将一个骰子掷3次,3次出现的点数之和X
2.某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，那么不同的发言顺序的种数为 （ ）
A ．360
B ．520
C ．600
D ．720
3.通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如表的列联表：
算得，K 2≈7.8．见附表：参照附表，得到的正确结论是（ ）
A.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
B.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
C.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
D.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
4．袋中有大小相同的3个红球，7个白球，从中不放回地依次摸取2球，在已知第一次取出白球的前提下，第二次取得红球的概率是 ( ) A ．
1
5 B ．13 C ．38 D ．37
5．
5
)21)(2x x -+（展开式中，2
x 项的系数为（ ）
A. 30
B. 70
C. 90
D. -150 6.函数3
31x x y -+=有( )
A.极小值-1，极大值1
B.极小值-2，极大值3
C.极小值-1，极大值3
D.极小值-2，极大值2
7.在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线的方程为02
=-y x ）的点的个数的估计值为（ ）
A. 5000
B. 6667
C. 7500
D. 7854
8.已知函数
)(x f 图象如图，)('x f 是)(x f 的导函数，则下列数值排序正确的是（ ） A. )2()3()3(')2('0f f f f -<<< B. )2()3()2(')3('0f f f f -<<< C. )2(')2()3()3('0f f f f <-<< D. )3()2(')2()3(0f f f f <<-<
9.已知随机变量ξ服从正态分布()
22,N σ，且()40.8P ξ<=,则()02P ξ<<=（ ） A.0.6 B.0.4 C. 0.3 D.0.2 10．已知线性相关的两个变量之间的几组数据如下表：
且回归方程为35+=∧
kx y ，经预测5=x 时，∧
y 的值为60，则m=( )
A.50
B.51
C.52
D.53
11.将6名报名参加运动会的同学分别安排到跳绳、接力，投篮三项比赛中（假设这些比赛都不设人数上限），每人只参加一项，则共有x 种不同的方案，若每项比赛至少要安排一人时，则共有y 种不同的方案，其中x y +的值为（ ）
A ．1269 B.1206 C ．1719 D ．756
12.若函数2ln )(2
-+=ax x x f 在区间)2,2
1(内存在单调递增区间，则实数a 的取值范围是( ) A.]2,(--∞ B.),2(+∞- C.]81,2(-- D.),8
1[+∞-
第II 卷（非选择题）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
第7题图
第8题图
13．曲线32
31y x x =-+在点(1,1)-处的切线方程为 ． 14．若
)1(2ln 3)1
2(1
>+=+⎰
a dx x
x a
，则a 的值是___________．
15．某班准备了5个节目将参加学校音乐广场活动（此次活动只有5个节目），节目顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位、节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，则在这次活动中节目顺序的编排方案共有_________种（用数字作答）． 16．已知随机变量()~5,0.2X
B ，21Y X =-，则()E Y = ，标准差()Y σ= ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本题满分10
分）在二项式122
)x
的展开式中 （I ）求展开式中含3x 项的系数；
（II ）如果第3k 项和第2k +项的二项式系数相等，试求k 的值.
18．（本题满分12分）“奶茶妹妹” 对某时间段的奶茶销售量及其价格进行调查， 统计出售价x 元和销售量y 杯之间的一组数据如下表所示：
. （1）求销售量y 对奶茶的价格 x 的回归直线方程； （2）欲使销售量为13杯， 则价格应定为多少?
注：在回归直线
∧
∧
+=a x b y 中，,)(1
2
2
1∑∑-=∧
--=
n
i i n
i i
i
x n x y
x n y
x b
∑=∧
∧=+++=-=4
1
22222
5.14675.65.55i i
x
x b y a ，
19.（本题满分12分）某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低额x(单位：元，0≤x ≤21)的平方成正比．已知商品单价降低2元时，每星期多卖出24件． (1)将一个星期的商品销售利润表示成x 的函数； (2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？
20.（本题满分12分）4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内． （1）恰有1个盒不放球，共有几种放法？
（2）恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？ （3）恰有2个盒不放球，共有几种放法？
21.（本题满分12分）某中学高一年级共8个班，现从高一年级选10名同学组成社区服务小组，其中高一（1）班选取3名同学，其它各班各选取1名同学．现从这10名同学中随机选取3名同学，到社区老年中心参加“尊老爱老”活动（每位同学被选到的可能性相同）． （Ⅰ）求选出的3名同学来自不同班级的概率；
（Ⅱ）设X 为选出同学中高一（1）班同学的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望．
22.（本题满分12分）已知函数)(ln )(R a x a x x f ∈-=. （1）若2a =，求函数)(x f 的单调区间；
（2）若对任意0)(),,1(>+∞∈x f x 恒成立，求实数a 的取值范围。

2016-2017学年度下学期期中联考 高二数学（理科）参考答案
一．选择题
BDCBB CBCCC AB 二．填空题 13.023=-+y x 14.2 15.10 16.5
5
41，
（第1空2分，第2空3分） 三．解答题
17.
18.
解:（1）根据题意∑∑--=⨯==-===4
1
4
1
22
5.23645.1464,182,
8,6i i i i
i x x y
x y x （4分）
32648,4=⨯+=-=∴a b .....................................................
.. 6 分
324+-=∴∧
x y 线性回归直线方程为 ...........................................
8分
（2）75.4,13324==+-x x 可得令
∴预测销售量为13杯，则价格应定在4.75元。

.......................... 12分
19.解：(1)设商品降价x 元，则多卖的商品数为2
kx ，若记商品在一个星期的获利为)(x f ，则依题意有)432)(21()432)(930()(2
2
kx x kx x x f +-=+--=........ 2分
又由已知条件，得2224⨯=k ，于是有
6=k ， ...............................................4分
所以]21,0[,90724321266)6432)(21()(2
3
2
∈+-+-=+-=x x x x x x x f ...............6分
(2)根据(1)我们有)12)(2(1843225218)(2
'---=-+-=x x x x x f
所以当x 变化时，)(),('
x f x f 的变化情况如下表：
故12=x 时，)(x f 达到极大
值， ...................................................................10分 因为11664)12(,9072)0(==f f
所以定价为1812-30=（元）能使一个星期的商品销售利润最大. .............12分 20.解：（1）为保证“恰有1个盒不放球”，先从4个盒子中任意取出去一个， 问题转化为“4个球，3个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”即把4个球分成2，1，1的三组，然后再从3个盒子中选1个放2个球，其余2个球放在另外2个盒子内，由分步计数原理，共有
144332414=A C C （种）........4分
（2）“恰有1个盒内有2个球”，即另外3个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，也即另外3个盒子中恰有一个空盒，因此，“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同一件事，所以共有144种放法．............8分
（3）确定2个空盒有2
4C 种方法． 4个球放进2个盒子可分成)2,2(),1,3(两类，第一类有序不均匀
21.解：（1）设“选出的3名同学来自不同的班级”为事件A ，则
60
49
)(3
103
72713=+=C C C C A P 所以选出的3名同学来自不同班级的概率为
60
49
； .......................... 4分 （2）设随机变量X 的所有可能值为0,1,2,3.则
120
1
)3(;407)2(40
21
)1(;247)0(310
333
1023
17310271331037=====
==
=====C C X P C C C X P C C C X P C C X P .......................... 8分
.........................10分
9.0120
134072402112470)(=⨯+⨯+⨯+⨯
=X E ..........................12分
22.解：(1)当2=a 时，0)(,2
21)(''>-=-=x f x
x x x f 令得2>x
所以函数)(x f 得单调递增区间为),2(+∞，单调递减区间为)2,0(.....4分 （2）对于恒成立对于恒成立时),1(ln 0)(),1(+∞∈<
⇔>+∞∈x x
x
a x f x min )ln (
x x
a <⇔
..........................................................................6分 令2
')(ln 1
ln )(,ln )(x x x h x x x h -==
则，由e x x h >⇒>0)(' 所以)(x h 的单调增区间为),(+∞e ，单调递减区间为),1(e ................. 10分
e
a
e
e
h
x
h<
∴
=
=
∴,
)
(
)
(
min ，a的取值范围为)
,
(e
-∞. ....................... 12分。