概率统计AB2014-2015(2)考试A卷及答案20150702讲解

北京航空航天大学
BEIHANG UNIVERSITY
2014－2015学年第二学期期末
考试统一用答题册考试课程概率统计A （A09B204A）
概率统计B（A09B204B）
A卷
（试卷共5页，四道题）
班级_____________ 学号 _____________
姓名______________ 成绩 _________
考场教室_________ 任课教师_________
2015年7月2日 10：30－12：30
一、 选择题，根据题目要求，在题下选项中选出一个正确答案
（本题共36分，每小题各4分） 1、对事件B A ,,下列命题正确的是 。

A ．如果
B A ,互不相容,则B A ,也互不相容; B ． 如果B A ,相容,则B A ,也相容;
C ．如果B A ,互不相容,且0)(,0)(>>B P A P ,则B A ,相互独立;
D ．如果B A ,互逆,则B A ,也互逆 。

2、设二维随机变量)3
1
;3,2;2,1(~),(22N Y X , 则=+-)52(Y X D 。

A ． 36, B. 37 , C.32 , D. 48 。

3、设连续型随机变量X 的概率密度为)(x f ,分布函数为()F x ，
则一定成立的是 。

A.X 是连续函数；
B.()f x 是连续函数；
C. 对任意实数x ，成立()()F x f x '= ；
D. ()F x 是连续函数。

4、设随机变量X 的概率密度为)(x f ,分布函数为()F x ，
且()0,()()f x f x f x >=-,+∞<<∞-x ；
对01α<<,设x α是方程()F x α=的解， 下列表述中正确的结论是 。

A. 2113
3
{}1P x
X x
ααα-
-
-<≤=-； B. 12
2
{}12
P x X x
ααα
-
<≤=-
；
C. 12
{||}12
P X x αα
-≤=-
； D. 12
{||}2
P X x αα
-≥=。

5、设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它
,02
0,2)(x x
x f ,
则=≤<-}11{X P 。

A ． 0 ； B.0.25 ； C.0.5 ； D. 1 。

6、设随机变量),(~2σμN X ,则=-||μX E 。

A. 0 ；
B. σ ；
C.
σπ
22 ； D.μ 。

7、设总体),(~2σμN X ,n X X X ,,,21 为总体X 的一个样本,X 为样本均值,
2S 为样本方差,则下列结论中成立的是 。

A. )1,1(~)(2
2--n F S X n μ ； B. )1(~222
-n S χσ
； C.
)1(~1---n t n S
X μ
； D. ),(~2221σμN X X -。

8、设12,,,n X X X 为来自总体X 的样本，(2)n ≥；总体均值EX μ=，
总体方差2
DX σ=， 记 11n k k X X n ==∑ ， 221
1()n k k B X X n ==-∑,
表述中正确的结论是 。

A.2
~(,
)X N n
σμ； B.
222
~(1)n
B n χσ-。

C. 2B 是2
σ的无偏估计量； D. 22
21
1n k k B X X n ==-∑.
9、设总体X 的数学期望μ置信度为0.95,置信区间的上、下限分别为),,,(21n x x x b 与),,,(21n x x x a , 则该区间的意义是 。

A ．95.0)},,,(),,,({2121=≤≤n n x x x b x x x a P μ ； B ．95.0)},,,(),,,({2121=≤≤n n x x x b X x x x a P ;
C.95.0)},,,(),,,({2121=≤≤n n x x x b X x x x a P ,其中X 为样本均值;
D. 95.0)},,,(),,,({2121=≤-≤n n x x x b X x x x a P μ 。

二、 填空题（本题满分36分，每小题4分） 1、设随机变量n X 的概率密度为12
1()(1)(1||)
n n
n
f x k x x =++, +∞<<∞-x ,
分布函数为()n F x ，其中常数0n k >, 则lim ()n n F x →∞
= 。

2、已知,,,1,2,3i j A A i j i j =∅≠=,∑==3
1i i A S ,且1.0)(1=A P ,5.0)(2=A P ,
2.0)|(1=A B P ,6.0)|(2=A B P ,1.0)|(3=A B P ,则=)|(1B A P 。

3、设总体),(~20σμN X , 12,,,n x x x ⋅⋅⋅为来自总体X 的一组样本值，0μ已知。

则参数2σ的极大似然估计2ˆσ
= 。

4、设n X X X ,,,21⋅⋅⋅为来自于总体X 的样本；总体均值EX μ=，总体方差2DX σ=，常数C ,使得21
11)(i n i i X X C -∑-=+为2σ的无偏估计,则=C 。

5、接连不断地掷一颗匀称的骰子,直到出现小于5的点数为止,
以X 表示最后一次掷出的点数,以Y 表示掷骰子的次数。

则二维随机变量),(Y X 的分布律为{,}P X i Y j === 。

6、设一袋中有n 个白球和m 个黑球,现在从中无放回接连抽取N 个球,
记=i A “第i 次取时得黑球”， (m n N i +≤≤≤1)， 则()i P A = 。

7、设总体)4,1(~2-N X ,921,,,X X X 为总体X 的一个样本,X 为样本均值, 则=<}1|{|X P 。

(已知9332.0)5.1(=Φ)。

8、设随机变量321,,X X X 独立同分布, ),3,2,1(,0,02=≠==i DX EX i i σ
21X X X += , 32X X Y += ,则X 与Y 的相关系数=XY ρ . 9、设总体2~(,)X N μσ,
n x x x ,,,21 为来自X 的样本，(2)n ≥；
记 11n i i x x n ==∑ ， 2
21
1()1n i i s x x n ==--∑ 。

在未知方差2σ，检验假设0H :0μμ=时，选取检验用的统计量是 。

三、（满分8分）设一次试验中事件A 发生的概率ε=)(A P ((01)ε<<),
把试验独立地重复做
n 次, 令n B =“在n 次实验中事件A 至少发生一次”，
试求：（1）lim ()n n P B →∞
； （2）试说明（1）的结果对认识实践的指导意义。

四、（满分20分）（此题学《概率统计A 》的学生做，学《概率统计B 》的学生不做）
设随机过程)cos()(Θ+=t a t X ω,),(+∞-∞∈t ,其中)0(,≠
ωa 是实常数,
Θ服从区间)2,0(π上的均匀分布,
试求：（1）写出Θ的概率密度()f θ；
(2)[()]E X t ； （3）[()()]E X t X t τ+； （4）1(,)2lim
l l l X e t dt l -→+∞
⎰； （5）1(,)(,)2lim l
l l X e t X e t dt l
τ-→+∞+⎰ 。

[四]、（满分20分）（此题学《概率统计B 》的学生做；学《概率统计A 》的学生不做）
设12,,,n X X X 为来自总体X 的样本；总体均值EX μ=，总体方差2DX σ=，
记 1
1n
n k k Y X n ==∑，(1,2,)n = 。

试求：（1）n EY ，n DY ； （2）试证{}n Y 以概率收敛于μ；
（3）2||n E Y μ-； （4）2||n E Y μ+ ；（5）试证22
lim ||0n n E Y μ→∞
-=。

答案及评分细则 （2015-07-02）
A 卷
一、单项选择题（每小题4分，满分36分）
1.D,
2.C,
3.D,
4.A, 5、B ， 6.C, 7、A ，； 8、D ，9、A 。

二、填空题（每小题4分，满分36分） 1、1
1lim ()arctan 2n n F x x π
→∞
=
+
； 2、18
1。

3、∑=-=n
i i x n 1
202
)(1ˆμσ
；4、)1(21
-=
n C ；
5、11)3
1(6161)62
(},{--⋅=⋅===j j j Y i X P ,4,3,2,1=i ; ⋅⋅⋅=,2,1j .
6、m n m A A A A P N m
n m
N m n i +==+--+111)(。

7、0.4332； 8、2
1； 9
、()~1x T t n =- 。

B 卷
一、单项选择题（每小题4分，满分36分）
1、A ；2.D, 3.C, 4.D, 5、B ； 6.A, ， 7.C, 8、A ，； 9、D ，。

二、填空题（每小题4分，满分36分） 1、
18
1
； 2、∑=-=n
i i x n 1
202
)(1ˆμσ
；3、)1(21
-=
n C ；
4、11)3
1(6161)62
(},{--⋅=⋅===j j j Y i X P ,4,3,2,1=i ; ⋅⋅⋅=,2,1j .
5、m n m A A A A P N m
n m
N m n i +==+--+111)(。

6、0.4332； 7、2
1； 8
、()~1x T t n =- 。

9、1
1
lim ()arctan 2
n n F x x π
→∞
=
+
三、
（满分8分） 解 (1) 记X 为n 次试验中事件A 发生的次数, 由题设知),(~εn B X .
令n
B =“事件A 至少发生一次”,
()1()1{0}n n P B P B P X =-=-=
n
n
n
C )
1(1)1(10
εεε--=--=.…………………… ………………4分
易知,当∞→n
时,()1(1)1n n P B ε=--→，
lim ()1n n P B →∞
=，…………………………………………………………………… 6分
(2) 由（1）说明,在实验次数
n 充分大时,事件A 的发生几乎是必然的.
从而得出一个重要结论:“小概率事件在大量重复试验中是迟早要发生的”. 因此,对小概率事件，如果不加控制，任试验重复下去的话,必然导致其发生，所以小概率事件是不容忽视的. 多种偶然性可导致必然性。

……………………8分
四、（满分20分）（此题学《概率统计A 》的学生做，学《概率统计B 》的学生不做）
解 （1）1
,02()20,f θπ
θπ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其它
；……………………………………4分
（2）=)]([t X E )]cos([Θ+t a E ωcos()()a t f d ωθθθ+∞
-∞
=
+⎰
021
)
cos(20
=+=⎰θπ
θωπ
d t a ；………………………8分 （3）)])(cos()cos([)]()([Θ++⋅Θ+=
+τωωτt a t a E t X t X E
2
1
[(cos(()2)cos )]2
E a t t ωωτωτ=+++Θ+
2
[(cos(()2))(cos )]2
a E t t E ωωτωτ=+++Θ+
ωτcos 2
2a =；……………………………………12分
（4）时间均值 ⎰-+∞
→=
=l
l
l dt t e X l t e X t X ),(21),()(lim
⎰-+∞
→Θ+=l l l dt t a l )cos(21lim
ωl
l l t l a -+∞→Θ+⋅=|)sin(12lim ωω
l
l l a l )
sin()sin(2lim
Θ+--Θ+=+∞
→ωωω0=，………………………16分
（5）时间相关函数
⎰-+∞
→+=+=+l
l
l dt t e X t e X l t e X t e X t X t X ),(),(21),(),()()(lim
τττ
⎰-+∞
→Θ++⋅Θ+=l
l l dt t a t a l ])(cos[)cos(21lim
τωω ⎰-+∞
→Θ+++=l
l
l dt t l
a 2
])2(cos[cos 22
lim
τωωτωτcos 22
a =.……………………………20分
[四]、（满分20分）（此题学《概率统计B 》的学生做；学《概率统计A 》的学生不做）
解 （1）由条件，可知，
11
11n n
n k k k EY EX n n μμ=====∑∑，
22
2211111n n n k k k DY DX n n n
σσ=====∑∑；……………………………4分
（2）对任意
0ε>，由2
2
2
2
2||110{||}n n
n E Y DY P Y
n μμεσεεε-≤-≥≤
=
=
，
利用（1）的结果，即得lim {||}0n n P Y με→∞
-≥=，
于是{}n Y 以概率收敛于μ 。

……………………………8分
（3）221
||n n E Y DY n
μσ-==，……………………………12分
（4） 22||()[()]n
n n E Y D Y E Y μμμ+=+++
2221
44n DY n
μσμ=+=+，……………………………16分
或者
22221
()n n n EY DY EY n
σμ=+=+，
222||2n n n E Y EY EY μμμ+=++22222211
()24n n
σμμμσμ=+++=+；
（5） 220|||()()|n n n E Y E Y Y μμμ≤-=+-
1
1
2
2
2
2
(||)(||)
n
n E Y E Y μμ≤+-112222
211(4)()n n
σμσ=+， 于是22
lim ||0n n E Y μ→∞
-=。

……………………………20分。