2019高三数学人教B文一轮单元质检：第三章 导数及其应

单元质检三导数及其应用
(时间:100分钟满分:150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.如果一个物体的运动方程为s=1-t+t2,其中s的单位是米,t的单位是秒,那么物体在3秒末的瞬时速度是()
A.7米/秒
B.6米/秒
C.5米/秒
D.8米/秒
2.设曲线y=x+1
x-1
在点(3,2)处的切线与直线ax+y+3=0垂直,则a等于()
A.2
B.-2
C.1
2D.-1
2
3.若函数y=e x+mx有极值,则实数m的取值范围是()
A.m>0
B.m<0
C.m>1
D.m<1
4.已知函数f(x)=-x3+ax2-x-1在R上是减函数,则实数a的取值范围是()
A.(-∞,-3]∪[3,+∞)
B.[-3,3]
C.(-∞,-3)∪(3,+∞)
D.(-3,3)
5.函数f(x)=x2+x-ln x的零点的个数是()
A.0
B.1
C.2
D.3
6.若f(x)=a e-x-e x为奇函数,则f(x-1)<e-1
e
的解集为()
A.(-∞,0)
B.(-∞,2)
C.(2,+∞)
D.(0,+∞)
7.已知a≤1-x+ln x对任意x∈1,2恒成立,则a的最大值为()
A.0
B.1
C.2
D.3
8.已知函数f(x)=ln x+tan α0<α<π的导函数为f'(x),若方程f'(x)=f(x)的根x0小于1,则α的取值范围为()
A.π,π
B.0,π
C.π,π
D.0,π
9.设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x<0时,f'(x)g(x)+f(x)g'(x)>0,且g(3)=0,则不等式f(x)g(x)<0的解集是()
A.(-3,0)∪(3,+∞)
B.(-3,0)∪(0,3)
C.(-∞,-3)∪(3,+∞)
D.(-∞,-3)∪(0,3)
10.(2017辽宁抚顺重点校一模)已知函数f(x)=-2f'(1)
3
x-x2的最大值为f(a),则a等于() A.1 B.4
3
C.1
D.4
3
11.若函数f(x)=x 3
3−a
2
x2+x+1在区间1
2
,3内有极值点,则实数a的取值范围是()
A.2,5
2B.2,5
2
C.2,10
3
D.2,10
3
12.若存在两个不相等正实数x,y,使得等式x+a(y-2e x)(ln y-ln x)=0成立,其中e为自然对数的底数,则实数a的取值范围是()
A.-∞,0∪1,+∞
B.0,1
C.1,+∞
D.(-∞,0)
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.(2017吉林长春三模)函数f(x)=e x·sin x的图象在点(0,f(0))处的切线方程是.
14.已知函数f(x)=ax3+3x2-x+1在区间(-∞,+∞)内是减函数,则实数a的取值范围是.
15.已知f(x)=x3-6x2+9x-abc,a<b<c,且f(a)=f(b)=f(c)=0,现给出如下结论:
①f(0)f(1)<0;②f(0)f(1)>0;
③f(0)f(3)>0;④f(0)f(3)<0;
⑤f(1)f(3)>0;⑥f(1)f(3)<0.
其中正确的结论是.(填序号)
16.已知过点A(1,m)恰能作曲线f(x)=x3-3x的两条切线,则m的值是.
三、解答题(本大题共6小题,共70分)
17.(10分)(2017宁夏银川一中二模)已知函数f(x)=a(x2+1)+ln x.
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)若对任意a∈(-4,-2)及x∈[1,3]时,恒有ma-f(x)>a2成立,求实数m的取值范围.
18.(12分)已知f(x)=x3-1
x2-2x+5.
2
(1)求f(x)的单调区间;
(2)过点(0,a)可作y=f(x)的三条切线,求a的取值范围.
19.(12分)(2017福建南平一模)已知函数f(x)=b-ax+ln x(a,b∈R).
(1)试讨论函数f(x)的单调区间与极值;
(2)若b>0,且ln b=a-1,设g(b)=a-1-m(m∈R),且函数g(x)有两个零点,求实数m的取值范围.
20.(12分)已知函数f(x)=ln x-x.
(1)判断函数f(x)的单调性;
-m有两个零点x1,x2,且x1<x2.求证:x1+x2>1.
(2)函数g(x)=f(x)+x+1
2x
21.(12分)(2017天津,文19)设a,b∈R,|a|≤1.已知函数f(x)=x3-6x2-3a(a-4)x+b,g(x)=e x f(x).
(1)求f(x)的单调区间;
(2)已知函数y=g(x)和y=e x的图象在公共点(x0,y0)处有相同的切线,
①求证:f(x)在x=x0处的导数等于0;
②若关于x的不等式g(x)≤e x在区间[x0-1,x0+1]上恒成立,求b的取值范围.
22.(12分)已知函数f(x)=ln x-1
ax+a-2,a∈R.
2
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)设g(x)=xf(x)+2,求证:当a<ln 2
时,g(x)>2a.
e
参考答案
单元质检三 导数及其应用
1.C 解析根据瞬时速度的意义,可得3s 末的瞬时速度是v=s'|t=3=(-1+2t )|
t=3=5.
2.B 解析因为y=
x +1
x -1
的导数为y'=
-2
(x -1)
2,所以曲线在点(3,2)处的切线斜率k=-12
,又直线ax+y+3=0
的斜率为-a ,所以-a· -1
2 =-1,解得a=-2.
3.B 解析求导得y'=e x +m ,由于e x >0,若y=e x +mx 有极值则必须使y'的值有正有负,故m<0.
4.B 解析由题意,知f'(x )=-3x 2+2ax-1≤0在R 上恒成立,故Δ=(2a )2-4×(-3)×(-1)≤0,解得- ≤a ≤
5.A 解析由
f'(x )=2x+1-1
=
2x 2+x -1
=0,得x=1或x=-1(舍去).当0<x<1
时,f'(x )<0,f (x )单调递减;
当x>1
2时,f'(x )>0,f (x )单调递增.则f (x )的最小值为f 1
2 =3
4+ln2>0,所以无零点. 6.D 解析∵f (x )在R 上为奇函数,
∴f (0)=0,即a-1=0.∴a=1. ∴f (x )=e -x -e x ,∴f'(x )=-e -x -e x <0. ∴f (x )在R 上单调递减. ∴由f (x-1)<e -1
e =
f (-1),
得x-1>-1,即x>0.
∴f (x-1)<e -1
e 的解集为(0,+∞).
7.A 解析令f (x )=
1-x
+ln x ,则f'(x )=x -1
2.
当x ∈ 1
2,1 时,f'(x )<0; 当x ∈(1,2]时,f'(x )>0.
∴f (x )在 1
2,1 上单调递减,在(1,2]内单调递增, ∴在x ∈ 1
2,2 上,f (x )min =f (1)=0, ∴a ≤0,即a 的最大值为0.
8.A 解析∵f (x )=ln x+tan α,∴f'(x )=1
x .
令f (x )=f'(x ),得ln x+tan α=1x
, 即tan α=1
x
-ln x.
设g (x )=1x -ln x ,显然g (x )在(0,+∞)内单调递减,而当x →0时,g (x )→+∞, 故要使满足f'(x )=f (x )的根x 0<1,只需tan α>g (1)=1, 又0<α<π
2,∴α∈ π4,π
2 .
9.D 解析∵当x<0时,f'(x )g (x )+f (x )·g'(x )>0,即[f (x )g (x )]'>0,
∴当x<0时,f (x )g (x )为增函数,又g (x )是偶函数,且g (3)=0,∴g (-3)=0, ∴f (-3)g (-3)=0.故当x<-3时,f (x )g (x )<0;
因为f (x )g (x )是奇函数,所以当x>0时,f (x )g (x )为增函数,且f (3)g (3)=0,故当0<x<3时,f (x )g (x )<0.故选D . 10.B 解析∵f'(x )=-32 x
-2x , ∴f'(1)=-1
3f'(1)-2,
解得f'(1)=-3
2,∴f (x )= x -x 2,f'(x )= x
2x
, 令f'(x )>0,解得x< 4
3
4
,令f'(x )<0,解得x>
4
3
4
,
故f (x )在 0,
4
3
4
递增,在
4
3
4
,+∞ 递减,故f (x )的最大值是f
4
3
4
,a=
4
3
4
.
11.C 解析若f (x )=
x 3
3
−a 2
x 2+x+1在区间 12
,3 内有极值点,则f'(x )=x 2-ax+1在区间 12
,3 内有零点,
且零点不是f'(x )的图象顶点的横坐标.由x 2-ax+1=0,得a=x+1
x .因为x ∈ 1
2,3 ,y=x+1
x 的值域是 2,
10
3
,当a=2时,f'(x )=x 2-2x+1=(x-1)2,不合题意.
所以实数a 的取值范围是 2,10
3
,故选C .
12.A 解析由题意知,a=
x
(2e x -y )ln y x
.
设y x
=t (t>0,且t ≠1), 则a=
1(2e -t )ln t ,1
=(2e -t )ln t. 令f (t )=(2e -t )ln t ,f (t )≠0,
则f'(t )=2e t -(1+ln t ),令2e t
=(1+ln t ),得t=e,由数形结合可知,当t>e 时,f'(t )<0,当0<t<e 时,f'(t )>0.所以f (t )≤e,且f (t )≠0,所以0<1
a
≤e 或1a
<0,解得a<0或a ≥1e
. 13.y=x 解析∵f (x )=e x ·sin x ,f'(x )=e x (sin x+cos x ),f'(0)=1,f (0)=0,
∴函数f (x )的图象在点(0,0)处的切线方程为y-0=1×(x-0),即y=x.
14.(-∞,-3] 解析由题意可知f'(x )=3ax 2+6x-1≤0在R 上恒成立,则 a <0,Δ=62
+4×3a ≤0,
解得a ≤-3.
15.①③⑥ 解析∵f (x )=x 3-6x 2+9x-abc ,
∴f'(x )=3x 2-12x+9=3(x-1)(x-3).
∴当1<x<3时,f'(x )<0;当x<1或x>3时,f'(x )>0.
∴f (x )的单调递增区间为(-∞,1)和(3,+∞),单调递减区间为(1,3). ∴f (x )极大值=f (1)=1-6+9-abc=4-abc ,f (x )极小值=f (3)=27-54+27-abc=-abc. ∵f (x )=0有三个解a ,b ,c ,∴a<1<b<3<c , ∴f (1)=4-abc>0,且f (3)=-abc<0.∴0<abc<4. ∵f (0)=-abc ,∴f (0)<0,
∴f (0)f (1)<0,f (0)f (3)>0,f (1)f (3)<0.
16.-3或-2 解析设切点为(a ,a 3-3a ).
∵f (x )=x 3-3x ,∴f'(x )=3x 2-3, ∴切线的斜率k=3a 2-3,
由点斜式可得切线方程为y-(a 3-3a )=(3a 2-3)(x-a ).
∵切线过点A (1,m ),∴m-(a 3-3a )=(3a 2-3)(1-a ),
即2a 3-3a 2=-3-m.
∵过点A (1,m )可作曲线y=f (x )的两条切线, ∴关于a 的方程2a 3-3a 2=-3-m 有两个不同的根.
令g (x )=2x 3-3x 2,∴g'(x )=6x 2-6x. 令g'(x )=0,解得x=0或x=1,
当x<0时,g'(x )>0,当0<x<1时,g'(x )<0,当x>1时,g'(x )>0,
∴g (x )在(-∞,0)内单调递增,在(0,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增, ∴当x=0时,g (x )取得极大值g (0)=0,
当x=1时,g (x )取得极小值g (1)=-1.
关于a 的方程2a 3-3a 2=-3-m 有两个不同的根,等价于y=g (x )与y=-3-m 的图象有两个不同的交点,
∴-3-m=-1或-3-m=0,解得m=-3或m=-2,∴实数m 的值是-3或-2.
17.解(1)f'(x )=2ax+1
=
2ax 2+1
(x>0), ①当a ≥0时,恒有f'(x )>0,则f (x )在(0,+∞)上是增函数.
②当a<0时,0<x< -12a ,f'(x )>0,则f (x )在 0, -1
2a 上是增函数;
当x> -12a 时,f'(x )<0,则f (x )在 -1
2a ,+∞ 上是减函数.
综上,当a ≥0时,f (x )在(0,+∞)上是增函数;当a<0时,f (x )在 0, -12a 上是增函数,在 -1
2a ,+∞ 上是减函数.
(2)由题意,ma-f (x )>a 2成立,等价于ma-a 2>f (x )max , 因为a ∈(-4,-2),所以 2
< -1<1
<1. 由(1)知:当a ∈(-4,-2)时,f (x )在[1,3]上是减函数, 所以f (x )max =f (1)=2a ,所以ma-a 2>2a ,即m<a+2. 因为a ∈(-4,-2),所以-2<a+2<0, 所以实数m 的取值范围为(-∞,-2].
18.解(1)f'(x )=3x 2-x-2=(3x+2)(x-1),故f (x )在 -∞,-23 ,(1,+∞)内单调递增,在 -2
3,1 内单调递减.
(2)设切点为(x 0,f (x 0)),则切线的方程为y-f (x 0)=f'(x 0)(x-x 0),
即y-(x 03−1
2x 02-2x 0+5)=(3x 02
-x 0-2)(x-x 0).
又点(0,a )在切线上,
故a- x 03-1
2x 02-2x 0+5 =(3x 02-x 0-2)(0-x 0), 即a=-2x 03+1
2x 02+5.
令g (x )=-2x 3+12x 2+5,由已知得y=a 的图象与g (x )=-2x 3+1
2x 2+5的图象有三个交点,g'(x )=-6x 2+x ,令g'(x )=0,得x 1=0,x 2=1
6,g (x 1)=5,g (x 2)=51
216,故a 的取值范围为 5,51
216 . 19.解(1)f (x )=
b -ax
+ln x ,求导得f'(x )=-b 2+1
=
x -b
2
(x>0). ①当b ≤0时,f'(x )>0恒成立,函数f (x )单调递增,
所以f (x )的递增区间为(0,+∞),无极值;
②当b>0时,x ∈(0,b ),f'(x )<0,函数f (x )单调递减,x ∈(b ,+∞),f'(x )>0,函数f (x )单调递增,
所以函数的单调减区间为(0,b ),函数的单调增区间为(b ,+∞),f (x )有极小值f (b )=1-a+ln b ,无极大值.
(2)(方法一)由b>0,且ln b=a-1,代入g (b )=a -1
-m ,可得g (b )=
ln b
-m (b>0),所以g (x )=
ln x -m ,x>0,g'(x )=
1-ln x
2
, 当x ∈(0,e)时,g'(x )>0,所以函数g (x )在(0,e)递增,
当x ∈(e,+∞)时,g'(x )<0,所以函数g (x )在(e,+∞)递减,g (x )有极大值g (e)=1
e -m , 当x →0(x>0)时,g (x )→-∞,当x →+∞时,g (x )→-m , 故函数
g (x )有两个零点,需 1e
-m
>0,-m <0,
解得0<m<1e ,所以实数m 的取值范围为 0,1
e .
(方法二)由b>0,且ln b=a-1,代入g (b )=a -1-m , 可得g (b )=
ln b
b
-m (b>0),所以g (x )=
ln x
x
-m ,x>0, 由g (x )=0,可得ln x=mx ,即ln x-mx=0,
函数g (x )有两个零点,即方程ln x-mx=0在(0,+∞)有两个解. 设h (x )=ln x-mx ,x>0,h'(x )=1
x -m.
①当m ≤0时,h'(x )>0,h (x )在(0,+∞)单调递增,不合题意,舍去.
②当m>0时,由h'(x )>0,得x<1m ,由h'(x )<0,得x>1m ,所以h (x )在 0,1m 单调递增,在 1
m ,+∞ 单
调递减,
方程ln x-mx=0在(0,+∞)有两个解,
只需h 1m >0,即ln 1m -1>0,解得0<m<1e ,所以实数m 的取值范围为 0,1
e . 20.(1)解函数
f (x )的定义域为(0,+∞),f'(x )=1
-1=
1-x . 令f'(x )>0,解得0<x<1; 令f'(x )<0,解得x>1.
故函数f (x )的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞). (2)证明根据题意得g (x )=ln x+1
2x -m (x>0).
因为x 1,x 2是函数g (x )=ln x+12x -m 的两个零点,所以ln x 1+12x 1
-m=0,ln x 2+1
2x 2
-m=0.
两式相减,可得ln
x 1x 2
=
12x 2
−
12x 1
, 即ln x
1x 2
=x 1
-x 22x
2x 1,故x 1x 2=x 1-x 2
2ln
x 1x 2
,
因此x 1=x 1x 2-12ln x 1x 2,x 2=1-x 2x 12ln x 1x 2
. 令t=x
1x 2,其中0<t<1, 则x 1+x 2=t -12ln t +1-1t 2ln t =t -1t 2ln t .
构造函数h (t )=t-1t -2ln t (0<t<1),则h'(t )=(t -1)2t 2. 因为0<t<1,所以h'(t )>0恒成立,故h (t )<h (1),即
t-1t -2ln t<0,可知t -1t 2ln t >1,故x 1+x 2>1. 21.(1)解由f (x )=x 3-6x 2-3a (a-4)x+b ,
可得f'(x )=3x 2-12x-3a (a-4)=3(x-a )[x-(4-a )].
令f'(x )=0,解得x=a 或x=4-a.
由|a|≤1,得a<4-a.
当x 变化时,f'(x ),f (x )的变化情况如下表:
所以,f (x )的单调递增区间为(-∞,a ),(4-a ,+∞),单调递减区间为(a ,4-a ).
(2)①证明因为g'(x )=e x
(f (x )+f'(x )),由题意知 g (x 0)=e x 0,g '(x 0)=e x 0,所以 f (x 0)e x 0=e x 0,e x 0(f (x 0)+f '(x 0))=e x 0, 解得 f (x 0)=1,f '(x 0)=0.
所以,f (x )在x=x 0处的导数等于0. ②解因为g (x )≤e x ,x ∈[x 0-1,x 0+1],由e x >0,可得f (x )≤1.又因为f (x 0)=1,f'(x 0)=0,故x 0为f (x )的极大值点,由(1)知x 0=a.
另一方面,由于|a|≤1,故a+1<4-a ,由(1)知f (x )在(a-1,a )内单调递增,在(a ,a+1)内单调递减, 故当x 0=a 时,f (x )≤f (a )=1在[a-1,a+1]上恒成立,从而g (x )≤e x 在[x 0-1,x 0+1]上恒成立. 由f (a )=a 3-6a 2-3a (a-4)a+b=1,
得b=2a 3-6a 2+1,-1≤a ≤1.
令t (x )=2x 3-6x 2+1,x ∈[-1,1],
所以t'(x )=6x 2-12x ,令t'(x )=0,解得x=2(舍去)或x=0.
因为t (-1)=-7,t (1)=-3,t (0)=1,因此,t (x )的值域为[-7,1].所以,b 的取值范围是[-7,1].
22.(1)解f'(x )=1−a =2-ax (x>0). 若a ≤0时,f'(x )>0,则函数f (x )的单调递增区间为(0,+∞);
若a>0,当0<x<2
a 时,f'(x )>0,函数f (x )单调递增;
当x>2a 时,f'(x )<0,函数f (x )单调递减;
综上,若a ≤0时,函数f (x )的单调递增区间为(0,+∞), 若a>0时,函数f (x )的单调递增区间为 0,2a ,单调递减区间为 2a ,+∞ .
(2)证明g (x )=xf (x )+2=x ln x-12ax 2+(a-2)x+2(x>0),
则g'(x )=-ax+ln x+a-1(x>0).
因为ln 2e <0,所以当a<ln 2e 时,g'(x )=-ax+ln x+a-1在(0,+∞)内单调递增. 又g'(1)=-1<0,g'(2)=-a+ln2-1>-ln 2e +ln2-1=0,且g'(x )的图象是连续的,故g'(x )在(1,2)内存在唯一的零点x 0,即g'(x 0)=0.
则当0<x<x 0时,g'(x )<0,g (x )单调递减;
当x ≥x 0时,g'(x )>0,g (x )单调递增;
故而g (x )≥g (x 0)=x 0ln x 0-12ax 02+(a-2)x 0+2. 又g'(x 0)=-ax 0+ln x 0+a-1=0,且1<x 0<2,
∴g (x )≥g (x 0)=12ax 02-x 0+2>2a.。