初三数学第二十章 第一节：二次函数 第二节：二次函数的图象知识精讲 北京实验版

初三数学第二十章第一节：二次函数 第二节：二次函数的图象知识精讲 实验版
【同步教育信息】
一. 本周教学内容：
第二十章
第一节：二次函数
第二节：二次函数y ax bx c a =++≠20()的图象
教学目标：
1. 了解二次函数的意义，会根据函数解析式的结构特征判定一个函数是否是二次函数。

2. 掌握二次函数图象的画法，了解抛物线的顶点坐标和对称轴的意义。

3. 会运用配方法将二次函数的解析式由y ax bx c a =++≠20()向y a x h k a =-+≠()()20转化，掌握由此得出抛物线的顶点坐标和对称轴，会描点作函数图象示意图。

4. 会用公式求出抛物线的顶点坐标和对称轴的表达式，会作出二次函数的图象，并求出它和坐标轴的交点坐标。

二. 重点、难点：
重点：二次函数的概念、图象。

难点：通过了解函数解析式y a x h k =-+()2的参数a 、h 、k 对图象的影响，理解并掌握求二次函数y ax bx c a =++≠20()图象的对称轴和顶点坐标公式的方法。

教学过程：
（一）知识要点：
1. 二次函数的定义：
一般地，我们把形如y ax bx c a =++≠20()的函数叫做二次函数，其中a 、b 分别是二次项，一次项系数，c 是常数项。

称y ax bx c a =++≠20()叫二次函数的一般形式。

注：判断所给函数是否是二次函数，应先将表达式整理为一般形式，注意“结构一致”的本质，另外注意a 、b 、c 的确定。

2. y x =2的图象
二次函数y x =2的图象是通过原点分布在第一、二象限，且以y 轴为对称轴的一条曲线，我们称这条曲线为抛物线，它与对称轴的交点叫抛物线的顶点。

3. y ax =2的图象
对于a 取不同的值时，二次函数y ax a =≠20()的图象都是通过原点，以y 轴为对称轴的抛物线，并且和抛物线y x =2比较，当a 取不同的值时，能引起抛物线开口方向和开口大小的改变。

（1）当a>0时，抛物线开口向上，当a<0时，抛物线开口向下
（2）当a 的绝对值越大，抛物线开口越小
当a 的绝对值越小，抛物线开口越大
4. y ax c a =+≠20()的图象
y ax c a =+≠20()的图象可以看作是二次函数y ax =2的图象向上（c>0）或向下（c<0）平移|c|个单位得到的，它的对称轴是y 轴，顶点坐标是（0，c ）
5. y a x h =-()2的图象
y a x h =-()2的图象在h 取不同值时，可以看作由函数y ax =2的图象向左（h<0）或向右（h>0）平移|h|个单位得到的，它的对称轴是x ＝h ，顶点坐标为（h ，0）
6. y a x h k a =-+≠()()20的图象
y a x h k a =-+≠()()20的图象可以看作由函数y ax =2的图象经过向左（h<0）或向右（h>0），向上（k>0）或向下（k<0）平移而得到的一条抛物线，它有如下特点：
（1）当a>0时，抛物线的开口向上；当a<0时，抛物线的开口向下。

（2）抛物线的对称轴是x ＝h ，顶点坐标是（h ，k ）
7. y ax bx c a =++≠20()的图象、对称轴和顶点坐标的计算公式。

（1）y ax bx c a =++≠20()通过配方转化为y a x h k a =-+≠()()20的形式
y a x b a
x c =+
+()2 y a x b a x b a c a b a
=+++-(())()22222 y a x b a ac b a
=++-()24422
（2）二次函数y ax bx c a =++≠20()的图象的对称轴和顶点坐标的公式为： 对称轴x b a
=-2 顶点坐标为（--b a ac b a
2442
，） （3）y a x h k a =-+≠()()20称做二次函数的顶点式解析式。

（4）由于二次函数y ax bx c a =++≠20()的图象是抛物线，所以常把“二次函数y ax bx c a =++≠20()”称为“抛物线y ax bx c a =++≠20()”。

8. 抛物线y ax bx c a =++≠20()与x 轴的交点
令y =0，有ax bx c 20++=
x b b ac a
b a
c =-±--≥224240() （1）若b ac 2
40->，交点为（-+-b b ac a 242，0）（---b b ac a
242，0），有交点 （2）若b ac 240-=，交点为（-b a
2，0），有交点 （3）若b ac 240-<，无交点
9. 抛物线y ax bx c a =++≠20()与y 轴交点 令x =0，有y ＝c
抛物线y ax bx c a =++≠20()与y 轴交点为（0，c ）
（1）若c>0，抛物线与y 轴交点在y 轴正半轴
（2）若c<0，抛物线与y 轴交点在y 轴负半轴
（3）若c ＝0，抛物线与y 轴交点在原点
10. 五点法画二次函数的图象
（1）通过顶点式确定抛物线的对称轴x ＝h ，顶点坐标（h ，k ）——一点，或通过一般式确
定对称轴x b a
=-2，顶点坐标为（--b a ac b a 2442，）。

（2）求抛物线与x 轴的交点
若两交点——二、三点，若一交点——此点为顶点。

（3）求抛物线与y 轴交点
（0，c ）——四点，以及（0，c ）点关于对称轴的对称点（五点）
【典型例题】
例1. （1）二次函数y x =-+13
32()的图象经过怎样的变换，就得到函数y x =-1332()的图象？
（2）二次函数y x =-1332()的图象经过怎样的变换，就得到函数y x =-+13
342()的图象？ 解：（1）①延x 轴翻折；②向右平移6个单位。

（2）向上平移4个单位。

例2. 指出y x =+-12192
2()的（1）开口方向；（2）对称轴；（3）顶点坐标；（4）与y 轴交点；（5）与x 轴交点。

解：（1）开口向上
（2）对称轴是x =-1
（3）顶点坐标为（--192
，） （4）与y 轴交点（0，-4）
（5）与x 轴交点（2，0）和（-4，0）
例3. 用配方法将y x x =-++241化为y a x h k =-+()2的形式，并指出抛物线的开口方向，对称轴和顶点坐标，并画出示意图。

解：y x x =-++241，y x x =--+()241
y x x =--+++()24414
y x =--+()252
∴（1）开口向下
（2）对称轴x ＝2
（3）顶点坐标（2，5）
令x ＝0，y ＝1，∴抛物线与y 轴交点为（0，1）
∴抛物线与y 轴交点（0，1），关于x ＝2的对称点为（4，1）
令y ＝0，则x =±25
∴抛物线与x 轴交点为（25+，0），（25-，0）
示意图：
例4. 已知抛物线y x x a =-++24与y x a b a b =-+++()25的顶点相同，求a 、b 。

解：y x x a =-++24
配方得：y x a =--++()242
据题意有a b a b a -=+=+⎧⎨⎩
254 解得a b ==-⎧⎨⎪⎪⎩
⎪⎪654
5 小结：二次函数的图象是一条抛物线，对于a 、b 、c 及h 、k 对图象的影响，同学们要在大量的实践后总结体验，不要死记硬背这些结论。

【模拟试题】（答题时间：25分钟）
一. 填空
1. 二次函数y x =-22图象开口方向为________，对称轴是________，顶点坐标为________。

2. 二次函数y x =-+2132()的图象开口向________，对称轴是________，顶点坐标为________。

3. 二次函数y x =-+-12352()的图象开口向________，对称轴是________，顶点坐标为________。

4. 二次函数y x =--+
312542()的图象开口向________，对称轴是________，顶点坐标为________。

5. 二次函数y x =32的图象，经过________变换，可得y x =--+3542()的图象。

二. 已知函数y mx m m =--24的图象是开口向下的抛物线，求m 的值。

三. 先配方，将函数写成y a x h k =-+()2的形式，再确定图象开口方向，对称轴和顶点坐标。

（1）y x x =-+223；（2）y x x =-+-2852
四. 抛物线y x x m =-+23的顶点在x 轴上，求它的对称轴和顶点坐标，并求抛物线与x
轴和y 轴的交点坐标。

【试题答案】
一. 1. 下，x ＝0（或y 轴），（0，0）
2. 上，x ＝1，（1，3）
3. 下，x ＝-3，（-3，-5）
4. 下，x =
12，（1254
，） 5. 将y x =32的图象延x 轴翻折，再向右平移5个单位，再向上平移4个单位 二. m =-2
三. （1）y x =-+()122，开口向上，对称轴x ＝1，顶点坐标（1，2）
（2）y x =--+2232()，开口向下，对称轴x ＝2，顶点坐标（2，3）
四. 对称轴x =
32，顶点坐标为（32
，0） 与x 轴交点（32，0），与y 轴交点（0，94
）
【励志故事】 学学乔丹的爱国
篮球上帝乔丹在日前的中国之行中，拒绝乘坐主办方为他提供的奔驰、宝马，而是点名要了美国的道奇山羊。

原来乔丹有一条重要的商业原则，那就是“做广告从来只做美国货”，所以，座驾事件与“爱国精神”息息相关。

从某种意义上说，球场外的乔丹给崇拜他的那些青少年们上着很好的思想品德教育课，这才是一个“星”真正的道德良知和社会责任。

相反，我们的各种“星”们，同样作为青少年们顶礼膜拜的偶像，他们的表现又如何呢？我们知道有的歌星歌唱得不怎么样，却热衷于把奇形怪态遁入极端；有些影星表演够差，却总走不出绯闻缠身的怪圈；还有那些所谓的足球明星，球踢得极烂，可酗酒、打架等丑闻从来不绝于耳。

在未成年人思想道德建设方面，我们的“星”们有着不可推卸的社会责任，从这个角度来说，是不是应该好好学学人家乔丹呢？。