浙江省瑞安市第七中学2017届高三数学一轮复习：函数

2017届高三数学函数练习
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．
1．设}20|{≤≤=x x M ，}30|{≤≤=y y N ，给出下列四个图形，其中能表示从集合M 到集合N 的函数关系的有( )
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
2．设全集}|{R x x U ∈=，集合},1|{R x x y y A ∈-==，⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧≥==2,log |21y x y x B 且，则
ð)(B A U 是( )
A ．41
0|),{(≤
<x y x ，且}0≥y B ．0|{<y y 或}2≥y C ．0|{≤x x ，或}4
1
>x
D ．}|{R x x ∈
3．23=a
，则8log 6log 233-等于( ) A ．a -2
B ．12
+-a a
C ．a 52-
D ．a a 32
-
4．若b a ,为实数，则“10<<ab ”是b a 1<或a
b 1
<的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
5．函数)4(log )(2
2x x x f -=的单调递减区间是( ) A ．(0, 4);
B ．(0, 2);
C ．(2, 4);
D ．(2, +∞)
6．设定义在R 上的函数)(x f 满足13)2()(=+⋅x f x f ，若2)1(=f ，则)99(f =( ) A ．
2
13
B ．2
C ．13
D ．
13
2 7．x x x f sin )(+=，若⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-∈2,2,21ππx x 且0)()(21>+x f x f , 则下列不等式中正确的是( ) A ．21x x >
B ．21x x <
C ．021>+x x
D ．021<+x x
8．定义域为R 的函数)(x f 在),8(∞+上为减函数，且)8(+=x f y 函数为偶函数，则( )
A ．)7()6(f f >
B ．)9()6(f f >
C ．)9()7(f f >
D ．)10()7(f f >
9．已知定义在R 上的奇函数)(x f 和偶函数)(x g 满足)1,0(2)()(=/>+-=+-a a a a x g x f x x ，若
a g =)2(，则)2(f =( )
A ．2
B ．
4
15
C ．
4
17
D ．2
a
10．如果关于x 的方程02]2)2
1[(2
=---a x
有实数根，则a 的取值范围是( )
A ．),2[+∞-
B ．]2,1(-
C ．]1,2(-
D ．)2,1[-
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．
11．已知函数)(x f 是定义在),(∞+-∞上的偶函数．当)0,(-∞∈x 时，4)(x x x f -=，则当
),0(∞+∈x 时，)(x f = .
12．已知对数函数x y C a log :1=，x y C b log :2=如图2所示，则b a 、的大小是 ．
13．函数x
x
y 2121+-=的值域为 .
14．⎩⎨⎧∉-∈=]
1,0[3]1,0[1
)(x x x x f , 则方程1))((=x f f 的解集为 .
三、解答题：本大题共6个小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（12分）已知函数1cos 2)3
2sin()3
2sin()(2-+-
++
=x x x x f π
π
，R x ∈.
(I)求函数)(x f 的最小正周期； (Ⅱ)求函数)(x f 在区间]4
,4[π
π-上的最大值和最小值．
16． (12分) 已知函数12)(2
++=ax ax x f 在区间]2,3[-上的最大值为4，求实数a 的值。

17．（14分）已知定义在R 上的函数)(x f 满足：)()()(y f x f y x f +=+，当0<x 时，.0)(<x f
(1)求证：)(x f 是奇函数；
(2)解关于x 的不等式：0().(2)()(2)(22>->-m m f x m f x f mx f , 且m 为常数）．
18．（14分）给出定义在),0(∞+上的三个函数：x x f ln )(=，)()(2x af x x g -=，x a x x h -=)(，
已知)(x g 在1=x 处取极值． (1)确定函数)(x h 的单调性； (2)求证：当2
1e x <<时，恒有)
(2)
(2x f x f x -+<成立.
19．（14分）已知)(22)(2
R x x a x x f ∈+-=
，设关于x 的方程x
x f 1
)(=的两个根为21x x 、，若对]1,1[-上的任意实数t 和a ，不等式||1212x x tm m -≥++恒成立，求实数m 的取值范围．
20．(14分) 已知),log )()
14
(4R k kx x f x
∈+=+是偶函数．
(1)求k 的值；
(2)证明：对任意实数b ，函数)(x f y =的图像与直线b x y +=2
1
最多只有一个交点； (3)设)3
4
2(log )(4a a x g x
-⋅=，若函数)(x f 与)(x g 的图像有且只有一个公共点，求 实数a 的取值范围．
参考答案
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．
1-10 CCAAC ACDBD
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上.
11．4
x x -- 12．b a >
13．(-1, 1). 14．令41)((,)(00=⇒==x x f f x x f 或]1,0[0∈x ，74)(=⇒=x x f ，
]4,3[]1,0[)(∈⇒∈x x f 或]1,0[∈x ，故解集为7{=x x 或43≤≤x 或}10≤≤x
15．(I)解：x x x x x x f 2cos 3
sin
2cos 3
cos
2sin 3
sin
2cos 3
cos
2sin )(+⋅-⋅+⋅+⋅=π
π
π
π
)4
2sin(22cos 2sin π
+
=+=x x x
所以，)(x f 的最小正周期ππ
==2
2T . (II)解：因为)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-
8,4ππ上是增函数，在区间⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡4,8ππ上是减函数，又1)4(-=-πf ，2)8(=πf ，1)4(=πf ，故函数)(x f 在区间⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-4,4ππ上的最大值为
2，最小值为-1．
16．解析：]2,3[,1)1()(2
-∈-++=x a x a x f
(1)若1)(,0==x f a ，不合题意。

………2分 (2)若0>a ，则18)2()(max +==a f x f ………… 4分 由418=+a ，得8
3
=
a ………6分
(3)若0<a 时，则a f x f -=-=1)1()(max …………8分
由41=-a ，得3-=a ………10分 综上知8
3
=
a 或3-=a …………12分
17．解：(1))()()(y f x f y x f +=+ ，令0==y x ，得)0()0()0(f f f +=，即.0)0(=f
…………………2分
令0=+y x ，即x y -=，得)()()0(x f x f f -+=，)()(x f x f -=-∴ ，)(x f ∴是奇函数 ………4分
(2)设R x x ∈21、，且21x x <，则021<-x x ，由已知得.0)(21<-x x f
0)()()()()(212121<-=-+=-∴x x f x f x f x f x f ，)()(21x f x f <∴即)(x f 在R
上是增函数，………………7分
又)2()()()(2m f m f m f m f =+=．同理)2()(2x f x f = ………8分
)2()()2()()(2)()(2)(2222x f x m f m f mx f m f x m f x f mx f +>+⇔->-
02)2(22)2()2(222222>++-⇔+>+⇔+>+⇔m x m mx x x m m mx x x m f m mx f
…………………10分
022,02>+⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+-∴>x m m x m ，0))(2(>--∴m x m x ……………11分
当
m m <2，即2>m 时，不等式的解集为⎭
⎬⎫⎩⎨⎧><m x m x x 或2
；………13分 当m m >2，即20<<m 时，不等式的解集为m x x <|{或}2
m
x >．………14分
18．解：(1)由题设，x a x x g ln )(2
-=，则.2)(x
a
x x g -
=' ………2分 由已知，0)1(='g ，即.202=⇒=-a a …………3分 于是x x x h 2)(-=，则x x h 11)(-
='．由101
1)(>⇒>-
='x x
x h ， ……6分 所以)(x h 在),1(∞+上是增函数，在)1,0(上是减函数，………7分
(2)当2
1e x <<时，2ln 0<<x ，即2)(0<<x f ，所以0)(2>-x f …………9分 欲证)
(2)
(2x f x f x -+<
，只需证)(2)](2[x f x f x +<-，即证⋅+->1)1(2)(x x x f
设1
)
1(2ln 1)1(2)()(+-=+--
=x x x x x x f x ϕ， 则2
2)1()1()
1()1(2)1(21)(+-=+--+-='x x x x x x x x ϕ．……13分 当2
1e x <<时，0)(>'x ϕ，所以)(x ϕ在区间),1(2e 上为增函数. 从而当2
1e x <<时，0)1()(=>ϕϕx ，即1)1(2ln +->
x x x ，故)
(2)
(2x f x f x -+<， ……………………14分
19．解析：由
x
x a x 1
222
=+-，得022=--ax x ，………1分 082>+=∆a ，21,x x ∴是方程022=--ax x 的两非零实根，
2,2121-==+∴x x a x x ， ………2分
从而84)(||22122121+=-+=
-a x x x x x x ，…………4分
.38||,11221≤+=-∴≤≤-a x x a ………6分
∴不等式||1212x x tm m -≥++对任意]1,1[,-∈t x 恒成立
312≥++⇔tm m 对任意]1,1[-∈t 恒成立 022≥-+⇔tm m 对任意]1,1[-∈t 恒
成立 ………………9分
设)2(2)(2
2-+=-+=m mt tm m t g ，则问题又等价于⎪⎩⎪⎨⎧≥-+=≥--=-0
2)1(0
2)1(2
2
m m g m m g …………………13分
解得：2≥m 或2-≤m ，即m 的取值范围是⋅∞+--∞),2[]2,( ………14分
20．解：(1)由)1()1(f f =-得：21-
=k ．经检验的2
1
-=k 满足题意；………2分 (2)证明：即证方程组⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+=-+=b x y x y x
212
1)14(log 4最多只有一组解.
⇒即证方程：b x x +=+414最多只有一个实根. ………4分
下面用反证法证明：
假设上述方程有两个不同的解)(,2121x x x x =/.则有：
.0)44(44441441421212211=⇒-=-⇒=+=+⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
++b x x b x x b
x x b x x 但0=b 时，x x 414=+不成
立．故假设不成立．从而结论成立. …………7分
(3)问题转化为方程：0123
4
)2()1(2
=-⋅-
⋅-x x a a 只有唯一解． …………9分 令x
t 2=，则可化为关于t 的方程：)0(013
4)1(2>=---t at t a 只有唯一正
根．……………………10分
若1=a ，则上述方程变为01234=-⋅-x
，无解，故1=/a . ………11分 若二次方程（*）两根异号，即
101
1
>⇒<--a a ．此时方程（*）有唯一正根，满足条件；………12分
若二次方程（*）两根相等且为正，则⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨⎧>----=⇒>--=∆0)1(234.3011
0a a a a ………13分 故a 的取值范围是：{}
.13>-=a a a 或 ………14分。