湖南省三湘名校教育联盟2024-2025学年高三上学期第二次大联考(11月)数学试题

湖南省三湘名校教育联盟2024-2025学年高三上学期第二次大
联考（11月）数学试题
一、单选题
1．设集合{}{}40,31A x
x B x x =-≤≤=-≤≤∣∣，则集合A B ⋂中所含整数的个数为（）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
2．已知3i
12i
z -=+，则z 的虚部为（）
A ．
7
5
B ．75
-
C ．15
-D ．
15
3．“202520251a b >≥”是“33a b >”的（）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．已知()1sin 104
θ︒
+=-，则()sin 2110θ︒+=（
）
A ．
78
B ．
18
C ．18
-
D ．78
-
5．经研究表明：光源发射出来的粒子在没有被捕获之前属于光子，光子在离开光源后会与各种粒子撞击，其动量可能会改变，导致其速度降低，最终可能改变身份成为其他范围的粒子（如红外线粒子），不再能被人类的感光设备捕获.已知在某次光学实验中，实验组相关人员用人类感光设备捕获了从同一光源发射出来的两个光子A ，B ，通过数学建模与数据分析
得知，此时刻在平面直角坐标系中它们的位移所对应的向量分别为(4,3),(2,10)A B s s ==
，设
光子B 相对光子A 的位移为s ，则s 在A s
上的投影向量的坐标为（）
A ．43,55⎛⎫ ⎪
⎝⎭
B ．(2,7)
-C ．5239,2525⎛⎫ ⎪
⎝⎭
D ．43,2525⎛⎫ ⎪
⎝⎭
6．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为1,2d a =d 的值为（）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．8
7．已知函数1
()ln
2(1)x f x x m x m
+=+≠+关于点(,4)n 中心对称，则曲线()y f x =在点(n m -，())f n m -处的切线斜率为（
）
A ．
14
B ．
74
C ．
38
D ．
138
8．ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且πcos cos 2,3
b C
c B A +==，则ABC 的内切圆半径的最大值为（）
A ．
2
B C D ．1
二、多选题
9．已知正数,x y 满足21x y +=，则（）
A ．81
xy ≤B ．
14
12x y
+≥C ．22
142
x y +≥
D ．()114
x y +≤
10．三棱台111ABC A B C -中，112AB A B =，设AB 的中点为1,E AA 的中点为1,F A E 与BF 交于点1,G A C 与1C F 交于点H ，则（
）
A ．直线GH 与直线1B
B 异面B ．1
//GH BC C ．线段AE 上存在点P ，使得1//BC 平面1A PC D ．线段BE 上存在点P ，使得1//BC 平面1A PC
11．设函数2
()e ,x f x nx n n +=-+∈N ，记()f x 的最小值为n a ，则（
）
A ．122a a >-
B ．1n a n ≥+
C ．()()
n f a f n >D ．n m n m
a a a +>+三、填空题
12．已知命题：“2,20x ax ax ∀∈--<R ”为真命题，则a 的取值范围是
．
13．已知P 为边长为4的正六边形ABCDEF 内部及其边界上的一点，则AP AB ⋅
的取值范围
是.
14．三棱锥P ABC -中，AB AC AB AC ==⊥，平面PBC ⊥平面ABC ，且PB PC =.记
P ABC -的体积为V ，内切球半径为r ，则21
r V
-的最小值为
.
四、解答题
15．已知函数()2cos 2,(0,π)f x x x x =+∈.(1)求()f x 的单调递减区间；
(2)若()f x 在π,12m ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最小值为2-，求m 的取值范围.
16．记首项为1的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2(1)n n S n a =+.(1)探究数列n a n ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是否为单调数列；
(2)求数列{}2
n
a n a ⋅的前n 项和n
T .
17．如图，四棱柱1111ABCD A B C D -中，四边形ABCD 是菱形，四面体11A BC D 的体积与四
面体111A B BC 的体积之差为12,A BD 的面积为
(1)求点A 到平面1A BD 的距离；
(2)若11111,,2A B A D A B A C BD =⊥=，求锐二面角11A BD C --的余弦值．
18．已知函数2()ln 2
x f x ax ax x =+-在(0,)+∞上有两个极值点12,x x ，且12x x <.
(1)求a 的取值范围；(2)当
2
1
(1,e)x x ∈时，证明：122e ln ln e 1x x <+<+.19．对于(2,3,)m m = 项数列{}n a ，若满足1
1
1m
m
i i i i a a m ==-=-∑∑，则称它为一个满足“绝对值
关联”的m 阶数列．
(1)对于一个满足“绝对值关联”的m 阶数列{}n a .证明：存在,{1,2,,}i j m ∈ ，满足0i j a a <；
(2)若“绝对值关联”的m 阶数列{}n a 还满足()1,2,,i a i m λ≤= ，则称{}n a 为“绝对值λ关联”的m 阶数列．
①请分别写出一个满足“绝对值3
4
关联”的4阶数列和满足“绝对值1关联”的5阶数列（不必论证，符合要求即可）；
②若存在“绝对值λ关联”的n 阶数列()2n ≥，求λ的最小值（最终结果用常数或含n 的式子表示）．。