2022高考数学文人教A版一轮复习学案：2.6 对数与对数函数 【含解析】

2.6 对数与对数函数 必备知识预案自诊
知识梳理
1.对数的概念
(1)根据下图的提示填写与对数有关的概念:
(2)a 的取值范围 . 2.对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则
如果a>0,且a ≠1,M>0,N>0,那么 ①log a (MN )= ; ②log a M N
= ;
③log a M n = (n ∈R ).
(2)对数的性质:a log a N =N (a>0,且a ≠1,N>0).
(3)对数换底公式:log a b=log c b
log c
a (a>0,且a ≠1;b>0;c>0,且c ≠1).
3.对数函数的图象与性质
a>1
0<a<1
图象
4.反函数
指数函数y=a x(a>0,且a≠1)与对数函数(a>0,且a≠1)互为反函数,它们的图象关于直线对称.
1.对数的性质(a>0,且a≠1,b>0)
(1)log a1=0;
考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)log2x2=2log2x.()
(2)函数y=log2x及y=lo g1
3
3x都是对数函数.()
(3)当x>1时,若log a x>log b x,则a<b.()
(4)函数f(x)=lg x-2
x+2
与g(x)=lg(x-2)-lg(x+2)是同一个函数.()
(5)对数函数y=log a x(a>0,且a≠1)的图象过定点(1,0),且过点(a,1),(1,-1).()
2.(2020陕西西安中学八模,理3)已知x·log32=1,则4x=()
A.4
B.6
C.4log32
D.9
3.(2020山东历城二中模拟四,3)已知a=lo g1
51
6
,b=lo g1
3
π
3
,c=3-
1
3,则a,b,c的大小关系是()
A.b<a<c
B.a<c<b
C.c<b<a
D.b<c<a
4.若函数y'=a|x|(a>0,且a≠1)的值域为{y'|0<y'≤1},则函数y=log a|x|的图象大致是()
5.(2020河北保定一模,理13)若2a=10,b=log510,则1
a +1
b
=.
关键能力学案突破
考
点
对数式的化简
与求值
【例1】化简下列各式:
(1)lg3+lg 70-lg 3-√(lg3)2-lg9+1;
(2)log3√27
4
3
·log5[4
1
2
log210-(3√3)23-7log72].
?
解题心得对数运算的一般思路:
(1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后正用对数运算性质化简合并.
(2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运算性质,转化为同底对数真数的积、商、幂的运算.
对点训练1(1)(2020全国1,文8)设a log34=2,则4-a=()
A.1
16B.1
9
C.1
8
D.1
6
(2)(2020山东泰安一模,5)已知定义在R上的函数f(x)的周期为4,当x∈[-2,2)时,f(x)=1
3 x-x-4,则f(-log36)+f(log354)=()
A.3
2B.3
2
-log32
C.-1
2D.2
3
+log32
考
点
对数函数的图象
及其应用
【例2】(1)函数y=2log4(1-x)的图象大致是()
(2)已知当0<x≤1时,4x=log a x有解,则实数a的取值范围是.
变式发散将本例(2)中的“4x=log a x有解”改为“4x<log a x”,则实数a的取值范围为.
解题心得应用对数型函数的图象可求解的问题:
(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数,在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时,也常利用数形结合思想;
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解.
对点训练2(1)函数f(x)=log a|x|+1(0<a<1)的图象大致是()
(2)函数y=|log2x|-1
2
x的零点个数是()
A.0
B.1
C.2
D.3
考
点
对数函数的性质及其应用(多
考向探究)
考向1比较含对数的函数值的大小
【例3】(1)(2020全国3,文10)设a=log32,b=log53,c=2
3
,则()
A.a<c<b
B.a<b<c
C.b<c<a
D.c<a<b
(2)(2020河北沧州一模,理9)已知a=log0.30.5,b=log30.5,c=log0.50.9,则()
A.ab<ac<a+b
B.a+b<ab<ac
C.ac<ab<a+b
D.ab<a+b<ac
解题心得比较含对数的函数值的大小,首先应确定对应函数的单调性,然后比较含对数的自变量的大小,同底数的可借助函数的单调性;底数不同、真数相同的可以借助函数的图象;底数、真数均不同的可借助中间值(0或1).
对点训练3(1)(2020山西太原二模,理3)已知a=log52,b=log0.50.2,c=0.50.2,则()
A.a<b<c
B.a<c<b
C.b<a<c
D.c<a<b
(2)(2020全国3,理12)已知55<84,134<85.设a=log53,b=log85,c=log138,则()
A.a<b<c
B.b<a<c
C.b<c<a
D.c<a<b
考向2解含对数的函数不等式
【例4】(1)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)内单调递增.若正实数a 满足f(log2a)+f(lo g1
2
a)≤2f(1),则a的取值范围是()
A.[1,2]
B.0,1
2
C.1
2
,2 D.(0,2]
(2)设函数f(x)={
log2x,x>0,
log1
2
(-x),x<0.若f(a)>f(-a),则实数a的取值范围是()
A.(-1,0)∪(0,1)
B.(-∞,-1)∪(1,+∞)
C.(-1,0)∪(1,+∞)
D.(-∞,-1)∪(0,1)
解题心得解简单对数不等式,先统一底数,化为形如log a f (x )>log a g (x )(a>0,且a ≠1)的不等式,再借助y=log a x 的单调性求解,当a>1时,log a f (x )>log a g (x )⇔{f (x )>0,
g (x )>0,f (x )>g (x ),当0<a<1
时,log a f (x )>log a g (x )⇔{f (x )>0,
g (x )>0,f (x )<g (x ).
对点训练4(1)定义在R 上的奇函数f (x ),当x ∈(0,+∞)时,f (x )=log 2x ,则不等式f (x )<-1的解集是 .
(2)不等式log (x-3)(x-1)≥2的解集为 .
考向3 对数型函数的综合问题
【例5】已知函数f (x )=log a (x+1)-log a (1-x ),a>0,且a ≠1. (1)求f (x )的定义域;
(2)判断f (x )的奇偶性,并予以证明;
(3)当a>1时,求使f (x )>0的x 的取值范围.
解题心得有关对数型函数的综合问题要注意三点:一是定义域,所有问题都必须在定义域内讨论;二是底数与1的大小关系;三是复合函数的构成,即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外,解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的使用.
对点训练5(1)(2020山东潍坊一模,7)已知定义在R 上的偶函数f (x )=2|x-m|-1,记a=f (-ln 3),b=f (-log 25),c=f (2m ),则( )
A.a<b<c
B.a<c<b
C.c<a<b
D.c<b<a
(2)已知函数f (x )=log a (ax 2-x+3)在[1,3]上单调递增,则a 的取值范围是 .
1.多个对数函数图象比较底数大小的问题,可通过图象与直线y=1交点的横坐标进行判定.
2.研究对数型函数的图象时,一般从最基本的对数函数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变换得到.特别地,要注意底数a>1和0<a<1的两种不同情况.有些复杂的问题,借助于函数图象来解决,就变得简单了,这是数形结合思想的重要体现.
3.利用对数函数单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题,其基本方法是“同底法”,即把不同底的对数式化为同底的对数式,然后根据单调性来解决.
1.在运算性质log a M n =n log a M 中,要特别注意M>0的条件,当n ∈N *,且n 为偶数时,在无M>0的条件下应为log a M n =n log a |M|.
2.解决与对数函数有关的问题时需注意两点: (1)定义域优先的原则. (2)要有分类讨论的意识.
2.6 对数与对数函数
必备知识·预案自诊
知识梳理
1.(1)指数 对数 幂 真数 底数
(2)a>0,且a ≠1
2.(1)①log a M+log a N ②log a M-log a N ③n log a M 4.(0,+∞) (1,0) 增函数 减函数 5.y=log a x y=x
考点自诊
1.(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√
2.D ∵x·log 32=1,∴x=log 23,∴4x =4log 23=4log 49=9,故选D .
3.D
a=lo g 1516>lo g 1515=1,b=lo g 13π3<lo g 13
1=0,c=3-1
3=
√3
3
,则0<c<1,所以b<c<a.故选D .
4.A 函数y'=a |x|(a>0,且a ≠1)的值域为{y'|0<y'≤1},则0<a<1,由此可知y=log a |x|的图象
大致是A .
5.1 ∵2a =10,∴a=log 210,又b=log 510,∴1+1=
12+1
5=lg2+lg5=lg10=1. 关键能力·学案突破
例1解(1)原式=lg 37×70
3
-
√(lg3)2-2lg3+1=lg10-√(lg3-1)2
=1-|lg3-1|=lg3.
(2)原式=log 333
4
3
·log 5[10-(332)23−7log 72]=(log 333
4-1)·log 5(10-3-2)
=(3-1)·log 55=-1
.
对点训练1(1)B (2)A (1)因为a log 34=log 34a =2,所以4a =32=9,所以4-a =1
a =1
.故选B .
(2)由题意,f (log 354)=f (log 354-4)=f log 32
3,∵当x ∈[-2,2)时,f (x )=13
x
-x-4,且-log 36∈[-2,2),log 32
3∈[-2,2),∴f (-log 36)+f (log 354)=13 -log 36-(-log 36)-4+
13
log 3
2
3-log 32
3
-4=3log 36
+3
log 3
32+
log 36-log 32
3-8=6+3
2+log 39-8=3
2.故选A .
例2(1)C (2)0,√2
2 (1)函数y=2log 4(1-x )的定义域为(-∞,1),排除A,B;又函数y=2log 4(1-x )在定义域内单调递减,排除D .故选C .
(2)
构造函数f (x )=4x 和g (x )=log a x.当a>1时不满足条件,当0<a<1时,画出两个函数在0,12上的大致图象,如图所示.可知,只需两图象在0,1
2上有交点即可,则f 12
≥g
12
,即
2≥log a 12,则0<a ≤√22,所以a 的取值范围为0,√2
2. 变式发散
√2
2
,1 设函数f (x )=4x 和g (x )=log a x ,可知当a>1时不满足条件,当0<a<1时,f
12
<g
12
,即2<log a 1
2,则a>√2
2,所以a 的取值范围为
√2
2
,1.
对点训练2(1)A (2)C (1)由于函数f (x )=log a |x|+1(0<a<1)是偶函数,故其图象关于y 轴对称.当x>0时,f (x )=log a |x|+1(0<a<1)单调递减;当x<0时,f (x )=log a |x|+1(0<a<1)单调递增.再由图象过点(1,1),(-1,1),可知应选A .
(2)函数y=|log 2x|-12x 的零点个数即为方程|log 2x|=12
x
的实数根的个数.在同一平面直角坐标系内作出函数y=|log 2x|及y=12
x
的图象(图象略),不难得出两个函数的图象有2个交点,故选C .
例3(1)A (2)D (1)∵3
2a=3
2log 32=lo g 3223=log 98<1,∴a<2
3.
∵32b=32
log 53=lo g 5233=log 2527>1, ∴b>23.又c=2
3,∴a<c<b.故选A .
(2)∵0=log 0.31<log 0.30.5<log 0.30.3=1,即0<a<1; log 30.5<log 31=0,即b<0;
0=log 0.51<log 0.50.9<log 0.50.5=1,即0<c<1,∴ab<0,0<ac<1,即有ab<ac. ∵1a +1b =log 0.50.3+log 0.53=log 0.50.9=c ,即0<a+b
ab =c<1, ∴ab<a+b<0.
综上,ab<a+b<ac.故选D .
对点训练3(1)B (2)A (1)∵log 51<log 52<log 5√5,∴0<a<1,b=log 0.50.2=lo g 12
1=log 25>log 24=2,
∵0.51<0.50.2<0.50, ∴1
2<c<1,∴a<c<b ,故选B .
(2)∵43a=43log 53=lo g 5334=log 12581<1,∴a<3
4. ∵43b=43log 85=lo g 8354=log 512625>1,∴b>3
4. ∵55<84,∴5
4b=54log 85=lo g 8455<1,∴b<45
. ∵134<85,∴54c=54log 138=lo g 13485>1,∴c>45
. 综上,a<b<c.
例4(1)C (2)C (1)因为lo g 12
a=-log 2a ,所以f (log 2a )+f (lo g 12
a )=f (log 2a )+f (-log 2a )=2f (log 2a ),
原不等式变为2f (log 2a )≤2f (1),即f (log 2a )≤f (1).又因为f (x )是定义在R 上的偶函数,且在[0,+∞)内单调递增,所以|log 2a|≤1,即-1≤log 2a ≤1,解得1
2≤a ≤2,故选C .
(2)由题意可得{a >0,
log 2a >-log 2a
或{a <0,log 12
(-a )>log 2(-a ),解得a>1或-1<a<0.故选C .
对点训练4(1)(-∞,-2)∪0,12
(2){x|4<x ≤5} (1)由已知条件可知,当x ∈(-∞,0)
时,f (x )=-log 2(-x ).
当x ∈(0,+∞)时,f (x )<-1,即为log 2x<-1,解得0<x<12
; 当x ∈(-∞,0)时,f (x )<-1,即为-log 2(-x )<-1,解得x<-2. 所以f (x )<-1的解集为(-∞,-2)∪0,1
2.
(2)原不等式等价于{x -1>0,x -3>1,x -1≥(x -3)2或{x -1>0,
0<x -3<1,x -1≤(x -3)2,解得4<x ≤5,故原不等式的解集
为{x|4<x ≤5}.
例5解(1)因为f (x )=log a (x+1)-log a (1-x ),所以{
x +1>0,
1-x >0,
解得-1<x<1.故所求函数的定义域
为{x|-1<x<1}.
(2)f (x )为奇函数.证明如下: 由(1)知f (x )的定义域为
{x|-1<x<1},f (-x )=log a (-x+1)-log a (1+x )=-[log a (x+1)-log a (1-x )]=-f (x ).
故f (x )为奇函数.
(3)因为当a>1时,f (x )在定义域{x|-1<x<1}上是增函数,
由f (x )>0,得x+1
1-x >1,解得0<x<1.所以x 的取值范围是(0,1). 对点训练5(1)C (2)0,1
6∪(1,+∞)
(1)根据题意,有f (-x )=f (x ),即2|x-m|-1=2|-x-m|-1,可得m=0,
则f (x )=2|x|
-1={2x -1,x ≥0,2-x -1,x <0.
则f (x )在(0,+∞)上单调递增,
a=f (-ln3)=f (ln3),b=f (log 25),c=f (20)=f (1), 又0<1<ln3<2<log 25,则c<a<b ,故选C . (2)令t=ax 2-x+3,则原函数化为y=f (t )=log a t.
当a>1时,f (t )为定义域上的增函数,所以要保证t=ax 2-x+3在[1,3]上单调递增, 所以{12a
≤1,
a -1+3>0,a >1,
解得a>1.
当0<a<1时,f (t )为定义域上的减函数,所以要保证t=ax 2-x+3在[1,3]上单调递减,所以{12a
≥3,
9a -3+3>0,0<a <1,
解得0<a ≤1
6. 故a 的取值范围为0,1
6∪(1,+∞).。