高考数学常考题型的总结(必修五)

高考数学常考题型的总结（必修五）
对高三理科来说，必修五是高考的必考内容，它不仅要考查基础知识点，而且还要考查解题方法和解题思路的问题。

同学们在复习过程中，一定要明白什么是重要，什么是难点，什么是常考知识点。

对重难点要了如指掌，
能做到有的放矢。

同学们不仅要掌握课本上的知识点，更重要的要对知识点理解的有深度，对经典题型或高考常考题型掌握到相当熟练的程度。

人们常说，只有你多于一桶水的能力，在考试过程中才能发挥出一桶水的水平来，
否则，基本不可能考出相对理想的成绩来。

必修五主要包括三大部分内容：解三角形、数列、不等式。

高考具体要考查那些内容呢？这是我们师生共同
研究的问题。

虽然高考题不能面面俱到，但是我们在复习的时候，一定要不留死角，对常考题型的知识点和方法
能倒背如流。

下面具体对必修五常考的型作一分解：
解三角形
解三角形是高考的必考知识点，每年都有考题，一般考查分数为5-12 分。

考查的时候，可能
是选择题、填空题，或解答题，有时单独考查，有时会与三角函数，平面向量等知识点进行综合考
查，难度一般不是很大，如果出解答题，一般是第17 题，属于拿分题。

知识点：正弦定理、余弦定理和三角形的面积的公式。

a b c
R（ R为ABC 的外接圆半径）
正弦定理： 2
sin A sin
B sin C
余弦定理： a2b2c22ab cosC ， a2 c2b22ac cos B ， b2 c 2a22bc cos A
（变形后）a2b2c2cosC ，a2c2b2cos B ，c2b2a2cos A
2ab 2ac 2cb
三角形的面积的公
式：S ABC 1 ab sin C 1 ac sin B 1 bc sin A 。

2 2 2
知识点分解：
（1）两边一角，求另外两角一边，可以用正弦定理，也可以用余弦定理，特别注意两种三角形的情况。

（2）两角一边，求另外一角和两边，肯定是正弦定理。

（3）等式两边都有边或通过转化等式两边都有边，用正弦定理。

（ 4 ）知道三边的关系用余弦定理。

（5）求三角形的面积，或和向量结合用向量的余弦公式。

（6）正余弦定理与其他知识的综合。

必须具备的知识点：三角函数的定义、同角三角函数、诱导公式和三角恒等变换。

可能综合的知识点：三角函数以及正余弦定理的模块内部综合；和与数列的综合、与平面向量的综合、以及与基本不等式的综合。

解三角形常考的题型有：
考点一正弦定理的应用
例：在 ABC 中， a 15,b 10, A 60 ，则 cos B
答案：
6 3
知识点：正弦定理和三角同角关系
思路：（方法不唯一）利用正弦定理先求出sin B ，然后利用同角三角函数的关系可求出cos B 。

考点二余弦定理的应用
例：在ABC 中，已知 a 2 3 ， c 6 2 ， B 60 ，求 b 的值
答案： b 2 2
知识点：余弦定理
思路：直接利用余弦定理a 2c2b22ac cos B ，即可求出 b 的值。

考点三正、余弦定理的混合应用
例：设 ABC 的内角 A, B, C 所对边的长分别为a, b,c 。

若 b c 2a ，则3sin A 5sin B, 则角 C _____.
2
答案：
3
知识点：正余弦定理
思路：（方法不唯一）先通过正弦定理求出三边的关系，然后再用余弦定理求角 C 。

考点四三角形的面积问题
例：在 ABC中，角 A、 B、 C 所对应的边分别为a、 b、 c，若 A C 2B ，且 a 1,b 3, 求 S ABC的值
3
答案：
2
知识点：三角形的面积
思路：先求出 B ，然后由三角形面积公式即可。

考点五最值问题
例：在ABC 中， B 60 , AC 3 ，则 AB 2BC 的最大值为
答案：27
知识点：正弦定理和三角恒等变换
思路：（方法不唯一）先利用正弦定理，然后利用恒等变换，转化为正弦函数，求正弦函数的值域问题。

考点六三角形形状的判断
例：已知ABC 中， a cos A b cos B ，判断三角形的形状
答案：等腰三角形或直角三角形
知识点：正弦定理和二倍角公式
思路：先由正弦定理化解，然后利用二倍角公式讨论即可。

考点七三角形个数的判断
例：在ABC中，角 A、 B、 C 所对应的边分别为 a、 b、 c，若 A 30 ，且 a 1,b 3, 求 c 的值答案：1或2
知识点：正余弦定理
思路：分类讨论 B 60 或 B 120 两种情况。

考点八基本不等式在解三角形上的应用
例：在ABC
a、 b、 c，若 a , b 2，求
ABC 中，角 A、 B、 C 所对应的边分别
为
的面积的最大
值。

4
答案： 2 1
知识点：三角形面积公式、余弦定理和基本不等式
思路：先利用三角形面积公式，然后用余弦定理，最后基本不等式求最值。

3
例：设△ ABC 的内角 A，B， C 所对的边长分别为a， b， c ，且 a cosB b cos A c ，求 tan(A B) 的最大
5
值。

3
答案：
4
知识点：正弦定理、正切差公式和基本不等式
思路：先通过正弦定理，得到tan A 4 tan B ，然后正切差公式，最后应用基本不等式。

考点九平面向量在解三角形上的应用
例：在ABC 中， AC AB 6, ABC 的面积 3 3，求 A
答案：
3
知识点：三角形面积公式和平面向量中的余弦公式
思路：先利用三角形面积公式，然后平面向量中的余弦公式即可。

例：在ABC 中，边 c 所对的角
为
C ，向
量
m
(cos
C ,sin
C ),
n
(cos C
,
sin
C
) ，且向
量
m 与 n 的夹角
是。

2 2 2 2 3
求角 C 的大小
答案： C
3
知识点：向量中的坐标运算和余弦公式
思路：先利用向量的坐标运算和余弦公式转化，然后求解。

考点十数列在解三角形上的应用
例：设△ ABC 的内角 A， B， C 所对的边长分别为a， b， c ，若a， b， c 依次成等比数列，角 B 的取值范围 .
答案： (0, ]
3
知识点：余弦定理、等比数列和基本不等式
思路：先用等比数列，然后余弦定理，最后用基本不等式求最值。

考点十一解三角形的实际应用
例：如图， A、 B、 C、 D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D 为两岛上
的两座灯塔的塔顶。

测量船于水
面 A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为 75 ，
30 ，于水面 C 处测得 B 点和
D 点的仰角均为 60 ， AC 0.1km 。

试探究图中 B、 D 间距离与另外哪两点
间距离相等，然后求B、D 的距离（计算结果精确到0.01km ， 2 1.414 ， 6 2.449 ）
答案： 0.33km
知识点：正弦定理和三角形的相关知识
思路：先通过三角形的相关知识进行转化，然后利用正弦定理就可以求出长度。

考点十二解三角形的综合题型
例：已知 a, b,c 分别为ABC 三个内角 A, B, C 的对边， acosC 3a sinC b c 0
（ 1 ）求 A （ 2 ）若 a 2 ，ABC 的面积为 3 ；求 b,c 。

答案： (1) A 60 (2) b c 2
知识点：正余弦定理、三角形面积公式、三角恒等变换和诱导公式
思路：（ 1 ）先通过正弦定理和诱导公式转化，转化完之后，利用三角恒等变换求出 A 。

（ 2 ）利用角 A ，再通过余弦定理，就可以求出b, c 的值。

数列
数列是高考的必考知识点，每年都有考题，一般考查分数为10-17 分。

考查的时候，可能是选择题、填空题，或解答题，有时单独考查，有时会与不等式，函数等知识点进行综合考查。

以前
考题比较难一些，现在多数比较简单，但是常用的方法还是比较经典的。

知识点：数列的递推公式，数列的求通项公式，数列的求和，等差数列和等比数列
知识点分解：
（
1）递推公式：建立前 n 项和 S n和 a n的关系。

（
2）等差数列的通项公式、公式、性质、等差中项以及前n 项和 S n等问题。

（
3）等比数列的通项公式、公式、性质、等比中项以及前n 项和 S n等问题。

（4）数列求通项公式的几种方法。

（5）数列求和的几种方法。

（6）数列的综合问题
必须具备的知识点：函数、导数、不等式，平面向量、三角函数等相关知识。

可能综合的知识点：数列的内部综合、与三角函数的综合、与导数的综合、以及与不等式的综合。

数列的常见题型：
考点一S n和 a n的关系 a n
S n S n 1n 2
a1n 1
例：数列 { a n} 的前 n 项和为
S n ,已知 S n n2，求 a8的值，以及数列 { a n } 的表达式。

答案： a815 ， a n 2n 1
知识点：递推公式
思路：已知项数 n ，求具体值；未知项数n ，求表达式。

考点二等差数列
1等差数列的公差和通项公式
a n a1(n 1)d ，（等差数列的通项公式，知三求一；如果已知a1, d ，那么求的是数列{ a n } 的通项公式）a n a m( n m)d （等差数列通项公式的变形公式）
例：已知等差数列 { a n } 中， a11, a33,求数列的公差d 以及数列 { a n } 的通项公式；
答案： d 2 ， a n 3 2n
知识点：等差的公差和通项公式
思路：利用数列的通项公式先求出公差 d ，然后求数列 { a n } 的通项公式。

2等差数列的性质
n m p q （都是正整数）， a n
a m a p a q， 2n p q （都是正整数），
2a n
a p a q， a n是 a p和
a q
的等差中项。

例：已知等差数列 { a n } 中， a5
1, a97 ,求 a1 a13以及 a7的值答案： a1 a13 6 ， a73
知识点：等差数列的性质
思路：等差数列的性质和等差中项可得到。

3等差数列的求和
S n n (a
1 a n )
na1n(n 1)d （知三求一，如果已知a1, d ，那么求的是 S n的表达式），2 2
S n na n 1（ n 为奇数）或 S( 2 m 1)(2m 1) a m。

2
例：设等差数列 { a n} 的前 n 项和为 S n，若 S3
3， S624 ，则 S9的值答案： 63
知识点：等差数列的求
和
思路：（方法不唯一）通过等差数列前n 项和为 S n，先求出 a1和 d ，然后再利用等差数列
前
n 项和，求
S9。

4等差数列求和中的最值问题
S n na1n(n 1) d d n2 (a1d ) n 类似于二次函数，当 d 0 时， S
n有最小值；
当 d
0 时， S n有最大
值。

2 2 2
例：设等差数列 { a n }的前 n 项和为 S n，已知 a3
9, d 2 ，求 S n中的最大值
答案： 49 .
知识点：等差数列的和或二次函数的知识
思路：先利用等差数列的前n 项和 S n表达式，然后利用二次函数的知识求最大值。

例：设等差数列 { a n }的前 n 项和为 S n，已知 a39,d 2 ，求 S n中的最小值
答案： -36
知识点：等差数列的和或二次函数的知识
思路：先利用等差数列的前n 项和 S n表达式，然后利用二次函数的知识求最小值
5等差数列的证明
a n a n 1 d （等差数列的定义表达式）
例：设数列 { a n } 的前 n 项和为 S n， a110,a n 19S n10 ，求证： {lg a n } 是等差数列。

答案：首项为 1 ，公差也为 1 的等差数列
知识点：对数函数的知识和等差数列
思路：先求出 lg a11，然后利用等差数列的定义表达式a n a n 1 d ，证明等差数列。

6 已知等差数列{ a n }中， a3 a716, a4a60, 求数列 { a n }前 n 项和 S n。

答案： S n n29n 或 S n n29n
知识点：解方程和等差数列的和
思路：先利用等差数列的知识求出首项和公差，然后再求前n 项和 S n 考点三等比数列
1等比数列的公比和通项公式
a n a1 q n 1 (q 0) （等比数列的通项公式，知三求一；如果
已知
a1 , q ，那么求的是数
列
{ a n } 的通项公
式）
a n q n m （等比数列通项公式的变形公式）a n
m
例：已知等比数列 { a n } 中， a1 2, a3 8 ，求等比数列的公比q 和数列 { a n } 的通项公式；
答案： q 2 ， a n ( 2) n
知识点：等比数列的公比和通项公式
思路：利用等比数列的通项公式即可求出。

2等比数列的性质
n m p q （都是正整数）， a n
a m a p a q， 2n p q （都是正整数），
a n
2
a p a q， a n是 a p和 a q的等
比中项。

例：设等比数列 { a n }，已知 a3 a918 ，求 a6值
答案： 3 2
知识点：等比中项
思路：利用等比中项即可。

例：设等比数列 { a n }，已知 a33, a712 ，求 a4 a5 a6值答案： 216
知识点：等比数列的性质
思路：利用等比的性质即可。

3等比数列求和
S n a1 (a q n )
a1an q (q 1)
（用错位相减法推导）
1 q 1 q
na1(q 1)
1 S4
例：设等比数列 { a n } 的公比 q ，前 n 项和为 S n，则
2 a4答案： 15
知识点：等比数列的求和
思路：利用等比数列的求和和通项公式即可。

4等比数列的证明
a n
q （等比数列的定义表达式）
a n 1
例：在数列 { a n } 中，
a11， a n 12a n 3n，设 b n a n 3n，证明：数列是 { b n} 等比数列。

答案：数列 { b n } 是公比2 ，首项 -
2的等比数列
知识点：等比数列的定
义
思路：先化解，再利用等比数列的定义来证明。

5等比数列的综合
例：设 S n为数列 { a n} 的前 n 项和， S n k n2n ， n N *，其中 k 是常数，若对于任意的m N *， a m， a2m，a4m成等比数列，求k 的值。

答案： k 0 或 k 1
知识点：等比数列的等比中项和递推公式
思路：先通过递推公式化解，然后再利用等比数列的等比中项，即可求出。

考点四等差和等比数列的综合问题
例：已知实数列 { a n } 是等比数列 ,其中 a71, 且 a4 , a51, a5成等差数列，求数列 { a n } 的通项公式。

7 n
答案： a n 2
知识点：等比数列的通项公式和等差中项
思路：先利用等比数列的知识，然后再利用等差数列的等差中项，即可求出。

例：等比数列 { a n } 中，已知 a12,a416 ，若 a3, a5分别为等差数列{ b n } 的第 3 项和第 5 项，求数列 { b n } 的通
项公式及前 n 项和 S n。

答案： S n6n222n
知识点：等比数列的通项公式和等差的通项公式
思路：通过等比数列的知识来转化为等差数列，即可。

考点五求数列的通项公式
1观察法、等差数列和等比数列的通项公式（上述已有）
2 累加法 形式为： a n 1 a n f (n) ，利用累加法求通项， a n a 1 f (1) f (2)
f (n 1)
例： 已知数列 { a n } 满足 a n 1
a n n ， a 1 1求数列 { a n } 的通项公式。

答案： a n n 2
n 2
2
知识点：累加法求数列的通项公式
思路： 由 a n 1 a n n 得 a n 1 a n n 则 a n ( a n a n 1 )
(a n 1 a n 2 ) (a 2 a 1) a 1 ，即可。

3 累乘法 形式为： an 1
f ( n) ，利用累乘法求数列通项，
a n a n a
n 1 a 2 a 1 。

a n
a
n 1 a
n 2
a 1
答案： a n
2 3n
知识点：累加法求数列的通项公式
a
n 1 n a 2 a 3 a 4
a n
a n ，即可。

思路： 由条件知 a n ， a 1
an 1
n 1 a 1 a 2 a 3 4 待定系数法
（ 1 ） a n 1
pa n
q （其中 p ， q 均为常数， ( pq( p
1) 0) ），把原递推公式转化为： a n 1 t p(a n
t) ，
其中 t q
，再转化为等比数列求通项公式。

1 p
（ 2 ） a n 1
pa n q n
（其中 p,q 均为常数， ( pq ( p 1)(
q 1) 0) ）。

（或 a n 1
pa n rq n
,其中 p, q,
r 均
为常数）等式两边同除
以 q
n 得， a
n 1
p a n
1，若 p q ，再利用上述的方法，转化为等比数列的形式，
q n q q n
1
利用等比数列通项公式；若 p q ，将转化为等差数列的形式，再利用等差数列求通项公
式。

例： 已知数列
a n 中， a 1 1 ， a n 1 2a n 3 ，求 a n .
答案： a n
2
n
1
3
知识点：待定系数法求数列的通项公式
思路： 设递推公式 a n 1 2a n 3 可以转化为 an 1 2(a n ) ，然后利用等比数列求通项公
式。

例： 已知数列 a n 中， a 1 3 , a n 1 2a n 3n
，求 a n 。

答案： a n
3n 2n
知识点：待定系数法求数列的通项公式
n ，两边除以
3
n 得： a
n 1 2 a n 1，令 b n a n ，转化成上面例题
的
思路：（方法不唯一） 根据 a n 1 2a n 3 3 n 3 n 3 n 1
形式，然后再利用上面例题的方法求解。

5 配凑法（构造法） ：建立等差数列或等比数列的形式
例： 已知数
列 a n 满足 a 1 1,a 2 3,an 2 3an 1 2an (n N* ).求数列 a n
的通项公式；
答案 ：
an 2n 1
知识点：构造成等比数列
思路：（方法不唯一，还可以利用特征根的方法求解） 构造等比数列，或利用特征根的方法，求出两根，
a n 2 3a n 1 2a n , a n 2 a n 1 2( a n 1 a n ) ，然后利用等比数列的知识求解。

6 递推法
a n a 1 n 1
S n S n 1 n ，解决既有 a n 又有 S n 的问题。

2 例： 设数列 { a n } 的前 n 项和为 S n , 已知 a 1 1, S n 1 4a n 2 ，求数列 { a n } 的通项公式。

答案 ： a n (3n 1) 2n 2
知识点：利用递推公式，再利用等比数列的通项公式
思路： 先利用递推公式化解，然后等比数列求通项公式。

7 不动点法、换元法，数学归纳法等求通项公式（内蒙古高考现在已经不是重要的方法了）
考点六 数列求和
1 公式法、等差数列和等比数列求和（略）
2 裂项相消法 1 1
1 1 1 ( 1 1 ) ，
裂项相消的常见形式： n(n 1) n ， n 1
n(n 2)
2 n
n 2 1
1
1 1
) 。

( 2n 1)(2n 1)
2 (
1 2n 2n 1
例： 已知数列 { a n } 满足
1 , 1 , 1 ,
, 1 , 求数列 { a n } 的求和 S n 。

1 3 2 4 3 5 n(n 2) 3
2n 3
答案： S n
2( n 1)(n 2) 4 知识点：利用裂项相消求数列的
和
思路：利用 a n 1 1 ( 1 1 ) 求和即可。

n( n 2) 2 n n2
例：已知数列 { a n } 满足： a n
1
求数列 { a n } 的求和 S n n n 1 ，
答案： S n n 1 1
知识点：分母有理化，利用裂项相消求数列的和
思路：进行分母有理化得，a n n 1 n ，然后裂项相消求和。

3 错位相减法：（课本上推导等比数列求和公式的方法）由等差数列和等比数列构成的新数列，用错位相减。

例：已知数列
{ a n } 满足： a n n 2n，求数列 { a n } 的求和S n
答案： S n
(n1) 2n 1 2知识点：错位相减法求和
思路：错位相减法求和。

例：设数列a n满足 a13a232 a3⋯ 3n 1 a n n， a N*，设b n n ，求数列b n的前 n 项和S n。

3 a n
答案：
S n n 3n 1 13n
1 3
2 4 4
知识点：错位相减法求和
思路：错位相减法求和。

4分组求和法（将新数列分成已学过的数列，然后求和）
例：设数列
a n的前 n 项和为 S n，且 a n2n 3n ，求 S n的表达式
2n
13n23n 2
答案： S n
2
知识点：利用等差数列和等比数列求和
思路：根据数列的特点，等差数列和等比数列的求和公式可以得到。

5相加求和法、数学归纳法求和（内蒙古高考现在已经不是重要的方法了）考点七数列中的不等式问题
例：设数列 a n的前 n 项和为 S n．已知 a1 a ， a n 1
S n3n， n N*，若a n 1≥a n，n N *，求a的取值
范围。

答案：9，
知识点：递推公式，构造法求a n的通项公式，数列的单调性。

思路：通过递推公式，构造法求a n的通项公式，再利用数列的单调性
求 a 的取值范围。

考点八 数列中的放缩法
1 1 1 1 3
例： 已知数列 { a n } ， 满足 a 1 1,a n
1
3a n
1，证明
a1
a 2 a 3 a n
2
答案： 如下
知识点：发缩放证明数列中的不等式
1
2
1
思路： 由构造法求 a n 的通项公式，然后利用放缩法 n n -1 ，转化为等比数列求和，最后证明不等
式。

a n 3 - 1 3
考点九 数列中的不等式问题（ 最值问题， n 是正整数 ）
例： 已知等差数
列
a n 的前 n 项和为 S n ，若 S 10 0, S 15 25，则 nS n 的最小值为 答案： -49
知识点：等差数列的求和，导数
思路： 通过等差数列的知识求出 S n ，然后再通过导数求出 nS n 。

不等式
不等式是高考的重要知识点， 但是它会和其他知识融合在一起考查， 有时是一道小题， 有时会
和其他知识综合在一起以大题的形式出现， 分数范围为（5-10 分）。

现在线性规划， 几乎每年必考，
虽然不是很难， 但是大家一定要掌握好， 不等式小题一般不会很难， 综合题重点主要是汇入其他知
识点进行，对数是取值范围或值域问题。

知识点：不等关系、解不等式、不等数组的线性规划和基本不等式。

不等关系：
1. 不等关系与不等式
比差法： a ba b 0, a b a b 0, a ba b 0 。

（正，负，零），
问题的关键是判定差的符号
方法通常是配方或因式分解。

2.不等式的性质
基本性质有：
（1 ） a b b a （对称性）（2) a b, b c a c (传递性 ) ( 3) a b a c b c
(4) c 0 时 ， a b ac bc ； c 0 时， a b ac bc 。

运算性质有：
(1) a b,
c d a c b d (2) a b 0 n a n b
(3) a b 0 a n
b n
(4) a b 0, d c a b
b, d c, a c b d (6)
a b 0, d c 0, ac
bd .
0,
(5) a c d
3 基本不等式
a b 2 ab, a b
2 ab ( a,b 同号，当且仅
当
a b 时成立等号 )；
a 2
b 2
2ab （ a,b 同号，等号成立 ）； ab
( a
b )2 （当且仅当 a b 时成立等
号 )。

2
a 2
b 2
a b
ab
2ab
( a, b R 当且仅当 a
b 时成立等号 )。

2 2 a b
必须具备的知识点： 函数、导数、三角函数、数列等相关知识。

可能综合的知识点： 不等式的内部综合、与三角函数的综合、与导数的综合、以及与数列的综合。

不等式的常见题型：
考点一 解一元二次不等式
解一元二次不等式一般与二次函数和一元二次方程结合起来研究
（讨论 a 0的情况 ）
0 ax 2
bx c 0
两不等实根 x 1 x 2 两相等实根 x 1 x 2
b
无实根
2a
ax 2
bx c 0
{ x x x 1或x x 2} { x x
b } R
2a
ax 2 bx c 0
{ x x 1 x x 2}
（讨论 a 0 的情况，只需将不等式两边同乘以 -1 ，改变不等式方向加以研究 ）
1 最基本的一元二次不等式（略）
2含参数的一元二次不等式（需要分类讨论）
例：解不等式( ax 1)( x 1) 0 （ a 0 ）
答案：当 a 0 或a 1 时，解集为 { x
x 1或 x 1} ；当 1 a
0 时，解集为 { x
x 1或 x 1} ；
a a
知识点：解含参数的一元二次不等式
思路：用分类讨论法解一元二次不等式。

3 高次不等式 ( 数轴标根法，已不再是高考的重点)
4分式不等式
（ 1 ）cx d 0(ax b) (cx d ) 0 （ ax b 0 ） .
ax b
cx d
1cx d cx d ax b
ax b 0 ，即有
（ 2 ）
b ax 1 0
b
0 （剩下的同上）注意，如果已经确
定
ax b ax
cx d ax b 。

5单绝对值不等式
（ 1 ） ax b c(a 0) ax b c或ax b c ；（ 2 ） ax b c( a 0) c ax b c 6双绝对值不等式
ax b cx d t(设b d ) 可分解为：当 x b时， ( ax b) (cx d ) t ；
当 d x b 时，
a c a c a
(ax b) ( cx d ) t ；当 x d [( a
x
b) ( cx
d )]
t 。

具体解根据实际情况即可。

注
意：
时，
c
a b a b a b ；含参数的双绝对值需要先确定参数的范围再分类讨论，或根据实际情况看是哪一类问题具体确定；含参数的双绝对值不等式恒成立问题，会涉及到最值问题，需要根据函数的单调性求取值。

例：已知函数 f
( x) x 3 x 2 ，求不等式 f (x) 3 的解集。

答案： { x x 4或
x 1}
知识点：双绝对值不等式
思路：分类讨论解双绝对值不等式。

例：函数 f (x) x a x 2 ，若 f ( x) x 4 的解集包含 [1,2] ，求 a 的取值范围。

答案： 3 a 0
知识点：双绝对值不等式中含参数的问题
思路：由给出的解集，可去双绝对值，然后确定 a 的取值范围。

例：关于 x 的不等式x 2 x a 2a 在 R 上恒成立，则实数 a 的最大值是
答案：a 2 3
知识点：双绝对值不等式中含参数的问题
思路：（方法不唯一）分类讨论可以解出不等式的取值范围，然后求出a 的最大值。

考点二不等式的证明
常用的方法：做差法，分析法，综合法，放缩法，数学归纳法。

柯西不等式： ( a2b2 )(c2 d 2 )(ac bd) 2
例：已知 0 x 1，求证a2b2(a b)2
x 1 x
答案：如下
知识点：柯西不等式
思路：由 x (1 x) 1 ，然后构造柯西不等式。

1 ab
例：已知 a 1, b 1，求证1。

a b
答案：如下
知识点：绝对值不等式，作差法
思路：作差，讨论1 ab 2 a b 2的正负。

例：若 a b c, b c a ，求证 c a
答案：如下
知识点：绝对值不等式，不等式的性质
思路：通过解绝对值不等式，和不等式的性质即可。

考点三不等式组的线性规划
不等式组的线性规划的解题思路是：所取的点是否在约束的范围内。

1最大值和最小值
x y 2 0,
例：设变量 x, y 满足约束条件x 5y 10 10, 则目标函数z 3x 4y 的最大值和最小值分别为
x y 8 0,
答案： 3，-11
知识点：不等式组的线性规划（最大值和最小值）
思路：三条直线的交点（构成三角形区域）代入目标函数中，即一个最大值和一个最小值。

2最值范围
x, y 0
例：设 x, y 满足约束条件：x y 1 ；则 z x 2 y 的取值范围为
x y 3
答案： [ 3,3]
知识点：不等式组的线性规划
思路：画图，找出区域，求出的交点代入目标函数中，即一个最大值和一个最小值。

3面积问题
2x y 6 0
例：不等式组x y 3 0 表示的平面区域的面积为
y 2
答案： 1
知识点：不等式组的线性规划
思路：找出三角形区域，然后用三角形面积公式求面积。

4目标函数中含参数
x y 5
例：已知 x, y 满足以下约束条件x y 5 0 ，使 z x ay(a 0) 取得最小值的最优解有无数
x 3
个，则 a 的值为
答案： 1
知识点：不等式组的线性规划
思路：找出可行域，做目标函数的平行线，即可。

5求非线性目标函数的最值
2x y 2 0
例：已知x 、 y 满足以下约束条件x 2 y 4 0 ，则 z=x
2 +y 2的最大值和最小值分别是
3x y 3 0
4
答案： 13 ，
5
知识点：不等式组的线性规划
思路：找出可行域，求出三个交点的坐标代入目标函数中，即可。

6 约束条件中含函数的最值范围
x 1
例：已知 a ＞ 0 ， x, y 满足约束条件
x y 3 ，若 z 2x y 的最小值
是
1 ，则 a
＝
y a( x 3)
答案：1
2
知识点：不等式组的线性规划
思路：找出可行域，求出三个交点的坐标代入目标函数中，即可。

7 比值问题
x y 2 0
y 例：已知变量 x, y 满足约束条件
x 1 ，则）。

的取值范围是（
x y 7 0 x
9
答案： [ ,6]
知识点：不等式组的线性规划
思路：找出可行域，求出三个交点的坐标代入目标函数中，即可。

8双边约束条件
3 2x y 9
例：若变量 x, y 满足约束条件，则 z x 2 y 的最小值是。

6 x y 9
答案： -6
知识点：不等式组的线性规划
思路：找出可行域，是平行四边形区域，求出四个交点的坐标代入目标函数中，即可。

考点四基本不等式
1直接法
例：求函数 y x 1 ( x 0) 的最小值
x
答案： 2
知识点：基本不等式
思路：直接用基本不等式。

2 构造法
例：已知x 5
，求函数 y
4 x
2 1 的最大值4
4
x 5
答案： 1
知识点：基本不等式
思路：上述表达式可转化
为，y 4x 5
1
3 ，应用基本不等式。

4x 5
例：求 y x 23x 1 ,( x0) 的最小值
x
答案： 5
知识点：基本不等式
思路：上式转化为： y x
1
，然后用基本不等式。

3
x
3 换元法
x2 5
例：求函数 y 的值域。

x2 4
5
答案：,
2
知识点：基本不等式
思路：令 x2 4 t(t 2) ，则 y x2 5 x2 4 1 t 1 (t 2) ，应用基本不等式（函数的单调性）。

x2 4 x2 4 t
4“1 ”的活用
例：已知 a 0,b 0, a b 1 4
2, 则 y 的最小值是
a b
9
答案：
2
知识点：基本不等式
思路：可根据 ( 14
)( 14
)
( a b) 进行转化，然后利用基本不等
式。

a b a b 2
5 ab ( a b ) 2的应用
2
例：若实数 x, y 满足
x2y 2xy 1 ，则 x y 的最大值是
2 3
答案：
3
知识点：基本不等
式
思路：上式可转化为：( x y)2 1 xy 1 ( x y ) 2，即可。

2
6基本不等式的证明
例：设 a, b, c 均为正数，
且 a b c 1 a2b2c 2
，证明：
c 1。

b a 答案：如下
知识点：基本不等式
思路：利用a2 b
2a, b 2 c
2b, c
2 a 2c 即可。

b c a 考点五不等式的综合问题
例：函数 f (x)
sin x x 2 ) 的值
域是
(0
5 4cos x
答案： [ 1,1]
2 2
知识点：函数的值域，基本不等式
思路：需要先对函数两边平方，然后构造基本不等式，最后用基本不等式。

例：不等式
x 3 x 1 a2 3a 对任意实数 x 恒成立，则实
数
a 的取值范围
为
答案：( , 1][4, )
知识点：恒成立问题，解不等式
思路：先求双绝对值的最大值，然后解实数 a 的取值范围。

3x y 6
0,
2 3
例： 设 x, y 满足约束条件
x y
2 0, 若目标函数 z ax by(a ＞0,b ＞ 0) 的最大值为
12 ，则 的最
小
x 0, y 0, a b
值为
25
答案：
6
知识点：线性规划，基本不等式
思路： 先画可行域，然后确定最大值，最后用基本不等式求最小值。

例： 已知函数 f x ax b c(a
0) 的图像在点 (1, f (1)) 处的切线方程
为 y x 1。

( ) x （ 1 ）用 a 表示出， b,
c ； （ 2 ）若 f
( x)
ln x 在
[1,
) 上恒成立，求 a 的取值范围；
（
3 ）证明： 1 1 1 1 ln( n
1) n (n 1) 。

2 3 n 2(n 1)
1 ,
答案：（ 2 ） 2
知识点：导数，函数，不等
式
k 1 ，然后化解就
行。

思路：（ 2 ）分类讨论，恒成立问题。

（ 3 ）在第二问的基础上，令 x
k
上述将必修五的知识点和常考题型简单的做了总结， 题型不是很全，但重要的方法或常考的方
法基本上都有了，同学们不仅要理解它， 更重要的是灵活应用它。

希望同学们在学习过程中， 要多
总结，多练习， 多思考，将常考的知识点和方法掌握相当熟练的程度， 只有这样才能取得理解的成
绩。