2018学年高一数学人教A版必修一 课件 第二章 基本初等函数Ⅰ 2.2.1.2 精品

对数方程的求解 多维探究型
解下列关于 x 的方程： (1)log2(2x＋1)＝log2(3x)； (2)log5(2x＋1)＝log5(x2－2)； (3)(lg x)2＋lg x3－10＝0.
解析： (1)由 log2(2x＋1)＝log2(3x)得 2x＋1＝3x， 解得 x＝1. 检验：当 x＝1 时，2x＋1>0,3x>0.故 x＝1. (2)由 log5(2x＋1)＝log5(x2－2)得 2x＋1＝x2－2，即 x2－2x－3＝0，解得 x＝ －1 或 x＝3. 检验：当 x＝－1 时，2x＋1<0，x2－2<0，不满足真数大于 0，舍去； 当 x＝3 时，2x＋1>0，x2－2>0.故 x＝3.
对数换底公式
logcb logab＝___lo_g_c_a__ (a>0，a≠1，c>0，c≠1，b>0)． 特别地：logab·logba＝__1___(a>0，a≠1，b>0，b≠1)．
[化解疑难] 1．换底公式的推导 设 x＝logab，化为指数式为 ax＝b，两边取以 c 为底的对数，得 logcax＝logcb， 即 xlogca＝logcb. 所以 x＝llooggccba，即 logab＝llooggccba.
(1)换底公式的作用是将不同底数的对数式转化成同底数的对数式，将一般 对数式转化成自然对数式或常用对数式来运算．要注意换底公式的正用、逆用及 变形应用．
(2)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式进行互化，统一 成一种形式.
2．已知 log147＝a，log145＝b，用 a，b 表示 log3528. 解析： log3528＝lloogg11442385＝lloogg114477＋ ＋lloogg114445 ＝a＋a2＋lobg142＝a＋a2＋logb14174＝a＋2a1＋－blog147＝a＋a2＋1－b a＝2a－ ＋ab.
(2)因为 0.25＝4－1，所以原方程整理得 log4(3－x)－log4(3＋x)＝log4(1－x)－ log4(2x＋1)，即 log433－ ＋xx＝log421x－＋x1，则33－ ＋xx＝21x－＋x1，解得 x＝7 或 x＝0.检验： 当 x＝7 时，3－x<0,1－x<0，不满足真数大于 0，舍去；当 x＝0 时，满足所有 真数都大于 0.故 x＝0.
(2)法一：原式＝12(log27－log248)＋log23＋2log22－12(log22＋log23＋log27)＝12
log27－12log23－12log216＋12log23＋2－12－12log27＝－12.
法二：原式＝log24
7 ×12× 3
71×6＝－12.
(3)分子＝lg 5(3＋3lg 2)＋3(lg 2)2＝3lg 5＋3lg 2(lg 5＋lg 2)＝3lg 5＋3lg 2＝ 3(lg 5＋lg 2)＝3；
法二：因为llgg198＝log189＝a，所以 lg 9＝alg 18，
同理得 lg 5＝blg 18，
所以
log3645＝llgg
4356＝lglg9×19852 ＝2llgg
918＋－lglg59＝a2llgg
18＋blg 18－alg
1188＝a2＋ －ba.
[归纳升华] 换底公式的应用技巧
第 2 课时 对数的运算
学案·新知自解
1．理解并掌握对数的运算性质，并能运用运算性质进行对数的有关运算．(重 点)
2．了解换底公式．(易混点) 3．能用换底公式将一般对数化成自然对数或常用对数解题．(难点)
对数的运算性质 若 a>0，且 a≠1，M>0，N>0，那么： (1)loga(M·N)＝_l_o_g_aM__＋__l_o_g_aN__， (2)logaMN ＝_l_o_g_aM__－__l_o_g_aN__， (3)logaMn＝___n_lo_g_a_M___.(n∈R)
(3)原方程整理得(lg x)2＋3lg x－10＝0，即(lg x＋5)(lg x－2)＝0， 所以 lg x＝－5 或 lg x＝2，解得 x＝10－5 或 x＝102. 经检验知：x＝10－5，x＝102 都是原方程的解．
[归纳升华] 解对数方程的方法
根据目前的知识我们只能求解两种简单的对数方程： (1)等号两边为底数相同的对数式，则真数相等； (2)化简后得到关于简单对数式(形如 lg x)的一元二次方程，再由对数式与指 数式的互化解得 x. [注意] 在解方程时，需检验得到的 x 是否满足所有真数都大于零.
解析： (1)原式＝lg 24×1 53＝lg 104＝4. 5
(2)原式＝lloogg5522312－·1l·ologg72732423
1 ＝－2l12olgo5g25·3·223lologg7372＝－3log32×log23＝－3.
(3)原式＝2log32－(log332－log39)＋3log32－3＝5log32－(5log32－2log33)－3 ＝－1.
[课堂小结]
1．换底公式的作用
换底公式的作用在于把以不同底的对数化成同底的对数，特别有：logaN＝
lg lg
Na ，利用换底公式及常用对数表、自然对数表便可求任意一个对数的值．
2．运用对数的运算性质应注意： (1)在各对数有意义的前提下才能应用运算性质． (2)根据不同的问题选择公式的正用或逆用． (3)在运算过程中避免出现以下错误． ①logaNn＝(logaN)n，②loga(MN)＝logaM·logaN. ③logaM±logaN＝loga(M±N).
1．log2 2的值为( ) A．－ 2
B. 2
C．－12
D.12
解析： log2 2＝log2212＝12log22＝12.
答案： D
2．2log510＋log50.25＝( ) A．0
B．1
C．2
D．4
解析： 原式＝log5102＋log50.25
＝log5(102×0.25)＝log525＝2.
分母＝(lg 6＋2)－lg ∴原式＝34.
1 30600×110＝lg 6＋2－lg 1060＝4.
(4)原式＝12lg( 3＋ 5＋ 3－ 5)2＝12lg(3＋ 5＋3－ 5＋2 9－5)＝12lg 10＝
பைடு நூலகம்
1 2.
换底公式的应用 多维探究型
(1)计算：(log2125＋log425＋log85)·(log52＋log254＋log1258)； (2)已知 log189＝a,18b＝5，求 log3645. 解析： (1)法一： 原式＝log253＋lloogg22245＋lloogg2258log52＋lloogg55245＋lologg515825 ＝3log25＋22lloogg2252＋3lologg2252log52＋22lloogg5525＋33lloogg5525 ＝3＋1＋13log25·(3log52)＝13log25·lloogg2225＝13.
2．换底公式常用推论 loganbn＝logab(a>0，a≠1，b>0，n≠0)； logambn＝mn logab(a>0，a≠1，b>0，m≠0，n∈R)； logab·logba＝1(a>0，b>0，a≠1，b≠1)； logab·logbc·logcd＝logad(a>0，a≠1，b>0，b≠1，c>0，c≠1，d>0).
法二：原式＝lglg1225＋llgg245＋llgg
5lg 8lg
25＋llgg245＋lglg1285
＝3lglg25＋22llgg
52＋3llgg52llgg
2＋2lg 5 2lg
2＋3lg 5 3lg
2 5
＝133llgg253llgg 25＝13.
(2)因为 log189＝a,18b＝5，所以 log185＝b，于是 法一：log3645＝lloogg11884356＝lolgo1g81891×9825＝2lloogg118891＋8－lolgo1g81589＝a2＋ －ba.
(4)原式＝log2( 8＋4 3· 8－4 3)＝log24＝2.
[归纳升华]
解决对数运算的常用方法
解决对数的运算问题，主要依据是对数的运算性质．常用方法有：
(1)将真数化为“底数”、“已知对数的数”的幂的积，再展开； (2)将同底数的对数的和、差、倍合并；
(3)利用常用对数中的 lg 2＋lg 5＝1.
1．求下列各式的值： (1)lg 52＋lg 2×lg 50＋(lg 2)2； (2)log2 478＋log212－12log242； (3)lglg6050·l－g 128lg0000.0＋36l－g 212lg302.1； (4)lg( 3＋ 5＋ 3－ 5)．
解析： (1)原式＝2lg 5＋lg 2×lg(5×10)＋(lg 2)2＝2lg 5＋lg 2×lg 5＋lg 2＋ (lg 2)2＝2lg 5＋lg 2×(lg 5＋lg 2)＋lg 2＝2lg 5＋lg 2＋lg 2＝2(lg 5＋lg 2)＝2.
3．解下列关于 x 的方程： (1)lg x－1＝lg(x－1)； (2)log4(3－x)＋log0.25(3＋x)＝log4(1－x)＋log0.25(2x＋1)．
解析： (1)原方程整理得 lg(x－1)12＝lg(x－1)，则(x－1)12＝x－1，解得 x＝ 1 或 x＝2.
检验：当 x＝1 时，(x－1)12＝x－1＝0，不满足真数大于 0，舍去；当 x＝2 时，满足所有真数都大于 0.故 x＝2.
谢谢观看！
答案： C
3．已知 ln 2＝a，ln 3＝b，那么 log32 用含 a，b 的代数式表示为________．
解析： log32＝llnn 23＝ab.
答案：
a b
教案·课堂探究
对数运算性质的应用 自主练透型 计算下列各式的值 (1)4lg 2＋3lg 5－lg 15； (2)log5 2·log4981； 13 log253·log7 4 (3)2log32－log3392＋log38－5log53； (4)log2 8＋4 3＋log2 8－4 3.