江苏专版高三数学备考冲刺140分问题05应用三角函数的性质求解参数含解析042625.doc

问题5应用三角函数的性质求解参数问题
一、考情分析
利用三角函数的性质求参数取值或范围是往往是高考中的亮点,这类问题一般涉及到值域、单调性及周期性等性质,三角函数因为其函数性质的特殊性,如正弦函数和余弦函数的有界性,往往在确定变量范围,或者最大值最小值有关问题上起着特殊的作用.如果试题本身对自变量的取值范围还有限制,则更应该充分注意. 二、经验分享
(1) 三角函数值域的不同求法 ①利用sin x 和cos x 的值域直接求；
②把所给的三角函数式变换成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式求值域； ③通过换元,转换成二次函数求值域．
(2)已知三角函数解析式求单调区间：①求函数的单调区间应遵循简单化原则,将解析式先化简,并注意复合函数单调性规律“同增异减”；②求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中ω＞0)的单调区间时,要视“ωx ＋φ”为一个整体,通过解不等式求解．但如果ω＜0,那么一定先借助诱导公式将ω化为正数,防止把单调性弄错．
(3)已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间,然后利用集合间的关系求解．
(4)对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ),其对称轴一定经过图象的最高点或最低点,对称中心一定是函数的零点,因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0,0)是不是函数的对称轴或对称中心时,可通过检验f (x 0)的值进行判断． (5)求三角函数周期的方法： ①利用周期函数的定义．
②利用公式：y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π
|ω|,y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|.
(6)图象变换：由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象,有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．
(8)求y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0,ω>0)解析式的步骤
①求A ,B ,确定函数的最大值M 和最小值m ,则A ＝M －m
2,B ＝M ＋m
2.
②求ω,确定函数的周期T ,则ω＝2πT .
③求φ,常用方法如下：i.代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降
区间上)或把图象的最高点或最低点代入．
ii.五点法：确定φ值时,往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．具体如下：“第一点”(即图象上升时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx ＋φ＝π
2；“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx ＋φ＝3π
2；“第五点”为ωx ＋φ＝2π. 三、知识拓展 1．对称与周期
(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是1
4个周期．
(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期． 2．奇偶性
若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ,ω≠0),则
(1)f (x )为偶函数的充要条件是φ＝π
2＋k π(k ∈Z )； (2)f (x )为奇函数的充要条件是φ＝k π(k ∈Z )．
3．由y ＝sin ωx 到y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0,φ>0)的变换：向左平移φ
ω个单位长度而非φ个单位长度． 4．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称轴由ωx ＋φ＝k π＋π
2,k ∈Z 确定；对称中心由ωx ＋φ＝k π,k ∈Z 确定其横坐标． 四、题型分析
(一) 与函数最值相关的问题 【例1】已知函数
．
（1）求函数()f x 的最小正周期与单调递增区间； （2）若
时,函数()f x 的最大值为0,求实数m 的值．
【分析】（1）()f x 化为,可得周期22
T π
π=
=,由可
得单调递增区间；（2）因为,所以,进而()f x 的最大值为
,
解得12
m =
.
【解析】（1）
,
则函数()f x 的最小正周期T π=, 根据
,k Z ∈,得
,k Z ∈,
所以函数()f x 的单调递增区间为,k Z ∈．
（2）因为,所以
,则当26
2
x π
π
-
=
,3
x π
=
时,函数取得最大值0,
即
,解得1
2
m =
． 【点评】三角函数的最值问题,大多是含有三角函数的复合函数最值问题,常用的方法为：化为代数函数的最值,也可以通过三角恒等变形化为求y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的最值；或化为关于sin x (或cos x )的二次函数式,再利用换元、配方等方法转化为二次函数在限定区间上的最值. 【小试牛刀】【江苏省启东中学2018届高三上学期第二次月考】若方程在[
)0,2π上
有且只有两解，则实数m 的取值范围_____． 【答案】
【解析】
所以当
时， y m = 与2
2y t t =+ 只有一个交点，
当3m =时1t =，方程
解
所以要使方程
在[
)0,2π上有且只有两解，实数m 的取值范围
(二) 根据函数单调性求参数取值范围
如果解析式中含有参数,要求根据函数单调性求参数取值范围,通常先求出函数的单调区间,然后利用集合间的关系求解．或转化为使得某个等式或不等式(可以、恒)成立,通常分离参数,求出解析式的范围或最值,进而求出参数的范围即可.
【例2】已知ω＞0,函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减,则ω的取值范围是________．
【分析】根据y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2上递减,列出关于ω的不等式组
【解析】 由π2＜x ＜π,ω＞0得,ωπ2＋π4＜ωx ＋π4＜ωπ＋π
4, 又y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫
π2，3π2上递减,所以⎩⎪⎨⎪⎧
ωπ2＋π4≥π2，ωπ＋π4≤3π
2，
解得12≤ω≤5
4.
【答案】⎣⎢⎡⎦⎥⎤
12，54
【点评】求函数的单调区间应遵循简单化原则,将解析式先化简,并注意复合函数单调性规律“同增异减”；求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中ω＞0)的单调区间时,要视“ωx ＋φ”为一个整体,通过解不等式求解．但如果ω＜0,那么一定先借助诱导公式将ω化为正数,防止把单调性弄错；已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间,然后利用集合间的关系求解．
【小试牛刀】【南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟】若函数sin y x ω=在区间[]
0,2π上单调递增，则实数ω的取值范围是________． 【答案】10,4
⎛⎤ ⎥⎝
⎦
【解析】由题意得，所以
5．
(三) 根据函数图象的对称性求参数取值范围
【例3】已知函数
．
(1)若函数)(x f y =的图像关于直线对称,求a 的最小值;
(2)若存在
使
成立,求实数m 的取值范围.
【分析】(1)先利用降幂公式进行化简,然后利用辅助角公式将)(x f 化为,最后根据正
弦函数的对称性求出对称轴,求出a 的最小值即可； (2)根据
的范围求出3
20π
+
x 的范围,再结合正弦函数单调性求出函数f (x 0)的值域,从而可求
出m ＝00021
)20()sin(2)
3
x m f x x π-=⇒=
=
+的取值范围．
【解析】(1)首先将函数)(x f y =的解析式化简为：
,又因为函数)(x f y =的图像关于直线
对称,所以
,即
,又因为0>a ,所以a 的最小值为
12
π． (2)
故
．
【点评】对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ),其对称轴一定经过图象的最高点或最低点,对称中心一定是函数的零点,因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0,0)是不是函数的对称轴或对称中心时,可通过检验f (x 0)的值进行判断． 【小试牛刀】【2018届安徽省亳州市蒙城高三第五次月考】若将函数的图象向左平
移()0ϕϕ>个单位,所得的图象关于y 轴对称,则ϕ的最小值是 【答案】
8
π
【解析】函数
的图象向左平移
()0ϕϕ>个单位,得
到
图象关于y 轴对称,即
,解得
,又0ϕ>,
当0k =时, ϕ的最小值为
8
π
. (四) 等式或不等式恒成立问题
在等式或不等式恒成立问题中,通常含有参数,而与三角函数相关的恒成立问题,一定要注意三角函数自身的有界性,结合自变量的取值范围,才能准确求出参数的取值或范围. 【例4】已知不等式
对于,33x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
恒成立,则实数m 的取值范围是
【答案】m ≤
【解析】因为＝
,所以原不等式
等价于在,33x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
恒成立．因为
,所以∈
[
2,所以2
m ≤
,故选B ． 【点评】解决恒成立问题的关键是将其进行等价转化,使之转化为函数的最值问题,或者区间上的最值问题,使问题得到解决．具体转化思路为：若不等式()f x A >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()f x 的最小值大于A ；若不等式()f x B <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()f x 最大值小于B ．
【小试牛刀】【2018届江苏省常熟市高三上学期期中】已知函数,若对任意的实数
,都存在唯一的实数[]
0,m β∈,使
,则实数m 的最小值是__________．
【答案】
2
π
【解析】函数
,若对任意的实数
,
则：f （α）∈[由于使f （α）+f （β）=0,则：f （β）∈]．,
,β=
2π,所以：实数m 的最小值是2π．故答案为： 2
π
(五) 利用三角代换解决范围或最值问题
由于三角函数的有界性,往往可以用它们来替换一些有范围限制的变量,再利用三角函数的公式进行变换,得到新的范围,达到解决问题的目的.
【例5】已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点,P 是他们的一个公共点,且,则椭圆和双曲线
的离心率的倒数之和的最大值为__________．
A B C .3 D .2 【解析】设椭圆方程为22
221x y a b
+=(a ＞b ＞0),双曲线方程为222211x y a b -=(a ＞0,b ＞0),其中a ＞a 1,半焦距为
c ,于是|PF 1|＋|PF 2|＝2a ,|PF 1|－|PF 2|＝2a 1,
即|PF 1|＝a ＋a 1,|PF 2|＝a －a 1, 因为
,由余弦定理：4c 2＝(a ＋a 1)2＋(a －a 1)2
－2(a ＋a 1)(a －a 1)
即4c 2
＝a 2
＋3a 12
,即
令
a
c ＝2cos θ＝2sin θ 所以
【点评】合理使用三角代换,可以使得运算步骤(特别是与求最值相关的运算)变得非常简洁. 【小试牛刀】已知实数,x y 满足2
2
1x y +=,则
的最小值为
【答案】4
3
【
解
析
】
由
221
x y +=,可设,则
=
.
五、迁移运用
1.【江苏省常州市2019届高三上学期期末】已知函数是偶函数，点
是函数图象的对称中心，则最小值为________.
【答案】
【解析】∵函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，φ∈R）是偶函数，
∴φ＝,
∵点（1，0）是函数y＝f（x）图象的对称中心
∴sin（ω+φ）＝0，可得ω+φ＝k2π，k2∈Z，
∴ω＝k2π﹣φ＝（k2﹣k1）π﹣．
又ω＞0，所以当k2﹣k1＝1时，ω的最小值为．
故答案为：．
2．【江苏省盐城市、南京市2019届高三年级第一次模拟】设函数，其中．若函数
在上恰有个零点，则的取值范围是________．
【答案】
【解析】
取零点时满足条件，当时的零点从小到大依次为
，所以满足，解得：
3.【江苏省苏北四市2019届高三第一学期期末】将函数（）的图象向左平移个单位长度后，所得图象关于直线对称，则的最小值为______.
【答案】
【解析】将函数f（x）＝sin（ωx）（ω＞0）的图象向左平移个单位后，可得函数y＝sin（ωx）
的图象，再根据所得图象关于直线x＝π对称，可得ωπkπ，k∈Z，
∴当k＝0时，ω取得最小值为，
故答案为：．
4．【江苏省徐州市2019届高三上学期期中】已知函数，若，且
，则
的最大值为______．
【答案】
【解析】
令＝1，，则
，
＝＝＝，m ，n ，k 都是整数，
因为，所以，
所以，的最大值为.
5．【江苏省常州2018届高三上学期期末】如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数
的图像与x 轴的交点A ， B ， C 满足
，则
ϕ=________.
【答案】
34
π
【解析】不妨设0x ωϕ+=， πx ωϕ+=，
，得
，由
，得
，解得3π4
ϕ=
. 6．【江苏省淮安市等四市2018届高三上学期第一次模拟】若函数的
图象与直线y m =的三个相邻交点的横坐标分别是6π， 3π， 23
π
，则实数ω的值为____． 【答案】4 【解析】
，所以4ω=。

7．【江苏省常熟市2018届高三上学期期中】已知函数，若对任意的实数
，都存在唯一的实数[]
0,m β∈，使
，则实数m 的最小值是__________．
【答案】
2
π
【解析】函数
，若对任意的实数
，
则：f （α）∈[0]， 由于使f （α）+f （β）=0，
则：f （β）∈[0，．
，
，β=
2
π， 所以：实数m 的最小值是2
π
．
故答案为： 2
π
8．【江苏省常熟中学2018届高三10月阶段性抽测】已知函数
在区间[]
0,π上
的值域为⎡-⎢⎣
⎦，则ω的取值范围为__________.
【答案】55,63
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
【解析】函数,
当[]
0,x π∈时,
,
,画出图形如图所示;
，
则,
计算得出
5563
ω≤≤, 即ω的取值范围是55,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦
.
9．【江苏省横林高级中学2018届高三模拟】若函数
对任意的实数
且
则m =_______ .
【答案】1- 或5- 【解析】对任意的实数
,说明函数图像的一条对称轴为9
x π
=
， 39f π⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
，则23m ±+=- ， 1m =- 或5m =-.
10．【江苏省启东中学2018届高三上学期第一次月考】已知函数．若
函数()f x 的图象关于直线x ＝2π对称，且在区间,44ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦上是单调函数，则ω的取值集合为______.
【答案】154,
,363⎧⎫
⎨⎬⎩
⎭ 【解析】
2x π=是一条对称轴，
，得
，
又()f x 在区间44ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣
⎦，上单调，
，得2ω≤，
且
，得4
03
ω<≤
，
，集合表示为154363⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
，，。

11.【2018届江苏省泰州高三12月月考】将sin2y x =的图像向右平移ϕ单位（0ϕ>）,使得平移后的图
像仍过点3
π⎛ ⎝⎭
,则ϕ的最小值为__________． 【答案】
6
π
【解析】将sin2y x =的图像向右平移ϕ单位（0ϕ>）得到
,代入点3π⎛ ⎝⎭
得：
,因为0ϕ>,所以当
时,,此时6πϕ=,故填
6
π
. 12．设常数a 使方程
在闭区间[0,2π]上恰有三个解123,,x x x ,则
.
【解析】原方程可变为,如图作出函数
的图象,再作直线
y a =,从图象可知函数
在[0,
]6π
上递增,7[,]66ππ上递减,在7[,2]6
π
π上递增,
只有当a =
,直线y a =与函数
的图象有三个交
点,10x =,23
x π
=
,32x π=,所以
．
13.若函数在区间ππ
(,)63
上单调递增,则实数a 的取值范围是 ．
【答案】[2,)+∞ 【解析】因为函数
在区间ππ(,)63
上单调递增
所以()0f x '≥在区间ππ(,)63
恒成立,
因为2cos 0x >,所以在区间ππ(,)63
恒成立
所以1sin a x
≥
因为(
,)63
x ππ
∈,所以
所以a 的取值范围是[2,)+∞
14．已知
,
,且()f x 在区间(
,)63
ππ
有最小值,无最大值,则ω= ．
【答案】
143
【解析】如图所示,因为
,且
,又在区间63ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
，内只有最小值、无
最大值,所以()f x 在4
236
ππ
π
=+
处取得最小值,所以,所以
．又0ω>,所以当1k =时,
；当2k =时,
,
此时()f x 在区间63ππ⎛⎫
⎪⎝⎭，内有最大值,故3
14=
ω．
15．【江苏省常熟市2018届高三上学期期中】已知函数
（0,0a b >>）
的图象与x 轴相切，且图象上相邻两个最高点之间的距离为2
π
. （1）求,a b 的值；
（2）求()f x 在0,4π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小值.
【解析】（1）∵()f x 图象上相邻两个最高点之间的距离为2
π
， ∴()f x 的周期为2
π，∴222a ππ=且0a >， ∴2a =， 此时
，
又∵()f x 的图象与x 轴相切，∴
且0b >，
∴1
22
b =
-； （2）由（1）可得
，
∵0,
4x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，∴，
∴当
，即4
x π
=
时， ()f x 有最大值为
1
2
； 当44
2
x π
π
+
=
，即16
x π
=
时， ()f x 有最小值为0.
16．【江苏省常熟中学2018届高三10月阶段性抽测】已知函数的部
分图象如图所示.
（1）求函数()f x 的解析式，并求出()f x 的单调递增区间；
（2）将函数()f x 的图象上各个点的横坐标扩大到原来的2倍，再将图象向右平移6
π
个单位，得到()g x 的图象，若存在20,
3x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
使得等式
成立，求实数a 的取值范围.
【解析】（1）设函数()f x 的周期为T ，由图可知，∴T π=，即
2π
πω
=，
∵0ω>，∴2ω=，∴
，
上式中代入,16π⎛⎫
⎪⎝⎭
，有，得
， Z k ∈，
即
， Z k ∈，
又∵2
π
ϕ<
，∴6
π
ϕ=
，∴，
令，解得，
即()f x 的递增区间为
；
（2）经过图象变换，得到函数()g x 的解析式为()g x sinx =， 于是问题即为“存在20,
3x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，使得等式成立”，
即
在20,
3x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
上有解，令，
即
在[]
0,1t ∈上有解，
其中，
∴1721,
8a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴实数a 的取值范围为117,216⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
. 17．已知函数
.
(1)若方程()0f x =在π0,2x ⎡
⎤
∈⎢⎥⎣⎦
上有解,求m 的取值范围;
(2)在ΔABC 中, ,,a b c 分别是,,A B C 所对的边,当(1)中的m 取最大值且时,求a
的最小值.
【答案】（1）[]
0,3;（2）1 【解析】 (1())f x =
= =,
因为π0,2x ⎡
⎤
∈⎢⎥⎣
⎦
,所以,
则
,
因为方程()0f x =在π0,2x ⎡
⎤
∈⎢⎥⎣
⎦
上有解, 所以
,则03m ≤≤,
故m 的取值范围是[]
0,3;
(2)由(1)可得m 取最大值3,
,
则
,则π3
A =
, 由余弦定理可得a 2=b 2+c 2
-2bc cos A =(b+c )2
-3bc ,
当b c =时a 有最小值1.
18．【2018届福建省仙游金石中学高三上学期期中】已知函数（0ω>）
的最小正周期为π． （Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求函数()f x 在区间2π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，上的取值范围．
【答案】(Ⅰ)1；(Ⅱ) 30,2
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
.
【解析】（Ⅰ）
.
因为函数()f x 的最小正周期为π,且0ω>, 所以
2π
π2ω
=,解得1ω= （Ⅱ）由（Ⅰ）得
．.
因为2π03
x ≤≤, 所以
.
所以..
因此,即()f x 的取值范围为302⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，.
精美句子
1、善思则能“从无字句处读书”。

读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。

读大海，读出了它气势磅礴的豪情。

读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。

2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。

幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。

幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。

幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。

幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。

幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。

3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。

4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。

鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。

矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。

蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。

航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。

5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。

井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。

笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。

山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。

水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。

空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。

空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。

地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了
6、朋友是什么？
朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。

朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。

7、一粒种子，可以无声无息地在泥土里腐烂掉，也可以长成参天的大树。

一块铀块，可以平庸无奇地在石头里沉睡下去，也可以产生惊天动地的力量。

一个人，可以碌碌无为地在世上厮混日子，也可以让生命发出耀眼的光芒。

8、青春是一首歌，她拨动着我们年轻的心弦；青春是一团火，她点燃了我们沸腾的热血；青春是一面旗帜，她召唤着我们勇敢前行；青春是一本教科书，她启迪着我们的智慧和心灵。