东莞市高三数学第一轮复习 递推数列(讲义)

第9讲 递推数列
一、高考要求
①理解数列的概念，了解数列通项公式的意义．
②了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项；并能解决简单的实际问题．
特别值得一提的是近年高考试卷对数列要求较高，已超出了考纲要求．
二、两点解读
重点：①求递推数列的通项公式②递推数列的求和；③函数与数列综合；④数列与不等式结合；⑤数列与对数的综合．
难点：①数阵数表类递推问题；②数列推理问题，常作为高考压轴题．
三、课前训练
1．若满足21=a ，
)2(11≥+=-n n n a a n n ，则4a = （ C ） （A ）34 （B ）1 （C ）5
4 （D ）32 2． 若数列{}n a 满足：n n a a 111-
=+且21=a ，则=2008a （ C ） （A ）-1 （B ）1 （C ）2 （D ）
21 3．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．已知数列}{n a 是等和数列，且21=a ，公和为5，那么18a 的值为 3 ，这个数列的前n 项和n S 的计算公式为当n 为偶数时n S n 25=
；当n 为奇数时，2125-=n S n 4． 已知数列}{n a 满足11=a ，)2(3
11≥+=--n a a n n n ，则通项公式=n a 312
n -
四、典型例题
例1.在数列}{n a 中，11=a ，22=a 且)()1(1*2N n a a n n n ∈-+=-+，则=1
0S (C )
（A ）150 （B ）5050 （C ）2600 （D ）48251+ 解：当n 为奇数时，0)1(12=-+=-+n n n a a ，即19931====a a a ， 当n 为偶数时，2)1(12=-+=-+n n n a a ，即100642,,,,a a a a 成以2为首项，2为公差的等差数。

所以260022
)150(5025050100=⨯-+⨯+=S ，故选C 例2.已知数列{}n a 满足11=a ，1321)1(32--++++=n n a n a a a a ，
则2n ≥时，数列{}n a 的通项n a = （ ）
（A ）!2n （B ）(1)!2
n + （C ）!n （D ）(1)!n + 解：在1321)1(32--++++=n n a n a a a a 两边都加上n na ， 则有：1+=+n n n a a na ，即11+=+n a a n
n （*）， 当2=n 时，由1321)1(32--++++=n n a n a a a a 得112==a a ，由（*）取2，3，…，n 累乘可得：n a a n ⨯⨯⨯⨯= 5432，即2
!n a n = 例3.已知()1(1)()1
f n f n f n -+=+(n ∈N *)，2)1(=f ，则=)2007(f _______ 解：)1(111
)1(1)1(11)1(1)1(1)(1)()1(--=++----+---=+-=+n f n f n f n f n f n f n f n f ，,)(1)2(n f n f -=+ ),()
2(1)4(n f n f n f =+-=+∴ 即)(n f 是以周期为4的数列，
所以21)1(1)3()32004()2007(-=-==+=f f f f
例4. 在数列{}n a 中，13a =，且对任意大于1的正整数n ，点在
直线0x y -=上，则n a =__________________
解：点在直线0x y -=，即31=--n n a a ，又31=a ，所以{}n a 是以3为首项，3为公差的等差数列，故3)1(3⨯-+=n a n ， 即23n a n =
例5.数列}{n a 的前n 项和记为S n ，已知).3,2,1(2,111 =+==+n S n n a a n n 证明：（Ⅰ）数列}{n
S n 是等比数列；（Ⅱ）n n a S 41=+． 解：（Ⅰ）∵n n n n n S n n a S S a 2,111+=-=+++，∴ ),()2(1n n n S S n S n -=++ 整理得 n n S n nS )1(21+=+，所以 n S n S n n ⨯=++211. 故}{n S n 是以2为公比的等比数列； （Ⅱ）由（Ⅰ）知)2(14111≥-⋅=+-+n n S n S n n ，于是)2(41)1(411≥=-⋅+=-+n a n S n S n n n ， 又 3312==S a ，故4212=+=a a S ，因此对于任意正整数 1≥n ， 都有n n a S 41=+。