全国名校高考数学一轮复习优质专题汇编(附详解)函数与方程及函数模型：第8节 函数图像的应用

第8节 函数图像的应用
【基础知识】
函数的图象常应用于以下几点
(1)研究函数性质时一般要借助于函数图象，体现了数形结合思想；
(2)有些不等式问题常转化为两函数图象的上、下关系来解决； (3)方程解的问题常转化为两熟悉的函数图象的交点个数问题来解决.
【规律技巧】
“以形助数”是研究两函数图象交点问题常用到的方法，近几年来高考在此处不断创新命题，着重考查应用图象解决问题的能力．解决此类问题的关键在于准确作出已知函数的图象，并标清一些关键点，作图的规范性与准确性及识图用图的能力，是此类问题考查的核心．
【典例讲解】
例1、 已知函数y ＝|x 2－1|
x －1的图象与函数y ＝kx －2的图象恰
有两个交点，则实数k 的取值范围是________． 【答案】 (0,1)∪(1,4)
【举一反三】
已知函数f (x )＝()32
,2
x 1,2
x x x ⎧≥⎪⎨⎪-⎩
＜若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不
同的实根，则实数k 的取值范围是________．
【解析】作出函数f (x )＝()32
,2
x 1,2x x x ⎧≥⎪⎨⎪-⎩
＜的简图，方程f (x )＝k 有
两个不同的实根，也就是函数f (x )的图象与直线y ＝k 有两个不同的交点，所以0<k
<1.
【答案】(0,1)
例2、若直角坐标平面内两点P 、Q 满足条件：①P 、Q 都在函数
f (x )的图象上；②P 、Q 关于原点对称，则称点对(P ，Q )是函数f (x )
的一个“友好点对”(点对(P ，Q )与点对(Q ，P )看作同一个“友好点
对”)．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
2x 2＋4x ＋1，x <0，
2
e
x ，x ≥0，则f (x )的“友好点
对”有________个．
【解析】 设P (x ，y )、Q (－x ，－y )(x >0)为函数f (x )的“友好点对”，则y ＝2e x ，－y ＝2(－x )2＋4(－x )＋1＝2x 2
－4x ＋1，∴2e x ＋
2x 2
－4x ＋1＝0，在同一坐标系中作函数y 1＝2
e
x 、y 2＝－2x 2＋4x －1的
图象，y 1、y 2的图象有2个交点，∴f (x )有2个“友好点对”，故填2.
【答案】2 【举一反三】
函数y ＝1
1－x 的图象与函数y ＝2sin πx (－2≤x ≤4)的图象所有
交点的横坐标之和等于( )
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8 【答案】D
【针对训练】
1．已知函数f (x )＝4
|x |＋2－1的定义域是[a ，b ](a ，b ∈Z)，值
域是[0,1]，则满足条件的整数对(a ，b )共有 ( )．
A ．2对
B ．5对
C ．6对
D ．无数对 【解析】显然f (x )＝4|x |＋2
－1为偶函数．其图象如图所示．
f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
4
x ＋2
－1，x ≥0，－4
x －2－1，x <0，
要使值域y ∈[0,1]，且a ，
b ∈Z，则a ＝－2，b ＝0,1,2；a ＝－1，b ＝2；a ＝0，b ＝2，∴共有5
对．
【答案】B
2．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x －tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫
－π2
<x <π2，若实数x 0是函数y
＝f (x )的零点，且0<t <x 0，则f (t )的值 ( )．
A ．大于1
B ．大于0
C ．小于0
D ．不大于0
【解析】分别作出函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x 与y ＝tan x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫
－π2，π2上
的图象，得到0<x 0<π
2，且在区间(0，x 0)内，函数y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫1e x 的图象位于
函数y ＝tan x 的图象上方，即0<x <x 0时，f (x )>0，则f (t )>0，故选B.
【答案】B
3．如图，正方形ABCD 的顶点A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，22，B ⎝
⎛⎭
⎪⎪⎫22，0，顶点C 、D 位于第一象限，直线l ：x ＝t (0≤t ≤2)将正方形ABCD 分成两部分，
记位于直线l 左侧阴影部分的面积为f (t )，则函数S ＝f (t )的图象大致是 ( )．
【解析】当直线l 从原点平移到点B 时，面积增加得越来越快；当直线l 从点B 平移到点C 时，面积增加得越来越慢．故选C.
【答案】C
4．函数＝ln 1
|2x －3|的大致图象为(如图所示)
( )．
【解析】y ＝－ln|2x －3|＝⎩⎪⎨
⎪⎧
－
x －
，x >3
2
，
－
－2x ，x <3
2
，
故当x >32时，函数为减函数，当x <3
2时，函数为增函数．
【答案】A
【练习巩固】
1．如右图，已知正四棱锥S －ABCD 所有棱长都为1，点E 是侧棱SC 上一动点，过点E 垂直于SC 的截面将正四棱锥分成上、下两部分．记SE ＝x (0<x <1)，截面下面部分的体积为V (x )，则函数y ＝V (x )的图象大致为 ( )．
【答案】A
2．设函数f (x )＝|x ＋2|＋|x －a |的图象关于直线x ＝2对称，则a 的值为________．
【解析】因为函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称，则有f (2＋
x )＝f (2－x )对于任意实数x 恒成立，即|x ＋4|＋|x ＋2－a |＝|x －4|
＋|x －2＋a |对于任意实数x 恒成立，从而有⎩⎪⎨
⎪⎧
2－a ＝－4，
a －2＝4，
解得a。