江西省南昌市十所省重点中学命制高三数学第二次模拟突

南昌市十所省重点中学2016年二模突破冲刺交流试卷（08）
高三数学（文）
第I 卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．已知集合2
{|}A x y x ==，{|lg(2)}B x y x ==-，则A B ⋂= （ ） A ．[0,2] B ．[0,2) C ．(,2]-∞ D ．(,2)-∞
2．复数z 满足i z i 2)1(=+，则复数z 在复平面内对应的点在 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
3．若向量 )4,2(AB =，
)3,1(AC =，则C B = （ ） A ．(1,1) B ．(1,1)-- C ．(3,7) D ．(3,7)-- 4．一个几何体的三视图中，正（主）视图和 侧(左)视图如图所示，则俯视图不可能为（ ）
5．同时具有性质“①最小正周期是π，②图象关于直线π3x =
对称；③在ππ
[,]63
-上是增函数”的一个函数是 （ ） A ．)6
2sin(
π
+=x y B ．)32cos(π+=x y
C ．)6
2sin(π
-
=x y D ．)6
2cos(π
-
=x y
6．若框图所给的程序运行结果为20=S ，则判断框中应填入的关于k 的条件是（ ）
A.?8>k
B.?8≤k
C.?8<k
D.?9=k
7．已知两个不同的平面α、β和两条不重合的直线，m 、n ，有下列四个命题：
①若m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥α ②若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β； ③若m ⊥α，m ∥n ，n ⊂β，则α⊥β； ④若m ∥α，α∩β=n ，则m ∥n ， 其中不正确的命题的个数是 （ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个
8．在数列{}n a 中，22293n a n n =-++，则此数列最大项的值是 （ ） A ．103 B ．
8658 C ．825
8
D ．108
9．已知0<a ≠1，函数f(x)=3cos +x x (-1≤≤x 1)，设函数f(x)的最大值是M ，最小值是N ，则（ ）
10．12,F F 是双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的左、右焦点，过1F 的直线l 与C 的左、右两支分别交于
,A B 两点，若2ABF ∆为等边三角形，则双曲线C 的离心率为 （ ）
A ．3
B ．2
C ．7
D ．3
11．若,{1,0,1,2}a b ∈-，则函数2()2f x ax x b =++有零点的概率为 （ ） A ．
1316 B ．78 C ．34 D ．58
12． 若f （x ）＝(1)(4)2(1)2
x a x a
x x ⎧>⎪
⎨-+≤⎪⎩是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为 （ ） A ．（1，＋∞） B ．[4,8） C ．（4,8） D ．（1,8）
第II 卷
13．若等差数列{}n a 的前5项和525S =，且23a =，则7a = ． 14．已知直线l 过点)1,0(-，且与曲线x x y ln =相切，则直线l 的方程为 .
15．已知x 、y 满足220240330x y x y x y +-≥⎧⎪
-+≥⎨⎪--≤⎩
，那么z =3x +2y 的最大值为 .
16．过抛物线)(022>=p px y 的焦点F 的直线从左向右依次交抛物线的准线和抛物线于点C 、B 、A ，若
BF BC 3=，且6AF =，则此抛物线的方程为_____________ .
三．解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）
17、已知点（1,2）是函数()(0,1)x
f x a a a =>≠的图象上一点，数列{}n a 的前n 项和()1n S f n =-.
(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式； (Ⅱ)设1
n n n
b a +=
，求数列{}n b 的前n 项和n T .
18 学生 学科
A B C D E F
数学成绩（x ） 83 78 73 68 63 73 物理成绩（y ） 75 65 75 65 60 80 （y x （2）当某位学生的数学成绩为70分时，预测他的物理成绩．（结果写成小数形式）
参考公式：用最小二乘法求线性回归方程ˆˆˆy
bx a =+的系数公式：
1
2
2
1
ˆˆ,n
i i
i n
i
i x y n x y
b
a
y ax x
nx ==-⋅⋅==--∑∑ 参考数据：22222283787368637332224+++++=， 83757865737568656360738030810⨯+⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯=。

19、如图：在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，BC⊥平面PAB ， PA⊥AB，M 为PB 中点，PA=AD=2，
AB=1.（1）求证：PD∥面ACM ； （2）求V D ﹣PMC ．
20、定圆:M ()
2
23
16x y ++=，动圆N 过点(
)
F
3,0且与圆M 相切，记圆心N 的轨迹为E ．
（1）求轨迹E 的方程；
（2）设点A ，B ，C 在E 上运动，A 与B 关于原点对称，且C C A =B ，当C ∆AB 的面积最小时，求
直线AB 的方程．
21、已知函数1
()x x f x e +=
．
（1）求函数()f x 的极大值；
（2）设定义在[0,1]上的函数()()()(R)x
g x xf x tf x e t -'=++∈的最大值为M ，最小值为N ，且2M N >，
求实数t 的取值范围．
四、选做题（从22、23、24、三题中任选一题作答，本小题10分）
22、如图，A ，B ，C ，D 四点在同一圆上，AD 的延长线与BC 的延长线交于E 点，且EC ＝ED ．
（1）证明：CD ∥AB ；
（2）延长CD 到F ，延长DC 到G ，使得EF ＝EG ，证明：A ，B ，G ，F 四点共圆．
23、已知直线n 的极坐标是24)4
cos(
=+π
θρ，圆A 的参数方程是
（θ是参数）
（1）将直线n 的极坐标方程化为普通方程；
（2）求圆A 上的点到直线n 上点距离的最小值．
24、已知函数()()2log |1||5|f x x x a =-+-- （1）当2a =时，求函数()f x 的最小值；
（2）当函数()f x 的定义域为R 时，求实数a 的取值范围．
数学（文）答案
一、选择题: 1-5 : DABCC 6-10: ABDBC 11-12:AB
二、填空题：13、 13 14、 1-=x y 15、 12 16、 x y 82=
三．解答题
17、已知点（1,2）是函数()(0,1)x
f x a a a =>≠的图象上一点，数列{}n a 的前n 项和()1n S f n =-. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式； (Ⅱ)设1
n n n
b a +=
，求数列{}n b 的前n 项和n T . 解： （Ⅰ）把点（1,2）代入函数()x
f x a =，得2a =.
()121,n n S f n ∴=-=-
当1n =时，111211;a S ==-= 当2n ≥时，1n n n a S S -=- 1
(21)(2
1)n
n -=---12n -=
经验证可知1n =时，也适合上式， 12n n a -∴=. （Ⅱ）由（Ⅰ）得：2n n
n b =
， 212311111
12(1)22221111112(1)22222n n n
n n n T n n T n n -+=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅+⋅=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅+⋅
211111122222n n n T n +=++⋅⋅⋅+-=1
11()22
n n ⎛⎫-+⋅ ⎪⎝⎭,所以222n n n T +=-. 18 学生
学科
A B C D E F
数学成绩（x ） 83 78 73 68 63 73 物理成绩（y ） 75 65 75 65 60 80 （ （2）当某位学生的数学成绩为70分时，预测他的物理成绩．（结果写成小数形式）
参考公式：用最小二乘法求线性回归方程ˆˆˆy
bx a =+的系数公式： 1
2
2
1
ˆˆ,n
i i
i n
i
i x y n x y
b
a
y ax x
nx ==-⋅⋅==--∑∑ 参考数据：22222283787368637332224+++++=， 83757865737568656360738030810⨯+⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯=。

解：（1）由题意，837873686373
736
x +++++==，
756575656080706y +++++==. 5
3ˆ2
81
2
8
1=
--=∑∑==x
n x y
x n y
x b
i i i i
i 5
131ˆˆ=-=x b y a
，∴513153+=x y （2）由（1）知，当70x =时，2.68=y
∴当某位学生的数学成绩为70分时，估计他的物理成绩为68.2. 19、如图：在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，BC⊥平面PAB ，PA⊥AB，M 为PB 中点，PA=AD=2，AB=1.
（1）求证：PD∥面ACM ； （2）求V D ﹣PMC ．
解析：（1）证明：连结BD ，设BD 与AC 交于点O ，连结OM ， ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴点O 为BD 的中点， ∵M 为PB 的中点，∴OM 为△PBD 的中位线， ∴OM∥PD，
∵OM ⊂平面ACM ，PD ⊄平面ACM ， ∴PD∥平面ACM ；
（2）解：∵BC⊥平面PAB ，AD∥BC， ∴AD⊥平面PAB ，∴PA⊥AD， ∵PA⊥AB，且AB∩AD=A， ∴PA⊥平面ABCD ， ∵M 为PB 中点， ∴V D ﹣PMC =V D ﹣PBC =V P ﹣DBC ==
20、定圆:M ()
2
23
16x y ++=，动圆N 过点(
)
F
3,0且与圆M 相切，记圆心N 的轨迹为E ．
（1）求轨迹E 的方程；
（2）设点A ，B ，C 在E 上运动，A 与B 关于原点对称，且C C A =B ，当C ∆AB 的面积最小时，求直线AB 的方程． 解：（1）因为点(
)
F
3,0在圆:M ()
2
23
16x y ++=内，所以圆N 内切于圆M ．
因为F 4F NM +N =>M
所以点N 的轨迹E 是以()
3,0M -，(
)
F 3,0为焦点的椭圆．
且24a =，3c =，所以1b =．
所以轨迹E 的方程为2
214
x y +=． （2）当AB 为长轴（或短轴）时，依题意知，点C 就是椭圆的上下顶点（或左右顶点），
此时C 1
C 22
S ∆AB =⨯O ⨯AB =．
当直线AB 的斜率存在且不为0时，设其斜率为k ，直线AB 的方程为y kx =，
联立方程2
214x y y kx
⎧+=⎪⎨⎪=⎩
，得2
2
414x k A =+，222414k y k A =+， 所以()2
222
2
4114k x y k A A +OA =+=+．
由C C A =B 知，C ∆AB 为等腰三角形，O 为AB 的中点，C O ⊥AB ， 所以直线C O 的方程为1y x k =-，由2
214
1x y y x
k ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
，
解得22C 244k x k =+，2
C 2
44y k =+，()
22241C
k +O =．
2C C 412C k S S
∆AB ∆OA +==OA ⨯O =
=
()()
()2
2
2144512
2
k k k ++++≤
=
．
所以C 8
5
S ∆AB ≥
， 当且仅当22144k k +=+，即1k =±时等号成立，此时C ∆AB 面积的最小值是85
． 因为825>
，所以C ∆AB 面积的最小值为8
5
，此时直线AB 的方程为y x =或y x =-． 21、已知函数1
()x x f x e
+=．
（1）求函数()f x 的极大值；
（2）设定义在[0,1]上的函数()()()(R)x
g x xf x tf x e t -'=++∈的最大值为M ，最小值为N ，且2M N >，求实数t 的取值范围．
解析：（1）()x x
f x e
-'=
当0x ≥时，()0f x '≤，所以()f x 在区间[0,)+∞上为减函数， 当0x <时，()0f x '>，所以()f x 在区间(,0]-∞上为增函数 所以()(0)1f x f ==极大值
（2）因为2(1)1()x x t x g x e +-+=，所以()(1)
()x
x t x g x e ---'=
①当1t ≥时，()0g x '≤，()g x 在[0,1]上单调递减，
由2N M <,所以2(1)(0)g g <，即321t e -⋅<，得32
e
t >-
②当0t ≤时，()0g x '≥，()g x 在[0,1]上单调递增，
所以2(0)(1)g g <即32t
e
-<，得32t e <-
③当01t <<时，在[0,)x t ∈，()0g x '<，()g x 在[0,]t 上单调递减，在(,1]x t ∈，()0g x '>，()g x 在[,1]t 上单调递增
所以2()max{(0),g(1)}g t g <即132max{1,}t t t
e e
+-⋅<()*
由（Ⅰ）知1()t t f t e +=在(0,1)t ∈上单调递减故1421t t e e +⨯>>，而334
t e e e
-<<
所以不等式()*无解
综上所述，(,32)(3,)2
e
t e ∈-∞--
+∞U ． 四、选做题（从22、23、24、三题中任选一题作答，本小题10分）
22、如图，A ，B ，C ，D 四点在同一圆上，AD 的延长线与BC 的延长线交于E 点，且EC ＝ED ．
（1）证明：CD ∥AB ；
（2）延长CD 到F ，延长DC 到G ，使得EF ＝EG ，证明：A ，B ，G ，F 四点共圆． 解析：（1）因为EC ＝ED ，所以∠EDC ＝∠ECD ．
因为A ，B ，C ，D 四点在同一圆上，所以∠EDC ＝∠EBA ， 故∠ECD ＝∠EBA ．所以CD ∥AB ．
（2）由（1）知，AE ＝BE ，因为EF ＝EG ，故∠EFD ＝∠EGC ， 从而∠FED ＝∠GEC ．
连接AF ，BG ，则△EFA ≌△EGB ，故∠FAE ＝∠GBE ． 又CD ∥AB ，∠EDC ＝∠ECD ，所以∠FAB ＝∠GBA ，
所以∠AFG ＋∠GBA ＝180°，故A ，B ，G ，F 四点共圆．
23、已知直线n 的极坐标是24)4
cos(
=+π
θρ，圆A 的参数方程是
（θ是参数）
（1）将直线n 的极坐标方程化为普通方程；
（2）求圆A 上的点到直线n 上点距离的最小值．
解：解：（1）由24)4
cos(
=+π
θρ，展开为
=4，
化为x ﹣y ﹣8=0； （2）圆A 的（θ是参数）化为普通方程为：（x ﹣1）2+（y+1）2
=2，圆心（1，﹣1），
半径r=
．
∴圆心到直线n 的距离d==3．
∴圆A 上的点到直线n 上点距离的最小值=d ﹣r=2
．
24、已知函数()()2log |1||5|f x x x a =-+-- （1）当2a =时，求函数()f x 的最小值；
（2）当函数()f x 的定义域为R 时，求实数a 的取值范围．
解析：（1）当2a =时，函数的定义域满足：|1||5|0x x a -+-->，即|1||5|2x x a -+->=．设
()g |1||5|x x x =-+-，则()26,5
g |1||5|4,1562,1x x x x x x x x -≥⎧⎪
=-+-=<<⎨⎪-≤⎩
，
()()()2min min g 42,log 421x a f x =>==-=．
（2）因为函数)(x f 的定义域为R ，所以不等式051>--+-a x x 恒成立， 只要min )51(-+-<x x a 即可；
又451≥-+-x x Θ（当且仅当51≤≤x 时取等号），所以4<a ，即a 的取值范围是)4,(-∞．。