2019_2020学年高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.1空间向量及其加减运算课件新人教A版

【解】 (1)A→A′－C→B＝A→A′－D→A ＝A→A′＋A→D＝A→A′＋A→′D′＝A→D′. (2)A→A′＋A→B＋B→′C′＝(A→A′＋A→B)＋B→′C′ ＝A→B′＋B→′C′＝A→C′. 向量A→D′，A→C′如图所示．
空间向量加法、减法运算的两个技巧 (1)巧用相反向量：向量的三角形法则是解决空间向量加法、 减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接． (2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、 减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采 用空间向量的自由平移获得运算结果．
量A→D相等的向量共有( )
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
解析：选 C.与向量A→D相等的向量有B→C，A→1D1，B→1C1共 3 个．
设有四边形 ABCD，O 为空间任意一点，且A→O＋O→B＝D→O ＋O→C，则四边形 ABCD 是( ) A．平行四边形 B．空间四边形 C．等腰梯形 D．矩形
(4)特殊向量
■名师点拨 (1)单位向量、零向量都只是规定了向量的模长而没有规定向 量的方向．单位向量有无数个，它们的方向不确定，因此， 它们不一定相等；零向量也有无数个，它们的方向任意，但 规定所有的零向量都相等． (2)空间向量的定义、表示方法及零向量、单位向量、相反向 量和相等向量的概念都与平面向量相同，因此可以进行类比 学习．
解析：①正确；②正确，因为A→A1与C→1C的大小相等方向相反， 即互为相反向量，所以A→A1＝－C→1C；③|a|＝|b|，不能确定其 方向，所以 a 与 b 的方向不能确定；④中只有当四边形 ABCD 是平行四边形时，才有A→B＋A→D＝A→C. 综上可知，正确命题为①②. 答案：①②
2.如图所示，以长方体 ABCD-A1B1C1D1 的 八个顶点的两点为始点和终点的向量中． (1)试写出与A→B相等的所有向量； (2)试写出A→A1的相反向量．
解：(1)A→A1＋A→1B1＝A→B1. (2)A→A1＋A→1M－M→B1＝A→A1＋A→1M＋M→D1＝A→D1. (3)A→A1＋A→1B1＋A→1D1＝A→A1＋A→1C1＝A→C1. (4)A→B＋B→C＋C→C1＋C→1A1＋A→1A＝0.
4.在如图所示的平行六面体中，求证：A→C＋A→B′ ＋A→D′＝2A→C′.
第三章 空间向量与立体几何
3.1 空间向量及其运算
3.1.1 空间向量及其加减运算
第三章 空间向量与立体几何
考点
学习目标
核心素养
了解向量及其运算由平面 空间向量的
向空间推广的过程，了解空 概念
间向量的概念
数学抽象
空间向量的 掌握空间向量的加法、减法 直观想象、数学运算
加、减法 运算
问题导学 预习教材 P84～P85，并思考下列问题： 1．空间向量、零向量、单位向量、相反向量及相等向量的定 义分别是什么？ 2．空间向量的加法和减法是怎样定义的？满足交换律及结合 律吗？
证明：因为平行六面体的六个面均为平行四边形， 所以A→C＝A→B＋A→D，A→B′＝A→B＋A→A′，A→D′＝A→D＋A→A′， 所以A→C＋A→B′＋A→D′ ＝(A→B＋A→D)＋(A→B＋A→A′)＋(A→D＋A→A′) ＝2(A→B＋A→D＋A→A′)． 又因为A→A′＝C→C′，A→D＝B→C， 所以A→B＋A→D＋A→A′＝A→B＋B→C＋C→C′＝A→C＋C→C′＝A→C′. 所以A→C＋A→B′＋A→D′＝2A→C′.
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：选 C.由相反向量的定义知①正确；减法不满足结合律， ②错误；③中由 AC 綊 A1C1，知A→C＝A→1C1，正确．故选 C.
3．如图所示，已知平行六面体 ABCD-A1B1C1D1，M 为 A1C1 与 B1D1 的交 点，化简下列向量表达式． (1)A→A1＋A→1B1； (2)A→A1＋A→1M－M→B1； (3)A→A1＋A→1B1＋A→1D1； (4)A→B＋B→C＋C→C1＋C→1A1＋A→1A.
化简(A→B－C→D)－(A→C－B→D)＝________．
解析：法一：(利用相反向量的关系转化为加法运算) (A→B－C→D)－(A→C－B→D)＝A→B－C→D－A→C＋B→D ＝A→B＋D→C＋C→A＋B→D ＝A→B＋B→D＋D→C＋C→A＝0.
法二：(利用向量的减法运算法则求解) (A→B－C→D)－(A→C－B→D) ＝(A→B－A→C)＋B→D－C→D ＝C→B＋B→D－C→D＝C→D－C→D＝0. 答案：0
2．空间向量的加减法与运算律
空间 加法 O→B＝_O→_A__＋__A→_B___Βιβλιοθήκη ＝a＋b 向量的运 减法 算
C→A＝O→A－O→C＝a－b
加法 运算律
(1)交换律：a＋b＝___b_＋__a____； (2)结合律：(a＋b)＋c＝_a_＋___(b_＋__c_)___
■名师点拨 平面向量中的三角形法则和平行四边形法则同样适用于空间 向量的加(减)法运算．加法运算是对有限个向量求和，交换 相加向量的顺序，其和不变．
解：(1)与向量A→B相等的所有向量(除它自身之外)有A→1B1，D→C 及D→1C1共 3 个． (2)向量A→A1的相反向量为A→1A，B→1B，C→1C，D→1D.
空间向量的加减运算
如图所示，已知长方体 ABCD-A′B′C′D′.化简下列向量 表达式，并在图中标出化简结果． (1)A→A′－C→B； (2)A→A′＋A→B＋B→′C′.
(2)①由于长方体的高为 1，所以长方体 4 条高所对应的A→A1， A→1A，B→B1，B→1B，C→C1，C→1C，D→D1，D→1D这 8 个向量都是单 位向量，而其他向量的模均不为 1，故单位向量共有 8 个． ②由于这个长方体的左、右两侧的对角线长均为 5，故模为
5的向量有A→D1，D→1A，A→1D，D→A1，B→C1，C→1B，B→1C，C→B1共 8 个．
解答空间向量有关概念问题的关键点和注意点 (1)空间向量的两个要素：大小和方向．两向量相等的充要条 件：大小相等，方向相同． (2)两个特殊向量： ①零向量：长度为 0 的向量，方向任意； ②单位向量：长度为 1 的向量，方向不确定．
1．给出下列命题： ①零向量没有确定的方向； ②在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，A→A1＝－C→1C； ③若向量 a 与向量 b 的模相等，则 a 与 b 的方向相同或相反； ④在四边形 ABCD 中，必有A→B＋A→D＝A→C. 其中正确命题的序号是________．
1．空间向量 (1)定义：在空间，把具有__大__小___和___方__向___的量叫做空间 向量． (2)长度：向量的_大__小__叫做向量的长度或_模____．
①几何表示法：空间向量用_有__向__线__段____表示； (3)表示法②字 是其母A模，表记终示为点法|a是|或：B_用|A，→_B_字则_| .母向表量示a也，可若记向作量_aA→_的B__起_，点.
其中正确的个数为( A．4 C．2
) B．3 D．1
(2)如图所示，在以长、宽、高分别为 AB＝3，AD＝2，AA1＝1 的长方体 ABCD-A1B1C1D1 的八个顶点中的两点 为起点和终点的向量中， ①单位向量共有多少个？ ②试写出模为 5的所有向量．
【解】 (1)选 C.当两个空间向量的起点相同，终点也相同时， 这两个向量必相等，但两个向量相等，不一定起点相同、终 点相同，故命题①错误，命题②错误；命题③④显然正确； 对于命题⑤，空间中任意两个单位向量的模均为 1，但方向 不一定相同，故不一定相等，故⑤错．
1．在空间四边形 OABC 中，O→A＋A→B－C→B等于( )
→ A.OA
B．A→B
→ C.OC
D．A→C
解析：选 C.O→A＋A→B－C→B＝O→A＋A→B＋B→C＝O→C.故选 C.
2．给出以下命题：
①若向量 a 是向量 b 的相反向量，则|a|＝|b|；
②空间向量的减法满足结合律；
③在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，必有A→C＝A→1C1. 其中正确命题的个数是( )
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同．( √ ) (2)两个有公共终点的向量，一定是共线向量．( × ) (3)在空间中，任意一个向量都可以进行平移．( √ ) (4)空间两非零向量相加时 ，一定可用平行四边形法则运 算．( × )
在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 顶点连接的向量中，与向
解析：选 A.由于A→O＋O→B＝A→B，D→O＋O→C＝D→C， 所以A→B＝D→C，从而|A→B|＝|D→C|，且 AB 与 CD 不共线， 所以 AB∥DC， 所以四边形 ABCD 是平行四边形．
空间向量的概念
(1)给出下列命题： ①两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ②若空间向量 a，b 满足|a|＝|b|，则 a＝b； ③在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，必有A→C＝A→1C1； ④若空间向量 m，n，p 满足 m＝n，n＝p，则 m＝p； ⑤空间中任意两个单位向量必相等．