导数的实际应用

当 0≤x<5 时，f′(x)<0；当 5<x≤10 时，f′(x)>0， 故 x＝5 是 f(x)的最小值点，对应的最小值为 f(5)＝ 800 6×5＋ ＝70. 15＋5 故当隔热层修建 5 cm 厚时，总费用达到最小，为 70 万元．
• 1．用料最省、成本最低问题是日常生活中 常见的问题之一，解决这类问题要明确自变 量的意义以及最值问题所研究的对象．正确 书写函数表达式，准确求导，结合实际作 答． • 2．利用导数的方法解决实际问题，当在定 义区间内只有一个点使f′(x)＝0时，如果函数 在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较， 也可以知道在这个点取得最大(小)值．
3 3 2 1 （ x － 1 ）＋ 1 帐篷的体积： V(x)＝ (8＋2x－x )· 3 2
3 ＝ (16＋12x－x3)， 2 3 求导得 V′(x)＝ (12－3x2)． 2
令 V′(x)＝0，解得 x＝－2(不合题意，舍去)，x＝2， 当 1<x<2 时，V′(x)>0，V(x)为增函数； 当 2<x<4 时， V′(x)<0， V(x)为减函数． ∴当 x＝2 时， V(x)最大． 故当 OO1 为 2 m 时，帐篷的体积最大，最大体积为 16 3m3.
• 请您设计一个帐篷，它下部的形状是高为1 m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3 m 的正六棱锥(如图1－3－11所示)．试问当帐 篷的顶点O到底面中心O1的距离为多少时， 帐篷的体积最大？
【解】 设 OO1 为 x m，则 1<x<4，由题设可得正六 棱锥底面边长为： 32－（x－1）2＝ 8＋2x－x2. 3 故底面正六边形的面积为：6· · ( 8＋2x－x2)2＝ 4 3 3 ·(8＋2x－x2)， 2
【解】 则
设楼房每平方米的(x) ＝ (560 ＋ 48x) ＋ ＝ 560 ＋ 48x ＋ 2 000x 10 800 (x≥10，x∈N＋)， x 10 800 f′(x)＝48－ 2 ， x
• 令f′(x)＝0得x＝15或x＝－15(舍去)， • 当x>15时，f′(x)>0；当10≤x<15时，f′(x)<0， 因此当x＝15时，f(x)取最小值，f(15)＝2 000.
• (1)求k的值及f(x)的表达式； • (2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小， 并求最小值．
【思路探究】 k 明 确 “ 函 数 C(x) ＝ 3x＋5 (0≤x≤10)”的含义， 利用 C(0)＝8 求 k.利用导数求最值．
【自主解答】 (1)设隔热层厚度为 x cm，由题设，
k 每年能源消耗费用为 C(x)＝ ，再由 C(0)＝8，得 k 3x＋5 40 ＝40，因此 C(x)＝ . 3x＋5
所以商场每日销售该商品所获得的利润
2 2 ＋10（x－6） ＝ 2＋ 10(x－ 3)(x－ f(x)＝ (x－ 3) x － 3
6)2，3＜x＜6， 从而， f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)(x －6)，
• 于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如 下表： x f′(x) f(x) (3，4) ＋ 4 0 (4，6) －
又建造费用为 C1(x)＝6x， 故隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和为 40 800 f(x) ＝ 20C(x) ＋ C1(x) ＝ 20× ＋ 6x ＝ ＋ 3x＋5 3x＋5 6x(0≤x≤10)．
2 400 (2)f′(x)＝6－ 2， （3x＋5） 2 400 令 f′(x)＝0，即 ＝6， （3x＋5）2 25 解得 x＝5 或 x＝－ (舍去)． 3
• 某单位用2 160万元购得一块空地，计划在 该地块上建造一栋至少10层、每层2 000平 方米的楼房．经测算，如果将楼房建为 x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为 560＋48x(单位：元)．为了使楼房每平方米 的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？
(注： 平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用， 购地总费用 平均购地费用＝ ) 建筑总面积
1．4 导数的实际应用
• ●重点难点 • 重点：利用导数解决生活中的一些优化问 题． • 难点：理解导数在解决实际问题时的作用， 并利用导数解决生活中的一些优化问题．
• 1.最优化问题
• 2．求实际问题的最值，主要步骤有： • (1)建立实际问题的数学模型，写出实际问题 中变量之间的函数关系y＝f(x)； • (2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0， • 求出 极值点 ； 极值点 • (3)比较函数在 和在 端点 的取 值大小，确定其最大(小)者为最大(小)值．
时下，网校教学越来越受广大学生的喜爱，它已 经成为学生们课外学习的一种趋势．假设某网校的套题 每日的销售量 y(单位：千套)与销售价格 x(单位：元/套) m 满足关系式 y＝ ＋4(x－6)2， 其中 2<x<6， m 为常数． 已 x－2 知销售价格为 4 元/套时，每日可售出 21 千套．
• (1)求m的值； • (2)假设网校的员工工资、办公等所有开销折 合为每套题2元(只考虑销售出的套数)，试确 定销售价格x的值，使网校每日销售套题所 获得的利润最大．(结果保留1位小数 m )
【解】 (1)因为 x＝4 时，y＝21，所以 ＋16＝21， 2 ∴m＝10. 10 (2)由(1)可知，该套题每日的销售量 y＝ ＋4(x－ x－2 6)2，所以网校每日销售套题所获得的利润．
10 2 ＋4（x－6） ＝ 10 ＋ 4(x － 2)(x － f(x) ＝ (x － 2) x－ 2
所以当 x＝20 时，V 取得极大值，也是最大值． h 1 1 此时 ＝ ，即包装盒的高与底面边长的比值为 . a 2 2
• 1．这类问题一般用面积公式，体积公式等 作等量关系，求解时应选取合理的边长x作 自变量，并利用题目中量与量之间的关系表 示出其它有关边长，这样函数关系式就列出 来了． • 2．这类问题中，函数的定义域一般是保证 各边(或线段)为正，建立x的不等式(组)求定 义域．
• (1)求a的值； • (2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．
• 【思路探究】 (1)根据x＝5时，y＝11求a的 值． • (2)把每日的利润表示为销售价格x的函数， 用导数求最大值．
a 【自主解答】 (1)因为 x＝5 时，y＝11，所以 ＋10 2 ＝11，a＝2. 2 (2)由 (1)可知，该商品每日的销售量 y＝ ＋10(x x－3 －6)2，
6)2， f′(x)＝4[(x－6)2＋2(x－2)(x－6)] ＝4(x－6)(3x－10) 10 当 f′(x)＝0 得 x＝ (x＝6 舍去)． 3
知
10 f(x)在2， 上 3
10 f′(x)>0，在 ，6 上 3
f′(x)<0，
10 所以 x＝ ＝3.3 时，f(x)有最大值． 3 故当销售价格为 3.3 元/套时，网校每日销售该套题 所获得的利润最大．
•
请你设计一个包装盒，如图1－3－10所示， ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切 去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角 形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个 点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱 柱形状的包装盒，E，F在AB上，是被切去 的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设 AE＝FB＝x(cm)．
• 【答案】 A
• 2．某产品的销售收入y1(万元)是产量x(千台) 的函数：y1＝17x2(x>0)，生产成本y2(万元) 是产量x(千台)的函数：y2＝2x3－x2(x>0)， 为使利润最大，应生产( ) • A．6千台 B．7千台 • C．8千台 D．9千台
• 【解析】 设利润为y，则y＝y1－y2＝17x2 －(2x3－x2)＝－2x3＋18x2(x>0)， • 又由y′＝－6x2＋36x＝0得x＝6，且当x∈(0， 6)时，y′>0，当x∈(6，＋∞)时，y′<0， • ∴当x＝6时，y最大，故应生产6千台． • 【答案】 A
为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋 的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使 用 20 年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万 元．该建筑物每年的能源消耗费用 C(单位：万元)与隔热 k 层厚度 x(单位：cm)满足关系：C(x)＝ (0≤x≤10)， 3x＋5 若不建隔热层，每年能源消耗费用为 8 万元．设 f(x)为隔 热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和．
• 故为了使楼房每平方米的平均综合费用最少， 该楼房应建为15层.
某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销 售量 y(单位：千克)与销售价格 x(单位：元/千克)满足关 a 系式 y＝ ＋10(x－6)2，其中 3＜x＜6，a 为常数，已 x－3 知销售价格为 5 元/千克时，每日可售出该商品 11 千克．
• 3．将一段长100 cm的铁丝截成两段，一段 弯成正方形，一段弯成圆形，当正方形与圆 形面积之和最小时，圆的周长为 ________cm.
【解析】 设弯成圆形的一段铁丝长为 x，则另一段 长为 100－ x， 记正方形与圆形的面积之和为 S， 100－x x 则正方形的边长 a＝ ，圆的半径 r＝ . 4 2π 故
• (1)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大， 试问x应取何值？ • (2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试 问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底 面边长的比值．
• 【思路探究】 弄清题意，根据“侧面积＝ 4×底面边长×高”和“体积＝底面边长的 平方×高”这两个等量关系，用x将等量关 系中的相关量表示出来，建立函数关系式， 然后求最值．
【自主解答】 设包装盒的高为 h cm，底面边长为 a cm. 60－2x 由已知得 a＝ 2x，h＝ ＝ 2(30－x)，0＜x＜ 2 30.
(1)S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1 800， 所以当 x＝15 时，S 取得最大值． (2)V＝a2h＝2 2(－x3＋30x2)，V′＝6 2x(20－x)． 由 V′＝0，得 x＝0(舍去)或 x＝20. 当 x∈(0，20)时，V′＞0；当 x∈(20，30)时，V′＜0.
• 1．某工厂要围建一个面积为512平方米的矩 形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他 三边需要砌新的墙壁，若使砌壁所用的材料 最省，堆料场的长和宽应分别为(单位： 米)( ) • A．32，16 B．30，15 C．40，20 D．36，18
【解析】
要使材料最省，则要求新砌的墙壁的总
512 长最短，设场地宽为 x 米，则长为 米，因此新墙总长 x 512 512 L＝2x＋ (x>0)，则 L′＝2－ 2 .令 L′＝0，得 x＝16 或 x x 512 x＝－16(舍去)．此时长为 ＝32(米)，可使 L 最短． 16
x 2 100－x2 S＝π (0＜ x＜100)． ＋ 2 π 4
100－x x 25 x x 因此 S′＝ － ＋ ＝ － ，令 S′＝0，则 x 2 8 8 2π 2π 100π ＝ . 4＋π 由于在(0，100)内，函数只有一个导数为 0 的点，问 100π 题中面积之和的最小值显然存在， 故当 x＝ cm 时， 4＋π 面积之和最小．
单调递增 极大值42 单调递减
• 由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3，6)内 的极大值点，也是最大值点； • 故当销售价格为4元/千克时，商场每日销售 该商品所获得的利润最大．
• 一般来说，利润L等于总收入减去总成本， 而总收入等于销售量乘以价格．由此可以得 到利润L与价格的函数关系式，进而用导数 求最大利润．