2017-2018学年广西岑溪市高二下学期期末考试数学(理)试题 Word版

2017-2018学年广西岑溪市高二下学期期末考试
数学（理）试题
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合2{|4}M x x =>，{|13}N x x =<<，则()R N C M = （ ）
A ．{|21}x x -≤<
B ．{|22}x x -≤≤
C ．{|12}x x <≤
D ．{|2}x x < 2.演绎推理“因为0'()0f x =时，0x 是()f x 的极值点，而对于函数3()f x x =，'(0)0f =，所以0是函数3()f x x =的极值点.”所得结论错误的原因是（ ）
A ．大前提错误
B ．小前提错误
C ．推理形式错误
D ．全不正确 3.已知i 为虚数单位，若复数1()1ai
z a R i
-=
∈+的实部为-2，则z =（ ）
A ．5
B ．13 4.用反证法证明命题“若一元二次方程20(0,,,)ax bx c a a b c Z ++=≠∈有有理根，那么
a ，
b ，
c 中至少有一个是偶数”时，下列假设中正确的是（ ）
A ．假设a ，b ，c 不都是偶数
B ．假设a ，b ，c 都不是偶数
C ．假设a ，b ，c 至多有一个是偶数
D ．假设a ，b ，c 至多有两个是偶数
5.函数ln x
y x
=的图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6.已知随机变量X 服从二项分布(,)B n p ，若()50E X =，()30D X =，则n ，p 分别等于（ ） A ．100n =，35p =
B ．100n =，25p =
C ．125n =，2
5
p = D ．125n =，
35
p =
7.设奇函数()sin()cos()f x x x ωϕωϕ=+++(0,)2
π
ωϕ><
的最小正周期为π，则（ ）
A ．()f x 在(0,)2π上单调递减
B ．()f x 在3(,
)44ππ
上单调递减 C ．()f x 在(0,)2π上单调递增 D ．()f x 在3(,
)44
ππ
上单调递增 8.将3本相同的小说，2本相同的诗集全部分给4名同学，每名同学至少1本，则不同的分法有（ ）
A ．24种
B ．28种
C ．32种
D ．36种
9.变量y 与x 的回归模型中，它们对应的相关系数r 的值如下，其中拟合效果最好的模型是（ ）
A ．模型1
B ．模型2
C ．模型3
D ．模型4
10.已知随机变量ξ服从正态分布2(0,)N σ，若(1)0.2P ξ>=，则(11)P ξ-≤≤=（ ） A ．0.4 B ．0.8 C ．0.6 D ．0.3
11.一个盒子里有7个红球，3个白球，从盒子里先取一个小球，然后不放回的再从盒子里取出一个小球，若已知第1个是红球的前提下，则第2个是白球的概率是（ ）
A ．
310 B ．13 C ．710 D ．2
3
12.设P 是曲线2
1ln 2
y x x x =--上的一个动点，记此曲线在点P 点处的切线的倾斜角为
θ，则θ可能是（ ）
A ．
6
π
B ．
34π C ．56π D ．4
π 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.观察下列等式：
(11)21+=⨯
2(21)(22)213++=⨯⨯
3(31)(32)(33)2135+++=⨯⨯⨯
按此规律，第n 个等式可为 ．
14.对具有线性相关关系的变量x ，y ，有一组观察数据(,)(1,2,9)i i x y i =⋅⋅⋅，其回归直线方程是： 2y x a =+，且9
1
9i i x ==∑，9
1
18i i y ==∑，则实数a 的值是 ．
15.曲线21y x =-与坐标轴及2x =所围成封闭图形的面积是 ．
16.椭圆22194
x y +=的焦点为1F 、2F ，P 为椭圆上的一点，120PF PF ⋅= ，则
12PF PF ⋅=
．
三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知(1,2)A ，(,1)B a ，(2,3)C ，(1,)D b -(,)a b R ∈是复平面上的四个点，且向量AB
，
CD
对应的复数分别为1z ，2z .
（1）若121z z i +=+，求1z ，2z ；
（2）若122z z +=，12z z -为实数，求a ，b 的值.
18.为了调查喜欢看书是否与性别有关，某校调查小组就“是否喜欢看书”这个问题，在全校随机调研了100名学生. （1）完成下列22⨯列联表：
（2）能否在犯错率不超过0.025的前提下认为“喜欢看书与性别有关”. 附：
（参考公式：()()()()()
2
2
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）
19.二项式
n 的二项式系数和为256.
（1）求展开式中二项式系数最大的项； （2）求展开式中各项的系数和；
（3）展开式中是否有有理项，若有，求系数；若没有，说明理由.
20.某办公楼有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）A 和B ，系统A 和B 在任意时刻发生故障的概率分别为
1
10
和P . （1）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为
49
50
，求P 的值； （2）设系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量X ，求X 的概率分布列及数学期望EX . 21.用数学归纳法证明
11111112324
n n n n n +++⋅⋅⋅+>++++*()n N ∈. 22.设函数2()2ln f x x x =-，2()2g x x x a =-+++. （1）求函数()f x 的单调递增区间；
（2）若函数()f x 与()g x 在区间(1,3)内恰有两个交点，求实数a 的取值范围.
2018年春季学期高二期末考试
理科数学参考答案
一、选择题
1-5: CACBC 6-10: CBBCC 11、12：BB
二、填空题
13. (1)(2)()213(21)n n n n n n ++⋅⋅⋅+=⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯- 14. 0 15.
8
3
16. 8 三、解答题
17.（1）向量(1,1)AB a =-- ，(3,3)CD b =--
对应的复数分别为1(1)z a i =--，
23(3)z b i =-+-.
∴12(4)(4)1z z a b i i +=-+-=+. ∴41a -=，41b -=. 解得5a b ==.
∴14z i =-，232z i =-+. （2）122z z +=，12z z -为实数，
2=，(2)(2)a b i R ++-∈，
∴20b -=，解得2b =， ∴2(4)44a -+=，解得4a =. ∴4a =，2b =.
18.（1）22⨯列联表如下：
（2）根据列联表中数据，计算
()()()()()
2
2
n ad bc K a b c d a c b d -=++++
2
100(35252515)50506040⨯⨯-⨯=
⨯⨯⨯ 4.167 5.024≈<，
对照临界值知，不能在犯错率不超过0.025的前提下认为“喜欢看书与性别有关”.
19.因为二项式
n 的二项式系数和为256，所以2256n =，
解得8n =.
（1）∵8n =，则展开式的通项8
18
r r
r T C -+=⋅82381()2r r
r C x
--=⋅⋅. ∴二项式系数最大的项为4
4
581
35()2
8
T C =-=
； （2）令二项式中的1x =，则二项展开式中各项的系数和为8
8
111(1)()2
2
256
-==. （3）由通项公式及08r ≤≤且r Z ∈得当1,4,7r =时为有理项； 系数分别为1
181()42
C -=-，4
4
8135()2
8C -=
，7
7811()216
C -=-. 20.（1）设“至少有一个系统不发生故障”为事件C ，那么149
1()11050
P C P -=-=，解得1
5
P =
. （2）由题意，X 可取0，1，2，3，0
3311(0)(
)101000
P X C ===，1231127(1)()(1)10101000P X C ==-=，22311243(2)()(1)10101000
P X C ==-=，
30
3311729(3)()(1)10101000
P X C ==-=.
所以，随机变量ξ的概率分布列为：
故随机变量X 的数学期望为：012100010001000EX =⨯+⨯+⨯3100010
+⨯=. 21.证明：①当1n =时，左边111
224
=>，不等式成立.
②假设当*(,1)n k k N k =∈≥时，不等式成立，
即
11111112324
k k k k k +++⋅⋅⋅+>++++， 则当1n k =+时，
111112322122k k k k k ++⋅⋅⋅+++++++11111232k k k k
=+++⋅⋅⋅++++11121221k k k ++-+++111112421221k k k >++-+++， ∵111
21221
k k k +-+++ 2(1)(21)2(21)
2(1)(21)k k k k k +++-+=
++
1
02(1)(21)
k k =
>++，
∴
11111232k k k k +++⋅⋅⋅++++11121221k k k ++-+++1111111242122124
k k k >++->+++， ∴当1n k =+时，不等式成立.
由①②知对于任意正整数n ，不等式成立.
22.（1）22(1)
'()x f x x
-=，∵0x >，(0,1)x ∈时，'()0f x >，所以函数()f x 的单调递
增区间是(0,1].
（2）令()()()2ln 2h x f x g x x x a =-=---，则2'()x
h x x
-=， ∴(1,2)x ∈时，'()0h x >，(2,3)x ∈时，'()0h x <， ∴(2)h 是()h x 的极大值，也是()h x 在(1,3)上的最大值. ∵函数()f x 与()g x 在区间(1,3)内恰有两个交点，
∴函数()h x 在区间(1,3)内有两个零点，则有(2)0h >，(1)0h <，(3)0h <.
所以有2ln 240302ln 350a a a -->⎧⎪
--<⎨⎪--<⎩
.
解得2ln 352ln 24a -<<-，所以a 的取值范围是(2ln 35,2ln 24)--.。