贵阳市第一中学2024-2025学年高考适应性月考(三)-数学试卷(含解析)

贵阳一中2024-2025学年高考适应性月考（三）
数学试卷
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.
2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效.
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知集合{}2A x x =…，()(){}
320B x x x =+-<，则A B =（ ）
A.[]2,2-
B.[)2,2-
C.[]3,2-
D.[)3,2-
2.若函数()y f x =在区间(),a b 内可导，且()0,x a b ∈，则()()
000
lim
h f x f x h h
→-+的值为（ ）
A.()0f x '
B.()02f x '
C.()02f x '-
D.()0f x '-
3.在平面直角坐标系中，角α以x 轴的非负半轴为始边，终边过点()3,1P --，则
s i n c o s 2c o s s i n αα
αα
-
+等于（ ） A.
27 B.25 C.27
- D.25
-
4.在ABC △中，若sin 2sin 2A B =，则ABC △为（ ）
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等腰直角三角形
D.等腰三角形或直角三角形
5.设sin39cos154sin51cos244a =︒︒+︒︒
，)sin 35cos35b =︒-︒
，c =a ，b ，c 的大小关系是（ ） A.c b a >>
B.c a b >>
C.b a c >>
D.b c a >>
6.已知函数()(
)222,0,
log 1,0x mx m x f x x x x ⎧-++⎪=⎨++>⎪⎩…在R 上单调递增，则（ ）
A.[)0,m ∈+∞
B.(],0m ∈-∞
C.{}0m ∈
D.m ∈∅
7.某校高二年级有80名同学参加2024年全国高中数学联赛，参赛的男生有45人，女生有35人.根据统计分析，男生成绩的平均数为x ，方差为2
1S ，女生成绩的平均数为y ，方差为2
2S ，参赛选手总体成绩的方
差为2S ，则（ ）
A.22
2
12
7916
S S S +=
B.22
2
12
7916
S S S +…
C.22
2
12
9716
S S S +=
D.22
2
12
9716
S S S +…
8.已知抛物线2
:4C y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，则32AF BF +的最小值是（ ）
A.5+
B.5-
C.10+
D.10-二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 的前n 项和分别为n S .和n T ，且
21
2
n n S n T +=
，则下列正确的是（ ） A.
4415
2
a b = B.
449
2
a b = C.
56192a b = D.
5625
2
a b =
10.已知函数()2
21
x
f x x =
--，则下列正确的是（ ） A.()f x 的图象关于点()0,1-对称 B.()f x 的定义域为R C.()f x 有两个零点
D.存在等差数列{}n a ，满足
()4
1
4i
i f a ==-∑
11.已知()()2
2sin 106f x x πωω⎛⎫
=+
-> ⎪⎝
⎭
，则下列说法正确的是（ ） A.若()11f x =，()21f x =-，且12min
2
x x π
-=
，则2ω=
B.存在()0,2ω∈，使得()f x 的图象左移6
π
个单位长度后得到的图象关于原点对称 C.当32ω=
时，函数()20,,3y f x m x m π
⎛⎫ ⎪⎛⎫=+∈∈ ⎪⎝⎝
⎭⎭
R 恰有三个零点1x ，2x ，()3123x x x x <<，则1232x x x ++的值是
14
9
π D.若()f x 在()0,π上恰有2个极大值点和1个极小值点，则ω的取值范围为411,36⎛⎤
⎥⎝
⎦ 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12.已知命题p ：“x ∀∈R ，2
230ax ax ++>”为真命题，则a 的取值范围是______.
13.如图，已知P 为双曲线22
:4C x y -=右支上一点，过P 分别作双曲线C 的两条渐近线的平行线，与两条渐近线分别交于点A ，B ，则四边形OAPB 的面积为______.
14.已知α，,22ππβ⎛⎫
∈-
⎪⎝⎭
，且()1tan 2αβ-=-，1tan 7α=-，则2αβ-的值为______.
四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分） 已知函数()()2
1ln 12
f x x ax a =+
+∈R . （1）当2a =时，求函数()y f x =在点()()
1,1f 处的切线方程； （2）当2a =-时，求函数()y f x =的单调区间. 16.（本小题满分15分）
如图，已知正四棱锥S ABCD -的正方形，侧棱长都是2，过点B ，D 的平面α满足
SC α⊥.
（1）作出平面α截该正四棱锥所得的截面，要求写出作法并证明SC α⊥； （2）求平面α与底面ABCD 所成的锐二面角的大小.
17.（本小题满分15分）
已知函数()y f x =，若存在实数m ，()0k m ≠，使得对于定义域内的任意实数x ，均有
()()()m f x f x k f x k ⋅=++-成立，则称函数()f x 为“可平衡”函数；有序数对(),m k 称为函数()
f x 的“平衡”数对.
（1）若m =
()cos f x x =是否为“可平衡”函数，并说明理由；
（2）已知,
2m π⎛⎫
⎪
⎝
⎭
为函数()2
sin 04f x x x π⎛
⎫
=< ⎪⎝
⎭
…的“平衡”数对，求m 取最小值时x 的值. 18.（本小题满分17分）
已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>过点(，且离心率2
e =.
（1）求椭圆E 的标准方程；
（2）若点F 为椭圆E 的右焦点，过F 作两条互相垂直的直线，且分别与椭圆E 相交得到弦AB ，CD .设弦AB ，CD 的中点分别为M ，N .证明：直线MN 必过定点. 19.（本小题满分17分）
某校组织了投篮活动帮助高三学生缓解压力，该活动的规则如下： ①每个投篮人一次投一球，连续投多次； ②当投中2次时，这个投篮人的投篮活动结束. 已知某同学一次投篮命中率为
1
3
，每次投篮之间相互独立.记该同学投篮次数为随机变量X . （1）求该同学投篮次数为4次时结束比赛的概率； （2）求该同学投篮次数X （不超过n ）的分布列； （3）在（2）的前提下，若()()()1
233
P X P X P X n =+=++=>
，求n 的最小值.
数学评分细则
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
【解析】
1.由题意得{}22A x x =-剟，{}32B x x =-<<，所以{}22A B x x =-<…，即[)2,2A B =-，
故选B. 2.()()
()()
()000000
lim
lim
h h f x f x h f x f x h f x h
h
→→-+-+'=-=--，故选D.
3.由已知得1tan 3α=
，则sin cos tan 1
2
2cos sin 2tan 7
αααααα--==-++，故选C. 4.若sin 2sin 2A B =，则
22A B =或22180A B +=︒，ABC △为等腰三角形或直角三角形，故选D.
5.()
sin39cos154sin51cos 244sin39cos154cos39sin154sin 39154a ︒︒︒︒︒︒︒︒=+=︒︒-=-()sin 115sin 65︒︒=-=-，)()sin 35cos35sin 3545sin10b =
︒-︒=︒-︒=-︒，c ==sin1cos10->，因为函数sin y x =在0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以0a b c <<<，故选A.
6.因为()f x 在R 上单调递增，所以0,
220,
m
m ⎧⎪⎨⎪⎩……解得0,0,m m ⎧⎨
⎩……所以0m =，故选C. 7.设样本总体均值为z ，分层方差与整体方差关系：()()22222
1214545353580S S x z S y z ⎡⎤=
+-++-⎣
⎦，
所以22
2
12
9716
S S S +…，故选D.
8.过A ，B 分别作准线的垂线交于1A ，1B ，延长AB 交准线于P ，记准线与x 轴的交点为H .由图可知：
1PBB PFH △∽△，11PBB PAA △∽△，则111
,2,
BB PB
PB BF BB PB AA PB BF AF ⎧=⎪+⎪
⎨⎪=⎪++⎩
化简得：
11
1AF BF +=，所以()21132325BF AF BF AF BF AF BF AF ⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭
35AF BF
+…
BF =
时取等，故选A. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分）
【解析】
9.因为等差数列{}n a 的前n 项和()1212
2
2n n a a n d d S n a
n +⎛⎫=
=+- ⎪⎝⎭
；等比数列{}n b 的前n 项和()
11,1,
1,1,1n n b n q T b q q q
=⎧⎪=-⎨≠⎪
-⎩且212n n S n T +=，所以等比数列{}n b 的公比1q =，即1n b b =.不妨设()21n S n nk =+，
2n T nk =，k 是不为0的常数，则()41n a n k =-，2n b k =，所以
44152a b =，5619
2
a b =，故选AC. 10.对于A ，因为()()2f x f x +-=-，所以()f x 的图象关于点()0,1-对称，
A 正确；对于
B ，由题知()f x 的定义域为{}
0x x ≠，B 错误；对于C ，令()0f x =，则2
21x x
-=，如图1，作函数21x
y =-与2
y x
=
的图象知有两个交点，所以()f x 有两个零点，C 正确；对于D ，当25n a n =-时满足题意，D 正确，故选ACD.
11.因为()2
2sin 1cos 263f x x x ππωω⎛⎫
⎛
⎫=+
-=-+ ⎪ ⎪
⎝
⎭⎝⎭
，所以周期22T ππωω==，对于A ，由条件知，周期为π，所以1ω=，故A 错误；对于B ，函数图象左移
6
π
个单位长度后得到的函数为
cos 233y x ωπωπ⎛
⎫=-++ ⎪⎝
⎭，其图象关于原点对称，则()332k k ωππππ+=+∈Z ，解得132k ω=+，
k ∈Z ，又()0,2ω∈，所以12ω=
，B 正确；对于C ，函数()2cos 30,33f x x x ππ⎛⎫⎛
⎫⎛⎫=-+∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，令
33x k π
π+
=，k ∈Z ，可得：139k x ππ=-，k ∈Z .20,3x π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，∴令1k =，可得一条对称轴方程为29x π=
，∴令2k =，可得一条对称轴方程为59x π=，函数()20,,3y f x m x m π⎛⎫⎛⎫
=+∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
R 恰有三个零点，可知1x ，2x 关于其中一条对称轴是对称的，即1224
299
x x ππ+=
⨯=，3x ，2x 关于其中一条对称轴是对称的，即32510299x x ππ+=⨯=，那么12314
2,C 9
x x x π++=正确；对于D ，令
2233
3t x t ππ
πωωπ⎛⎫
=+
<<+
⎪⎝⎭
，
由条件得3243
π
πωππ<+…，
解得411
36
ω<…
，故D 正确，故选BCD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
【解析】
12.由题知，x ∀∈R ，2230ax ax ++>恒成立.当0a =时，
满足题意；当0a <时，二次函数2
23y ax x =++开口向下，不满足题意；当0a >时，24120a a ∆=-<即可，解得03a <<.综上，[)0,3
a ∈. 13.由题意得两条渐近线的方程分别为1:l y x =，2:l y x =
-.因为1PA l l ∥，2PB l l ∥，且90AOB ∠=︒，所以四边形OAPB 为矩形.设()00,P x y ，则PA d =
，PB d =
，所以
22
00
2
OAPB
PA PB x y S
d d -=⋅=
.因为22
00:4C x y -=，所以22
00
22
OAPB
x y S
-=
=.
14.()()()11tan tan 172tan tan 0111tan tan 3127a αββααβααβ⎛⎫
--- ⎪
--⎝⎭⎡⎤=--===>⎣⎦+-⎛⎫⎛⎫+-- ⎪⎪
⎝⎭⎝⎭
，且,22ππβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，02
π
β∴<<
.又,22ππα⎛⎫
∈-
⎪⎝⎭
，2ππαβ∴-<-<，()1tan 02αβ-=-<，02παβ∴-<-<，
20παβ∴-<-<.()()()()11
tan tan 23tan 2tan 1111tan tan 123
αββαβαββαββ----⎡⎤-=--===-⎣⎦+-⎛⎫+-⨯ ⎪⎝⎭，
24
π
αβ∴-=-
.
四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）
解：（1）当2a =时，()2
ln 1f x x x =++，()1
2f x x x
'=
+，……（2分） 故()13k f '==.
又()12f =，……（4分）
所以所求切线方程为：()231y x -=-，即310x y --=.……（6分）
（2）当2a =-时，()()22
11120ax x f x ax x x x x
+-'=+==>.……（8分）
令()02
f x x '=⇒=±（舍负），……（10分） 则
()f x ∴的增区间为0,2⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
，减区间为2⎛⎫+∞
⎪ ⎪⎝⎭.……（13分） 16.（本小题满分15分）
（1）证明：如图，连接AC 交BD 于O ，取线段SC 的中点E ，取线段EC 的中点F ，连接AE ，OF . ……（3分）
在正方形ABCD 中，2AC SA AC AE SC =⇒=⇒⊥， 又AE OF OF SC ⇒⊥∥.……（5分）
SO ⊥平面ABCD 于O SO BD ⇒⊥.
又AC BD ⊥，SO AC O BD =⇒⊥平面SAC BD SC ⇒⊥.……（7分）
又FO
BD O =，
SC ∴⊥平面BDF ，故平面BDF 即为所求平面α.……（9分）
（2）解：建系如图，(S ，()0,1,0C ，
由（1）可知(0,1,SC =，()0,0,1n =分别为平面α，平面ABCD 的法向量.……（11分） 设平面α与底面ABCD 所成的锐二面角为β，
则3cos 2SC n SC n
β⋅=
=
0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，（14分）
故6
π
β=
.……（15分）
17.（本小题满分15分）
解：（1）若m =
()()()x f x k f x k =++-对于定义域内的任意实数x 成立，
()()cos cos x x k x k =++-对于定义域内的任意实数x 成立，……（2分）
即
)
2cos cos 0k x =对任意的实数x 均成立，故()cos 224
k k n n π
π=
⇒=±∈Z ，……（5分）
故存在()24
k n n π
π=±
∈Z ，使得()cos f x x =为“可平衡”函数.……（6分）
（2）假设存在实数m ，()0k m ≠，使得对于定义域内的任意实数x ，均有()()()m f x f x k f x k ⋅=++-成立，
则()()()()2
2
2
1cos 21cos 21cos 2sin sin sin 222
x k x k x m x x k x k m -+---=++-⇒=+，
()1cos 222cos 2cos 2m x x k ∴-=-.（9分）
,2m π⎛⎫ ⎪
⎝⎭
为函数()2sin 04f x x x π⎛⎫=< ⎪⎝⎭…的“平衡”数对， 222
222cos 2cos 2cos 22sin 1cos 2sin sin x x x
m x x x
π--∴===-.……（11分） 令2
1sin 02t x t ⎛⎫=< ⎪⎝⎭
…
，
2222t m t t -∴=
=-在10,2⎛⎤
⎥⎝⎦上单调递减，……（13分） 故当12t =
，即21sin 24
x x π
=⇒=时，m 取最小值.……（15分） 18.（本小题满分17分） 解：（1
）依题意，2
c e a =
=
，且222a b c =+
，所以a =，b c =.……（3分） 又椭圆E
：过点(，所以24c =，
所以椭圆的方程为22
184
x y +=.……（5分）
（2）当直线AB 不垂直于坐标轴时，设直线AB 的方程为()20x my m =+≠，()11,A x y ，()22,B x y ， 由CD AB ⊥，得直线CD 的方程为1
2x y m
=-
+，……（6分） 由22
2,28,
x my x y =+⎧⎨
+=⎩消去x 得：()22
2440m y my ++-=，……（8分） 则232320m ∆=+>，12242m y y m -+=
+，故()1212
28
42
x x m y y m +=++=+， 于是224
2,22m M m m -⎛⎫ ⎪++⎝⎭，由1m -代替m ，得22242,1212m m N m m ⎛⎫ ⎪++⎝⎭，……（10分） 当22244212m m m =++，即2
1m =时，直线4:3MN x =，过点4,03K ⎛⎫ ⎪⎝⎭
；……（12分）
当2
2244212m m m ≠++，即21m ≠时，直线MN 的斜率为()
2222
222231224421
122
m m
m m m m m m m --++=--
++，……（14分） 直线()
222234:2221m m MN y x m m m -⎛⎫
-
=- ⎪++-⎝⎭
，
令0y =，()()()
22
2
2
2
41
4484
233232
m m x m m
m
-+=+==+++， 因此直线MN 恒过点4,03K ⎛⎫
⎪⎝⎭
.……（16分） 当直线AB ，CD 之一垂直于x 轴，另一条必垂直于y 轴，直线MN 为x 轴，过点4,03K ⎛⎫
⎪⎝⎭
，
所以直线MN 恒过点4,03K ⎛⎫
⎪⎝⎭
.……（17分） 19.（本小题满分17分）
解：（1）根据题意，该同学投篮次数为4次时结束比赛，即投篮的前三次中只有一次投中，第四次必定投中，……（2分）
所以投篮次数为4次时结束比赛的概率为2
13
1214C 33327
⎛⎫⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭.（4分） （2）依题意，随机变量()2X X …
的分布列如下表，
……（9分）
（3）由（2）得：2222
22
11
123111212121C C C 33333333
n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
+⨯⨯+⨯⨯+
+⨯⨯> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎝⎭
， ……（11分）
化简得()2
2
12221123193333n n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫
+⨯+⨯+
+-⨯>⎢⎥ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
⎢
⎥⎣⎦
， 即()2
2
22212313333n n -⎛⎫⎛⎫
+⨯+⨯+
+-⨯> ⎪ ⎪
⎝⎭
⎝⎭
.
记()22
2221231333n S n -⎛⎫
⎛⎫
=+⨯+⨯+
+-⨯ ⎪ ⎪
⎝⎭
⎝⎭
①，
则()2
3
1
22222123133333n S n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=⨯+⨯+⨯++-⨯ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭②，
由①-②，可得()2
2
1
122221133333n n S n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=+++
+-- ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭
，
即()1
1
21123123313
n n S n --⎛⎫- ⎪⎛⎫
⎝⎭=
-- ⎪
⎝⎭
-，解得()2
29243n S n -⎛⎫
=-+⨯ ⎪
⎝⎭
，
由此可得，()2
292433n n -⎛⎫
-+⨯> ⎪
⎝⎭，即()2
26243n n -⎛⎫
>+⨯ ⎪
⎝⎭
.……（14分）
设()()2
*
2242,3n n a n n n -⎛⎫
=+⨯∈ ⎪
⎝⎭
N …，
因为()()1
12
2262631362243n n n n n a n a n n -+-⎛⎫
+⨯ ⎪+⎝⎭==<+⎛⎫
+⨯ ⎪
⎝⎭
，可得数列{}n a 是递减数列.……（16分）
又322010633a =⨯=>，2
4216
12633a ⎛⎫=⨯=< ⎪⎝⎭
，
所以整数n 的最小值为4.……（17分）。