2021艺体生高考数学一轮复习 专题24 双曲线以及抛物线(解析版)

程为 x＝8. 3
例 3、(2018 苏州期末） 在平面直角坐标系 xoy 中，抛物线 y2＝－8x 的焦点坐标为________．
【答案】. (－2，0) 【解析】因为 2p＝8，得 p＝4，所以p＝2.焦点坐标为(－2，0)．
2
变式 1、(2017 南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调）. 在平面直角坐标系 xoy 中，已知抛物线
a
a2＋b2 c
变式 2、(2019 南京、盐城二模）在平面直角坐标系 xoy 中，已知点 A 是抛物线 y2＝4x 与双曲线x42－yb22＝1(b>0)
的一个交点．若抛物线的焦点为 F，且 FA＝5，则双曲线的渐近线方程为________．
【答案】y＝±2 3x 3
【解析】 由抛物线 y2＝4x 得其焦点 F(1，0)，又 FA＝5，得 A(4，±4)，又点 A 在双曲线x42－yb22＝1 (b>0)
1，3 2
.
b2＋a2
a2
例 4、（2017 年江苏卷） 在平面直角坐标系 xoy 中，双曲线x2－y2＝1 的右准线与它的两条渐近线分别交于
3
点 P，Q，其焦点是 F1，F2，则四边形 F1PF2Q 的面积是________．
答案：2 3
思路分析 四边形 F1PF2Q 关于 x 轴对称，其面积 S＝2S△PF1F2＝F1F2·|yP|.
m
取值集合为
3 2
.
例
2、（2019
年江苏卷）在平面直角坐标系
xOy 中，若双曲线 x2
y2 b2
1(b
0) 经过点（3，4)，则该双曲
线的渐近线方程是_____.
【答案】 y 2x .
【解析】由已知得
32
42 b2
1，
解得 b 2 或 b 2 ，
因为 b 0 ，所以 b 2 .
轴长
a、b、c 的关系
c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0)
通径：① 内弦：双曲线同一支上的两点连成的线段 外弦：双曲线两支上各取一点连成的线段
②通径：过双曲线焦点的内弦中长度的最小值，此时弦 PQ x 轴， PQ 2b2 a
焦半径公式：设双曲线上一点 P x0, y0 ，左右焦点分别为 F1, F2 ，则
n＝bm， C，D.不妨设点 B 的坐标为(m，n)，则
解得 m2＝ 2 ，而矩形 ABCD 的面积为 2m×2n＝4mn
m2＋n2＝2，
b2＋1
＝4bm2＝ 4b×2 ＝b，解得 b＝ 7. b2＋1
1、(2019 苏锡常镇调研）抛物线 y2＝4x 的焦点坐标为________．
1，3 【答案】 2
【解析】由圆 x2＋y2－6y＋5＝0，得圆的标准方程为 x2＋(y－3)2＝4，知圆心 C(0，3)，半径 r＝2.因为双曲
线
x2 a2
－
y2 b2
＝
1(a>0
，
b>0)
的
渐
近
线
bx±ay ＝ 0
与该圆没有公共点，则圆心到直线的距离应大于半径，即
|b×0±a×3|>2，即 3a>2c，即 e＝c<3，且 e>1，故双曲线离心率的取值范围是
因为 a 1，
所以双曲线的渐近线方程为 y 2x .
变式 1、(2018 南京学情调研） 在平面直角坐标系 xoy 中，双曲线 x2 －y2＝1 的焦点到其渐近线的距离为
16 9 ________．
【答案】 3
解法 1(直接法) 由题意，焦点坐标为(±5，0)，渐近线的方程为 3x±4y＝0，所以焦点到其渐近线的距离为 3.
y2＝4x 上一点 P 到焦点的距离为 3，则点 P 的横坐标是________．
【答案】. 2
【解析】 抛物线的焦点为 F(1,0)，准线方程为 x＝－1.设 P(x0，y0)，又抛物线上的点到焦点的距离与到准
线的距离相等，则 PF＝x0＋1＝3，所以 x0＝2.
变式 2、(2017 南京、盐城二模） 在平面直角坐标系 xoy 中，抛物线 y2＝6x 的焦点为 F，准线为 l，P 为抛
解法 2(秒杀法) 由小结论“在双曲线图像中，焦点到渐近线的距离为虚半轴长 b”知，b＝3.
结论推导过程为：设双曲线xa22－yb22＝1(a>0，b>0，a2＋b2＝c2，c>0)的焦点坐标为(±c，0)，渐近线的方程为 y
＝±bx，即 ay±bx＝0.则双曲线焦点到渐近线的距离为 d＝ |±bc| ＝bc＝b.
渐近线
性 准线
质
离心率
y＝±bx a
y＝±ax b
x＝±a2 c
y＝±a2 c
e＝c，e∈(1，＋∞)，其中 c＝ a2＋b2 a
线段 A1A2 叫做双曲线的实轴，它的长 A1A2＝2a；线段 B1B2 叫做双曲线的
实虚轴 虚轴，它的长 B1B2＝2b；a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半
2. 2
变式 2、(2018 南京、盐城、连云港二模） 在平面直角坐标系 xoy 中，已知双曲线 C：x2－yb22＝1 (b＞0) 的
两条渐近线与圆 O：x2＋y2＝2 的四个交点依次为 A，B，C，D.若矩形 ABCD 的面积为 b，则 b 的值为________．
【答案】 7
【解析】由题意，双曲线 C 的渐近线方程为 y＝±bx，如图所示，两条渐近线与圆 O 的四个交点为 A，B，
54
2
以抛物线的标准方程是 y2＝12x.
变式 1、(2019 南通、泰州、扬州一调） 在平面直角坐标系 xoy 中，已知抛物线 y2＝2px(p>0)的准线为 l，
直线 l 与双曲线x2－y2＝1 的两条渐近线分别交于 A，B 两点，AB＝ 6，则 p 的值为________． 4
【答案】 2 6
y＝±bx，又因为点(－ a
1，2)在某渐近线上，故 2＝－b×(－1)，即 b＝2a，又因为 c2＝a2＋b2，所以 c2＝5a2，故 e＝ 5. a
变式 4(2018 扬州期末） 在平面直角坐标系 xoy 中，若双曲线xa22－yb22＝1(a>0，b>0)的渐近线与圆 x2＋y2－6y
＋5＝0 没有交点，则双曲线离心率的取值范围是________．
【解析】抛物线的准线 l 方程为 x＝－p，双曲线的两条渐近线为 y＝±1x，令 x＝－p，则 y＝±p，所以 AB
2
2
2
4
＝p＝ 6，所以 p＝2 6，故答案为 2 6. 2
变式 2、(2016 镇江期末） 以抛物线 y2＝4x 的焦点为焦点，以直线 y＝±x 为渐近线的双曲线的标准方程为
________．
专题 24 双曲线以及抛物线
一、双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
ax22－by22＝1 (a>0，b>0)
图形
ay22－bx22＝1(a>0，b>0)
范围 对称性
x≥a 或 x≤－a，y∈R 对称轴：坐标轴 对称中心：原点
x∈R，y≤－a 或 y≥a
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
物线上一点，PA⊥l，A 为垂足．若直线 AF 的斜率 k＝－ 3，则线段 PF 的长为________． 【答案】 6 思路分析 由抛物线的定义知 PF＝PA. 因为 AF 与 x 轴正半轴所成角为 120°，所以△PAF 为正三角形．因为焦准距 p＝3，所以 PF＝AF＝2p＝6.
例 4、（2018 年江苏卷）. 在平面直角坐标系 中，若双曲线
解法 1 设点 P(x，± x2－1)(x≥1)，不妨以点 P(x， x2－1)为例，则点 P 到直线 x－y＋1＝0 的距离 d＝
|x－ x2－1＋1|，令 u＝x－ x2－1＝ 1 ，它在区间[1，＋∞)上单调递减，所以 u>0，且当 x→＋∞时，
2
x＋ x2－1
u→0，所以
d>
2，故 2
cmax＝
AB x1 x2 p （ AB AF BF ，再由焦半径公式即可得到）
例 1、(2019 无锡期末） 以双曲线x2－y2＝1 的右焦点为焦点的抛物线的标准方程是________． 54
【答案】 y2＝12x
【解析】双曲线x2－y2＝1 的右焦点为 F(3，0)，设抛物线的标准方程是 y2＝2px(p>0)，则p＝3，故 p＝6，所
双曲线的渐近线方程为x2－y2＝0，其中一条渐近线方程为 x－ 3y＝0.双曲线的右准线方程为 x＝a2，即 x＝3.
3
c
2
3， 3 所以 P 2 2 .又 F1F2＝2c＝4，所以 S＝2 3.
解后反思 本题用一般到特殊的思想方法可能更好．
双曲线的一条渐近线方程为 y＝bx，右准线方程为 x＝a2，所以|yP|＝ab，从而 S＝2ab.本题中，a＝ 3，b＝
22
变式 3、(2017 南京三模）在平面直角坐标系 xoy 中，双曲线2xm22－3ym2 ＝1 的焦距为 6，则所有满足条件的实
数 m 构成的集合是 ▲ ．
【答案】．{3} 2
【解析】 由题意可得： m 0 .又因为双曲线的焦距为 6，所以 2m2 3m 9
解得
m
3
（舍）或
m
3 2
，故实数
2
2
2
2
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
开口方向
向右
向左
向上
向下
焦半径公式：设抛物线 y2
2 px p 0 的焦点为 F ， A x, y ，则
AF
x
p
2
焦点弦长：设过抛物线 y2 2 px p 0 焦点的直线与抛物线交于 A x1, y1 , B x2, y2 ，则
．
4
【答案】 5 ， 2
【解析】因为 a2 4 ， b2 1 ，所以 c2 a2 b2 5 ，故离心率为 e c 5 . a2
变式 2、(2019 南京、盐城一模） 若双曲线x2－y2＝1 的离心率为 2，则实数 m 的值为________． 2m
【答案】 6
【解析】由题意，a2＝2，b2＝m，e＝c＝2，即 c2＝(2a)2＝4a2＝8＝a2＋b2＝2＋m，所以 m＝6. a
a
c
c
1.
变式 1、（2015 年江苏卷） 在平面直角坐标系 xoy 中，P 为双曲线 x2－y2＝1 右支上的一个动点．若点 P 到
直线 x－y＋1＝0 的距离大于 c 恒成立，则实数 c 的最大值为________． 答案： 2
2 思路分析 1 设出点 P 的坐标，求出点 P 到直线的距离 d，从而将问题转化为求距离 d 的取值范围．
x2 y2 【答案】 1 － 1 ＝1
22
【解析】 由题意设双曲线的标准方程为ax22－by22＝1，y2＝4x 的焦点为(1,0)，即 c＝1，则双曲线的焦点为(1,0)；
y＝±x
为双曲线的渐近线，则b＝1，又 a
a2＋b2＝c2，所以
a2＝12，b2＝12，故双曲线的标准方程为x12－y12＝1.
① PF1 a ex0 , PF2 a ex0 （可记为“左加右减”）
② 由焦半径公式可得：双曲线上距离焦点最近的点为双曲线的顶点，距离为 c a
焦点三角形面积：设双曲线上一点 P
x0, y0
S ，则 PF1F2
b2 cot 2
（其中
PF1F2 ）
二、抛物线的标准方程与几何性质
标准
y2＝2p x(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
方程
p 的几何意义：焦点 F 到准线 l 的距离
图形
顶点
O(0,0)
对称轴 焦点
离心率 准线方程
范围
y＝0
x＝0
p，0 F2
－p，0 F2
0，p F2
0，－p
F
2
e＝1
x＝－p
x＝p
y＝－p
y＝p
的右焦点 到一条渐近
线的距离为 ，则其离心率的值是________． 【答案】2 【解析】分析：先确定双曲线的焦点到渐近线的距离，再根据条件求离心率.
详解：因为双曲线的焦点 到渐近线
即
的距离为
所以
，因此
点睛：双曲线的焦点到渐近线的距离为 b，焦点在渐近线上的射影到坐标原点的距离为 a.
变式 1、(2019 苏锡常镇调研）已知双曲线 C 的方程为 x2 y2 1，则其离心率为
变式
3、(2019
南京学情调研）在平面直角坐标系
xoy
中，若抛物线
y2＝4x
的准线与双曲线x2－y2＝1(a>0， a2 b2
b>0)的一条渐近线的交点的纵坐标为 2，则该双曲线的离心率是________．
【答案】 5
【解析】因为抛物线
y2＝4x
的准线方程为
x＝－1，双曲线xa22－yb22＝1
的渐近线方程为
上，所以146－1b62 ＝1，解得
b＝4
3
3，故双曲线的渐近线方程为y＝±bBiblioteka ，即 ay＝±23
3x.
变式 3、(2018 镇江期末） 已知双曲线xa22－y2＝1 的左焦点与抛物线 y2＝－12x 的焦点重合，则双曲线的右
准线方程为________．
【答案】.x＝8 3
【解析】因为抛物线的焦点为(－3，0)，即为双曲线的左焦点，所以 a2＝9－1＝8，所以双曲线的右准线方