高二数学期中试卷附答案解析

高二数学期中试卷附答案解析
考试范围：xxx ；考试时间：xxx 分钟；出题人：xxx 姓名：___________班级：___________考号：___________
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上
一、选择题
1.下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是 （ ） A ．
B ．
C ．
D ．
2.当一个圆与一个正方形的周长相等时，这个圆的面积与正方形的面积的大小关系为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
的大小关系不定
3.某高校大一新生中的6名同学打算参加学校组织的“演讲团”、“吉他协会”等五个社团，若每名同学必须参加且只能参加1个社团且每个社团至多两人参加，则这6个人中没有人参加“演讲团”的不同参加方法数为（ ） A ．3600 B ．
1080 C ．1440 D ．2520
4.双曲线
的焦距是( )
5.若数列
的前n 项的和
，那么这个数列的通项公式为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6.总体数为个，其中带有标记的为个，要从中抽取个入样，用随机抽样的方法进行抽取，则抽取的样本中带有标记的个数应为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
7.若（1－2x ）2011＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2011x 2011（x ∈R ），则＋＋…＋的值
为 （ ）
A ．2
B ．0
C ．－1
D ．－2 8.椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，且点的横
坐标为3，则
是
的（ ）
A ．7倍
B ．5倍
C ．4倍
D ．3倍 9.在各项都为正数的等比数列
中，首项为3，前3项和为21，则
（ ） A ．189 B ．84 C ．72 D ．33 10.若曲线在点
处的切线方程为
，则（ ） A ．
<0 B ．
=0 C ．
>0 D ．
不存在
11.如图，给出了样本容量均为7的两组样本数据的散点图，已知组样本数据的相关系数为，组数据的相关系数为，则（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
12.已知等差数列
中，
，则
的值是（ ）
A ．20
B ．22
C ．24
D ．－8 13. 函数 ，则函数值y 的取值范围是（ ） A ．{
} B ．
C ．{
} D ．
14.不等式的解集为，那么（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
15.函数
的单调递增区间是（ ）.
A ．
B ．
C ．(1,4)
D ．(0,3)
16.若圆
与圆
（
）的公共弦长为
，则实
数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．
D ．
17.某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品数量之比为3∶4∶7，现在用分层抽样的方法抽出容量为n 的样本，样本中A 型号产品有15件，那么样本容量n 为（ ） A.50 B.60
C.70
D.80
18.下列较合适用回归分析两变量相关关系的是（ ）
A．圆的面积与半径
B．人的身高与体重
C．色盲与性别
D．身高与学习成绩
19.是虚数单位，复数的共轭复数是
A．2＋ B．2－ C．－1＋2 D．－1－2
20.已知函数，则函数的零点个数是（）
A．4 B．5 C．6 D．7
二、填空题
21.设椭圆的离心率为，右焦点F（c,0），方程
的两个根分别为，，则点与圆的位置关系是_______．22.已知函数，函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是 . 23.水池的容积是，水池里的水龙头A 和B 的水流速度都是，它们一昼夜内随机开启，则水池不溢水的概率 .
24.
已知P为抛物线x2=4y上的动点，点P在x轴上的射影为M，点A的坐标是（2，0），则|PA|+|PM|的最小值为．
25.如图，在正方体中，点在线段上运动时，给出
下
列四个命题：
①三棱锥的体积不变；
②直线与平面所成角的大小不变；
③直线与直线所成角的大小不变；
④二面角的大小不变．
其中所有真命题的编号是．
26.某商品一件的成本为30元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出（200﹣x）件，当每件商品的定价为元时，利润最大．
27.设复数z满足z=3+4i（其中i为虚数单位），则z的模为_____．
28.已知则的最小值是___________
29.的条件。

30.给出以下四个命题:
①若函数的定义域为，则函数的定义域为；
②函数的单调递减区间是；
③已知集合，则映射中满足的映射共有3个；
④若,且,．其中正确的命题有______．（写出所有正确命题的序号）
三、解答题
31.已知函数.（1
）求函数的定义域；（2）若函数的最小值为-4，求实数的值.
32.已知函数f(x)＝log
4
(2x＋3－x2)．
(1)求f(x)的定义域；
(2) 求f(x)的单调区间．
33.已知椭圆的焦点,且过点
．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）当为何值时，直线与椭圆相交，并求此时相交弦的中点坐标．
34.（本题满分10分）
直线y=x-4与抛物线y2=4x交于A、B两点，F为抛物线的焦点，求△ABF 的面积。

35.（本题满分１２分）
如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，
（I）求证：平面BCD；
（II）求异面直线AB与CD所成角的余弦值；
（III）求点E到平面ACD的距离。

参考答案
1 .D
【解析】
试题分析：偶函数满足，所以排除，在不单调，所以排除，当时，在是单调增函数．
考点：函数的性质
2 .B
【解析】
试题分析：设周长为，则正方形的边长为，圆的半径为，则圆的面积为，正方形的面积为，所以圆的面积与正方形的面积的大小关系为.
考点：正方形与圆的周长与面积公式.
3 .C
【解析】由于每名同学必须参加且只能参加1个社团且每个社团至多两人参加，因此可以将问题看成是将6名同学分配到除“演讲团”外的四个社团或三个社团，可以分两类：
第一类：先将6人分成四组，分别为1人，1人，2人，2人，再分配到四个社团，不同的参加方法数为种，第二类：将6人平均分成三组，在分配到除“演讲团”外的四个社团中的任意三个社团，不同的参加方法数为，
所以由以上可知，不同的参加方法数共有1440种，故选择C.
4 .C
【解析】本题考查双曲线的性质
由双曲线的方程知，设双曲线的实半轴，虚半轴，半焦距分别为，则有，则
所以
所以此双曲线的焦距为
故正确答案为C
5 .D
【解析】,n>1时，,
所以.
6 .A
【解析】
试题分析:因随机抽样的特点是每个个体被抽到的机会都是均等的,故样本中带标记的个数应为,应选A.
考点：随机抽样的特点.
【易错点晴】随机抽样的过程及个体被抽到的概率是均等的知识和思想是中学数学统计中的重要内容和方法,也高考和各级各类考试的重要内容和考点.本题以总体中带有标记的个体抽样的计算为背景,考查的是对随机抽样方法及个体被抽取的概率均等的有关知识的理解和综合运用.解答本题时要充分利用题设中提供的信息及个体被抽取的概率均等的有关知识,从而算样本中带标记的个数应为,使得问题获解.
7 .C 【解析】
试题分析：令表达式（1－2x ）2011＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2011x 2011（x ∈R ）的x=0，则a 0=1，再令x=，则a 0＋a 1x ＋…＋a 2011x 2011=。

所有＋
＋…＋
=0-1=-1．
考点：二项式定理。

8 .A 【解析】
， ，
，则
是
的7倍，选 .
【点睛】本题涉及使用焦半径公式，圆锥曲线选、填题经常考查曲线的定义和焦半径公式，要注意曲线的焦点位置不同，焦半径公式不同，以免失误. 9 .B
【解析】设公比为则解得所以
故选B
10 .C 【解析】
试题分析：根据据题意，可知由于曲线在点处的切线方程为，利用直线的方程可知其斜率为3，则可知在该点处的导数值为正数，故>0 ，选C 考点：导数的几何意义
点评：主要是考查了导数求解切线方程的运用，属于基础题。

11 .A
【解析】由图可知，组的散点基本都在一条直线上，故组的相关系数大，且为正相关，故选. 12 .C
【解析】 试题分析：
考点：等差数列性质 13 .B
【解析】本题考查二次函数在给定区间上值域的求法，只需判断出函数在所给区间上的单调性即可。

由题意，所给二次函数开口向上，对称轴为直线，所以函数在区间上单调递减，上单调递增，故，选B。

【点评】二次函数的性质尤其是单调性是考试的高频考点，对于二次函数的单调性抓住两点一看开口方向，二看对称轴，务必掌握。

14 .A
【解析】因为不等式的解集为，则开口向下，且判别式小于零，可知得到选项，故选A
15 .B
【解析】本题考查函数单调递区间的确定及导数应用。

由
，单调递增区间是：。

16 .A
【解析】圆的圆心为(0,0)，半径r=2.圆的圆心为(−a,0),半径r=两个圆的公共弦的方程为：
解得：∴有，又a>0，
解得：a=1或−1(舍去)
故选A
点睛：相交的两圆的公共弦方程是两圆方程进行相减即可，求出两个圆的圆心和半径以及两个圆心的距离，利用两个圆的公共弦的方程和勾股定理即可求出a的值17 .C
【解析】
试题分析：由题意得，因为样本中型号产品有件，所以，解得，故选C.
考点：分层抽样的计算.
18 .B
【解析】看出所给的四对量之间的关系，圆的面积与半径两者之间是函
数关系，色盲与性别之间没有关系，身高与学习成绩之间也没有关系，
得到结论．
解答：解：∵圆的面积与半径两者之间是函数关系，
色盲与性别之间没有关系，身高与学习成绩之间也没有关系，
人的身高与体重是相关关系，
故选B．
19 .
【解析】
试题分析：,共轭复数为.
考点：复数的四则运算和共轭复数.
20 .A
【解析】
令t =f (x ),F (x )=0， 则f (t )−2t −=0，
分别作出y =f (x )和直线y =2x +，
由图象可得有两个交点,横坐标设为t 1,t 2， 则t 1=0,1<t 2<2， 即有f (x )=0有一根；
1<f (x )<2时,t 2=f (x )有3个不等实根， 综上可得F (x )=0的实根个数为4， 即函数F (x )=f [f (x )]−2f (x )−的零点个数是4. 本题选择A 选项. 21 .点P 在圆
内
【解析】
试题分析：由题意知，，
∴
，‘
∴点
在圆
内．
考点：椭圆的性质；方程的根与系数的关系
【方法点睛】圆的标准方程为（x －a ）2＋（y －b ）2＝r 2，圆心A （a ，b ），半径为r ．设所给点为M （x 0，y 0），则
22 .
【解析】
试题分析：当时，单调递增，此时即；当时，单调递减，此时
即；综上可知，当时，函数的值域为；因为，所以，所以，由于，
，，要存在，使得
成立，故有或，解得.
考点：1.分段函数的值域；2.三角函数的图像与性质.
23 .
【解析】
试题分析：设水龙头A开x小时，水龙头B开y小时，若水池不溢出水，则x+y≤20，
记“水池不溢出水”为事件M，则M所占区域面积为×20×20=200，整个
区域的面积为24×24=576，
由几何概型的概率公式，得P（M）=即水池不溢出水的概率为考点：几何概型
24 .
【解析】
试题分析：依题意可知，抛物线x2=4y的焦点F为（0，1），准线方程
为y=-1，只需直接考虑P到准线与P到A点距离之和最小即可，（因为x轴与准线间距离为定值1不会影响讨论结果），由于在抛物线中P到
准线的距离等于P到焦点F的距离，此时问题进一步转化为|PF|+|PA|距离之和最小即可，显然当P、A、F三点共线时|PF|+|PA|距离之和最小，为|FA|，由两点间距离公式得|FA|=，那么P到A的距离与P 到x轴距离之和的最小值为|FA|-1=
考点：抛物线的简单性质
25 .①③④
【解析】①:,平面,到平面的距离不变，
三棱锥的体积不变；②: 直线与平面所成角的大小显然
在变；③: 直线
平面, ,直线与直线所成角的大小不变; ④: 二面角也就是二面角,大小不变
26 .115．
【解析】
试题分析：本题是营销问题，基本等量关系：利润=每件利润×销售量，每件利润=每件售价﹣每件进价．再根据所列二次函数求最大值．
解：利润为S（x）=（x﹣30）（200﹣x）
=﹣x2+230x﹣6000，S′（x）=﹣2x+230，
由S′（x）=0得x=115，这时利润达到最大．
故答案为：115．
点评：本题考查了把实际问题转化为二次函数，再利用二次函数的性质进行实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
27 .5
【解析】略
28 .
【解析】略
29 .必要不充分
【解析】略
30 .③④
【解析】试题分析：因为的定义域为，由得，所以
的定义域为，故①错；由反比例函数的图象和性质知，的单调递减区间有两个，和，故②错；时，可取的值为，所以满足的映射共有个，故③正确；
，，即，
，故④正确，故答案为③④.
考点：1、函数的定义域及单调性；2、映射的概念及函数的解析式.
【方法点晴】本题通过对多个命题真假的判断考察函数的解析式、定义域、映射的概念、单调性以及数学化归思想，属于难题.该题型往往出现在在填空题最后两题，综合性较强，同学们往往因为某一点知识掌握不牢就导致本题“全盘皆输”，解答这类问题首先不能慌乱更不能因贪快而审题不清，其次先从最有把握的命题入手，最后集中力量攻坚最不好理解的命题.
31 .（1）；（2）
【解析】
试题分析：（1）利用对数函数的性质确定函数的定义域．（2）利用复合函数的单调性之间的关系去求值．
试题解析：（1）要使函数有意义，则有
所以函数的定义域为；
（2）函数可化为
，由，古实数的值为.
考点：复合函数的性质；对数函数的运算与性质
32 .(1) {x|－1＜x＜3}
(2) 该函数的单调递增区间为(－1，1]，单调递减区间为[1，3)
【解析】本题主要考查了对数函数与二次函数复合而成的复合函数的定义域、单调性及函数的值域的求解，求解单调区间时不要漏掉对函数定义域的考虑．
（1）由题意可得2x+3-x2＞0，解不等式可求函数f（x）的定义域
（2）要求函数的单调性及单调区间，根据复合函数单调性，只要求解t=2x+3-x2在定义域内的单调区间即可
解 (1)令u＝2x＋3－x2，则u＞0，可得函数定义域是：{x|－1＜x＜3}．…5分
(2) y＝log
4
u．由于u＝2x＋3－x2＝－(x－1)2＋4.
再考虑定义域可知，其增区间是(－1，1]，减区间是[1，3)．……7分
又y＝log
4
u为(0，＋∞)上的增函数，……8分
故该函数的单调递增区间为(－1，1]，单调递减区间为[1，3)． (10)
分33 .（Ⅰ）；（Ⅱ），中点坐标为．【解析】
试题分析：（Ⅰ）根据椭圆定义及两点间距离公式可列
，所以，又根据焦点坐标可知，所以，所以椭圆方程为；（Ⅱ）联立，消去未知数得到关于的一元二次方程为：
，设直线与椭圆交于两点，若直线与椭圆相交则应满足，解得，则，又根据方程可有，所以中点横坐标
，代入直线方程即得到纵坐标．
试题解析：（Ⅰ）由椭圆的定义可知,， 2分
又，则，因此椭圆的标准方程为．4分
（Ⅱ）联立
有
．6分
则
，
8分
设交点，
中点为
则9分
所以
，，
即中点坐标为．12分
考点：1．椭圆的标准方程；2．直线与椭圆的位置关系． 34 .解：设A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)， 直线交x 轴于C(4,0)点，知F(1,0)， …………2分 解 得 y 2-4y-16-0 ……………… 4分
得y=2, |y 2-y 1|=4
……………… 8分
S △ABF =
=×3×4
＝6
……… 10分
【解析】略
35 .（I ）证明：见解析；（II ）异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为
；
（III ）点E 到平面ACD 的距离为
【解析】本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成的角以及点到平面的距离基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力．
（I ）欲证AO ⊥平面BCD ，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证AO 与平面BCD 内两相交直线垂直，而CO ⊥BD ，AO ⊥OC ，BD∩OC=O ，满足定理；
（II ）以O 为原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴，OA 为z 轴，建立空间直角坐标系，异面直线AB 与CD 的向量坐标，求出两向量的夹角即可； （III ）求出平面ACD 的法向量，点E 到平面ACD 的距离转化成向量EC 在平面ACD 法向量上的投影即可． （I ）证明：连结OC
在
中，由已知可得
而
即
平面
（II）解：取AC的中点M，连结OM、ME、OE，由E为BC的中点知直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角
在中，
是直角斜边AC上的中线，
异面直线AB与CD所成角的余弦值为
（III）解：设点E到平面ACD的距离为
在中，
而
点E到平面ACD的距离为。