人教A版高中数学必修一教学课件：模块复习 第3课 基本初等函数(Ⅰ)

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模块复习课
第三课
基本初等函数(Ⅰ)
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1．根式的性质
0 n∈N*)； (1) 0＝_____( a n∈N*)； (2)( a)n＝_____( a n 为奇数，n∈N*)； (3) an＝_____(
n
aa≥0， n a ＝|a|＝ －aa＜0
3．已知定义在实数集 R 上的偶函数 f(x)在区间[0，＋∞) 上是单调增函数． (1)求证：函数 f(x)在区间(－∞，0]上是单调减函数． (2)若 f(1)＜f(lg x)，求 x 的取值范围．
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(1)证明：设 x1＜x2≤0，则－x1＞－x2≥0. 因为 f(x)在区间[0，＋∞)上是单调增函数， 所以 f(－x1)＞f(－x2)． 又因为 f(x)是偶函数， 所以 f(－x1)＝f(x1)，f(－x2)＝f(x2)，f(x1)＞f(x2)． 所以函数 f(x)在区间(－∞，0]上是单调减函数．
解：(1)函数 y＝f(x)的图象经过点 P(3,4)， 所以 a3 1＝4，即 a2＝4，又 a＞0，所以 a＝2.
－
(2)当 a＞1
时，flg 时，flg
1 ＞f(－2.1)； 100 1 ＜f(－2.1)， 100
当 0＜a＜1
比较过程如下： 因为
flg
(1)已知 a＝2 的大小关系为( A．c＜b＜a C．b＜a＜c ) B．c＜a＜b D．b＜c＜a
1.2
1－ ，b＝2 0.8，c＝2log52，则
a，b，c
• 解析：a＝21.2＞2，b＝20.8＞1，c＝log54＜ log55＝1.∴a＞b＞c.故选A. • 答案：A
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4
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1 解： (1) 原式＝ (2 3 1 3 4 ×(2 )
1 ×3 2
1 )6 ＋ (2 2
1 ×2 4
4 )3
49 1 － 4× 16 2
1 －24
－1
2 3
＝2 ×3
2 ＋23
1 ×23
1 3 7 －4×4－24 ×24 －1
＝108＋2－7－2－1＝100. (2)原式＝log3.13.1 ＋lg 10 ＋ln e 7 7 ＝2＋(－3)＋3＋1＝3.
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类型二 指数函数、对数函数、幂函数的图象问题
• 已知函数f(x)＝loga(2x＋b－1)(a＞0， a≠1)的图象如图所示，则a、b满足的关系是 ( ) • A．0＜a－1＜b＜1 • B．0＜b＜a－1＜1 • C．0＜b－1＜a＜1 • D．0＜a－1＜b－1＜1
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类型一 指数与对数的运算
计算 (1)( 2 × 3 ) ＋ ( 2 005)0. 1 2 3 (2)log3.19.61＋lg 1 000＋ln(e · e)＋log3(log327) 3
6
4 2)3
16 － 1 － 4 49 2
－ 2 ×80.25 － ( － 2
• (4)换元法：通过变量代换转化为能求值域 的函数，特别注意新变量的范围． • (5)单调性：特别适合于指、对数函数的复 合函数． • 提醒：在求有关指数型函数、对数型函数 的定义域时要特别注意底数要大于零且不等于1.
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2．已知函数 f(x)＝ax＋loga(x－1)(其中 a＞0 且 a≠1)． 1 (1)若 a＝4，求 f(x)在 x∈(1,2]上的最小值． (2)若 f(x)在 x∈[2,3]上的最小值为 4，求 a 的值．
n
n
n
(n 为偶数，n∈N*)．
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2．分数指数幂 (1)a ＝ am(a＞0，m、n∈N*，且 n＞1)． (2)a
－
m n
n
m n
＝
1 a
m n
＝
1 n am
(a＞0，m、n∈N*，且 n＞1)．
0 ，0 的负分数指数幂没有意 (3)0 的正分数指数幂等于_____
义．
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函数值域(最值)的求法 (1)直观法：图象在 y 轴上的“投影”的范围就是值域的范 围． (2)配方法：适合二次函数． 1－x2 1－y 2 (3)反解法： 有界量用 y 来表示． 如 y＝ 中， 由x ＝ 1＋x2 1＋y ≥0 可求 y 的范围，可得值域．
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－ －3.1
.
即
flg
1 ＜f(－2.1)． 100
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分类讨论的思想在指数函数和对数函数中的应用 (1)原理： 底数大于 1 时， 指数函数与对数函数均是增函数； 底数大于 0 小于 1 时，指数函数与对数函数均是减函数． (2)步骤：
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• 5．指数函数的图象与底数的关系 • (1)底数的取值与图象“升降”的关系： a＞1 0＜a＜1 • 当_______ 时，图象“上升”；当 __________时，图象“下降”． • (2)底数的大小决定图象位置的高低： • 在y轴右侧“底大图高”；在y轴左侧“底大 a＞b＞1＞c＞0 图低”，如图所示有_______________.
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• ②当1＜m＜10时，0＜lg m＜1，由1.9＜2.1 得，(lg m)1.9＞(lg m)2.1； • 当m＝10时，lg m＝1，故(lg m)1.9＝(lg m)2.1. • 所以(lg m)1.9≥(lg m)2.1.
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• 【互动探究】 若(2)中的②将“1＜m≤10” 改为“m＞10”，又如何比较这两数的大小？ • 解：当m＞10时，lg m＞1，由1.9＜2.1得， (lg m)1.9＜(lg m)2.1.
2
－3
1 2＋3
＋log3(log333)
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• 1. 指数与对数的运算应遵循的原则 • (1)指数的运算：注意化简顺序，一般负指 数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运 算．另外，若出现分式，则要注意对分子、分 母因式分解以达到约分的目的． • (2)对数式的运算：注意公式应用过程中范 围的变化，前后要等价，一般本着真数化简的 原则进行． • 2．底数相同的对数式化简的两种基本方法
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• • • •
数(式)的大小比较常用的方法及技巧
(1)常用方法：作差法(作商法)、单调性法、 (2)常用的技巧 ①当需要比较大小的两个实数均是指数幂
图象法、中间量法．
或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数 函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单
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类型五
分类讨论的思想 已知函数 f(x)＝ax－1(a＞0 且 a≠1)，
(1)若函数 y＝f(x)的图象经过点 P(3,4)，求 a 的值． (2)当 a 变化时， 比较 较过程．
flg
1 与 f(－2.1)的大小， 并写出比 100
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类型四 函数的定义域与值域
• • • •
已知函数f(x)＝2ax＋2(a为常数)． (1)求函数f(x)的定义域． (2)若a＝1，x∈(1,2]，求函数f(x)的值域． (3)若f(x)为减函数，求实数a的取值范围．
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• 解：(1)函数y＝2ax＋2对任意实数都有意义， 所以定义域为实数集R. • (2)因为a＝1，所以f(x)＝2x＋2，易知此时f(x) 为增函数． • 又因为1＜x≤2，所以f(1)＜f(x)≤f(2)，即8＜ f(x)≤16. • 所以函数f(x)的值域为(8,16]． • (3)因为f(x)为减函数，而y＝2u是增函数，所 以函数u＝ax＋2必须为减函数，所以得a＜0.
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• 6．对数函数的图象与底数的关系 • (1)对于底数都大于1的对数函数，底数越大， 函数图象向右的方向越接近x轴；对于底数都大 于0而小于1的对数函数，底数越大，函数图象 向右的方向越远离x轴． a＞b＞y 1＞ c1 ＞ d＞0 • (2)作直线 ＝ 与各图象交点的横坐标即各 函数的底数的大小，如图，_______________.
• 解析：令g(x)＝2x＋b－1，这是一个增函数， • 而由图象可知函数y＝logag(x)是单调递增的， 所以必有a＞1. • 又由图象知函数图象与y轴交点的纵坐标介 于－1和0之间， • 即－1＜f(0)＜0，所以－1＜logab＜0， • 故a－1＜b＜1，因此0＜a－1＜b＜1.故选A. • 答案：A
• (2)比较下列各组数的大小： • ①1.70.2，log2.10.9与0.82.1； • ②(lg m)1.9与(lg m)2.1(1＜m≤10)． • 解：①因为函数y＝log2.1x在(0，＋∞)上是 增函数且0.9＜1，所以log2.10.9＜log2.11＝0. • 因为函数y＝1.7x在R上是增函数且0.2＞0， 所以1.70.2＞1.70＝1. • 因为函数y＝0.8x在R上是减函数且2.1＞0， • 所以0＜0.82.1＜0.80＝1. • 综上，log2.10.9＜0.82.1＜1.70.2.
1 解：(1)因为 a＝4＜1， 所以 f(x)＝ax＋loga(x－1)在 x∈(1,2]上为减函数， 所以 f(x)的最小值为
1 1 1 2 f(2)＝ 4 ＋log4(2－1)＝16.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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• (2)如果0＜a＜1，则f(x)＝ax＋loga(x－1)在 x∈[2,3]上为减函数， • 所以f(x)在x∈[2,3]上的最小值为f(3)＝a3＋ loga2＝4， • 又a3＜1，loga2＜0， • 所以f(3)＝4无解． • 如果a＞1，则f(x)＝ax＋loga(x－1)在x∈[2,3] 上为增函数， • 所以f(x)在x∈[2,3]上的最小值为f(2)＝a2＋ loga1＝4，所以a＝2.
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•
函数图象的画法
应用范围
画法
画法技巧 利用一次函数、反比例函 数、二次函数、指数函数、 基本 基本初等 对数函数、幂函数的有关 函数 知识，画出特殊点(线)，直 函数 法 接根据函数的图象特征作 出图象 弄清所给函数与基本函数 与基本初
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1．函数 f(x)＝2|log2x|的图象大致是(
3．对数的运算性质 已知 a＞0，b＞0，a≠1，M＞0，N＞0，m≠0.
logaM＋logaN ； (1)loga(M· N)＝_______________
M log M－log N a a (2)loga N ＝_______________ ； n (3)logamb ＝mlogab.
n
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4．换底公式及常用结论 已知 a＞0，a≠1，b＞0，b≠1，N＞0，m＞0，m≠1，c ＞0，c≠1. logmN (1)logaN＝ log a . m
n 1 11 log b logab an (2)log a＝logab＝________ ＝_____. b
N (3)alogaN＝_____. 1 ，logab· 1 (4)logab· logba＝_____ logbc· logca＝_____.
1 ＝f(－2)＝a－3，f(－2.1)＝a－3.1， 100
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当 a＞1 时，y＝ax 在(－∞，＋∞)上为增函数， 因为－3＞－3.1，所以 a－3＞a－3.1. 即
flg
1 ＞f(－2.1)； 100
当 0＜a＜1 时，y＝ax 在(－∞，＋∞)上为减函数， 因为－3＞－3.1，所以 a 3＜a
)
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解析：当 log2x≥0，即 x≥1 时，f(x)＝2log2x＝x；当 log2x＜ 0，即 0＜x＜1 时，f(x)＝2
－log2x
＝x 1.
－
x，x≥1， ∴f(x)＝ －1 x ，0＜x＜1.
故选 C.
答案：C
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类型三 数(式)的大小比较