与名师对话2019届高三数学(文)一轮复习：选修4-4 坐标系与参数方程 课时跟踪训练61 Word版含解析

课时跟踪训练(六十一)
[基础巩固]
1．(2016·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为
⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝3cos α，y ＝sin α，
(α为参数)．以坐标原点为极点,以x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫θ＋π4＝2 2.
(1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；
(2)设点P 在C 1上,点Q 在C 2上,求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标．
[解] (1)C 1的普通方程为x 23＋y 2
＝1.C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.
(2)由题意,可设点P 的坐标为(3cos α,sin α)．因为C 2是直线,所以|PQ |的最小值即为P 到C 2的距离d (α)的最小值,d (α)＝|3cos α＋sin α－4|2
＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫α＋π3－2.
∴当sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫α＋π3＝1时,d 的最小值为2,此时α＝π
6＋2k π,k ∈Z ,∴P 点坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫
32，12.
2．(2016·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为
⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t
(t 为参数,a >0)．在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2：ρ＝4cos θ.
(1)说明C 1是哪一种曲线,并将C 1的方程化为极坐标方程； (2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0,其中α0满足tan α0＝2,若曲线C 1
与C 2的公共点都在C 3上,求a .
[解] (1)消去参数t 得到C 1的普通方程x 2＋(y －1)2＝a 2,C 1是以(0,1)为圆心,a 为半径的圆．
将x ＝ρcos θ,y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中,得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0.
(2)曲线
C 1,C 2的公共点的极坐标满足方程组
⎩⎨
⎧
ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ.
若ρ≠0,由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0, 由已知tan θ＝2,可得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0, 从而1－a 2＝0,解得a ＝－1(舍去),a ＝1. a ＝1时,极点也为C 1,C 2的公共点,在C 3上, 所以a ＝1.
3．(2018·湖北七市联考)在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方
程为⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2＋t cos α，y ＝3＋t sin α
(t 是参数),以原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建
立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为ρ＝8cos ⎝
⎛
⎭
⎪⎫θ－π3.
(1)求曲线C 2的直角坐标方程,并指出其表示何种曲线； (2)若曲线C 1与曲线C 2交于A ,B 两点,求|AB |的最大值和最小值．
[解] (1)对于曲线C 2有ρ＝8cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3,即ρ2＝4ρcos θ＋43ρsin θ,因此曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－4x －43y ＝0,其表示一个圆．
(2)联立曲线C 1与曲线C 2的方程可得t 2－23sin α·t －13＝0,|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝
(23sin α)2－4×(－13)＝
12sin 2α＋52,
因此|AB |的最小值为213,最大值为8.
4．(2017·东北三省四市二模)已知在平面直角坐标系xOy 中,以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系．曲线C 1的极坐标方程为
ρ＝4cos θ,直线l 的参数方程是⎩⎨⎧
x ＝1－255t ，
y ＝1＋5
5t
(t 为参数)．
(1)求曲线C 1的直角坐标方程及直线l 的普通方程；
(2)若曲线C 2的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝2cos α，
y ＝sin α(α为参数),曲线C 1上的
点P 的极角为π
4,Q 为曲线C 2上的动点,求PQ 的中点M 到直线l 的距离的最大值．
[解] (1)由ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ,
又x 2＋y 2＝ρ2,x ＝ρcos θ,y ＝ρsin θ,所以曲线C 1的直角坐标方程为x 2＋y 2－4x ＝0,
由直线l 的参数方程消去参数t 得直线l 的普通方程为x ＋2y －3＝0.
(2)因为点P 的极坐标为⎝ ⎛
⎭⎪⎫22，π4,直角坐标为(2,2), 点Q 的直角坐标为(2cos α,sin α), 所以M ⎝
⎛⎭
⎪⎫
1＋cos α，1＋12sin α,
点M 到直线l 的距离d ＝|1＋cos α＋2＋sin α－3|5＝105⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫α＋π4,
当α＋π4＝π2＋k π(k ∈Z ),即α＝π
4＋k π(k ∈Z )时,点M 到直线l 的距离d 的最大值为10
5.
5．(2017·西宁统一测试)已知曲线C ：x 24＋y 2
9＝1,直线l ：
⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数)． (1)写出曲线C 的参数方程,直线l 的普通方程；
(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线,交l 于点A ,求|P A |的最大值与最小值．
[解]
(1)曲线C 的参数方程为⎩⎨
⎧
x ＝2cos θ，
y ＝3sin θ
(θ为参数)．
直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.
(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ,3sin θ)到l 的距离为d ＝5
5|4cos θ＋3sin θ－6|,
则|P A |＝d sin30°＝255|5sin(θ＋α)－6|,其中α为锐角,且tan α＝4
3.
当sin(θ＋α)＝－1时,|P A |取得最大值,最大值为225
5. 当sin(θ＋α)＝1时,|P A |取得最小值,最小值为25
5.
[能力提升]
6．(2017·陕西西安地区高三八校联考)在平面直角坐标系xOy 中,以坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ,θ∈[0,2π]．
(1)求曲线C 的直角坐标方程；
(2)在曲线C 上求一点D ,使它到直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝3t ＋3，y ＝－3t ＋2
(t 为参
数)的距离最短,并求出点D 的直角坐标．
[解] (1)由ρ＝2sin θ,θ∈[0,2π],可得ρ2＝2ρsin θ. 因为ρ2＝x 2＋y 2,ρsin θ＝y ,
所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0(或x 2＋(y －1)2＝1)．
(2)因为直线l 的参数方程为⎩⎨
⎧
x ＝3t ＋3，
y ＝－3t ＋2
(t 为参数),
消去t 得直线l 的普通方程为y ＝－3x ＋5.
因为曲线C ：x 2＋(y －1)2＝1是以G (0,1)为圆心、1为半径的圆,(易知C 、l 相离)
设点D (x 0,y 0),且点D 到直线l ：y ＝－3x ＋5的距离最短, 所以曲线C 在点D 处的切线与直线l ：y ＝－3x ＋5平行．
即直线GD 与l 的斜率的乘积等于－1,即x 0
×(－3)＝－1,
又x 20＋(y 0－1)2
＝1,
可得x 0＝－32(舍去)或x 0＝32,所以y 0＝32,
即点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫
32
，32.
7．(2017·湖南五市十校高三联考)在直角坐标系xOy 中,设倾斜角
为α的直线l 的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝3＋t cos α，
y ＝t sin α(t 为参数),直线l 与曲线
C ：⎩⎨⎧
x ＝1cos θ
，
y ＝tan θ
(θ为参数)相交于不同的两点A ,B .
(1)若α＝π
3,求线段AB 的中点的直角坐标；
(2)若直线l 的斜率为2,且过已知点P (3,0),求|P A |·|PB |的值．
[解]
(1)由曲线C ：⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝1cos θ，
y ＝tan θ
(θ为参数),可得曲线C 的普通
方程是x 2－y 2＝1.
当α＝π
3时,直线l 的参数方程为
⎩⎨⎧
x ＝3＋12t ，
y ＝32t
(t 为参数),
代入曲线C 的普通方程,得t 2－6t －16＝0,设A ,B 两点对应的参数分别为t 1,t 2,
则t 1＋t 2＝6,所以线段AB 的中点对应的t ＝2＝3,
故线段AB 的中点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫
92
，
332. (2)将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程,化简得 (cos 2α－sin 2α)t 2＋6t cos α＋8＝0,
则|P A |·|PB |＝|t 1t 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎪8
cos 2α－sin 2α＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪8(1＋tan 2α)1－tan 2α, 由已知得tan α＝2,故|P A |·|PB |＝403.
8．在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 1：⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数),
其中a >b >0.以O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2：ρ＝2cos θ,射线l ：θ＝α(ρ≥0)．若射线l 与曲线C 1交于点P ,射线l 与曲线C 2交于点Q ,当α＝0时,|PQ |＝1；当α＝π
2时,|OP |＝ 3.
(1)求曲线C 1的普通方程；
(2)设直线l ′：⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－t ，y ＝3t
(t 为参数,t ≠0)与曲线C 2交于点R ,若α＝π
3,求△OPR 的面积．
[解]
(1)因为曲线C 1的参数方程为⎩⎨
⎧
x ＝a cos φ，
y ＝b sin φ
(φ为参数),且
a >
b >0,所以曲线C 1的普通方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1,而其极坐标方程为ρ2cos 2θ
a 2
＋ρ2sin 2θb 2＝1.
将θ＝0(ρ≥0)代入ρ2cos 2θa 2＋ρ2sin 2θ
b 2＝1,得ρ＝a ,即点P 的极坐标为(a,0),
将θ＝0(ρ≥0)代入ρ＝2cos θ,得ρ＝2,即点Q 的坐标为(2,0)． 因为|PQ |＝1,所以|PQ |＝|a －2|＝1,所以a ＝1或a ＝3.
将θ＝π2(ρ≥0)代入ρ2cos 2θa 2＋ρ2sin 2θ
b 2＝1,得ρ＝b ,即点P 的极坐标为⎝
⎛
⎭⎪⎫b ，π2,
因为|OP |＝3,所以b ＝3,因为a >b >0,所以a ＝3, 所以曲线C 1的普通方程为x 29＋y 2
3＝1.
(2)因为直线l ′的参数方程为⎩⎨
⎧
x ＝－t ，
y ＝3t
(t 为参数,t ≠0),所以直
线l ′的普通方程为y ＝－3x (x ≠0),而其极坐标方程为θ＝－π
3(ρ∈R ,ρ≠0),
所以将直线l ′的方程θ＝－π
3代入曲线C 2的方程ρ＝2cos θ,得ρ＝1,即|OR |＝1.
因为将射线l 的方程θ＝π3(ρ≥0)代入曲线C 1的方程ρ2cos 2θ
9＋ρ2sin 2θ3＝1,得ρ＝3105,即|OP |＝3105,所以S △OPR ＝1
2|OP ||OR |·
sin ∠POR
＝12×3105×1×sin π3＝33020.。