一道初中联赛压轴题错题剖析

2 调递增且 f (= 1) mn > 0 ，显然没有大于 0 的正整数零 点．这与关于 x 的方程 (x + m)(x + n) =x + m + n 至少 有一个正整数解矛盾．
错题论证 2 记 x1，x2 为方程 x2 + (m + n −1)x + mn −m − n =0 的两根，则 x1 + x2 =−m − n +1，x1x=2 mn − m − n = (m −1)(n −1) −1 ，由于 x1，x2 至少有一个是正整 数，且 m，n 为正整数，可得 x1，x2 都为整数．不妨令 x1 为正整数，由于 x1x2 = mn − m − =n (m −1)(n −1) −1 ≥ −1 ，x1 + x2 =−m − n +1 < 0 ，可知 x1x2 = −1 ，且 x2 < 0 ， 只能是 x1 = 1 ， x2 = −1，此时 x1 + x2 =−m − n +1 =0 ， 这与 x1 + x2 =−m − n +1 < 0 矛盾．
所以 ∠OGK = ∠MHD ．
又 GK = HD ，所以 ∆GOK ≌ DHMD ， 所以 ∠EKG = ∠BDK = 90。，
于是 EK / /BC ．
证法 2 如图 3，延长 ．
所以 AK = AG + GK = 1 AH + GK ． 2
3 对官方标准答案的思考 3.1 官方证明 问题分析如下： 已知方程为 x2 + (m + n −1)x + mn − m − n =0 ①． 方程①的判别式 ∆= (m + n −1)2 − 4(mn − m − n) = (m + n)2 − 4mn + 2(m + n) +1 = (m − n)2 + 2(m + n) +1 ． 不妨设 m ≥ n ，由题设可知，整系数方程①至少 有一个正整数解，则 ∆ 应为完全平方数．
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0 ，然后通过这个关系求得直线 MN 或直线 BB′ 的斜 率或方程．这与本文中预赛题的解题方法是一致的， 只是计算量的大小问题，从这个角度讲，对不同的
试题，不同的定值定点问题的研究，从中抽象出一 般的数学方法、数学规律，对拓宽师生的数学视野， 提升数学素养是大有裨益的．
注意到 ∆= (m − n)2 + 2(m + n) +1
= (m − n +1)2 + 4n > (m − n +1)2 ，
∆= (m − n)2 + 2(m + n) +1
= (m − n + 3)2 − (4m − 8n + 8) ，
若 4m − 8n + 8 > 0 ，即 m > 2n − 2 ， 则 ∆= (m − n + 3)2 ，
又∵ m > 1 > 1 ，
n
2
∴ ( m − 1)( m − 2) < 0 ， n 2n
整理即得 2(m2 + n2 ) < 5mn ．
3.2 由官方解答探究命题意图
此题为数论中一元二次方程整数根问题，涉及
到完全平方数性质等知识．解题方法有配方法、反
证法、完全平方数夹逼法、整数离散性、多项式因
式分解等，证明过程中用到解题技巧较为丰富．对
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至少有一个整数解，证明： 2(m2 + n2 ) < 5mn ．” 本文两个错题论证都发现“关于 x 的方程 (x + m)
(x + n) = x + m + n 至少有一个正整数解”是错题主因， 此仍如此更改缘由其一．在官方解答中与“至少有一
个正整数解”无关，与“至少有一个整数解”有关，为 保持命题意图，改为“关于 x 的方程 (x + m)(x + n) =x +m + n 至少有一个整数解”最合适，此仍如此更改缘 由其二．
从而有 (m − n +1)2 < ∆ < (m − n + 3)2 ，
故只可能 ∆ < (m − n + 2)2 ，
即 (m − n)2 + 2(m + n) +1= (m − n + 2)2 ，
整理得 m= 3n − 3 ， 2
这与 m，n 均为正整数矛盾．
因此 m ≤ 2n − 2 ，
从而可得 m < 2n ，∴ m < 2 ． n
A
A
G EO K
H B DC
图1
G
E O
K H
B MD C
图2
（1）证法 1 如图 2，过 O 作 OM ⊥ BC 于点 M，
连接 OG，MH ．由垂心的性质有 OM / / AH / /GH ，
且= | OM | 1= | AH | | GH | ， 2
所以四边形 OMHG 为平行四边形．
所以 OG / /MH ，且 | OG |=| MH | ．
2019 年全国高中数学联赛福建预赛第 13 题的探究
谭新华 福建省同安第一中学（361100）
题目 如图 1， O，H 分别为锐角 ∆ABC 的外心、
垂心， AD ⊥ BC 于 D，G 为 AH 的中点．点 K 在线
段 GH 上，且满足 GK = HD ，连 KO 并延长交 AB 于
点 E．证明：（1） EK / /BC ；（2） GE ⊥ GC ．
一道初中联赛压轴题错题剖析
沈晓斌 陈景文 福建省泉州师范学院竞赛数学研究中心（362000）
笔者在研究 2015 年全国初中数学联合竞赛二试 A 第 3 题过程中，发现此题为错题．下面，通过错题 论证及官方解答等方面的思考，与同行分享．
1 问题呈现 设正整数 m，n 满足：关于 x 的方程 (x + m)(x + n) = x + m + n 至少有一个正整数解，证明： 2(m2 + n2 ) < 5 ⋅ mn ． 2 错题论证 错题论证 1 记 f (x) = x2 + (m + n −1)x + mn − m − n ， 抛物线对称轴 x = − m + n −1 < 0 ，并在对称轴右侧单
学生来说，完成此题具有挑战性．试题也具有较好
的区分度，可担当联赛压轴题的重任．总体而言，
命题本意在于考查学生具有较强的分析问题、解决
问题能力．
4 基于命题意图的错题改编
为达到命题考查意图，现将问题更改为“设正整
数 m，n 满足：关于 x 的方程 (x + m)(x + n) = x + m + n
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