2020版高考数学一轮复习专题4三角函数解三角形第31练三角函数中的易错题练习含解析

第31练 三角函数中的易错题
1.(2019·浙江诸暨中学段考)设角θ的终边经过点P (－3,4)，那么sin θ＋2cos θ等于( )
A.15
B.－15
C.－25
D.25
2.(2019·温州期末)点A (sin2018°，cos2018°)位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限
D.第四象限
3.(2019·杭州七校联考)已知sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2
＋θ＋3cos(π－θ)＝sin(－θ)，则sin θcos θ＋cos 2
θ等于( ) A.15B.25C.35D.55
4.在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，若tan A tan B ＝a
2
b 2，则△ABC 是( )
A.直角三角形
B.等腰三角形
C.等腰直角三角形
D.直角三角形或等腰三角形
5.将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6－x 的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，所得图象对应的
函数恰为奇函数，则φ的最小值为( ) A.π6B.π12C.π4D.π
3
6.已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34
B.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，54 C.⎝ ⎛⎦
⎥⎤0，12 D.(0,2]
7.设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)⎝
⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为π，且f (－x )＝f (x )，则( )
A.f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3上单调递减
B.f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增
C.f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4
，3π4上单调递增
D.f (x )在⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，π上单调递减 8.(2019·浙江杭州第二中学模拟)函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期
是π，若将该函数的图象向右平移π6个单位长度后得到的函数图象关于直线x ＝π
2对称，则
函数f (x )的解析式为( ) A.f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3
B.f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3
C.f (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 D.f (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π6 9.已知△ABC 的内角A ，B ，C 满足sin(B ＋C －A )＋sin(A ＋C －B )＋sin(A ＋B －C )＝1
2，且△ABC
的面积等于2，则△ABC 外接圆面积等于( ) A.2πB.4πC.8πD.16π
10.已知函数f (x )＝sin ωx －3cos ωx (ω>0)，若集合{x ∈(0，π)|f (x )＝－1}含有4个元素，则实数ω的取值范围是( )
A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，52
B.⎝ ⎛⎦⎥⎤32，52
C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫72，256
D.⎝ ⎛⎦
⎥⎤72，256 11.(2019·浙江镇海中学月考)函数f (x )＝sin 2
x ＋sin x cos x ＋1的最小正周期是________，单调递增区间是____________________.
12.(2019·温州模拟)如图，四边形ABCD 中，△ABD ，△BCD 分别是以AD 和BD 为底的等腰三角形，其中AD ＝1，BC ＝4，∠ADB ＝∠CDB ，则BD ＝________，AC ＝________.
13.已知直线x ＋2y tan α＋1＝0的斜率为18，则cos2α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋2α＝________. 14.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若3a 2
－b 2
＋3ab cos C ＝0，则c ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
cos A a ＋cos B b 的最小值为____________.
15.已知π2<α<π，7sin2α＝2cos α，则sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫α－11π2＝______.
16.已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若c sin A ＝－a cos C ，则3sin A
－cos ⎝
⎛⎭⎪⎫B ＋3π4的取值范围是____________.
答案精析
1.C
2.C
3.C
4.D
5.A
6.B
7.A
8.D
9.C 10.D 11.π ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π8，k π＋3π8，(k ∈Z ) 解析 f (x )＝sin 2
x ＋sin x cos x ＋1 ＝1－cos2x 2＋sin2x 2＋1 ＝
22sin ⎝
⎛
⎭⎪⎫2x －π4＋32.
最小正周期T ＝2π
2
＝π.
令－π2＋2k π<2x －π4<π
2＋2k π，k ∈Z ，
解得－π8＋k π<x <3π
8
＋k π，k ∈Z .
所以单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π8，k π＋3π8，(k ∈Z ).
12.2 2 6
解析 设∠ADB ＝∠CDB ＝θ，可得θ∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2，
在△ABD 内，BD ＝1
2
cos θ，
在△CBD 内，BD ＝8cos θ， 可得cos θ＝1
4，BD ＝2，
cos2θ＝2cos 2
θ－1＝－78
，
由余弦定理可得AC 2
＝AD 2
＋CD 2
－2AD ·CD cos2θ＝24，AC ＝2 6. 13.－2317
解析 ∵直线x ＋2y tan α＋1＝0的斜率为18，∴－12tan α＝1
8，即tan α＝－4.
∵cos2α＋cos ⎝
⎛⎭
⎪
⎫3π2＋2α＝cos2α＋sin2α
＝cos 2
α－sin 2
α＋2sin αcos α，
∴cos2α＋cos ⎝
⎛⎭
⎪⎫3π2
＋2α ＝cos 2
α－sin 2
α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2
α
＝1－tan 2
α＋2tan αtan 2
α＋1＝1－16－817＝－2317， 故答案为－2317.
14.2
解析 ∵3a 2
－b 2
＋3ab cos C ＝0，
∴3a 2
－b 2
＋3ab ·a 2＋b 2－c 2
2ab
＝0，
整理可得c 2＝3a 2
＋b 2
3，
∴c ⎝
⎛⎭
⎪⎫cos A a ＋cos B b
＝c ⎝ ⎛⎭
⎪⎫b 2
＋c 2
－a 2
2bca ＋a 2
＋c 2
－b 2
2acb
＝c 2ab ＝3a b ＋b 3a
≥23a b ·b
3a
＝2， 当且仅当3a b ＝b 3a ，即a b ＝1
3时等号成立.
即c ⎝
⎛⎭
⎪⎫cos A a ＋cos B b 的最小值为2，
故答案为2. 15.－43
7
解析 ∵π
2
<α<π，∴cos α<0.
∵7sin2α＝2cos α，14sin αcos α＝2cos α，∴sin α＝1
7，
则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－11π2＝cos α＝－1－sin 2
α＝－437. 16.⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1，
6＋22 解析 因为c sin A ＝－a cos C ， 所以sin C sin A ＝－sin A cos C ，
所以tan C ＝－1，因为0<C <π，即C ＝3
4
π.
3sin A －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋3π4＝3sin A ＋cos A
＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫A ＋π6，
因为0<A <π4，所以π6<A ＋π6<5π
12，
所以12<sin ⎝
⎛⎭⎪⎫A ＋π6<
6＋24，
所以1<2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫A ＋π6<
6＋22.
故答案为⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1，6＋22.。