高中数学第三章空间向量与立体几何203.1.2空间向量的数乘运算a21a高二21数学

内容(nèiróng)总结
课时作业(zuòyè)20 空间向量的数乘运算
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12/9/2021
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∵AAGH＝m，∴A→G＝mA→H＝－43mP→A＋m3 P→B＋m3 P→D. ∵B→G＝－A→B＋A→G＝P→A－P→B＋A→G， ∴B→G＝(1－43m)P→A＋(m3 －1)P→B＋m3 P→D. 又 B，G，P，D 四点共面， ∴1－43m＝0，解得 m＝34.
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56a＋92b－76c
.
解析：原式＝12a＋b－32c＋130a－52b＋130c－3a＋6b－3c ＝12＋130－3a＋1－52＋6b＋－32＋130－3c＝56a＋92b－76c.
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10．如图，在空间四边形 OABC 中，O→A＝a，O→B＝b，O→C＝
c，点 M 在 OA 边上，且O→M＝2M→A，N 为 BC 的中点，则M→N＝
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——能力提升类—— 14．给出下列命题： ①若 A，B，C，D 是空间任意四点，则有A→B＋B→C＋C→D＋D→A ＝0； ②|a|－|b|＝|a＋b|是 a，b 共线的充要条件； ③若A→B，C→D共线，则 AB∥CD；
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④对空间任意一点 O 与不共线的三点 A，B，C，若O→P＝ xO→A＋yO→B＋zO→C(其中 x，y，z∈R)，则 P，A，B，C 四，所以 A1F 綊 D1E，所以A→1F＝D→1E.
又A→1F＝A→1A＋A→B＋B→F＝－A→A1＋A→B＋12A→D，所以D→1E＝A→B＋
1 2
A→D－A→A1，故选 B.
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二、填空题
9．化简12(a＋2b－3c)＋523a－12b＋23c－3(a－2b＋c)＝
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2．已知在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，点 E 是 A1C1 的中点，
点 F 是 AE 的三等分点，且 AF＝12EF，则A→F＝( D )
A.A→A1＋12A→B＋12A→D
B.12A→A1＋12A→B＋12A→D
C.12A→A1＋16A→B＋16A→D D.13A→A1＋16A→B＋16A→D
中点，若P→A＝→a ，P→B＝→b ，P→C＝→c ，则B→E＝( C )
A.12→a －12→b ＋12→c B.12→a －12→b －12→c C.12→a －32→b ＋12→c D.12→a －12→b ＋32→c
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解析：B→E＝12(B→P＋B→D)＝－12P→B＋12(B→A＋B→C) ＝－12P→B＋12B→A＋12B→C ＝－12P→B＋12(P→A－P→B)＋12(P→C－P→B) ＝－32P→B＋12P→A＋12P→C＝12→a －32→b ＋12→c . 故选 C.
2 则 λ＝ 15 .
解析：根据 P，A，B，C 四点共面的条件，知存在实数 x， y，z，使得O→P＝xO→A＋yO→B＋zO→C成立，其中 x＋y＋z＝1，于是 15＋23＋λ＝1，所以 λ＝125.
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三、解答题 12．如图，在空间四边形 ABCD 中，G 为△BCD 的重心，E， F 分别为边 CD 和 AD 的中点，试化简A→G＋13B→E－12A→C，并在图中 标出化简结果的向量．
其中不正确命题的个数是( C )
A．1 B．2 C．3 D．4
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解析：显然①正确；若 a，b 共线，则|a|＋|b|＝|a＋b|或|a＋ b|＝||a|－|b||，故②错误；若A→B，C→D共线，则直线 AB，CD 可能 重合，故③错误；只有当 x＋y＋z＝1 时，P，A，B，C 四点才 共面，故④错误．故选 C.
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解：设B→N＝λB→A1，因为 MN∥平面 B1BCC1，所以存在实数 x，y，使得M→N＝xB→C＋yB→B1. ①
又M→N＝B→N－B→M＝λB→A1－12(B→C＋B→A) ＝λ(B→B1＋B→A)－12(B→C＋B→A) ＝－12B→C＋λB→B1＋(λ－12)B→A. ② 比较①②，可得 λ＝12，即点 N 是线段 A1B 的中点．
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解析：如图所示，A→F＝13A→E，A→E＝A→A1＋A→1E， A→1E＝12A→1C1，A→1C1＝A→1B1＋A→1D1，A→1B1＝A→B， A→1D1＝A→D， 所以A→F＝13(A→A1＋12A→1C1)＝13A→A1＋16A→B＋16A→D，故选 D.
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课时(kèshí)作业20 空间向量的数乘运算
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时间：45 分钟 ——基础巩固类—— 一、选择题 1．如图，在平行六面体 ABCD-EFGH 中，若A→G＝xA→B－2yB→C
＋3zD→H，则 x＋y＋z 等于( C )
7
2
A.6
B.3
5 C.6
D．1
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解析：易知A→G＝A→B＋A→D＋C→G＝A→B＋B→C＋D→H，则 x＝1， y＝－12，z＝13，故 x＋y＋z＝56.
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8．如图是一平行六面体 ABCD-A1B1C1D1，E 为 BC 延长线上
一点，B→C＝2C→E，则D→1E＝( B )
A.A→B＋A→D＋A→A1 B.A→B＋12A→D－A→A1 C.A→B＋A→D－A→A1 D.A→B＋13A→D－A→A1
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解析：取 BC 的中点 F，连接 A1F，则 A1D1 綊 FE，所以四
＝7a－2b，则一定共线的三点是( A )
A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D
解析：∵B→D＝B→C＋C→D＝－5a＋6b＋7a－2b＝2a＋4b， B→A＝－A→B＝－a－2b，∴B→D＝－2B→A， ∴A，B，D 三点共线，故选 A.
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5．已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，A→1E＝14A→1C1，若A→E＝xA→A1
3．对于空间的任意三个向量 a，b,2a－b，它们一定是( A )
A．共面向量 B．共线向量 C．不共面向量 D．既不共线也不共面的向量 解析：∵2a－b＝2·a＋(－1)·b， ∴2a－b 与 a，b 共面．
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4．已知空间向量 a，b，且A→B＝a＋2b，B→C＝－5a＋6b，C→D
＋y(A→B＋A→D)，则( D )
A．x＝1，y＝12 B．x＝12，y＝1 C．x＝1，y＝13 D．x＝1，y＝14 解析：A→E＝A→A1＋A→1E＝A→A1＋14A→1C1＝A→A1＋14(A→B＋A→D)．所 以 x＝1，y＝14.
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6．下列条件中使 M 与 A、B、C 一定共面的是( C )
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解：
∵G 是△BCD 的重心，BE 是 CD 边上的中线，∴G→E＝13B→E. 又12A→C＝12(D→C－D→A) ＝12D→C－12D→A＝D→E－D→F＝F→E， ∴A→G＋13B→E－12A→C＝A→G＋G→E－F→E＝A→F(如图所示)．
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13．如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，M 是线段 AC 的中 点，N 是线段 A1B 上的点，若 MN∥平面 B1BCC1，试确定点 N 的 位置，并说明理由．
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15．如图，H 为四棱锥 P-ABCD 的棱 PC 的三等分点，且 PH ＝12HC，点 G 在 AH 上，且 AG＝mAH，四边形 ABCD 为平行四 边形，若 B，G，P，D 四点共面，求实数 m 的值．
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解：∵A→B＝P→B－P→A，且A→B＝D→C，∴D→C＝P→B－P→A. ∵P→C＝P→D＋D→C，∴P→C＝P→D＋P→B－P→A＝－P→A＋P→B＋P→D. ∵HPHC＝12，∴P→H＝13P→C＝13(－P→A＋P→B＋P→D)＝ －13P→A＋13P→B＋13P→D. 又A→H＝P→H－P→A，∴A→H＝－43P→A＋13P→B＋13P→D.
－23a＋12b＋12c
(用 a，b，c 表示)．
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解析：M→N＝M→O＋O→N＝23A→O＋12(O→B＋O→C)＝－23O→A＋12O→B ＋12O→C＝－23a＋12b＋12c.
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11．已知 A，B，C 三点不共线，O 是平面 ABC 外任意一点， 若由O→P＝15O→A＋23O→B＋λO→C确定的一点 P 与 A，B，C 三点共面，
A.O→M＝2O→A－O→B－O→C B.O→M＝15O→A＋13O→B＋12O→C C.M→A＋M→B＋M→C＝0 D.O→M＋O→A＋O→B＋O→C＝0 解析：C 选项中M→A＝－M→B－M→C， ∴点 M、A、B、C 共面，故选 C.
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7．在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，E 为 PD 的