人教A版高中数学必修13.1.1 方程的根与函数的零点习题

3.1.1方程的根与函数的零点
班级:__________姓名:__________设计人__________日期__________
课后练习
【基础过关】
1．在区间(0,1)上有零点的一个函数为
A. f(x)=x2+1
B. f(x)=x3−2x+3
C. f(x)=x3+2x−2
D. f(x)=x2+2x−3
2．方程log3x+x=3 的解所在的区间为
A.(0,2)
B.(1,2)
C.(2,3)
D.(3,4) 3．函数f(x)=x+lgx−3 的零点所在的大致区间是
A.(3
2
,2) B.(2,5
2
) C.(5
2
,3) D.(3,7
2
)
4．函数 f(x)=(x−2)(x−5)−1 有两个零点 x1、x2,且 x1<x2,则
A.x1<2,2<x2<5
B.x1>2且x2>5
C.x1<2 ,x2>5
D.2<x1<5,x2>5
5．若函数f(x)=ax+b 的零点为2,那么函数g(x)=bx2−ax 的零点
是 .
6．根据下表，能够判断 f(x)=g(x)有实数解的区间是 .
(1)(-1,0) (2)(0,1)
(3)(1,2) (4)(2，3)
7．已知二次函数 y=(m+2)x2−(2m+4)x+(3m+3)有两个零点，一个大于1，一个小于1，求 m 实数的取值范围.
8．已知函数f(x)=(m+6)x2+2(m−1)x+m+1恒有零点.
(2)若函数有两个不同的零点，且其倒数之和为-4，求m的值. 【能力提升】
判断函数f(x)=x-3+ln x的零点的个数.
答案
【基础过关】 1．C
【解析】本题考查二分法判断零点的基本方法.由题知对A 有f(x)>0恒成立，故没有零点；对B ，f(0)=3>0,f(1)=2>0，故在(0,1)上没有零点；对C ，f(0)=−2<0,f(1)=2>0，故在(0,1)上存在零点，故选C. 2．C
【解析】本题主要考查判断函数零点的方法，关键是构造函数，转化为确定函数的零点位于的区间. 3．C
【解析】∵f (3
2
)＝3
2
+lg 3
2
−3＝lg 3
2
−
32
<0，f (2)＝2＋lg2－3＝lg2－1＜0，
f (52)＝52+l
g 52−3＝lg 52−1
2<0，f (3)＝3＋lg3－3＝lg3＞0，f (7
2)＝7
2+lg 7
2−3＝1
2+lg 7
2>0又f (x )是(0，＋∞)上的单调递增函数，故选C.
4．C
【解析】数形结合，f (x )＝(x －2)(x －5)－1的图象为f (x )＝(x －2)(x －5)的图象向下平移1个单位，逆向思维为f (x )＝(x －2)(x －5)的图象中坐标系的x 轴上移1个单位，则在新坐标系中得到f (x )＝(x －2)(x －5)－1的图象.由图易得出结论.
5．0，−1
2
【解析】∵函数f(x)＝ax ＋b 有一个零点是2，
∴2a ＋b ＝0⟹b ＝－2a ，
∴g(x)＝bx 2－ax ＝－2ax 2－ax ＝－ax(2x ＋1)，
∵－ax(2x ＋1)＝0⟹x ＝0，x ＝－1
2
∴函数g(x)＝bx 2－ax 的零点是0，−1
2
.
6．(2)
【解析】令F (x )＝f (x )－g (x )，F (－1)＝－0.147＜0，F (0)＝－0.44＜0，F (1)＝0.542＞0，F (2)＝0.739＞0，F (3)＝0.759＞0，所以F (0)•F (1)＜0，f (x )＝g (x )有实数解的区间是(2).
7．设f(x)＝(m ＋2)x 2－(2m ＋4)x ＋(3m ＋3)，有两种情况.
第一种情况，如图，{m +2>0，
f (1)<0，
解得－2＜m ＜－1
2
.
第二种情况，如图，{
m +2<0，f (1)>0，
此不等式组无解.
综上，m 的取值范围是－2＜m ＜－1
2
.
8．(1)当m ＋6＝0时，函数为f (x )＝－14x －5，显然有零点，当m ＋6≠0时，由△
＝4(m －1)2－4(m ＋6)•(m ＋1)＝－36m －20≥0，得m ≤−59，∴m ≤−5
9且
m ≠−6时，二次函数有零点.
综上，m ≤−5
9.
(2)设x 1，x 2是函数的两个零点， 则有x 1+x 2＝
2(m−1)m+6
，x 1x 2＝
m+1m+6
，
∵
1
x 1
+1
x 2
＝－4，即x 1+x
2
x 1x
2
＝−4，
∴−
2(m−1)m+1
＝－4，解得m ＝－3，且当m ＝－3时，m ≠－6，△＞0符合题意，∴m ＝－3.
【能力提升】
方法一 在同一平面直角坐标系中画出函数y=ln x,y=-x+3的图象,如图所示.
由图可知函数y=ln x 与y=-x+3的图象只有一个交点,即函数f(x)=x-3+ln x 只有一个零点.
方法二 因为函数f(x)的图象是连续不断的一条曲线,又f(3)=ln 3>0,f(2)=-1+ln 2=ln 2
e <0,所以f(3)·f(2)<0,故函数f(x)=x-3+ln x 在区间(2,3)内有零点.
又f(x)=x-3+ln x 在(0,+∞)内是增函数,所以函数f(x)只有一个零点.。