青岛版2020八年级数学上册期中模拟测试题2(基础含答案)

青岛版2020八年级数学上册期中模拟测试题2（基础含答案）
1．如图：点C 在AB 上，DAC △、EBC 均是等边三角形，AE 、BD 分别与CD 、CE 交于点M 、N ，则下列结论正确的是（ ）
①AE DB = ②CM CN = ③CMN △为等边三角形 ④MN BC
A ．①②③
B ．①②④
C ．②③④
D ．①②③④
2．若分式2132
x x x --+的值为零，则x 等于（ ） A ．﹣1
B ．1
C ．﹣1或1
D ．1或2
3．如图，Rt △ABC ≌Rt △DEF ，∠E ＝55°，则∠A 的度数为（ ）
A ．25°
B ．35°
C ．45°
D ．55°
4．下面四个图形分别是北大、清华、复旦和浙大4所大学的校标LOGO ，其中是轴对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
5．如图图形中，是轴对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6．如图，△ABC 中，∠B =55°，∠C =30°，分别以点A 和点C 为圆心，大于
1
2
AC 的长为半径画弧，两弧相交于点M ，N 作直线MN ，交BC 于点D ，连结AD ，则∠BAD 的度数为（ ）
A ．65°
B ．60°
C ．55°
D ．45°
7．下列条件中，不一定能判定两个直角三角形全等的是（ ） A ．斜边和一直角边对应相等 B ．两条直角边对应相等 C ．一对锐角和斜边对应相等
D ．一对锐角相等，一组边相等
8．如图，已知P 为ABC △三条角平分线AD,BE,CF 的交点，过点D 作DG PC ⊥于G ，则PDG ∠等于（ ）
A ．CBE ∠
B ．DA
C ∠ C ．BCF ∠
D ．CP
E ∠
9．在△ABC 和△A ′B ′C ′中，有下列条件：①AB ＝A ′B ′；②BC ＝B ′C ′；③AC ＝A ′C ′；④∠A ＝∠A ′；⑤∠B ＝∠B ′；⑥∠C ＝∠C ′，则以下各组条件中不能保证△ABC ≌△A ′B ′C ′的一组是( ) A ．①②③
B ．①②⑤
C ．①③⑤
D ．②⑤⑥
10．如图,在△ABC 中,P 为BC 上一点,PR⊥AB,垂足为R,PS⊥AC,垂足为
S,∠CAP=∠APQ,PR=PS,下面的结论:①AS=AR;②QP∥AR;③△BRP≌△CSP.其中正确的是( )
A ．①②
B ．②③
C ．①③
D ．①②③
11．如图，直线l 是线段AB 的垂直平分线，P 是l 上任意一点，不论P 点在直线l 上怎样移动，总有PA PB ＝ .（____）
12．计算：1a b
a b
--
+= _________________ . 13．在地面上的一个小水洼中观察到一辆小汽车车牌号的像为，则该小汽车的
车牌号是_______________．
14．已知△ABC 是等腰三角形，它的周长为20cm ，一条边长6cm ，那么腰长是_____． 15．我国是一个水资源贫乏的国家，每一个公民都应自觉养成节约用水的意识和习惯，
为提高水资源的利用率，某住宅小区安装了循环用水装置. 经测算，原来a 天用水b 吨，现在这些水可多用4天，现在每天比原来少用水________吨.
16．若△ABC ≌△DEF ，AB =DE =5cm ，若△ABC 的面积为10cm 2，则△DEF 的边DE 上的高为______cm ．
17． 如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，垂足为点E ，DE ＝2，则BC ＝___．
18．已知在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，若AB=6，
AC=8，ABC 28S ∆=，则DE=_______________
19．如图，△ABC ≌△ADE ，点E 在BC 上，若∠C ＝80°，则∠DEB ＝_____．
20．如图，AB ∥CD ，AB ＝CD ，E ，F 是BD 上的两点，要使△ABE ≌△CDF （不再添加新的线段和字母），需添加的一个条件是_____（只写一个条件即可）．
21．如图，△ABC 和△CDE 均为等腰三角形，AC ＝BC ，CD ＝CE ，∠ACB ＝∠DCE ，点D 在线段AB 上（与A ，B 不重合），连接BE ． （1）证明：△ACD ≌△BCE ． （2）若BD ＝2，BE ＝5，求AB 的长．
22．已知D 为ABC ∆所在平面内一点，且DB DC =，DE AB ⊥，DF AC ⊥，垂足分别为点E 、F ，DE DF =.
（1）如图1，当点D 在BC 边上时，判断ABC ∆的形状；并证明你的结论；
（2）如图2，当点D 在ABC ∆内部时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请举出反例（画图说明，不需证明）.
23．如图，在平面直角坐标系中，Rt △ABC 的三个顶点坐标分别是A(-4，2)、B(-2，4)C(-1，1)．
(1)作出△ABC 关于x 轴对称的△A 1B 1C 1；
(2)在y 轴上是否存在一点P ，使得△PBC 的周长最小，若存在，在图中画出这个三角形，并直接写出点P 坐标；若不存在，请说理由． (3)连接AA 1、CC 1，求四边形AA 1C 1C 的面积．
24．某服装店销售一种服装,若按原价销售,则每月销售额为10000元,若按八五折销售,则每月多卖出20件,且月销售额增加1900元,每件服装的原价为多少元?
25．如图①，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝AC ，CE 是过点C 的一条直线，且A 、B 在CE 的异侧，AD ⊥CE 于D ，BE ⊥CE 于E. (1)求证:AD ＝DE+BE.
(2)若直线CE 绕点C 旋转，使A 、B 在CE 的同侧时(如图②)，AD 与DE 、BE 的关系如何?请予以证明.
26．先化简，再求值：2211(1)4422
x x
x x x x -÷+-
-+--，其中22x =+． 27．如图，ABC 中，90BAC ∠=度，AB AC =，BD 是ABC ∠的平分线，BD 的延长线垂直于过C 点的直线于E ，直线CE 交BA 的延长线于F ．求证：2BD CE =．
28．已知等边ABC 的边长为4，在答题卷的网格内建立适当的直角坐标系，然后写出顶点C 的坐标．
29．如图1，ACB ∆为等腰三角形，90ABC ∠=，点P 在线段BC 上（不与B C 、重合），以AP 为腰长作等腰直角PAQ ∆，⊥QE AB 于E . （1）求证：PAB AQE ∆≅；
（2）连接CQ 交AB 于M ，若2PC PB =，求
PC
MB
的值. （3）如图2，过Q 作QF AQ ⊥于AB 的延长线于点F ，过P 点作DP AP ⊥交AC 于QF DP
-
变化吗？若不变，求出该值；若变化，请说明理由..
30．已知，如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=∠ACB，D是AB的中点，DE⊥AB 交AC于E，若∠BEC=∠C．
(1)若BE平分∠ABC，求∠A的度数；
(2)若△ABC的周长为10，△BCE的周长为6，求BC的长度。

参考答案
1．D 【解析】 【分析】
利用等边三角形的性质得CA=CD ，∠ACD=60°，CE=CB ，∠BCE=60°，所以∠DCE=60°，∠ACE=∠BCD=120°，则利用“SAS”可判定△ACE ≌△DCB ，所以AE=DB ，∠CAE=∠CDB ，则可对①进行判定；再证明△ACM ≌△DCN 得到CM=CN ，则可对②进行判定；然后证明△CMN 为等边三角形得到∠CMN=60°，则可对④进行判定． 【详解】
∴CA=CD ，∠ACD=60∘，CE=CB ，∠BCE=60∘， ∴∠DCE=60∘，∠ACE=∠BCD=120∘， 在△ACE 和△DCB 中，
CA=CD
ACE=DCB CE=CB ⎧⎪
∠∠⎨⎪⎩
∴△ACE ≌△DCB （SAS ）， ∴AE=DB ，所以①正确； ∠CAE=∠CDB ， 在△ACM 和△DCN 中，
MAC=NDC CA=CD
ACM=DCN ∠∠⎧⎪
⎨⎪∠∠⎩
∴△ACM ≌△DCN （ASA ）， ∴CM=CN ，所以②正确； ∵CM=CN ，∠MCN=60°，
∴△CMN 为等边三角形，所以③正确； ∴∠CMN=60°， ∴∠CMN=∠MCA ， ∴MN//BC ，所以④正确． ①②③④正确，故选D ． 【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质，此图为“手拉手”模型，熟练掌握此模型的特点是关键. 2．A
【解析】
【分析】
分式的值为0的条件是：（1）分子=0；（2）分母≠0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．
【详解】
解：依题意得|x|-1=0，且x2-3x+2≠0，
解得x=1或-1，x≠1和2，
∴x=-1．
故选A．
【点睛】
此题考查的是对分式的值为0的条件的理解和因式分解的方法的运用，该类型的题易忽略分母不为0这个条件．
3．B
【解析】
【分析】
根据三角形内角和定理求出∠EDF，然后根据全等三角形的性质解答即可．
【详解】
∵∠EFD=90°，∠E=55°，∴∠EDF=90°﹣55°=35°．
∵Rt△ABC≌Rt△DEF，∠A=∠EDF=35°．
故选B．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
4．A
【解析】
【分析】
根据轴对称图形的定义求解即可．
【详解】
解：A、是轴对称图形，本选项正确；
B、不是轴对称图形，本选项错误；
C、不是轴对称图形，本选项错误；
D、不是轴对称图形，本选项错误．
故选：A．
【点睛】
本题考查轴对称图形的定义，判断是不是轴对称图形的关键是找出对称轴，看图形沿对称轴对折后两部分能否完全重合．
5．B
【解析】
【分析】
根据轴对称图形的定义分析即可.
【详解】
A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合,这样的图形叫做轴对称图形.
6．A
【解析】
【分析】
根据线段垂直平分线的性质得到AD=DC，根据等腰三角形的性质得到∠C=∠DAC，求得∠DAC=30°，根据三角形的内角和得到∠BAC=95°，即可得到结论．
【详解】
由题意可得：MN是AC的垂直平分线，
则AD=DC，故∠C=∠DAC，
∵∠C=30°，
∴∠DAC=30°，
∵∠B=55°，
∴∠BAC=95°，
∴∠BAD=∠BAC-∠CAD=65°，
故选A．
【点睛】
此题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形的内角和，正确掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．
7．D
【解析】
【分析】
直角三角形全等的判定方法：HL，SAS，ASA，SSS，AAS，做题时要结合已知条件与全等的判定方法逐一验证．
【详解】
解：A、符合判定HL，故本选项正确，不符合题意；
B、符合判定SAS，故本选项正确，不符合题意．
C、符合判定AAS，故本选项正确，不符合题意；
D、没有指明是否对应相等，故本选项错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查直角三角形全等的判定方法，判定两个直角三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
8．A
【解析】
【分析】
首先利用三角形的外角的意义得出∠PDC=1
2
∠BAC+∠ABC，由DG⊥PC，得出
∠GDC=90°
1
2
∠ACB，而∠PDC=∠PDG+∠GDC，把∠PDG再进一步用∠BAC+∠ABC
表示，整理得出结论即可．
【详解】
解：∵AD、BE、CF是△ABC三条内角平分线，
∴∠CBE=1
2
∠ABC，∠BAD=
1
2
∠BAC，∠GCD=
1
2
∠ACB，
∵DG⊥PC，
∴∠DGC=90°，
∵∠PDC=∠BAD+∠ABC，∠PDC=∠PDG+∠GDC，
∴∠PDC=1
2
∠BAC+∠ABC，
∵∠PDC=∠PDG+90°-∠BCF
=∠PDG+90°-1
2
∠ACB
=∠PDG+90°
1
2
-（180°-∠BAC-∠ABC），
∴1
2
∠BAC+∠ABC=∠PDG+90°
1
2
-（180°-∠BAC-∠ABC），
∴∠PDG=1
2
∠ABC=∠CBE．
故选择：A.
【点睛】
此题考查角平分线的性质，垂线的性质，三角形的内角和与外角的意义等知识点，解题的关键是熟练掌握所学性质，结合等量代换进行解题．
9．C
【解析】
【分析】
根据全等三角形的判定方法对各选项分别进行判断．
【详解】
A. 由①②③,可根据“SSS”判定△ABC≌△A′B′C′；
B.由①②⑤,可根据“SAS”判定△ABC≌△A′B′C′；
C. 由①③⑤不能判定△ABC≌△A′B′C′；
D. 由②⑤⑥,可根据“ASA”判定△ABC≌△A′B′C′.
故选:C.
【点睛】
考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的几种判定方法是解题的关键.
10．A
【解析】
【分析】
连接AP，由已知条件利用角平行线的判定可得∠1=∠2，由三角形全等的判定得
△APR≌△APS，得AS=AR，由已知可得∠2=∠3，得到∠1=∠3，得QP∥AR，答案可得．【详解】
连接AP，
∵PR=PS，PR⊥AB，垂足为R，PS⊥AC，垂足为S，
∴AP是∠BAC的平分线，∠1=∠2，
∴△APR≌△APS，
∴AS=AR，
又AQ=PQ，
∴∠2=∠3，
又∠1=∠2，
∴∠1=∠3，
∴QP∥AR，
BC只是过点P，没有办法证明△BRP≌△CSP，③不成立．
故选A．
【点睛】
本题主要考查角平分线的判定和平行线的判定；准确作出辅助线是解决本题的关键，做题时
要注意添加适当的辅助线，是十分重要的，要掌握．
11．对
【解析】
【分析】
根据线段垂直平分线定理，即可作出判断．
【详解】
解：∵直线l是线段AB的垂直平分线，点P在l上，
∴PA PB
＝；
故答案为：对.
【点睛】
本题考查了垂直平分线定理，解题的关键是熟记定理：线段垂直平分线上的点，到线段两端的距离相等.
12．
2b a b +
【解析】
【分析】
原式通分并利用同分母分式的减法法则计算，即可得到结果．【详解】
原式
2
.
a b a b a b a b b a b a b a b a b
+-+-+
==
=
+++
-
+
故答案为：
2
. b a b +
【点睛】
考查分式的减法，掌握分式的减法法则是解题的关键.
13．FT2567
【解析】
【分析】
根据题意可知相应的数字应看成是关于倒影下边某条水平的线对称，由此解答即可．【详解】
由题意可得，
∴实际车牌号是：FT2567．
故答案为：FT2567．
【点睛】
本题考查了镜面反射的性质；解决本题的关键是根据题意画出图形，进而得到相应数字．14．6cm或7cm．
【解析】
【分析】
当腰长＝6cm时，底边＝20﹣6﹣6＝8cm，当底边＝6cm时，腰长＝206
2
﹣
＝7cm，根据三角
形的三边关系，即可推出腰长．
【详解】
解：∵等腰三角形的周长为20cm，
∴当腰长＝6cm时，底边＝20﹣6﹣6＝8cm，即6+6＞8，能构成三角形，
∴当底边＝6cm时，腰长＝206
2
﹣
＝7cm，即7+6＞7，能构成三角形，
∴腰长是6cm或7cm，
故答案为：6cm或7cm．
【点睛】
本题主要考查等腰三角形的性质，三角形的三边关系，关键在于分析讨论6cm为腰长还是底边长．
15．
24 4 b
a a
【解析】
【分析】
根据题意表示出原来每天的用水量，现在每天的用水量，两者相减，计算得出结果. 【详解】
∵原来a天用水b吨，
∴原来每天用水b
a
吨，
现在多用4天，则现在()4+a 天使用b 吨， ∴现在每天用水4
+b a 吨， ∴现在每天比原来少用水()()244444+--==+++b a ab b b b a a a a a a
吨， 故答案为
244b a a +. 【点睛】
本题考查分式的计算，根据题意列出表达式是关键.
16．4．
【解析】
【分析】
利用△ABC 的面积求出AB 边上的高，再根据全等三角形的对应高相等可得DE 边上的高等于AB 边上的高，从而得解．
【详解】
设△ABC 边AB 上的高为h ， 则12•AB•h=10，即12
×5h=10， 解得h=4，
∵△ABC ≌△DEF ，AB 与DE 是对应边，
∴DE 边上的高为4cm ．
故答案为：4．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形对应边上的高相等是解本题的关键．
17．6．
【解析】
【分析】
根据角平分线性质可得DC ＝DE ，根据直角三角形性质可得BD ＝2DE.根据线段的和与差即可求出.
【详解】
∵AD是△ABC的角平分线，∠C＝90°，DE⊥AB，
∴DC＝DE＝2，
在Rt△BDE中，∠B＝30°，
∴BD＝2DE＝4，
∴BC＝CD+BD＝6，
故答案为6．
【点睛】
本题考查了角平分线性质.熟记角平分线性质和直角三角形性质是关键. 18．4
【解析】
【分析】
由角平分线的性质可得，DE=DF，又S△ABC=S△ABD+S△ACD=1
2
AB•DE+
1
2
AC•DF，据此求解．
【详解】
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴DE=DF，
∵S△ABC=S△ABD+S△ACD=1
2
AB•DE+
1
2
AC•DF=28，AB=6，AC=8，
∴1
2
（8+6）•DE=28，
解得DE=4．
【点睛】
此题考查角平分线的性质，解题关键在于掌握掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等，以及三角形面积的求法．
19．20°
【解析】
【分析】
根据全等三角形的性质：对应角和对应边相等解答即可．
【详解】
解：∵△ABC≌△ADE，
∴∠C＝∠AED＝80°，AC＝AE，
∴∠AEC＝∠C＝80°，
∴∠DEB＝180°−80°−80°＝20°，
故答案为：20°．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
20．BE＝DF或∠A＝∠C或∠AEB＝∠CFD
【解析】
【分析】
由题意得到根据∠B＝∠D、AB＝CD，根据全等三角形的判定SAS或ASA或AAS，可得答案．
【详解】
解：因为AB∥CD，则∠B＝∠D ，且有题意可得AB＝CD，根据全等三角形的判定，要使△ABE≌△CDF（不再添加新的线段和字母），需添加的一个条件是BE＝DF或∠A＝∠C或∠AEB＝∠CFD．
故答案为：BE＝DF或∠A＝∠C或∠AEB＝∠CFD．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定（SAS或ASA或AAS）. 21．（1）见解析（2）7
【解析】
【分析】
（1）利用SAS即可证得△ACD≌△BCE；
（2）根据全等三角形的性质可知AD＝BE＝5，进而即可求得AB.
【详解】
（1）证明：∵∠ACB＝∠DCE，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
AC BC
ACD BCE
CD CE
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△ACD ≌△BCE （SAS ）；
（2）解：由（1）知：△ACD ≌△BCE ，
∴AD ＝BE ＝5，
∴AB ＝AD +BD ＝5+2＝7．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定及性质，熟练掌握各个全等三角形的判定定理是解题关键. 22．（1）ABC ∆是等腰三角形．见解析；（2）结论仍然成立，见解析.
【解析】
【分析】
（1）先证明Rt △EBD ≌Rt △FCD ，利用全等的性质得到∠B=∠C ，从而得出结论；
（2）先证明Rt △EBD ≌Rt △FCD ，利用全等的性质得到∠EBD=∠FCD ，再根据DB=DC 得到∠DBC=∠DCB ，因此∠ABC=∠ACB ，从而得到结论.
【详解】
解：（1）ABC ∆是等腰三角形.
证明：∵DE AB ⊥，DF AC ⊥，
∴90BED CFD ∠=∠=︒
在Rt EBD ∆与Rt FCD ∆中，DE DF DB DC =⎧⎨=⎩
， ∴Rt Rt ()EBD FCD HL ∆∆≌，
∴B C ∠=∠
∴AB AC =，
∴ABC ∆是等腰三角形；
（2）当点D 在ABC ∆内部时，（1）中的结论仍然成立．
证明：∵DE AB ⊥，DF AC ⊥，
∴90BED CFD ∠=∠=︒，
在Rt EBD ∆与Rt FCD ∆中，DE DF DB DC =⎧⎨=⎩
， ∴Rt Rt ()EBD FCD HL ∆∆≌，
∴EBD FCD ，
∵DB DC =，
∴DBC DCB ∠=∠，
∴EBD DBC FCD DCB ∠+∠=∠+∠，即A ABC CB =∠∠，
∴AB AC =，
∴ABC ∆是等腰三角形．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法及等腰三角形的判定方法是解题的关键.
23．(1)画图见解析；(2)画图见解析；点P 的坐标为(0，2)；(3)面积为9.
【解析】
【分析】
(1)首先确定A 、B 、C 三点关于x 轴对称的对称点位置，再连接即可；
(2)连接B'C 与y 轴相交点P ，进而解答即可；
(3)利用梯形的面积公式解答即可．
【详解】
(1)如图所示：△A 1B 1C 1即为所求：
(2)如图所示：△PBC 即为所求：
点P 的坐标为(0，2)；
(3)四边形AA 1C 1C 是梯形，它的面积为：
11AA C C S 梯形=12(AA 1+CC 1)×3=()14232
⨯+⨯=9． 【点睛】
本题考查了作图--轴对称变换，以及平移变换，关键是几何图形都可看做是点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也就是确定一些特殊点的对称点．
24．200
【解析】
【分析】
根据题中若按八五折销售,则每月多卖出20件可得出等量关系为：八五折销售件数－原件销售件数＝20，设原价为x ，根据月销售额增加1900元，可得八五折是销售额为10000+1900，即可列出方程
10000190010000200.85+-=x x
，解出方程并检验即可得出结果. 【详解】
解：设每件服装原价x 元，根据题意得 10000190010000200.85+-=x x
， 解得：x=200，
经检验x=200是所列方程的解，
答：每件服装的原价为200元.
【点睛】
本题考查分式分式方程与实际问题，一般题中有两个等量关系，其中一个用来设未知数，也就是表示未知数之间的关系，另一个拿来列方程，找出等量关系时实际问题解题关键，注意解出分式方程的解后还需检验.
25．（1）详见解析；（2）AD=DE-BE ，证明详见解析.
【解析】
【分析】
（1）利用垂直的定义得∠ADC=∠CEB=90°，则根据互余得∠DAC+∠ACD=90°，再根据等角的余角相等得到∠DAC=∠BCE ，然后根据“AAS ”可判断△ADC ≌△CEB ，所以CD=BE ，AD=CE ，再利用等量代换得到AD ＝DE+BE ；（2）AD=DE-BE ，类比（1）的方法证明△ADC ≌△CEB ，根据全等三角形的性质可得CD=BE ，AD=CE ，由此即可证得结论.
【详解】
（1）证明：∵AD ⊥CE ，BE ⊥CE ，
∴∠ADC=∠CEB=90°，
∴∠DAC+∠ACD=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCE+∠ACD=90°，
∴∠DAC=∠BCE ，
在△ADC 和△CEB ，
ADC CEB
DAC ECB AC CB
∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，
∴△ADC ≌△CEB （AAS ），
∴CD=BE ，AD=CE ，
∴AE=CE=CD+DE=DE+BE ；
（2）AD=DE-BE.
证明：∵AD ⊥CE ，BE ⊥CE ，
∴∠ADC=∠CEB=90°，
∴∠DAC+∠ACD=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCE+∠ACD=90°，
∴∠DAC=∠BCE ，
在△ADC 和△CEB ，
ADC CEB
DAC ECB AC CB
∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，
∴△ADC ≌△CEB （AAS ），
∴CD=BE ，AD=CE ，
∴AD=EC=DE-CD=DE-BE.
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，判定三角形全等的方法有“SSS ”、“
SAS ”、
“ASA ”、“AAS ”，解决本题的关键是证明△ADC ≌△CEB ．
26【解析】
【分析】
先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x 、y 的值代入计算可得．
【详解】
原式=2(1)(1)21(2)22
x x x x x x x +--+÷---- =2(1)(1)2(2)12
x x x x x x x +--⨯---- =122
x x x x +--- =12
x -
当2x =+
2 【点睛】 本题考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．
27．见解析.
【解析】
【分析】
由已知条件，根据等腰三角形三线合一的性质可得CF ＝2CE ，再证明△ABD ≌△ACF ，证得BD ＝CF ，从而可得BD ＝2CE ．
【详解】
证明：∵BE 平分∠FBC ，BE ⊥CF ，
∴BF ＝BC ，
∴CE ＝EF ，
∴CF ＝2CE ，
∵∠BAC ＝90°，且AB ＝AC ，
∴∠FAC ＝∠BAC ＝90°，∠ABC ＝∠ACB ＝45°，
∴∠FBE ＝∠CBE ＝22.5°，
∴∠F ＝∠ADB ＝67.5°，
在△ABD 和△ACF 中，F ADB FAC DAB AB AC ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩
＝＝，
∴△ABD ≌△ACF （AAS ），
∴BD ＝CF ，
∴BD ＝2CE ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是熟练应用等腰三角形三线合一的性质．
28．(2,23)
【解析】
【分析】
以ABC 的顶点A 为原点，边AB 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，则()0,0A ，()4,0B ，过C 作⊥CD AB 于D ，解直角三角形即可得到结论．
【详解】
解：如图
以ABC 的顶点A 为原点，边AB 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，
则()0,0A ，()4,0B ，
过C 作⊥CD AB 于D ，
122AD AB ∴==
，==CD ∴顶点C
的坐标为(2,.
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质，坐标与图形性质，正确的建立平面直角坐标系是解题的关键． 29．（1）证明见详解；（2）2；（3）式子值不变，理由见详解.
【解析】
【分析】
（1）根据题目中的信息可以得到AQ=AP ，∠QEA 与∠ABP 之间的关系，∠QAE 与∠APB 之间的关系，从而可以解答本题；
（2）由第一问中的两个三角形全等，可以得到各边之间的关系，然后根据题目中的信息找到PC 与MB 的关系，从而可以解答本题；
（3）作合适的辅助线，构造直角三角形，通过三角形的全等可以找到所求问题需要的边之间的关系，从而可以解答本题．
【详解】
（1）证明：∵△ACB 为等腰三角形，∠ABC=90°，点P 在线段BC 上（不与B ，C 重合），以AP 为腰长作等腰直角△PAQ ，QE ⊥AB 于E ．
∴AP=AQ ，∠ABQ=∠QEA=90°，∠QAE+∠BAP=∠BAP+∠APB=90°，
∴∠QAE=∠APB ，
在△PAB 和△AQE 中， ABQ QEA QAE APB AQ PA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△PAB ≌△AQE （AAS ）；
（2） ∵△PAB ≌△AQE ，
∴AE=PB ，
∵AB=CB ，
∴QE=CB ．
在△QEM 和△CBM 中，
QME
CMB QEM CBM QE CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△QEM ≌△CBM （AAS ），
∴ME=MB ，
∵AB=CB ，AE=PB ，PC=2PB ，
∴BE=PC ，
∵PC=2PB ，
∴PC=2MB ，
∴
2PC MB
= （3）式子QF DP DF -的值不会变化． 如下图所示：作HA ⊥AC 交QF 于点H ，
∵QA ⊥AP ，HA ⊥AC ，AP ⊥PD ，
∴∠QAH+∠HAP=∠HAP+∠PAD=90°，∠AQH=∠APD=90°，
∴∠QAH=∠PAD ，
∵△PAQ 为等腰直角三角形，
∴AQ=AP ，
在△AQH 和△APD 中，
AQH APD AQ AP
QAH PAD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
∴△AQH ≌△APD （ASA ），
∴AH=AD ，QH=PD ，
∵HA ⊥AC ，∠BAC=45°，
∴∠HAF=∠DAF ，
在△AHF 和△ADF 中，
AH AD HAF DAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△AHF ≌△ADF （SAS ），
∴HF=DF ， ∴=1QF DP QF QH HF DF HF HF
--== 【点睛】
本题属于数学的综合大题，全面考虑问题，灵活运用所学知识才能正确求解.
30．（1）36°；（2）2.
【解析】
【分析】
（1）设∠A 的度数为x ，根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质用x 表示出∠ABC 和∠C ，根据三角形内角和定理列出算式求出x 的值即可；
（2）根据线段垂直平分线的性质和三角形周长公式计算即可．
【详解】
(1)设∠A 的度数为x ，
∵D 是AB 的中点，DE ⊥AB ，
∴EA=EB ，
∴∠ABE=∠A=x ，
∵BE 平分∠ABC ，
∴∠ABE=∠CBE=x ，
∵∠BEC=∠ABE+∠A=2x ，
∴∠C=2x ，
∴x+2x+2x=180°，
∴∠A=x=36°；
(2)∵△ABC 的周长为10，
∴AB+AC+BC=10，
∵△BCE 的周长为6，
∴BE+EC+BC=6，即AC+BC=6，
∴AB=4，
则BC=2.
【点睛】
此题考查等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，解题关键在于利用内角和定理进行解答.。