2019届浙江省绍兴市柯桥区高三上学期期末数学试题(解析版)

2019届浙江省绍兴市柯桥区高三上学期期末数学试题
一、单选题
1．已知全集{}1,2,3,4,5A =，{}2,4.,6B =，则A B =I （ ） A ．∅ B ．{}2
C ．{}2,4
D ．{}2,4,6
【答案】C
【解析】由A 与B ，求出两集合的交集即可． 【详解】
解：{1A =Q ，2，3，4，5}，{2B =，4，6}，
{2A B ∴⋂=，4}．
故选：C ． 【点睛】
本题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 2．双曲线2
214
x y -=的渐近线方程是（ ） A ．20x y ±= B ．20x y ±= C ．40x y ±= D ．40x y ±=
【答案】B
【解析】渐近线方程是2
204
x y -=，整理后就得到双曲线的渐近线．
【详解】
解：双曲线2
214
x y -=，
其渐近线方程是2
204
x y -=，
整理得20x y ±=． 故选：B ． 【点睛】
本题考查了双曲线的渐近线方程，把双曲线的标准方程中的“1”转化成“0”即可求出渐近线方程．
3．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ）则该几何体的体积（单位：3cm ）是（ ）
A ．3
B ．6
C ．9
D ．18
【答案】D
【解析】首先由三视图还原出几何体，进一步利用几何体的体积公式的应用求出结果． 【详解】
解：根据几何体的三视图，该几何体为底面为等腰梯形，高为3的直四棱柱， 故：1
(13)?3?3182
V =
+=． 故选：D ． 【点睛】
本题考查的知识要点：由三视图还原出几何体的直观图，棱柱的体积公式的应用，主要考查想象能力． 4．复数
5
2i
- （i 为虚数单位）在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】A
【解析】利用复数的代数形式的乘除运算化简，求出5
2i
-在复平面上对应的点的坐标，则可求出答案． 【详解】 解：Q
55(2)22(2)(2)
i i i i i +==+--+， ∴复数
5
2i
-在复平面内对应的点的坐标为：(2,1)，在第一象限． 故选：A ． 【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义．
5．函数()
2
ln 1sin 2y x x =+⋅的图象可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D
【解析】判断函数的奇偶性和对称性，利用代入特殊值判断在π的右侧函数值的符号，进行排除即可． 【详解】
解：2
2
()(1)sin(2)(1)?sin 2()f x ln x x ln x x f x -=+-=-+=-， 即函数()f x 是奇函数，图象关于原点对称，排除A ，B ， 当x π>时，则π的右侧，sin 20x >，则()0f x >，排除C ， 故选：D ． 【点睛】
本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性和对称性的关系，以及特殊值法是解决本题的关键．
6．已知平面α，β，直线l 满足l α⊂，则“l β⊥”是“αβ⊥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．即不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】α，β是相交平面，直线l ⊂平面α，则“l β⊥” ⇒ “αβ⊥”，反之αβ⊥，
直线l 满足l α⊂，则l β⊥或l //β或l ⊂平面β，即可判断出结论． 【详解】
解：已知直线l ⊂平面α，则“l β⊥” ⇒ “αβ⊥”，
反之αβ⊥，直线l 满足l α⊂，则l β⊥或l //β或l ⊂平面β，
∴ “l β⊥”是“αβ⊥”的充分不必要条件．
故选：A. 【点睛】
本题考查了线面和面面垂直的判定与性质定理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力
与计算能力．
7．设01p <<，随机变量ξ的分布列是
则当p 在()0,1内增大时（ ） A ．()E ξ减小，()D ξ减小 B ．()E ξ减小，()D ξ增大 C ．()E ξ增大，()D ξ减小 D ．()E ξ增大，()D ξ增大
【答案】B
【解析】根据题意计算随机变量ξ的分布列和方差，再判断p 在(0,1)内增大时，()E ξ、
()D ξ的单调性即可．
【详解】
解：设01p <<，随机变量ξ的分布列是
1131
()01222222
p p E p ξ-=⨯
+⨯+⨯=-， 方差是22231311311
()(0)(1)(2)222222222
p p D p p p ξ-=-+⨯+-+⨯
+-+⨯ 21144p p =-++
215(2)44p =--+，
当p 在(0,1)内增大时，()E ξ减小，()D ξ增大． 故选：B ． 【点睛】
本题考查了离散型随机变量的数学期望与方差的计算问题，也考查了运算求解能力．
8．已知ABC ∆中，AC BC …
，D 、E 分别是AC 、BC 的中点，沿直线DE 将CDE ∆反折成△C DE '，设1C DA θ∠'=，2C EB θ∠'=，二面角C DE A '--的平面角为3θ，则( )
A ．123θθθ厖
B ．132θθθ厖
C ．213θθθ厖
D ．312θθθ厖
【答案】A
【解析】过C 作AB （或其延长线）的垂线，垂足为H ，交DE （或其延长线于)G ，找出二面角C DE A '--的平面角3θ，连接C C '，在△C GC '，
△C DC '，△C EC '中，由已知结合三角形的边角关系可得C DC C EC C GC ∠'∠'∠'剟，从而得到123θθθ厖
． 【详解】
解：过C 作AB （或其延长线）的垂线，垂足为H ，交DE （或其延长线于)G ， 则C GH ∠'为二面角C DE A '--的平面角为3θ， 又1C DA θ∠'=，2C EB θ∠'=，
连接C C '，在△C GC '，△C DC '，△C EC '中，
C C C C '='Q ，C
D C
E CG 厖
，C D C E C G '''厖， 则C DC C EC C GC ∠'∠'∠'剟
， 123θθθ∴厖，
故选：A ．
【点睛】
本题考查二面角的平面角及其求法，考查空间想象能力与思维能力．
9．已知向量a r ，b r 满足1a =v
，2b =v ，若对于长度为2的任意向量c r 都有26a c b c ⋅+⋅≤v v v v ，则a b -v
v 的最小值为（ ）
A ．1
B ．
2
C ．
2
D ．3
【答案】B
【解析】由()?
··a b c a c b c ++r r r r r r r
剟a b +r r „
，结合向量数量积的性质可求a b r
r g 的范围，然后由222||2?
a b a b a b -=+-r r r r r r 即可求解． 【详解】
解：()?··a b c a c b c ++r r r r r r
Q r 剟||2=r
c ，
a b ∴+r
r „
， ∴22132?2
a a
b b ++r r r r „，
||1a =r
Q ，||2b =r ，
∴3·4
a b r r „，
则2227
||2?
52?2
a b a b a b a b -=+-=-r r r r r r r r …，
a b ∴-r
r ，
故选：B ． 【点睛】
本题主要考查了向量数量积的性质的综合应用．
10．已知不等式()1ln x
xe a x x -+≥对任意正数x 恒成立，则实数a 的最大值是（ ）
A ．
1
2
B ．1 C
D ．
2
e 【答案】B
【解析】分类参数，构造新的函数()g x ，求出零点，判断()g x 的单调性，求出()f x 的最小值，即可求出a ． 【详解】
解：0x >时，不等式(1)x xe a x lnx -+…
可化为(1)x
a x xe lnx +-„， 所以1
x xe lnx
a x -+„，
设()1
x xe lnx
f x x -=+，其中0x >，
则22
1
(1)1()(1)x x x e lnx
x f x x ++--+'=
+， 设2
1
()(1)1x
g x x x e lnx x =++--
+，其中0x >， 则21()(1)[(2)]0x
g x x x e x
'=+++>恒成立，
则()g x 在(0,)+∞上单调递增，
2211
())(1)1(1)1x x x g x x x e lnx x e xe lnx x x
==++--+=+---+，
令()0o g x =，得1o
x o
e
x =
， 所以()f x 在(0,)o x 单调递减，(o x ，)+∞单调递增，
1()111o x o o o
min
o o o
x e lnx x f f x x x -+====++，
对任意正数x 恒成立，即()1min a f x =…， 故选：B ． 【点睛】
考查导数在求参数问题中的应用，判断函数的单调性，恒成立问题，参数分离法的应用等．
二、填空题
11．我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有女善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：一名纺织女工，在五天时间内共织了五尺布，后一天的织布量是前天的2倍，问每天的织布量分别是多少？若设第一天的织布量为1a 第五天织布量为5a ，则1a =_____，5a =_____. 【答案】
531 8031
【解析】设这名女子第n 天织布的尺数为n a ，则{}n a 是公比2q =的等比数列，由此利用等比数列的前n 项和公式能求出结果． 【详解】
解：设这名女子第n 天织布的尺数为n a ， 则{}n a 是公比2q =的等比数列，
由题意得515(12)
512a S -==-，
1531a ∴=
， 45580
23131
a ∴=⨯=，
故答案为：531，80
31
．
【点睛】
本题考查等比数列的首项的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力．
12．若,x y 满足约束条件42y x x y y ≤⎧⎪
+≤⎨⎪≥-⎩
，则2z x y =+的最小值为_______，最大值为
_____.
【答案】-6 10
【解析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，转化求解即可． 【详解】
解：画出x ，y 满足约束条件42y x x y y ⎧⎪
+⎨⎪-⎩
„„…可行域，
如图所示，(2,2)A --，(6,2)B -，(2,2)C ， 可知目标函数过点(2,2)A --时取得最小值，
2(2)(2)6min z =⨯-+-=-，
目标函数经过B 时，取得最大值：26210⨯-=， 故答案为：6-；10．
【点睛】
本题考查线性规划的应用，考查转化思想以及计算能力．
13．已知ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，若4a =，2c =，60B =o ，则b =___，C =_____． 【答案】3 30o
【解析】在ABC ∆中，由余弦定理，可求得3b =1sin 2
C =，根据c b <，即C B <，即可求解． 【详解】
在ABC ∆中，因为4a =，2c =，60B =o ，
由余弦定理可得222222cos 42242cos6012b a c ac B =+-=+-⨯⨯=o ，所以23b =
又由正弦定理可得sin sin b c
B C =，即sin 1sin 223
c B C b ===o ， 又由c b <，所以C B <，所以30C =o ． 【点睛】
本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
14．二项式9
1x x ⎫⎪⎭展开式中3x 项的系数是______.
【答案】9-
【解析】由题意利用二项展开式的通项公式，求得展开式中3x 项的系数． 【详解】
解：二项式9
1)x
-展开式的通项公式为：
932
19
·(1)?r r
r
r T C x
-+=-，
令
9332
r
-=， 可得1r =，
∴展开式中3x 项的系数是1
99C -=-，
故答案为：9-． 【点睛】
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质．
15．已知函数(),0
1,0
x
e x
f x x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩，则不等式()1f x ≤的解集为______，若实数a ，
b ，
c 满足()()()f a f b f c ==且a b c <<，则2a b c ++的取值范围是_______.
【答案】](
,2-∞ (),2-∞
【解析】分类讨论，即可求出不等式的解集，画出函数()f x 的图象，如图所示，结合图象即可求出答案． 【详解】
解：当0x „时，0
()1x
f x e e ==„，解得0x „， 当0x >时，()11f x x =-„，解得02x <„， 综上所述，不等式()1f x „的解集为(-∞，2]， 画出函数()f x 的图象，如图所示，
()()()f a f b f c ==Q ，且a b c <<，
由图象知，0a <，01b <<，
由于()a
f a e =，()1f b b =-，且()()f a f b =，
1a e b ∴=-，即1a b e =-，
则有1a a b a e +=+-，
由于0x ≠时，1x e x >+，可知10x x e +-<，
而0a <，所以10a a b a e +=+-<，
即：0a b +<，
而2b c +=，
所以()()2a b b c +++<，
22a b c ∴++<.
故答案为：(-∞，2]，(,2)-∞.
【点睛】
本题考查了分段函数，以及函数图象的应用，考查数形结合思想.
16．有2个不同的红球和3个不同的黄球，将这5个球放入4个不同的盒子中，要求每个盒子至少放一个球，且同色球不能放在同一个盒子中，则不同的放置方法有________种.（用数字作答）
【答案】144
【解析】由题意可得一个盒子里有2个球，一定为1红1黄，其余盒子每个盒子放一个，根据分步计数原理可得．
【详解】
解：这5个球放入4个不同的盒子中，要求每个盒子至少放一个球，
且同色球不能放在同一个盒子中，
则一个盒子里有2个球，一定为1红1黄，其余盒子每个盒子放一个，
故有11134233144C C C A =种，
故答案为：144.
【点睛】
本题考查了分步计数原理，运用组合数的运算，理解题目意思是关键..
17．已知椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是椭圆上任意
一点，直线2F M 垂直于OP 且交线段1F P 于点M ，若12F M MP =，则该椭圆的离心率的取值范围是______.
【答案】1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭
【解析】设(,)P m n ，||m a <，又1(,0)F c -，2(,0)F c ，运用向量共线的坐标表示，可得M 的坐标，再由向量垂直的条件：数量积为0，由P 的坐标满足椭圆方程，化简整理可得m 的方程，求得m ，由||m a <，解不等式结合离心率公式即可得到范围．
【详解】
解：设(,)P m n ，||m a <，
又1(,0)F c -，2(,0)F c ，1||2||F M MP =，
∴12MF PM =u u u u v u u u u v ，
可得(M c x --，)2(M M y x m -=-，)M y n -，
可得2(
3m c M -，2)3n ， 又(,)OP m n =u u u r ，22(3m c MF c -=-u u u u v ，2)3n -， 由2·0MF OP =u u u u vu u u v ， 可得2
22()033
m c n m c ---=， 化为2
(2)n m c m =-，
由P 在椭圆上， 可得22221m n a b
+=， 即有2
22
2(1)m n b a =-，
可得2
22(2)(1)m m c m b a -=-， 化为2
222220c m mc a c a
-+-=， 解得2a m a c =-，或2
a m a c
=+（舍去）， 由2
a a a c -<， 可得2c a >，
即有12c e a =
>，又01e <<， 可得112
e <<， ∴该椭圆的离心率的取值范围是1(,1)2
， 故答案为：1(2
，1)．
【点睛】
本题考查椭圆的离心率的范围，注意运用向量的坐标表示和向量垂直的条件：数量积为0，考查椭圆的范围，以及化简整理的运算能力．
18．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若4a =，2c =，60B =︒，则b = ，C = ．
【答案】36
π 【解析】由余弦定理直接进行计算即可得b 的值，根据正弦定理可求sin C ，结合大边对大角可求C 的值．
【详解】
解：4a =Q ，2c =，60B =︒，
∴由余弦定理得：
22212cos 164242208122
b a
c ac B =+-=+-⨯⨯⨯
=-=，
则b = ∴由正弦定理sin sin b c B C
=，
可得：2·sin 1sin 2c B C b ===， c a <Q ，C 为锐角，
6C π
∴=．
故答案为：6π． 【点睛】
本题主要考查正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查计算能力．
三、解答题
19
．已知sin cos 02252α
α
πα⎫-=<<⎪⎝⎭
（1）求tan α的值；
（2）若角β满足()12sin 213αβ+=
，求()cos αβ+的值. 【答案】（1）3tan 4α=（2）5665或1665
【解析】（1）把已知等式两边平方，即可求得sin α，进一步得到cos α，则tan α可求；
（2）由12sin(2)13αβ+=，得5cos(2)13
αβ+=±，利用cos()cos[(2)]αβαβα+=+-，分类展开两角差的余弦求解.
【详解】
解：（1
）将sin
cos 22αα-= 可得212sin cos 22
5
α
α-=， 所以3sin 5α=，
又02απ⎛⎫<< ⎪⎝⎭， 所以4cos 5α=
， 故sin 3tan cos 4ααα==， （2）由()12sin 213αβ+=
， 得()5cos 213
αβ+=±， 又因为()()()()cos cos 2cos 2cos sin 2sin αβαβααβααβα+=+-=+++⎡⎤⎣⎦， 若()5cos 213
αβ+=-， 则5412316cos()13513565αβ+=-
⨯+⨯=， 若()5cos 213
αβ+=， 则5412356cos()13513565
αβ+=
⨯+⨯=． 【点睛】 本题考查三角函数的化简求值，考查两角差的余弦，体现了分类讨论的数学思想方法．
20．已知四面体ABCD 中，2AB BC AC CD ====，10AD =，120BCD ∠=︒，E 为BC 中点.
（1）求证：AE ⊥平面BCD ；
（2）求AD 与平面ABC 所成的角的正切值.
【答案】（1）见解析（2）217
【解析】（Ⅰ）连结DE ，推导出AE ED ⊥，AE BC ⊥，由此能证明AE ⊥平面BCD ；
（Ⅱ）平面ABC ⊥平面BCD ，在平面BCD 内过D 作直线BC 的垂线，垂足为F ，
则DF ⊥平面ABC ，从而DAF ∠是直线AD 与平面ABC 所成角，由此能求出AD 与平面ABC 所成的角的正切值.
【详解】
解：（1）连接DE ，在DCE V 中，由余弦定理得：
22212212cos1207DE =+-⋅⋅︒=
在ABC V 中，3AE =，
则有222AE DE AD +=，
所以AE ED ⊥，
E Q 是BC 的中点，
AE BC ∴⊥，
DE BC E ⋂=Q ，
所以AE ⊥平面BCD ，
（2）由于AE ⊂平面ABC ，由（1）可得平面ABC ⊥平面BCD ，
在平面BCD 内过D 作直线BC 的垂线，垂足为F ， 则DF ⊥平面ABC ，
则DAF ∠是直线AD 与平面ABC 所成的角，
在Rt CDF V 中，sin603DF CD =︒， 在Rt ADF V 中，227AF AD DF -
AD ∴与平面ABC 所成的角的正切值：
321tan 7
DF DAF AF ∠===. 【点睛】
本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正切值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想．
21．已知公差不为零的等差数列{}n a 中，11a =，124,,a a a 成等比数列.
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若数列{}n b 满足11b =，1n n n a b b +=
，求证：121111n b b b ++⋅⋅⋅+≥. 【答案】（1）n a n =（2）见解析
【解析】（1）直接利用已知条件建立等量关系求出数列的通项公式；
（2）利用累加法和基本不等式的应用，即可求出结果.
【详解】
解：（1）设公差为d ，
则由题设可得：()2113d d +=+，
解得1d =或0d =（舍去），
所以n a n =，
（2）当2n ≥时，有1n n b b n +=，11n n b b n -=-，
两式相减得：11()1n n n b b b +--=， 即111n n b b b
+-=-， 所以()()()()3142311121111n n n n n
b b b b b b b b b b b -+-++⋅⋅⋅+=+-+-+⋅⋅⋅+-+-
1121121n n n
n b b b b bn b +=++--=++-≥， 当1n =时，左边1=，右边1=，不等式也成立，
综上所述，对于任意N n *
∈
都有121111n b b b ++⋅⋅⋅+≥. 【点睛】
本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，叠加法在求通项公式中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力．
22．已知F 是抛物线()2
:20C x py p =>的焦点，A 是C 上异于原点的点，过A 作C 的切线与C 的准线l 相交于点P ，点B 满足BP l ⊥，AB l P .
（1）求证：FB AP ∥；
（2）设直线FB 与抛物线C 相交于M ，N 两点，求AMN V 面积的取值范围.
【答案】（1）见解析；（2）2,2p ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
. 【解析】（1）设0(A x ，0)y ，则点A 处的切线方程为000()x y y x x p
-=-．故000((),)2p p B y y x -，00002
()2FB p y x k p p p
y x -==-，即可得//FB AP ；
（2）由（1）可知MN 的方程为02
x p y x p =+，代入抛物线方程22x py =，得22020x x x p --=， 22
1202x x x p -=+，32222120000011·()?2()22?()22222
AMN PMN
p p p S S PB x x y x p y py p p y ∆∆==-=++=++=+，即可求解．
【详解】 解：（1）证明：设0(A x ，0)y ，则点A 处的切线方程为000()x y y x x p
-=-． 令2p y =-，可得00()2
p p x y x =-， 故000((),)2p p B y y x -，∴00002
()2FB p y x k p p p
y x -==-， FB k k ∴=切线，//FB AP ∴；
（2）由（1）可知MN 的方程为02
x p y x p =+，代入抛物线方程22x py =，
得：22020x x x p --=，
设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，则12x x -=，
//AP MN Q ，
∴12011·()?222
AMN PMN p S S PB x x y ∆∆==-=+ 3
200()22
p p y y =+=+， 00y >Q ，∴22
AMN p S ∆>， 所以AMN ∆面积的取值范围为：2,2p ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
. 【点睛】
本题考查了圆锥曲线直线与曲线的位置关系，韦达定理，三角形面积计算，属于中档题．
23．已知函数()()1R x f x x ae a =-+∈.
（1）讨论函数()y f x =的单调性；
（2）试求函数()y f x =零点的个数，并证明你的结论.
【答案】（1）见解析（2）见解析
【解析】（1）求导得()1x
f x ae ¢=-，分类讨论当0a ≤和0a >时，利用导函数研究函数()y f x =的单调性；
（2）根据题意，当0a =时，()1f x x =+，函数()f x 有且只有一个零点1x =-；当0a <时，利用零点存在性定理，得出()f x 在R 上有且只有一个零点；当0a >时，根据零点存在性定理和单调性讨论零点个数，综合即可得出结论.
【详解】
解：（1）()1x
f x ae ¢=-， 当0a ≤时，()()0,f x f x '>在(,)-∞+∞上单调递增，
当0a >时，由()0f x >，
得1ln x a
<， 所以()f x 在1,ln
a ⎛
⎫-∞ ⎪⎝⎭单调递增，在1ln ,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减， （2）0a =时，()1f x x =+，函数()f x 有且只有一个零点1x =-，
当0a <时，因为()010f a =->，()()
1110a f a a e --=-<， 由根的存在定理可知，在()1,0a -上存在零点，
又因为()f x 在(,)-∞+∞上单调递增，
从而()f x 在R 上有且只有一个零点.
当0a >时，由（1）可知()f x 存在最大值，
且()max 11ln ln f a a f x ⎛⎫== ⎪⎝⎭
， ①若1ln
0a
<，即1a >时，函数()f x 无零点， ②若1ln 0a =，即1a =时，函数()f x 有且只有一个零点0x =， ③若1ln 0a
>，即01a <<时， 因为()1110,ln ln 0a f f e a a ⎛⎫-=-
<=> ⎪⎝⎭， 所以()f x 在1,ln a ⎛⎫-1 ⎪⎝
⎭上存在零点， 由（1）可知()f x 在1,ln a ⎛⎫-∞ ⎪⎝
⎭单调递增， 所以()f x 在1,ln a ⎛
⎫-∞ ⎪⎝⎭
上有且只有一个零， 下面寻找0x ，使得满足01ln x a
>，且()00f x <， 先证明若0x >，则212
x e x >， 令()212
x g x e x =-，()0x g x e x '=->， 所以函数()g x 在()0,∞+单调递增，
第 21 页 共 21 页 所以()()010g x g >=>， 所以212
x e x >， 所以当0x >时，
()()22112222
a f x x x ax x <-+=---， 令2220ax x --=
，解得x
取0x =， 则()()
0220000011122022x f x x ae x a x ax x =-+<-⋅=---=，
又因为111ln 1a a a <-<<， 所以()f x
在1ln a ⎛ ⎝⎭
存在零点， 由（1）可知()f x 在1ln ,a ⎛
⎫+∞ ⎪⎝⎭
有且只有一个零点， 所以()f x 有且只有两零点，
综上，当0a ≤或1a =时函数()f x 有且只有一个零点，
当01a <<时，函数()f x 有且只有两个零点，
当1a >时，函数()f x 无零点.
【点睛】
本题考查利用导数讨论函数的单调性以及零点个数问题，还涉及零点存在性定理、函数的最值等，考查函数思想和转化思想以及解题分析能力.。