2019年全品一轮复习文科数学第5单元 数列听课正文

第27讲数列的概念与简单表示法
1.数列的有关概念
有关概念定义
数列按照排列的一列数
数列的项数列中的
通项公式数列{a n}的第n项a n与之间的关系式前n项和数列{a n}中,S n=
2.数列的表示法
表示法定义
列表法通过表格表示n与a n的对应关系
图像法用平面直角坐标系内的y轴一群孤立的点表示
公式法通项公式a n=
递推公式a n+1=f(a n);a n+1=f(a n, a n-1)
3.数列的分类
4.a n与S n的关系
已知数列{a n}的前n项和为S n,则a n=
--
常用结论
数列的最大(小)项,可以用-(n≥2 n∈N*)-∈求,也可以转化为函数的最值问题或利用数形结合求解.
题组一常识题
1.[教材改编]数列-1,,-,,- …的通项公式为.
2.[教材改编]若数列{a n}满足a n+1=1+,a8=,则a5=.
3.[教材改编]已知数列{a n}的通项公式为a n=2n+3,则数列{a n}是数列(填“递增”或“递减” .
4.[教材改编]如图5-27-1所示的图形的点数构成数列{a n},则a8=.
•••• ••••• •••…
图5-27-1
题组二常错题
◆索引:对数列概念中的两个易混点,即项a n和项数n;利用a n与S n的关系求通项公式时,易忽略验证“n=1”;数列是自变量为正整数的特殊函数.
5.已知数列{a n}的通项公式为a n=-,则数列{a n}的第5项是.
6.已知数列,,,, … 则5是数列的第项.
7.已知数列{a n}的前n项和S n=n2-3n+2,则{a n}的通项公式为.
8.已知数列{a n}的通项公式为a n=-3n2+15n-18,则数列{a n}的最大项为.
探究点一根据数列的前几项求数列的通项公式
1 (1)已知数列{a n}的前4项为-1,7,-13,19,则数列{a n}的一个通项公式是.
(2)已知数列{a n}的前4项为,2,,8,则数列{a n}的一个通项公式是.
(3)已知数列{a n}的前4项为6,66,666,6666,则数列{a n}的一个通项公式是.
[总结反思] 由数列的前几项归纳数列的通项公式的常用方法及具体策略:
(1)常用方法:观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法.
(2)具体策略:①观察分式中分子、分母的特征;②观察相邻项的变化特征,如递增时可考虑关于n为一次递增或以2n,3n等形式递增;③观察拆项后的特征;④观察各项的符号特征和绝对值的特征;⑤化异为同,对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破,或寻找分子、分母之间的关系;
⑥对于符号交替出现的情况,可用(-1)n或(-1)n+1处理.
式题(1)数列{a n}的前4项是,1,,,则数列{a n}的一个通项公式是a n=.
(2)[2017·银川二模]如图5-27-2所示的图形由小正方形组成,请观察图①至图④中小正方形的个数,则第17个图形中小正方形的个数是.
①②③④
图5-27-2
探究点二由数列的递推关系式求通项公式
考向1形如a n+1=a n+f(n)
2 (1)若数列{a n}满足a1=2,a n+1=a n+n+1,则数列{a n}的通项公式为a n=.
(2)在数列{a n}中,a1=1,a n+1=a n+2n,则通项公式为a n=.
(3)[2017·锦州一模]已知数列{a n}满足a1=1,a n-a n+1=(n∈N*),则通项公式为
a n=.
[总结反思] 对形如a n+1=a n+f(n)(f(n)是可以求和的)的递推公式求通项公式时,常用累加法求出a n-a1与n的关系式.
考向2形如a n+1=a n·f(n)
3 (1)在数列{a n}中,a1=1,a n=-a n-1(n≥2 则通项公式为a n=.
(2)在数列{a n}中,a1=1,a n+1=2n a n,则通项公式为a n=.
[总结反思] 对形如a n+1=a n f(n)(f(n)是可以求积的)的递推公式求通项公式时,常用累乘法求出与n的关系式.
考向3形如a n+1=pa n+q
4 (1)在数列{a n}中,a n+1=2a n-1,a1=3,则通项公式为a n=()
A. 2n-1
B. 2n
C. 2n-1
D. 2n+1
(2)[2017·太原五中二模]在数列{a n}中,a1=2,a n+1=3a n+2,则数列{a n}的通项公式
为.
[总结反思] 对形如a n+1=Aa n+B(A≠0且A≠1 的递推公式求通项公式时,可用迭代法,也可用构造法,即通过对递推公式的等价变形,转化为等比数列后再求通项.
考向4形如a n+1=(A,B,C为常数)
5 [2018·迁安一中测试]已知数列{a n}中,a1=1,a n+1=,则通项公式为a n=.
[总结反思] 对形如a n+1=(A,B,C为常数)的递推公式求通项公式时,可通过等号两边同时
取倒数的方法构造新数列求解.
强化演练
1.【考向1】[2018·河南中原名校三检]设函数f(x)满足f(n+1)=(n∈N*),且f(1)=2,则
f(40)=()
A. 95
B. 97
C. 105
D. 392
2.【考向2】[2017·南昌二中、临川一中联考]已知各项均不为零的数列{a n},定义向量
c n=(a n,a n+1),b n=(2n+2,-2n),n∈N*,则下列说法中正确的是()
A. 若∀n∈N*,c n⊥b n,则数列{a n}是等比数列
B. 若∀n∈N*,c n∥b n,则数列{a n}是等比数列
C. 若∀n∈N*,c n⊥b n,则数列{a n}是等差数列
D. 若∀n∈N*,c n∥b n,则数列{a n}是等差数列
(n≥2 则通项公式为a n=.
3.【考向4】已知数列{a n}满足a1=2,a n=-
-
4.【考向3】[2017·太原一模]已知数列{a n}中,a1=1,a n+1=2a n+n-1(n∈N*),则其前n项和
S n=.
5.【考向1】[2017·四川内江五模]已知数列{a n}的首项a1=1,且满足a n+1-a n≤2n,a n-a n+2≤-3×2n,则a2017=.
探究点三由数列的前n项和S n求通项公式a n
6 (1)[2017·咸阳二模]已知正项数列{a n}中,++…+=(n∈N*),则数列{a n}
的通项公式为()
A. a n=n
B. a n=n2
C. a n=
D. a n=
(2)[2017·江西七校联考]已知数列{a n}的前n项和S n=n2+n+1,则a1+a3+a5=.
(3)已知数列{a n}满足a1=1,a n=
(n≥2 其中S n为{a n}的前n项和,则S2018=.
-
[总结反思] (1)已知S n求a n的常用方法:一是利用a n=S n-S n-1(n≥2 将已知等式转化为关于a n 的递推关系,再求数列的通项公式;二是将已知等式转化为关于S n的递推关系,先求出S n与n 之间的关系,再求数列的通项公式.
(2)应用关系式a n=
时,一定要注意分n=1,n≥2两种情况,在求出结果后,要验证
--
a1是否适合求出的a n,若适合,则统一用a n表示,若不适合,则通项公式用分段函数的形式表示.式题(1)[2018·江西红色七校联考]已知数列{a n}满足+++…+=n2+n,则数列{a n}的通项公式是a n=.
(2)若数列{a n}的前n项和S n=a n+1,则数列{a n}的通项公式是a n=.
探究点四数列的函数特征
(n∈N*,a∈R且a≠0 .
7 已知数列{a n}中,a n=1+
-
(1)若a=-7,求数列{a n}的最大项和最小项的值;
(2)若对任意的n∈N*,都有a n≤a6成立,求实数a的取值范围.
[总结反思] (1)数列的函数特征主要是数列的单调性和周期性;
(2)有关数列最大项、最小项的问题可借助数列的单调性来解决,数列{a n}递增的充要条件是对任意正整数n都有a n<a n+1,递减的充要条件是对任意正整数n都有a n+1<a n;
(3)数列是一种特殊的函数,解题时易忽略数列作为函数的特殊性,即自变量是正整数.
式题已知数列{a n}满足a1=33,且a n+1-a n=2n,则的最小值为.
第28讲等差数列及其前n项和
1.等差数列中的有关公式
已知等差数列{a n}的首项为a1,公差是d,前n项和为S n,则
等差数列定义式(n≥2 d为常数)
等差中项A=(A是a与b的等差中项)
通项公式或
前n项和公式S n==
2.等差数列的性质
已知{a n}是等差数列,S n是{a n}的前n项和.
(1)若m+n=p+q=2k(m,n,p,q,k∈N*),则有a m+a n==.
(2)数列S m,S2m-S m,S3m-S2m …成数列.
3.等差数列与函数的关系
(1)等差数列{a n}的通项公式可写成a n=,当d≠0时,它是关于n的,它的图像是直线y=dx+(a1-d)上横坐标为正整数的均匀分布的一系列的点.
注:当d>0时,{a n}是数列;当d<0时,{a n}是数列;当d=0时,{a n}是.
(2)前n项和公式可变形为S n=,当d≠0时,它是关于n的常数项为0的,它的图像是抛物线y=x2+-x上横坐标为正整数的均匀分布的一系列.
注:若a1>0,d<0,则S n存在最值;若a1<0,d>0,则S n存在最值.
常用结论
等差数列的性质
1.已知{a n},{b n}是公差分别为d1,d2的等差数列,S n是{a n}的前n项和.
(1)若{a n}是等差数列,则{a2n}也是等差数列,公差为2d1.
(2)若{a n},{b n}是等差数列,则{pa n+qb n}也是等差数列,且公差为pd1+qd2.
(3)若{a n}是等差数列,则a k,a k+m,a k+2m … k,m∈N*)是公差为md1的等差数列.
(4)若{a n}是等差数列,则也是等差数列,其首项与{a n}的首项相同,公差是d1.
(5)若数列{a n}是等差数列,则数列{pa n},{a n+p}都是等差数列(p,q都是常数),且公差分别为
pd1,d1.
2.关于等差数列奇数项与偶数项的性质
(1)若项数为2n,则S偶-S奇=nd,奇
偶
=;
(2)若项数为2n-1,则S偶=(n-1)a n,S奇=na n,S奇-S偶=a n ,奇
偶=
-
.
3.两个等差数列{a n},{b n}的前n项和S n,T n之间的关系为=-
.
-
题组一常识题
1.[教材改编]等差数列11 8 5 …中,-49是它的第项.
2.[教材改编]在等差数列{a n}中,a2=3,a3-a4=-4,则a9=.
3.[教材改编]等差数列{a n}的前n项和为S n,若a5=6,则S9=.
4.[教材改编]在100以内的正整数中有个能被6整除的数.
题组二常错题
◆索引:等差数列概念中的两个易误点,即同一个常数与常数;不能正确应用等差数列的性质;对等差数列的通项公式和前n项和公式之间的关系处理不清.
5.若数列{a n}满足a1=1,a n+1-a n=n,则数列{a n}的通项公式为a n=.
6.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,且满足-=1,则数列{a n}的公差是.
7.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,若S4=40,S n=210,S n-4=130,则n=.
8.设等差数列{a n}的前n项和为S n,且S5=10,S10=30,则S15=.
探究点一等差数列的基本运算
1 (1)[2017·临汾模拟]已知数列{a n}是等差数列,a10=10,其前10项和S10=55,则公差d=
()
A. 0
B. 1
C. -1
D.
(2)[2017·大庆一中检测]设{a n}是公差不为零的等差数列,且满足+=+,则数列的前10项和等于()
A. -10
B. -5
C. 0
D. 5
(3)[2017·银川六盘山三模]已知数列是等差数列,且a3=2,a15=30,则a9=()
A. 12
B. 24
C. 16
D. 32
[总结反思] (1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1,a n,d,n,S n,已知其中三个就能求另外两个(简称“知三求二” .
(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用,而a1,d是等差数列的两个基本量,用它们表示已知量和未知量是常用方法.
式题(1)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,若a1=2,S2=a3,则a2=,S10=.
(2)设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S3=6,S4=12,则S6=.
探究点二等差数列的性质
2 (1)设S n是等差数列{a n}的前n项和,若a1+a3+a5=3,则S5=()
A. 5
B. 7
C. 9
D. 11
(2)[2017·大同四模]若等差数列{a n}满足a n+1=-a n+n,则a5=()
A. B. C. D.
(3)[2017·衡水中学模拟]设等差数列{a n}的前n项和为S n,已知S13>0,S14<0,若a k·a k+1<0,则k=()
A. 6
B. 7
C. 13
D. 14
[总结反思] 利用等差数列的性质“若m+n=p+q,则有a m+a n=a p+a q”或者“常用结论”中的变形公式可以有效地简化计算.
式题(1)已知{a n},{b n}都是等差数列,若a1+b10=9,a3+b8=15,则a5+b6=.
(2)若等差数列{a n}的前3项的和为34,最后3项的和为146,且所有项的和为390,则数列{a n}的项数为.
(3)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,且S10=10,S20=30,则S30=.
探究点三等差数列的判断与证明
是等差数列,并3 [2017·安徽六安模拟]已知数列{a n}满足a1=3,a n+1=-.证明:数列
-
求{a n}的通项公式.
[总结反思] (1)判断数列{a n}是否为等差数列,通常有两种方法:①定义法,证明a n-
=d(n≥2 d
-
为常数);②等差中项法,证明2a n=a n-1+a n+1(n≥2 .
(2)用定义法证明等差数列时,常采用的两个式子为a n+1-a n=d和a n-a n-1=d,但它们的意义不同,后者必须加上“n≥2”.
式题[2017·全国卷Ⅰ]记S n为等比数列{a n}的前n项和.已知S2=2,S3=-6.
(1)求{a n}的通项公式;
(2)求S n,并判断S n+1,S n,S n+2是否成等差数列.
探究点四等差数列前n项和S n的最值
4 (1)等差数列{a n}的首项a1>0,设其前n项和为S n,且S10=S12,则当S n取得最大值时
n=.
(2)[2017·长沙模拟]设数列{a n}的前n项和为S n,若点A n n,在函数f(x)=-x+c的图像上,其中c是与x无关的常数,且a1=3.记b n=,则数列{b n}的前n项和T n的最小值为.
[总结反思] 求等差数列前n项和的最值常用的方法:①利用等差数列的单调性,求出其正负转折项;②把等差数列的前n项和S n看作关于n的二次函数,根据二次函数的性质求最值.
式题(1)设各项均为正数的等差数列{a n}的前n项和为S n,若a4a8=16,则S11的最小值为()
A. 22
B. 44
C. -22
D. -44
(2)在数列{a n}中,a1=-11,2a n=2a n-1+3(n≥2 S n为数列{a n}的前n项和,则S n的最小值
为.
第29讲等比数列及其前n项和
1.等比数列中的有关公式
已知等比数列{a n}的首项为a1,公比是q,前n项和为S n,则
等比数列定义式(n≥2 q为常数且q≠0
等比中项=(G是a与b的等比中项)
通项公式或
前n项和公式
当q=1时,S n=; 当q≠1时,S n=-
-
=-
-
2.等比数列的性质
已知{a n}是等比数列,S n是{a n}的前n项和.
(1)若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则有a m a n=.
(2)当公比q≠-1时,数列S m,S2m-S m,S3m-S2m …成等比数列,其公比为.
3.等比数列与函数的关系
等比数列{a n}的通项公式可写成a n=q n(q≠1 前n项和公式可以写成S n=
-q n-
-
(q≠1 .
注:①满足或时,{a n}是递增数列;
②满足或时,{a n}是递减数列;
③当q=1时,数列{a n}是常数列;
④当q<0时,数列{a n}为摆动数列.
常用结论
1.若{a n},{b n}(项数相同)是等比数列,则{λa n}(λ≠0 ,{},{a n·b n},仍是等比数列.
2.在等比数列{a n}中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即a n,a n+k,a n+2k,a n+3k …为等比数列,公比为q k.
3.一个等比数列各项的k次幂仍组成一个等比数列,新公比是原公比的k次幂.
4.{a n}为等比数列,若a1·a2·…·a n=T n,则T n,, …成等比数列.
.
5.当q≠0 q≠1时,S n=k-k·q n(k≠0 是{a n}成等比数列的充要条件,这时k=
-
6.有穷等比数列中,与首末两项等距离的两项的积相等,特别地,若项数为奇数时,还等于中间项的平方.
题组一常识题
1.[教材改编]在递减的等比数列{a n}中,若a3=1,a2+a4=,则a1=.
2.[教材改编]已知等比数列{a n}中,a2+a3=1,a4+a5=2,则a6+a7=.
3.[教材改编]设等比数列{a n}的前n项和为S n,若a1+a2+a3+a4=1,a5+a6+a7+a8=2,S n=15,则项数n=.
4.[教材改编]在9与243中间插入两个数,使它们同这两个数构成等比数列,则这两个数
为.
题组二常错题
◆索引:“G2=ab”是“a,G,b成等比数列”的必要不充分条件;运用等比数列的前n项和公式时,易忽略q=1的情况;等比数列的性质应用不熟导致出错.
5.已知等比数列{a n}中,a3=4,a7=16,则a3与a7的等比中项为.
6.数列{a n}的通项公式为a n=a n(a≠0且a≠1 则其前n项和S n=.
7.若等比数列{a n}的各项均为正数,且a10a11+a9a12=2e5,则ln a1+ln a2+…+ln a20=.
8.在等比数列{a n}中,a n>0,a5-a1=15,a4-a2=6,则a3=.
探究点一等比数列的基本运算
1 (1)已知等比数列{a n}的公比为正数,且a5·a7=4,a2=1,则a1= ()
A. B. C. D. 2
(2)[2017·哈尔滨六中四模]已知各项均为正数的等比数列{a n}的前n项和为S n,若
a3a7=16a5,a3+a5=20,则()
A. S n=2a n-1
B. S n=2a n-2
C. S n=4-2a n
D. S n=3-2a n
(3)[2017·江苏卷]等比数列{a n}的各项均为实数,其前n项和为S n.已知S3=,S6=,则
a8=.
[总结反思] (1)等比数列中共有五个量a1,a n,q,n,S n,已知其中三个就能求另外两个(简称“知三求二” .
(2)运用等比数列的前n项和公式时,注意对q=1或q≠1的分类讨论.
式题[2017·全国卷Ⅱ]已知等差数列{a n}的前n项和为S n,等比数列{b n}的前n项和为
T n,a1=-1,b1=1,a2+b2=2.
(1)若a3+b3=5,求{b n}的通项公式;
(2)若T3=21,求S3.
探究点二等比数列的性质
2 (1)设等比数列{a n}的前n项和为S n,若S3=2,S6=6,则a13+a14+a15=()
A. 18
B. 28
C. 32
D. 144
(2)[2017·四川内江高三五模]在正项等比数列{a n}中,a1008a1010=,则lg a1+lg a2+…+lg
a2017=()
A. -2016
B. -2017
C. 2016
D. 2017
(3)[2017·福建莆田一中模拟]已知{a n}是等比数列,若a2a5a8=8,则a1a9+a1a5+a5a9()
A. 有最小值12
B. 有最大值12
C. 有最小值4
D. 有最大值4
[总结反思] (1)在等比数列的基本运算问题中,一般是利用通项公式与前n项和公式建立方程组求解,但如果灵活运用等比数列的性质“若m+n=p+q,则有a m a n=a p a q” 可减少运算量. (2)等比数列的项经过适当组合后组成的新数列也具有某种性质,例如等比数列中
S k,S2k-S k,S3k-S2k …成等比数列,其公比为q k(q≠-1).
式题(1)设等比数列{a n}的前n项和为S n,若=3,则=()
A. 2
B.
C.
D. 3
(2)[2017·上海中学模拟]若等比数列{a n}的首项a1=a,公比q≠1 则
++…+=.
探究点三等比数列的判定与证明
3 已知数列{a n}的前n项和为S n,且满足S n+n=2a n(n∈N*).
(1)证明:数列{a n+1}为等比数列,并求出数列{a n}的通项公式;
(2)若b n=n·(a n+1),求数列{b n}的前n项和T n.
[总结反思] (1)判断数列{a n}是否为等比数列,通常有两种方法:①定义法,证明=q(q为非零
常数,n∈N*);②等比中项法,证明=a n·a n+2(a n≠0 n∈N*).
(2)判断一个数列不是等比数列,只需举出反例即可.
式题已知数列{a n}的前n项和S n=-,n∈N*.
(1)求数列{a n}的通项公式;
(2)证明:对任意的n>1,都存在m∈N*,使得a1,a n,a m成等比数列.
第30讲数列求和
1.公式法
(1) 公式法
①等差数列{a n}的前n项和公式:
S n==.
(其中a1为首项,d为公差)
②等比数列{a n}的前n项和公式:
当q=1时,S n=;
当q≠1时,S n==.
(其中a1为首项,q为公比)
(2)分组求和法
一个数列的通项公式是由的数列组成的,则求和时可用分组求和法,分别求和后相加减.
2.倒序相加法与并项求和法
(1)倒序相加法
如果一个数列{a n}首末两端等“距离”的两项的和相等或等于,那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求和.
(2)并项求和法
数列{a n}满足彼此相邻的若干项的和为特殊数列时,运用求其前n项和,如形如
a n=(-1)n f(n)的类型.
3.裂项相消法
把数列的通项拆成,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和.
4.错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么这个数列的前n项和即可用错位相减法求和.
常用结论
1.一些常见的前n项和公式:
(1)1+2+3+4+…+n=;
(2)1+3+5+7+…+2n-1=n2;
(3)2+4+6+8+…+2n=n2+n.
2.常用的裂项公式:
(1)=-;
(2)
-=
-
-;
(3)=-.
题组一常识题
1.[教材改编]等差数列{a n}的通项公式为a n=2n-1,其前n项和为S n,则数列的前n项和
为.
2.[教材改编]一个球从100 m高处自由落下,每次着地后又跳回到原高度的一半再落下,当它第10次着地时,经过的路程和是m.
3.[教材改编]在数列{a n}中,a n=,若{a n}的前n项和S n=,则项数n=.
4.[教材改编] 1+2x+3x2+…+nx n-1=(x≠0且x≠1 .
题组二常错题
◆索引:用裂项相消法求和时不能准确裂项;用错位相减法求和时易出现符号错误,不能准确“错项对齐” 计算错误等问题;并项求和时不能准确分组.
5.设数列{a n}的前n项和为S n,若S n=4n2-1,则数列的前n项和为.
6.3×2-1+4×2-2+5×2-3+…+(n+2)×2-n=.
7.在数列{a n}中,a1=2,a2=2,a n+2-a n=1+(-1)n,n∈N*,其前n项和为S n,则S60=.
8.已知数列{a n}满足a n+1=+-,且a1=,则该数列的前2018项和S2018=.
探究点一分组转化法求和
1 已知等差数列{a n}满足a1=2,a2+a4=8.
(1)若a1,a3,a m成等比数列,求m的值;
(2)设b n=a n+,求数列{b n}的前n项和T n.
[总结反思] (1)若数列{c n}的通项公式为c n=a n±b n,且{a n},{b n}为等差数列或等比数列,可采用分组求和法求数列{c n}的前n项和.
(2)若数列{c n}的通项公式为c n=为奇数
为偶数
其中数列{a n},{b n}是等比数列或等差数列,可采
用分组求和法求数列{c n}的前n项和.
式题[2017·枣庄二模]已知等差数列{a n}中,a1=1,且a1,a2,a4+2成等比数列.
(1)求数列{a n}的通项公式及其前n项和S n;
(2)设b n=-,求数列{b n}的前2n项和T2n.
探究点二错位相减法求和
2 [2017·青岛二模]在公差不为0的等差数列{a n}中,=a3+a6,且a3为a1与a11的等比中项.
(1)求数列{a n}的通项公式;
(2)令b n=a n·,求数列{b n}的前n项和T n.
[总结反思] (1)若数列{c n}的通项公式为c n=a n·b n,且{a n}为等差数列,{b n}为等比数列,可采用错位相减法求数列{c n}的前n项和.
(2)用错位相减法求和时,应注意两点:一是求解的方法是两边同时乘等比数列的公比再错位相减,错位相减后简化归纳为一个等比数列求和;二是在写出“S n”与“qS n”的表达式时,应将两式“错项对齐” 即将两式中“指数相同的两项对齐” 以便下一步准确写出“S n-qS n”的表达式.
式题[2017·天津卷]已知{a n}为等差数列,前n项和为S n(n∈N*),{b n}是首项为2的等比数列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4-2a1,S11=11b4.
(1)求{a n}和{b n}的通项公式;
(2)求数列{a2n b n}的前n项和(n∈N*).
探究点三裂项相消法求和
考向1形如a n=
3 (1)已知函数f(x)=x a的图像过点(4,2),令a n=,n∈N*,记数列{a n}的前n项和为S n,
则S2018= ()
A. -1
B. -1
C. -1
D. +1
(2)已知数列{a n}的通项公式为a n=(n∈N*),其前n项和为S n,则在数列
S1,S2 … S2016中,有理数项的项数为()
A. 42
B. 43
C. 44
D. 45
[总结反思] 形如a n=型的数列,可转化为a n=(-),此类数列适合使用裂项相消法求和.
考向2形如a n=
,n∈N*,且n≥2.
4 已知函数f(x)=+,正项数列{a n}满足a1=1,a n=f
-
(1)求数列{a n}的通项公式;
(2)对n∈N*,求S n=+++…+的值.
[总结反思] (1)形如a n=型的数列,可转化为a n=-,适合裂项相消法求和.一般地,若{a n}是等差数列,则=-,=-.
(2)裂项相消法求和的基本思路是变换通项,把每一项分裂为两项,裂项的目的是产生可以相互抵消的项.需要注意的是抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项,也有可能前面剩两项,后面也剩两项或者前面剩几项,后面也剩几项.
强化演练
1.【考向2】[2017·苏州二模]已知等差数列{a n}的前n项和为S n,a4=10,S4=28,数列的前n项和为T n,则T2017=.
2.【考向1】已知数列{a n}的通项公式为a n=(n∈N*),其前n项和为S n,若S n=9,则
n=.
3.【考向2】[2017·湖南浏阳一中模拟]已知数列{a n}的前n项和S n=n(n+1),数列{b n}对任意n∈N*,都有S1b1+S2b2+…+S n b n=a n,则b1+b2+…+b2017=.
4.【考向2】[2017·全国卷Ⅲ]设数列{a n}满足a1+3a2+…+(2n-1)a n=2n.
(1)求{a n}的通项公式;
(2)求数列的前n项和.
第31讲数列的综合问题
1.数列的综合应用
(1)等差数列和等比数列的综合
等差数列与等比数列相结合的综合问题是高考考查的重点,应用等差、等比数列的通项公式、前n项和公式建立关于首项a1和公差d(或公比q)的方程组,以及等差中项、等比中项问题是历年命题的热点.
(2) 数列和函数
数列是特殊的函数,等差数列的通项公式和前n项和公式是关于n的一次函数和二次函数,等比数列的通项公式和前n项和公式在公比不等于1的情况下是公比q的指数函数模型,可以根据函数的观点解决数列问题.
(3)数列和不等式
以数列为背景的不等式证明问题及以函数为背景的数列综合问题,体现了在知识交汇点上命题的特点,通过数列的求通项以及求和问题,解决一个不等式问题,这类不等式是关于正整数
的不等式,可以通过比较法、基本不等式法、导数法和数学归纳法解决.
2.数列应用题常见模型
列模型
a n-1的递推关系,或前n项和S n与S n-1之间的递推关系
题组一常识题
1.[教材改编]某梯子的最高一级宽33 cm,最低一级宽110 cm,中间还有10级,各级宽度依次成等差数列,则所有级的宽度之和为.
2.[教材改编]某学校餐厅每天供应500名学生用餐,每星期一有A,B两种菜可供选择.调查资料表明,凡是在星期一选A种菜的学生中,下星期一会有20%的人改选B种菜;而选B种菜的学生中,下星期一会有30%的人改选A种菜.用a n,b n分别表示在第n个星期的星期一选A种菜和选B种菜的学生人数,若a1=300,则a n+1与a n的关系可以表示为.
3.[教材改编]已知△ABC的内角A,B,C所对的边a,b,c成等比数列,则角B的最大值
是.
4.[教材改编]已知等差数列{a n}的公差为2,若a2,a4,a8成等比数列,则{a n}的前n项和
S n=.
题组二常错题
◆索引:数列实际问题的两个易错点,即项数和年(月)份数.
5.容积为a L(a>1)的容器盛满纯酒精后倒出1 L,然后加满水,再倒出1 L混合溶液后又用水加满,如此继续下去,则第n次操作后溶液的浓度是;当a=2时,至少应操作
次后才可以使酒精浓度低于10%.
6.已知数列{a n}是等差数列,且a1+a7=8,数列{b n}是等比数列,且b5=则
b2b8=.
7.某公司去年产值为a,计划在今后5年内每年比上一年产值增加10%,则从今年起到第5年,这个厂的总产值为.
8.一个凸多边形的内角构成等差数列,其公差为5°,其中最小的内角为120°,那么这个多边形的边数n=.
探究点一等差、等比数列的综合问题
1 [2017·青岛模拟]已知数列{a n}的前n项和S n=,正项等比数列{b n}
中,b 1+b3=,b2+b4=.
(1)求数列{a n},{b n}的通项公式;
(2)若c n是a n与b n+1的等比中项,求数列{}的前n项和T n.
[总结反思] (1)正确区分等差数列和等比数列,其中公比等于1的等比数列也是等差数列.等差数列和等比数列可以相互转化.若数列{b n}是一个公差为d的等差数列,则{}(a>0,a≠1 就是一个等比数列,其公比q=a d;反之,若数列{b n}是一个公比为q(q>0)的正项等比数列,则{log a b n}(a>0,a≠1 就是一个等差数列,其公差d=log a q.
(2)解决等差数列与等比数列的综合问题,关键是理清两个数列的关系:如果数列中部分项成等差数列,部分项成等比数列,要把成等差数列或等比数列的项抽出来单独研究;如果两个数列通过运算综合在一起,要从分析运算入手,把两个数列分割开,弄清两个数列各自的特征,再进行求解.
式题[2017·湖南永州五中三模]已知等差数列{a n}的前n项和为S n,a3=3,且
λS n=a n a n+1(λ≠0 在等比数列{b n}中,b1=2λ,b3=a15+1.
(1)求数列{a n}及{b n}的通项公式;
(2)设数列{c n}的前n项和为T n,且c n=1,求T n.
探究点二数列在实际问题中的应用
2 (1)[2017·衡水中学模拟]在2013年至2016年期间,甲每年6月1日都到银行存入m元的一年定期储蓄,若年利率q保持不变,且每年到期的存款利息自动转为新一年的定期,到2017年6月1日甲去银行不再存款,而是将所有存款的本息全部取回,则取回的金额是()
A. m(1+q)4元
B. m(1+q)5元
C. -元
D. -元
(2)[2017·河南六市联考]《九章算术》是我国古代的数学名著,书中有如下问题:“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等,问各得几何?”其意思为:已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱,甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列,问五人各得多少钱 “钱”是古代的一种重量单位)?这个问题中,甲所得为()
A. 钱
B. 钱
C. 钱
D. 钱
[总结反思] (1)用数列知识解相关的实际问题,关键是列出相关信息,把问题抽象为等差、等比数列问题,合理建立数学模型;求解时,要明确目标,即搞清楚是求和,还是求通项,还是解递推关系问题,所求结论对应的是解方程问题,还是解不等式问题,还是最值问题,然后将通过数学推理与计算得出的结果放回到实际问题中进行检验,最终得出结论.
(2)数列在日常经济生活中应用广泛,现实生活中涉及银行利率、企业股金、产品利润、繁殖与增长率、工作效率等实际问题,需由实际问题构建出数列模型,转化为相应的数列问题来解决.
式题现有流量均为300 m3/s的两条河流A,B汇合于某处后,不断混合,它们的含沙量分别为2 kg/m3和0.2 kg/m3.假设从汇合处开始,沿岸设有若干个观测点,两股水流在流往相邻两个观测点的过程中,其混合效果相当于两股水流在1 s内交换100 m3的水量,其交换过程为从A 股流入B股100 m3的水量,经混合后,又从B股流入A股100 m3的水量并混合,问从第几个观测点开始,两股水流的含沙量之差小于0.01 kg/m3(不考虑泥沙沉淀).
探究点三数列与函数、不等式的综合问题
考向1数列与不等式的综合
3 [2017·贵阳二模]设S n是等差数列{a n}的前n项和,若公差d≠0 a5=10,且a1,a2,a4成等比数列.
(1)求数列{a n}的通项公式;
,T n=b1+b2+…+b n,求证:T n<.
(2)设b n=
-
[总结反思] (1)以数列为背景的不等式恒成立问题,多与数列求和相联系,求解的思路一般有两种:一是求和后直接利用基本不等式求解数列中的最值;二是求和后抓住和式的特征,利用函数的思想,借助数列的单调性求解,此时需注意变量的取值范围.
(2)数列中不等式的证明问题,数列型不等式的证明常用到“放缩法”:一是在求和中将通项“放缩”为“可求和数列” 如等比数列,可裂项相消求和的数列等;二是求和后比较中的“放缩”.
放缩法中常见的放缩技巧有:
①<
-=
-
-;②-<<
-
-;③2(-)<<2(--).
考向2数列与函数的综合
4 [2017·潍坊二模]记数列{a n}的前n项和为S n,a1=t,点(a n+1,S n)在直线y=x-1上,n∈N*.
(1)当实数t为何值时,数列{a n}是等比数列?并求数列{a n}的通项公式.
(2)若f(x)=[x]([x]表示不超过x的最大整数),在(1)的结论下,令b n=f(log3a n)+1,c n=a n+,求{c n}的前n项和T n.
[总结反思] (1)以函数为背景的数列问题,关键是从题设中提炼出数列的基本条件,综合函数与数列的知识求解.数列是特殊的函数,以函数为背景的数列问题体现了在知识交汇点上命题的特点.。