高中数学-“杨辉三角”与二项式系数的性质说课

“杨辉三角”与二项式系数的性质
人教社·普通高级中学教科书（选修2--3）第一章第3节《二项式定理》（第3课时）
《二项式定理》这一节内容，大致分成4个课时，我主要针对第3课时的教学，谈谈我的理解与设计，敬请各位专家斧正.
一、说教材
1、教材的地位与作用
二项式定理是选修2—3第一章第3节的内容。

它是解决高次多项式问题的有力工具。

在函数、数列、不等式证明等问题中时常会碰到高次多项式的问题，二项式就是解决该类问题的重要工具之一。

2、说教学目标
本节课的教学目标是要实现对学生知识、能力、情感三维的培养目标
知识目标：（1）能过探索发现“杨辉三角”蕴含的简单规律.
（2）掌握二项式系数的3个性质.
能力目标：让学生认真分析杨辉三角提供的信息，从特殊到一般，归纳猜想，合情推理得到二项式系数的性质再给出严格的证明。

使学生体会用
函数知识研究问题的方法，以及赋值法的妙用。

培养学生观察发现，
抽象概括及分析解决问题的能力。

情感目标：“杨辉三角”和勾股定理，圆周率的计算等其他中国古代数学成就一起，显示了我国古代劳动人民的卓越智慧和才能，以此对学生
进行爱国者主义教育，激励学生的民族自豪感。

让学生获得知识的同时掌握发现问题和解决问题的科学的方法。

通过对“杨辉三角”的观察来探索二项展开式系数的性质更是达
到了高度的统一与和谐，所以它向人们展示了高度的统一与和谐
之美。

教学过程中要善于抓住这样的点滴，给学生以美的熏陶和
哲理的启示。

3、说重点、难点
重点：通过观察发现“杨辉三角”蕴含的规律，探寻二项式系数的性质。

难点：二项式系数性质的证明及其运用。

四、说教法
皮亚杰的认知结构学认为：“所有的认知结构，结构再构建，构成复杂的结构，不断发展。

”所以教学活动不应该是知识单方面的迁移。

教法上采用“引导--启发—总结”三维立体的探究式教学方法。

在学习方法上，指导学生：积极的展开“探索—反思—总结”三维立体的 自主+互补的学习方法。

五、说教学过程
设计理念：在教学中，努力把表现的机会让给学生，以发挥他们的自主精神；尽量创造让学生活动的机会，以让学生在直接体验中建构自己的知识体系；尽量引导学生的发展和创造意识，以使他们能在再创造的氛围中学习，老师起好引领的作用。

1、 引导激趣
设计意图：创设情景，激发学生兴趣，让学生迫不及待想一试身手。

二项式定理：01()()n n n r n r r n n n
n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈L L
当 n 从1到6变化时，用计算器计算二项展开式的二项式系数并列成表.（杨辉三角）
通过计算，你发现了什么规律?你知道所列的表叫什么吗？对此作介绍，提倡学生热爱民族，热爱科学。

让学生进一步对杨辉三角做出分析、探究，激发学生的好奇心。

学生计算并猜想：n=7, 8 ,…n 时，二项展开式的二项式系数所形成的表有什么规律吗？每一行两端的二项式的系数有什么特征？行之间的二项式的系数有什么样的关系呢？每一行的二项式的系数还有什么样规律呢？
2、互动导标
设计意图：设置探究问题，分析不同结果的原因，并引导学生通过观察、分析、探讨从而发现的规律、得出结论，鼓励学生进行数学交流，激发学生进一步探究的热情，从而找到更多的性质。

(1)表中每行两端都是1，n n n C C =
?
(2)除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和r
n
r
n
r
n
C
C
C+
=-
+
1
1
（3）对称性
（4）增减性与最值
（5）012
2n r n
n n n n n
C C C C C
=++++++
L L
3、性质导析
设计意图：性质的证明是本节课的难点，攻克了这个难点，下面的学习便会得心应手。

更重要的是知识的证明过程，是实现本节能力目标的最重要的环节，所以这里一定要不惜篇幅，做到透彻，细致。

培养学生的发散思维，能够应用多种方法解决问题。

从函数的角度研究二项式系数的性质
()n
a b
+展开式的二项式系数是0
n
C，1
n
C，2
n
C，…，n
n
C．r
n
C能否看成以r为自变量的函数()
f r？
如果可以，它的定义域是什么呢？，例当6
n=时，其图象是7个孤立的点（如图）
学生自己画出 n=7 时的图像，并让学生叙述二项式系数的对称性，增减性及最值。

4、知识形成、巩固
题组一（1）写出(p+q)7的展开式.
（2）求(2a+3b)6的展开式的第三项.
（3）（x-1)10的展开式的第六项的系数是.
题组二例1、求的展开式
例2、(1) 求 ( 1 + 2x ) 7的展开式中第 4 项的系数
(2) 求 ( x －
x
1) 9 的展开式中 x 3的系数
6
)
1
2(
x
x-
5、类比拓展：
设计意图：加大课堂思维含量，培养学生深入的挖掘问题的习惯，解决问
题的自主能力。

（1）求 ( 1 + 2x )7 的展开式中所有项系数的和。

（2）求 ( 1 + 2x )7 的展开式中所有奇数项与偶数项系数之差。

（3）求 ( 1 + 2x )7 的展开式中所有奇数项系数的和。

（4）求 ( 1 + 2x )7 的展开式中所有偶数项系数的和。

6、引导小结：
（一）对于n 次多项式f(x):
(1)各项系数的和为f(1)
(2)奇数项的和为 （3）偶数项的和为
（二）二项式定理： 对于任意n ∈ N *
n n n n n n n n n n n n n n n b
C ab C b a C b a C b a C a C b a +++++=+-----11333222110)(K K （三）通项 T r + 1 = , (r=0,1,2,…n) 7、分层练习、作业
练习：课本37页—A 组1、2、5
作业：课本37页—A 组4
教学活动中积极的组织师生之间的自评互评，全方位的为学生打造交流的平台，体现素质教育的指导思想。

让学生在兴趣的推动下，美的享受中收获有形的知识，更重要的是收获无形的“解惑之法，求真之术”。

2)1()1(-+f f 2)1()1(--f f r
r n r n b a C -。