新疆维吾尔自治区伊犁哈萨克自治州2023-2024学年八年级下学期期中数学试题(含解析)

2023-2024学年第二学期阶段性检测
八年级数学
（时间：120分钟，满分值：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列各式中最简二次根式为（ ）
A
B
C
D
2．下列计算正确的是（ ）
A
B ．C
．D ．3．下列几组数中，不能作为直角三角形三边的是（ ）
A ．1
B ．7，24，25
C ．4，5，
6D ．，，14．如图所示：数轴上点所表示的数为
，则的值是（ ）
A B ．C
D
5．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ）
A ．对边相等
B ．对角相等
C ．对角线相等
D ．对角线互相平分
6．如图，矩形中，对角线、交于点O ．若，
，则的长为（ ）
A ．3
B ．4
C ．
D ．5
7．如图，是内一点，，，，，，，，分
=1==-2=3545A a a 11+1ABCD AC BD 60AOB ∠=︒8BD =AB D ABC BD CD ⊥7AD =4BD =3CD =E F G H
别是，，，的中点，则四边形的周长为（ ）
A ．12
B ．14
C ．24
D ．21
8．如图，在正方形中，是上一点，，，若是上一动点，则的最小值是（ ）
A ．12
B ．10
C ．8
D ．16
9．《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺.问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈尺），一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为尺，则可列方程为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．10．如图，点
E 、
F 、
G 、
H 分别是四边形ABCD 边AB 、BC 、CD 、DA 的中点．则下列说法：①若AC ⊥BD ，则四边形EFGH 为矩形；②若AC ＝BD ，则四边形EFGH 为菱形；③若四边形EFGH 是平行四边形，则AC 与BD 互相平分；④若四边形EFGH 是正方形，则AC 与BD 互相垂直且相等．其中正确的个数是（
）
AB BD CD AC EFGH ABCD E AB 2BE =3AE BE =P AC PB PE +10=x ()22610x x -=-()222610x x -=-()22610x x +=-()222610x x +=-
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11
在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是
．12．如果实数
a 、b
＝ ．
13．在平面直角坐标系中，点到原点的距离为 ．
14．平行四边形的周长为24cm ，相邻两边长的比为3：1，那么这个平行四边形较短的边长为 cm ．
15．如图是株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形，，，的面积分别为3，7，1，3，则最大的正方形的面积
是 ．
16．如图，是矩形的对角线的中点，是的中点．若，，则四边形的周长为 .
17．如图，在菱形中，、相交于点，为的中点，且，()6,8A -A B C D E O ABCD AC M AD 5AB =12AD =ABOM ABCD AC BD O E AB DE AB ⊥6
AC =
则菱形的面积是 ．
18．如图，矩形中，、交于点O ，平分交于E ，，连接．下列结论：①是等边三角形；②；③；
④．其中正确的有 （填序号）．
三、解答题：（本大题共6小题，共66分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．计算
(2)(3)已知，
，求的值
20．如图，正方形网格中每个小正方形的边长都为，点
都在格点上．
(1)求四边形的周长和面积？
(2)是直角吗？为什么？
21．如图，将的角线向两个方向延长，分别至点和点
，且使．求证：四边形是平行四边形．
ABCD ABCD AC BD
AE BAD ∠BC 15
CAE ∠=︒OE ODC CD BE =2BC AB =AOE COE S S =
⎛+ ⎝1x =1y =22x x y y +-1,,,A B C D ABCD BAD ∠ABCD Y BD E F BF DE =AECF
22．如图，在海面上有两个疑似漂浮目标，接到消息后，两艘搜救艇同时从港口出发赶往目的地．一艘搜救艇以海里/时的速度沿北偏东的方向向目标前进，同时另一艘
搜救艇以海里/时的速度向目标前进，小时后，他们同时分别到达目标，此时，他们相距海里，请问第二艘搜救艇的航行方向是北偏西多少度？
23．将矩形ABCD 折叠使A ，C 重合，折痕交BC 于E ，交AD 于F ，
（1）求证：四边形AECF 为菱形；
（2）若AB=4，BC=8，求菱形的边长．
24．某数学兴趣小组利用正方形硬纸片开展了一次活动，请认真阅读下面的探究片段，完成所提出的问题．
四边形是边长为3的正方形，点是射线上的动点，，且交正方形外角的平分线于点．
【探究1】当点是中点时如图1，发现，这需要证明与
所在的两个三
A
B 、O 660︒A 8B 1.5A
B 、15ABCD E B
C 90AEF ∠=︒EF CF F E BC AE EF =AE EF
角形全等，但与显然不全等，考虑到点是的中点，引条辅助线尝试就行了，取的中点，连接，证明与全等即可．请写出证明过程．
【探究2】
（1）如图2，如果把“点是边的中点”改为“点是边上（不与点，重合）的任意一点”，其他条件不变，那么结论“”仍然成立吗？如果成立，写出证明过程，如果不成立，请说明理由；
（2）如图3，如果点是边延长线上的任意一点，其他条件不变，请你画出图形，并判断“”是否成立？_________（填“是”或“否”）；
参考答案与解析
1．B
【分析】根据最简二次根式的性质，对各个选项逐一分析，即可得到答案．
∴选项A错误；
B正确；
∴选项C错误；
∴选项D错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的知识，解题的关键是熟练掌握最简二次根式的性质，从而完ABE
FCE
△E BC
AB H EH AHE
ECF
△
E BC E BC B C
AE EF
=
E BC
AE EF
=
=
=
==
成求解．
2．C
【分析】根据二次根式的加减法法则逐一计算即可；
【详解】解：A
不是同类二次根式不能合并，原选项不符合题意；
B 、
C 、，符合题意；
D 、2
故选：C
【点睛】本题考查了二次根式的加减，熟练掌握运算法则是解题的关键
3．C
【分析】根据勾股定理的逆定理判断即可：三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么
这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形【详解】解：A 、12+）22，符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意；B 、72
+242＝252
，符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意；C 、42+52≠62，不符合勾股定理的逆定理，故本选项符合题意；
D 、（）2
+（）2＝12
，符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而判断4．D
【分析】本题考查的是勾股定理及两点间的距离公式，解答此题时要注意，确定点的符号后，点所表示的数是距离原点的距离．先根据勾股定理求出三角形的斜边长，再根据两点间的距离公式即可求出点的坐标．
【详解】解：图中直角三角形的两直角边为，，
那么和那么，
故选：D ．
==-35
45A A A 12∴=1-A a 1
5．C
【分析】根据矩形和平行四边形的性质进行解答即可．
【详解】矩形的对角线互相平分且相等，而平行四边形的对角线互相平分，不一定相等．故选C ．
【点睛】本题考查矩形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质．如：矩形的对角线相等；四个角都是直角等．
6．B
【分析】本题考查了矩形的性质以及等边三角形的判定与性质，熟练掌握矩形性质是解决本题的关键．
先由矩形的性质得出，结合题意证明是等边三角形即可．
【详解】解：四边形是矩形，且，
，，是等边三角形，，
故选：B ．
7．A
【分析】本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理的应用，熟记三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半是解题的关键．
利用勾股定理列式求出的长，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出，然后代入数据进行计算即可得解．【详解】解：∵，
∴，
∵、、、分别是、、、的中点，
∴，∴四边形的周长，
又，
∴四边形的周长．
OA OB =AOB ABCD 8BD =∴42
BD OA OB OC OD ====
=60AOB ∠=︒ AOB ∴ 4OA AB ==BC 11,22
====EH FG BC EF GH AD ,4,3BD CD BD CD ⊥=
=5BC ===E F G H AB AC CD BD 11,22
====EH FG BC EF GH AD EFGH =+++=EH GH FG EF A +D BC 7AD = EFGH 7512=+=
故选：A ．
8．B
【分析】本题考查轴对称-最短路线问题，正方形的性质，勾股定理，能利用将军饮马模型用一条线段的长不是两线段和的最小值是解题的关键．
连接，利用将军饮马模型确定出的最小值为线段的长，再利用勾股定理求出即可．
【详解】解：连接，
∵正方形对角线所在直线是正方形的一条对称轴，
∴，
∴，
∴的最小值为的长，
∵，
∴，
在中，，
故选：B ．
9．D
【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确画出图形，熟练掌握勾股定理的内容是解题的关键．
【详解】根据题意画出图形，设折断处离地面的高度为x 尺，则，，在中，，
即．
故选D
．,PD ED PB PE +DE ,PD ED AC ABCD PD PB =PB PE PD PE DE +=+≥PB PE +DE 2,3BE AE BE ==6,8===AE AD AB Rt DEA
10DE ===10AB x =-6BC =Rt ABC 222AC BC AB +=()2
22610x x +=-
10．C
【分析】因为一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线AC ⊥BD 时，中点四边形是矩形，当对角线BD =AC 时，中点四边形是菱形，当对角线AC =BD ，且AC ⊥BD 时，中点四边形是正方形．
【详解】解：∵点E 、F 、G 、H 分别是四边形ABCD 边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，∴EH =BD ，EH //BD ，FG =BD ，FG //BD ，EF =AC ，EF //AC ，HG
=AC ，HG //AC ，∴EH =FG ，EH //FG ，
∴四边形EFGH 是平行四边形，
当对角线AC ⊥BD 时，则∠HEF =90°，
∴四边形EFGH 是矩形，故①符合题意；
当对角线BD =AC 时，则EF =EH ，
∴四边形EFGH 是菱形，故②符合题意；
当四边形EFGH 是平行四边形，则AC 与BD 不一定互相平分，故③不符合题意；若四边形EFGH 是正方形，
∴EH ⊥HG ，EH =HG ，
∴AC ⊥BD ，AC =BD ，
∴AC 与BD 互相垂直且相等，故④符合题意；
综上，正确的是①②④，共3个．
故选：C ．
【点睛】本题考查中点四边形、平行四边形、矩形、菱形的判定等知识，解题的关键是记住一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线BD =AC 时，中点四边形是菱形，当对角线AC ⊥BD 时，中点四边形是矩形，当对角线AC =BD ，且AC ⊥BD 时，中点四边形是正方形．
11．【分析】根据二次根式有意义的条件得到，解不等式即可得到答案．
【详解】解：在实数范围内有意义，
∴，
∴，
故答案为：12121212
3
x ≤30x -≥30x -≥3x ≤3x ≤
【点睛】此题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握被开方式为非负数是二次根式有意义的条件是解题的关键．
12．2b-a
【分析】由数轴知a ＜0＜b 且|a|＜|b|，据此得a-b ＜0，再根据二次根式的性质和绝对值的性质化简可得．
【详解】由数轴知a ＜0＜b ，且|a|＜|b|，
则a-b ＜0，
=|a-b|+|b|
=b-a+b
=2b-a ，
故答案为2b-a ．
【点睛】本题主要考查二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质、绝对值的性质．
13
．10
【分析】利用两点间的距离公式进行求解即可．
【详解】解：点，故答案为：10．
【点睛】此题考查了平面直角坐标系中两点间的距离，熟练掌握两点间的距离是解题的关键．
14．3
【详解】平行四边形对边相等，周长为24cm ，相邻两边长的比为3：1，则设邻边为，
解得，
即这个平行四边形较短的边长为3cm ，
故答案为：3．
15．14
【分析】根据勾股定理可知S A +S B =S F ，S C +S D =S G ，S F +S G =S E ，代入即可得出答案．
【详解】解：如图，
()6,8A -10=,3,x x ()2324x x ∴+=3x =
∵所有的三角形都是直角三角形，正方形A 、B 、C 、D 的面积分别为3、7、1、3，∴S A +S B =S F ，S C +S D =S G ，S F +S G =S E ，
∴S E =S A +S B +S C +S D =3+7+1+3=14，
∴正方形E 的面积为14．
故答案为：14．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，特别要注意条件中给出的是正方形的边长还是面积，属于基础题．
16．20
【分析】先由，得到，然后结合矩形的性质得到，再结合点和点分别是和的中点得到和的长，最后得到四边形的周长．
【详解】解：，
，
，，
，
点和点分别是和的中点，
，，是的中位线，，．
故答案为：20．
【点睛】本题考查了矩形的性质、三角形的中位线定理，解题的关键是熟知矩形的性质．17．【分析】本题考查了菱形的性质，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，熟记名性质是解题的关键．
根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，再根据菱形的四条边都相等可得，然后求出，从而得到是等边三角形，
再根据菱
5AB =12AD =13AC = 6.5OB =O M AC AD OM AM ABOM 5AB = 5CD ∴=12AD =∵90D Ð=°13AC ∴= O M AC AD 6.5OB ∴=162
AM AD ==OM ACD ∆1 2.52
OM CD ∴==5 6.5 2.5620ABOM C AB BO OM MA ∴=+++=+++=
四边形AD BD =AB AD =AB AD BD ==ABD △
形的对角线互相平分求出，再根据直角三角形30度角的性质得的长，则得对角线的长，根据菱形面积公式：两条对角线乘积一半可得结论．
【详解】解：∵为的中点，，
，
∵四边形是菱形，
∴，
，
∴为等边三角形．
∵四边形是菱形，
∴于，在中，，
∴，
∴
∴菱形的面积
故答案为：．
18．①②④
【分析】先求出，再利用矩形的性质得到，即可判定①，利用角平分线的定义与平行线的性质进行角之间的转化即可判断②，利用等边三角形的三条边相等和矩形对角线互相平分以及直角三角形中斜边比直角边长即可判断③，利用中线平分三角形面积即可判断④．
【详解】解：∵
四边形是矩形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，故①正确；AO OB BD E AB DE AB ⊥AD DB ∴=ABCD AB AD =AD DB AB ∴==ABD △ABCD BD AC ⊥11,6322
==⨯=O AO AC Rt AOB 30OAB ∠=︒OB =2BD OB ==ABCD 11622
B A
C
D =
=⋅⨯⨯=60OCD ∠=︒OC OD =ABCD 90ADC BAD AC BD ∠=∠=︒=，OC OD =AE BAD ∠45BAE DAE ∠=∠=︒4530DAC CAE ∠=︒-∠=︒903060ACD ∠=︒-︒=︒ODC
∵矩形中，与平行，且，
∴，
∴，
∴，
∴，故②正确；
∵是等边三角形，
∴，∴，∴，故③错误；
∵，
∴，故④正确；
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、角平分线的定义等知识，解题关键是掌握矩形的性质并能灵活应用．
19．(1)0
(2)14
(3)5
【分析】本题考查了二次根式的混合运算．
（1）先化简，再根据根据二次根式的加减法可以解答本题；
（2）根据二次根式的乘法和加减法可以解答本题；
（3）根据x 、y 的值以及完全平方公式即可求得所求式子的值．
【详解】（1
；
（2）解：
AD BC AB CD =AEB
DAE ∠=∠AEB BAE ∠=∠AB BE
=CD BE =ODC
12CD OD
OB BD ===
12
AB BD =2AB BD
BC =＞OA OC =AOE
COE S S =
=-
0=⎛ ⎝(=-+
；
（3）解：∵，，
∴．20．(1)四边形的周长为，四边形
的面积
(2)是直角，理由见详解
【分析】（1）根据格点的特点，运用勾股定理分别算出的长，可求出四边形的周长，运用“割补法”可求出四边形的面积；
（
2）运用勾股定理的逆定理可求出是直角三角形，由此即可求解．
【详解】
（1）解：根据格点的特点得，，，
∴四边形的周长为，如图所示，
∴，则，
∴，，，，
，∴
，
14=
=1x
=1y =22x x y y
+-()2x y xy
=-+))
21111+=421=+-5=ABCD ABCD 33
2,,,AD AB BC CD ABCD ABCD ABD △AD ==AB ==BC ==CD ==ABCD AB BC CD AD +++=5EF FC CG EG ====22525EFCG S EF ===正方形12442AED S =⨯⨯=△151522
CDG S =⨯⨯=△11422BCH S =⨯⨯=△1BKFH S =正方形11212
ABK S =⨯⨯=△AED CDG BCH ABK EFCG BKFH ABCD S S S S S S S =-----△△△△正方形正方形四边形
∴
，∴四边形的面积．（2）解：是直角，理由如下，
如图所示，连接，
∴，，，
∴，
∴是直角三角形，即，
∴是直角．
【点睛】本题主要考查格点三角形的性质，勾股定理及逆定理的运用，掌握勾股定理及逆定理的运用是解题的关键．
21．见解析
【分析】由平行四边形的性质可得，，由平行线的性质可得
，从而得到，由可得，通过证明，得到，，由平行线的判定可得，从而即可得证．
【详解】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，,
，
，
，
，
在和中，
53325421122
ABCD S =-----=四边形ABCD 332
BD 225BD =25AB =220AD =222AB AD BD +=ABD △90BAD ∠=︒BAD ∠AB CD AB CD =CDB ABD ∠=∠CDF ABE Ð=ÐBF DE =DF BE =()SAS CDF ABE △≌△AE CF =CFD AEB =∠∠AE CF ABCD AB CD ∴∥AB CD =CDB ABD ∴∠=∠180CDB CDF ∠+∠=︒ 180ABD ABE ∠+∠=︒CDF ABE ∴∠=∠BF DE = BF BD DE BD ∴-=-DF BE ∴=CDF ABE
，
，
，，
，
四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、平行线的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
22．北偏西【分析】根据题意可得海里，海里，海里，即可得，则，进而可得，从而可得出答案，本题考查解直角三角形的应用﹣方向角问题、勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理、方向角是解答本题的关键．
【详解】解：一艘搜救艇以海里/时的速度沿北偏东的方向向目标前进，同时另一艘搜救艇以海里/时的速度向目标前进，行驶时间为小时，
∴（海里），（海里），
∴，
∵（海里），
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴第二艘搜救艇的航行方向是北偏西．
23．（1）证明见解析；（2）5
【分析】（1）根据折叠的性质得OA=OC ，EF ⊥AC ，EA=EC ，再利用AD ∥AC 得到∠FAC=∠ECA ，
则可根据“ASA”判断△AOF ≌△COE ，得到OF=OE ，加上OA=OC ，AC ⊥EF ，于是可根据菱形的判定方法得到四边形AECF 为菱形；
（2）设菱形的边长为x ，则BE=BC-CE=8-x ，AE=x ，在Rt △ABE 中，根据勾股定理得
AB CD ABE CDF BE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
()SAS CDF ABE ∴ ≌AE CF ∴=CFD AEB =∠∠AE CF ∴∥∴AECF 30︒
9OA =12OB =15AB =222OB OA AB +=90AOB ∠=︒30BOD ∠=︒660︒A 8B 1.56 1.59OA =⨯=8 1.512OB =⨯=2222912225OA OB +=+=15AB =2215225AB ==222OB OA AB +=90AOB ∠=︒60AOD ∠=︒30BOD ∠=︒30︒
（8-x ）2+42=x 2，然后解方程即可得到菱形的边长．
【详解】证明：（1）∵矩形ABCD 折叠使A ，C 重合，折痕为EF ，
∴OA=OC ，EF ⊥AC ，EA=EC ，
∵AD ∥AC ，
∴∠FAC=∠ECA ，在△AOF 和△COE 中，
∵∠FAO=∠ECO ，AO=CO ，∠AOF=COE
∴△AOF ≌△COE ，
∴OF=OE ，
∵OA=OC ，AC ⊥EF ，
∴四边形AECF 为菱形；
（2）设菱形的边长为x ，则BE=BC-CE=8-x ，AE=x ，
在Rt △ABE 中，∵BE 2+AB 2=AE 2，
∴（8-x ）2+42=x 2，解得x=5，
即菱形的边长为5．
【点睛】本题考查了折叠的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，勾股定理，判断出四边形AECF 为菱形和求出菱形的边长是解题的关键．
24．探究1：详见解析；探究2：（1）详见解析；（2）成立，
【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定：
探究1：取的中点，连接，证明，，，根据推出和全等即可；
探究2：（1）在上截取，连接，证明，
，，根据推出和全等即可；
（2）在的延长线上取一点N ，使，连接，根据已知利用判定，因为全等三角形的对应边相等，所以．
【详解】解：探究1：如图1，取的中点，连接，
∵四边形
是正方形，
AE EF =AB H EH BAE CEF ∠=∠135ECF AME ∠=︒=∠AM EC =ASA AME △ECF △AB BM BE =ME BAE CEF ∠=∠135ECF AME ∠=︒=∠AM EC =ASA AME △ECF △BA AN CE =NE ASA ANE ECF △≌△AE EF =AB H EH ABCD
∴，，
∴∴，∴∵，
∴，
∴，
∵是正方形外角的平分线，
∴，
∴，
∴∵，，
∴，
在和中
，∴，
∴；
探究2：（1）如图2，在上截取，连接，∵四边形是正方形，
∴，，
∴，，∴，
∵，
∴
，
AB BC =90ABC BCD ∠=∠=︒BH BE
=45BHE BEH ∠=∠=︒90BAE AEB ∠+∠=︒
18045135AHE ∠=-︒=︒
90AEF ∠=︒90AEB FEC AEB BAE ∠+∠=︒=+∠∠BAE CEF ∠=∠CF ABCD 45DCF ∠=︒135ECF ∠=︒ECF AHE
∠=∠AB BC =BH BE =AH EC =AHE ECF △HAE CEF AH EC
AHE ECF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
AHE ECF △≌△AE EF =AB BM BE =ME ABCD AB BC =90ABC BCD ∠=∠=︒45BME BEM ∠=∠=︒90BAE AEB ∠+∠=︒180135AME BME ∠=︒-=︒∠90AEF ∠=︒90AEB FEC AEB BAE ∠+∠=︒=+∠∠
∴，
∵是正方形外角的平分线，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，∴，
∴；
（2）成立，证明如下：
如图3，在的延长线上取一点，使，连接．∵四边形是正方形，
∴，∴，即，
∴，
∵平分，
∴，∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
又∵
，BAE CEF ∠=∠CF ABCD 45DCF ∠=︒135ECF AME ∠=︒=∠AB BC =BM BE =AM EC =AME △ECF △MAE CEF AM EC
AME ECF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
()ASA AME ECF ≌AE EF =AE EF =BA N AN CE =NE ABCD AB BC =90ABC DCB DCG ∠=∠=∠=︒
BA AN BC CE +=+BN BE =45N NEC ∠=∠=︒CF DCG ∠1452
FCE DCG ∠==︒N ECF ∠=∠ABCD AD BE DAE BEA ∠=∠90AEF ∠=︒
∴，∴，∴，∴．NAD DAE AEF AEC +=+∠∠∠∠NAE CEF ∠=∠()ASA ANE ECF ≌AE EF =。