证券组合理论概论

证券组合理论
1952年，美国经济学家哈里•马科维茨在?投资组合选择?一文中，第一次提出了证券组合理论。

该理论描述了投资者如何样通过证券组合，在最小风险水平下获得既定的期瞧收益率，或在风险水平既定的条件下获得最大期瞧收益率。

1963年，马科维茨的学生威廉.夏普提出了单指数模型，旨在简化证券组合理论应用于大规模市场面临的计算咨询题。

通过几十年的开展，这些理论已成为证券投资学的全然内容。

第一节证券的风险和收益
一、风险、收益及其度量
收进能够分解为消费和储蓄，储蓄在一定条件下能够转化为投资。

人们进行投资的直截了当动机是获得收益，投资决策的目标是收益最大化。

投资是放弃当前的消费，目的是为了今后更多的消费，但同样货币支出当前消费比今后消费能给人带来更大的满足，因此，投资者要求对放弃当前消费给予补偿。

不仅如此，投资在前，收益在后，收益是投资的结果，受到许多不确定因素的碍事，投资者担负了风险，同样需要补偿。

收益是投资者放弃当前消费和担负风险的补偿,投资者在处理收益率与风险的关系时,总是盼瞧在风险既定的情况下,获得最大的收益率;或在收益率既定的条件下,使风险最小。

那么，如何计量风险和收益率呢。

任何一项投资的结果都可用收益率来衡量，通常收益率的计
算公式为：
收益率〔%〕=〔收进—支出〕/支出×100%
投资期限一般用年来表示，要是期限不是整数，那么转换为年。

在股票投资中，投资收益等于期内股票红利收益和价差收益之和，其收益率的计算公式为：
r=〔红利+期末市价总值—期初市价总值〕/期初市价总值×100%
在通常情况下，收益率受许多不确定因素的碍事，因而是一个随机变量。

我们可假定收益率服从某种概率分布，即每一收益率出现的概率，用表列示如下：
数学中求期瞧收益率或收益率平均数的公式如下：要是投资者以期瞧收益率为依据进行决策，那么他必须意识到他正冒着得不到期瞧收益率的风险，实际收益率与期瞧收益率会有偏差，期瞧收益率是使可能的实际值与推测值的平均偏差到达最小(最优)的点估量值。

可能的收益率越分散，它们与期瞧收益率的偏离程度就越大，投资者担负的风险也就越大，因而风险的大小由今后可能收益率与期瞧收益率的偏离程度来反映。

在数学上，这种偏离程度由收益率的方差来度量。

要是偏离程度用[]2)(r
-来度量，那么平均偏
E
r
i
离程度被称为方差，记为2δ。

其平方根称为标准差，记为δ。

在实际进行投资决策时，将使用期瞧收益率和方差的具
体值，然而我们无法得知按公式计算期瞧收益率和方差所需
要的概率分布，因为无法对碍事收益率的各种复杂因素及其
碍事程度作出合理的定量化的判定，企图得到一个较好的估
量也是一件十分困难的情况。

收益率的分布并不随时刻推移
而发生变化，实际收益率的变化来自于同一分布的不同表现，因而反映收益率变化的统计规律的两个重要的数字特征——期瞧收益率和方差也不随时刻而变化。

如此，我们便能
够从收益率的历史数据得到二者的估量—样本均值和样本
方差。

假设证券的月或年实际收益率为
r(t＝1，2，…，n)，通常
t
称之为收益率时刻序列的一段样本，那么样本均值为：
样本方差为：
数学上能够证实r、2S分不是)(r E、2δ的最优无偏估量。

为了
和平均数在形式上维持一致，当n较大时，下式成立：
二、风险的种类
不同的投资方式会带来不同的投资风险，风险产生的缘故和程度也不尽相同，按风险产生的缘故可将风险分为:
(1)市场风险。

这种风险来自于市场买卖双方供求不平衡引
起的价格动摇，这种动摇使得投资者在投资到期时可能得不
到投资决策时所期瞧的收益率。

(2)偶然事件风险。

这种突发性风险其剧烈程度和时效性因事而异。

如自然灾难、异常气候、战争危险的出现； 诉讼、专利申请、高层改组、兼并谈判、产品未获批准、信用等级下落等意外事件的发生可能引起证券价格的急剧变化，这些根基上投资者在进行投资决策时无法预料的。

〔3〕通货膨胀风险。

投资收益可分为名义收益和实际收益，由于投资者所期瞧的是实际收益，因而名义收益和实际收益的差异亦至关重要。

这种差异通过通货膨胀来反映。

通货膨胀可分为“期瞧型〞和“意外型〞，前者是投资者依据以往的数据资料对今后通货膨胀的估量，也是他们对今后投资索求补偿的依据；后者那么是他们始料不及的。

短期债券和具有浮动利率的中长期债券由于考虑了通货膨胀补偿，因而能够落低期瞧型贬值风险；股票和固定利率的长期债券的投资者那么同时承受这两种风险，期限越长，贬值风险越大。

其关系为：
式中：0C 为年初通货膨胀水平；1C 为年末通货膨胀水平；MS
为名义收益率；SS 为实际收益率。

SS TC MS C MS C +=++=+111)1(10 TC 为通货膨胀水平的变化率，即通货膨胀率：
为简便计算，也能够：
TC MS SS -≈1
1威廉.P.夏普：?投资学?第74页，中国人民大学出版社1998年出版。

〔4〕破产风险。

这是股票、债券特别是中小型或新创公司的投资者必须面对的风险。

当公司由于经营治理不善或其他缘故导致负债累累，难以维持时，它可能申请破产法的保卫，筹划公司的重组，甚至公布倒闭。

因此破产风险表现为当公司公布破产时，股票、债券价格急剧下跌，以及在公司真正倒闭时，投资者可能血本无回。

〔5〕违约风险。

这是投资于“固定收进证券〞的投资者所面临的风险，这类证券在发行时向投资者保证，他们能够在今后一段时刻内得到确定金额的收进，这笔金额可能是在证券到期时一次性发放，也可能在有效期内屡次性发放。

然而当公司现金周转不灵，财务出现危机时，这种事先承诺可能无法兑现。

〔6〕利率风险。

利率提高，债券的时机本钞票增加，因而债券的价格与利率成反向变动，利率升高，债券价格下落。

相对而言，违约与破产风险仅是少数债券的不良表现，而利率风险比违约风险和破产风险涉及面更广，碍事力更大，时效更长。

债券价格更频繁、更强烈地受到利率变化的碍事，从对利率变化的敏感度讲，长期债券要大于短期债券，无息债券要大于有息债券，低息债券要大于高息债券，一次性付息债券要大于分期付息债券。

〔7〕政治风险。

各国的金融市场都与其政治局面、经济运行、财政状况、外贸关系、投资环境等息息相关，因此投
资于外国有价证券时，投资者除了担负汇率风险外还面临这种宏瞧风险。

按风险的性质以及应付的措施能够将总风险分为系统风险和非系统风险两个局部，在数量上风险等于这二者之和。

系统风险是与市场整体运动相关联的。

通常表现为某个领域、某个金融市场或某个行业部门的整体变化。

它涉及面广，往往使整个一类或一组证券产生价格动摇。

这类风险因其来源于宏瞧因素变化对市场整体的碍事，因此亦称为“宏瞧风险〞。

前面提及的市场风险、通货膨胀风险、利率风险和政治风险均属系统风险。

非系统风险只同某个具体的股票、债券相关联，而与其他有价证券无关，也就同整个市场无关。

这种风险来自于企业内部的微瞧因素，因此亦称为“微瞧风险〞。

前面提到的偶然事件风险、破产风险、违约风险等均属此类。

应付这两类风险的措施是不同的，关于非系统风险，可采纳分散投资来弱化甚至消除，令人遗憾的是分散投资丝毫不能改变系统风险，人们通常能够瞧到当股市剧烈动摇时，只有极少数股票能幸免，即便是投资完全分散化的指数型证券投资基金也不例外。

完全分散化能够消除非系统风险，同时系统风险趋于正常的平均水平——即市场整体水平。

那么如何才能有效地落低系统风险呢?一种方法是将风险证券与无风险证券进行投资组合，当增加无风险证券的投资比例时，系
统风险将落低，极端的情况是将全部资金投资于无风险证券上，这时风险便全部消除。

然而尽对的无风险证券实际上是不存在的。

另一种方法是套期保值，它本思想是在现货和衍生工具市场上进行数量相等、方向相反的操作，使它们互为消长。

第二节证券组合的风险和收益
证券投资的收益率是一个遵循某一概率分布的随机变量，要了解其真实分布是特别困难的，一种简化的方法是用分布的两个特征——期瞧收益率和方差来描述。

单一证券的收益率和风险我们用期瞧收益率和方差来计量，一个证券组合由一定数量的单一证券构成，每一个证券占有一定的比例，我们也可将证券组合视为一只证券。

那么，证券组合的收益率和风险也可用期瞧收益率和方差来计量。

只是，证券组合的期瞧收益率和方差可通过由其构成的单一证券的期瞧收益率和方差来表达。

我们以下讨论两种证券的组合。

一、两种证券组合的收益率和方差
设有两种证券A 和B ，某投资者将一笔资金以A x 的比例投
资于证券A ，以B x 的比例投资于证券B ，且A x ＋B x ＝1，称该
投资者拥有一个证券组合P 。

要是到期时，证券A 的收益率为A r ，证券B 的收益率为B r ，那么证券组合P 的收益率为：
B B A A P r x r x r +=
证券组合中的权数能够为负，比方A x ＜0，那么表示该组
合卖空了证券A ，并将所得的资金连同自有资金买进证券B ，因为A x ＋B x ＝1，故有A B x x -=1＞1。

投资者在进行投资决策时并不明白A r 和B r 确实切值，因而
A r 、
B r 应为随机变量，对其分布的简化描述是它们的期瞧值
和方差。

为得到投资组合P 的期瞧收益率和收益率的方差，我们除了要明白A 、B 两种证券各自的期瞧收益率和方差外，还须明白它们的收益率之间的关联性——相关系数或协方差，这是因为：
)()()(B B A A P r E x r E x r E +=〔7，1〕
),cov(22222B A B A B B A A r r x x x x ++=δδ〔7，2〕
选择不同的组合权数，能够得到包含证券A 和证券B 的不同的证券组合，从而得到不同的期瞧收益率和方差，投资者能够依据自己对收益率和方差(风险的)的偏好，选择自己最满足的组合。

二、两种证券组合的图形
要是用前述两个数字特征——期瞧收益率和标准差来描述一种证券，那么任意一种证券可用在以期瞧收益率为纵坐标和标准差为横坐标的坐标系中的一点来表示，相应地，任何一个证券组合也能够由组合的期瞧收益率和标准差确定出坐标系中的一点，这一点将随着组合的权数变化而变化，其轨迹将是通过A 和B 的一条连续曲曲折折曲曲折折折折线，这条曲曲折折曲曲折折折折线称为证券A 和证券B 的结
合线。

可见结合线实际上在期瞧收益率和标准差的坐标系中描述了证券A 和证券B 所有可能的组合。

依据式(5，1)和(5，2)及A x ＋B x ＝1，A 、B 的证券组合P
的结合线由下述方程所确定：
)()1()()(B A A A P r E x r E x r E -+=〔7，3〕
AB B A A A B A A A P x x x x ρδδδδδ)1(2)1(22222-+-+=〔7，4〕
给定证券A 、B 的期瞧收益率和方差，证券A 与证券B 的不同的关联性将决定A 、B 的不同的结合线。

1、完全正相关下的结合线
在完全正相关下，1=AB ρ，方程(5，3)(5，4)变为： 假定不准许卖空，即1,0≤≤B A x x ，那么：
B A A A P x x δδδ)1(-+=〔7，5〕
因为，)(P r E 与A x 是线性关系，而P δ与A x 是线性关系，因此，
P δ与)(P r E 之间也是线性关系。

为了得到该直线，令1=A x ，那么0=B x ，)(P r E A P A r E δδ==),(，得到直线上的一点；令1=B x ，
那么0=A x ，)(P r E B P
B r E δδ==),(，得到直线上的另一点，连接这两点得一直线，见〔图5，1〕。

)(r E A
FB
0δ
图〔7，1〕1=AB ρ时的结合线
假设证券A 与B 风险状况不同，即B A δδ≠(现在A 、B 可不能
落在一条垂直于横坐标的直线上)，由式(5，5)，令0=P δ解得： A B B A x δδδ-=A B A A B x x δδδ--=-=1〔7，6〕
在图〔7，1〕中，A B δδ ，故B x ＜0，为得到无风险组合，
需卖空证券B ，卖空占自有资金的比例是A B A
B x δδδ--=，无风险
组合将落在自A 到B 连线的延长线的F 点上。

将式(5，6)代进式(5，3)得无风险收益率为：
因此图〔7，1〕中，无风险组合的坐标为〔0，A B B A A B r E r E δδδδ--)()(〕。

综上所述，在A 、B 完全正相关的情形下，只要B A δδ≠，不
管今后证券A 和证券B 的收益率状况如何，总能够选择组合得到一个恒定的无风险收益率，我们称该组合为一个无风险组合或0方差组合。

为了得到那个无风险组合，要卖空方差较小的证券。

因为证券A 与B 完全正相关时，它们完全同向变化，通过卖空一种证券，使得它们成为完全反向的证券，从而能够通过组合抵消风险。

2、完全负相关下的结合线
在完全负相关情况下，AB ρ＝－1，方程(5，3)和(5，4)变为：
B A A A P x x δδδ)1(--=〔7，7〕
这时，P δ与)(P r E 是分段线性关系，其结合线如图〔7，2〕。

A
B
0δ
图〔7，2〕1-=AB ρ时的结合线
从图〔7，2〕能够瞧出，在完全负相关的情况下，按适当比例买进证券A 和证券B 能够形成一个无风险组合，得到一个稳定的收益率。

那个适当比例通过令式(5，7)中P δ＝0得到： 因为B A x x ,均大于0，因此必须同时买进证券A 和B ，这一
点特别轻易理解，因为证券A 和B 完全负相关，二者完全反向变化，因而同时买进两种证券可抵消风险。

所能得到的无风险收益率为：
3、不相关情形下的结合线
当证券A 与B 的收益率不相关时，AB ρ＝0，方程(5，3)和
(5，4)变为：
22222)1(B A A A P x x δδδ-+=〔7，8〕
该方程确定的P δ与)(P r E 的曲曲折折曲曲折折折折线是一条通过A 和B 的双曲曲折折曲曲折折折折线，如图〔7，3〕： )(r E A
B
δ图〔7，3〕0=AB ρ时的结合线
为了得到方差最小的证券组合，对〔7，8〕求微小值： 令02=A
P dx d δ，解出A x ： 显然有1,0≤≤B A x x ，分不以B A x x ,买进证券A 和B ，可获得最
小方差),min(222222B A B
A B A δδδδδδ +，即能够通过按适当比例买进两种证
券，获得比两种证券中任何一种风险都小的证券组合。

图〔7，3〕中，C点为最小方差组合。

结合线上介于A与B之间的点代表的组合由同时买进证券A和B构成，越靠近A，买进A越多，买进B越少。

而A点的东北部曲曲折折曲曲折折折折线上的点代表的组合由卖空B，买进A形成，越向东北部移动，组合中卖空B越多；反之，B的东南部曲曲折折曲曲折折折折线上的点代表的组合由卖空A，买进B形成，越向东南部移动，组合中卖空A越多。

三、结合线的一般情形及性质
现在讨论一般的情况，在不完全相关的情形下，由于ρ，方程(5，3)、(5，4)可不能有任何简化，方程(5，≤
0≤
1
AB
3)、(5，4)在一般情形下所确定的曲曲折折曲曲折折折折线是一条双曲曲折折曲曲折折折折线。

相关系数决定结合线在A与B之间的弯曲曲折折曲曲折折折折程度，随着
ρ的增
AB
大，弯曲曲折折曲曲折折折折程度将落低。

当1=
ρ时，弯曲
AB
曲折折曲曲折折折折程度最小，呈直线；当1-
ρ时，弯曲
=
AB
曲折折曲曲折折折折程度最大，呈折线；不相关是一种中间状态，比正完全相关弯曲曲折折曲曲折折折折程度大，比负完全相关弯曲曲折折曲曲折折折折程度小。

A
E1-=
ρ
ρ0
=
B
0δ
图〔7，4〕相关系数不同的证券组合
从结合线的外形来瞧，相关系数越小，在不卖空的情况下，证券组合可获得越小的风险，特别是负完全相关的情况下，可获得无风险组合。

在不相关的情况下，尽管得不到一个无风险组合，但可得到一个组合，其风险小于A 、B 中任何一个单个证券的风险。

当A 与B 的收益率不完全负相关时，结合线在A ，B 之间比不相关时更弯曲曲折折曲曲折折折折，因而能寻到一些组合(不卖空)使得风险小于A 和B 的风险，比方图〔7，4〕中50⋅-=AB ρ的情形。

但图中50⋅=AB ρ时，那么得不到一个不卖空的组合使得风险小于单个证券的风险。

可见不卖空的情况下，组合落低风险的程度由证券间的关联程度决定。

实际上能够证实：设B A δδ ，当且仅当A B
AB δδρ 时，才能在
不卖空的情况下获得一些组合，使其风险小于单个证券的风险；当B A
AB δδρ=时，将资金全部投资于单个证券B(即0,1==A B
x x )时风险最小；要是A B AB δδρ=，那么必须卖空证券B 才能获得某
些组合，使得风险小于单个证券的风险。

从整体上瞧，要是不准许卖空，AB ρ越小，在同等风险的情况下，证券组合的期
瞧收益率越大；或从另一角度来讲，在相同的期瞧收益率下，担负的风险越小。

由此可见，证券间的相关性越小，证券组
合制造的潜在收益率越大。

第三节证券组合的可行域及有效域
一、证券组合的期瞧收益率和方差
那个地点将把两个证券的组合的讨论拓展到任意多个证券的情形。

设有N 种证券，记作N A A A A ,,,,321 ，证券组合P
＝〔N x x x x ,,,,321 〕表示将资金分不以权数N x x x x ,,,,321 ，投资到证券N A A A A ,,,,321 。

要是准许卖空，那么权数能够为负，负
的权数表示卖空相应证券占总资金的比例。

正如两种证券的投资组合情形一样，证券组合的收益率等于各单个证券的收益率的加权平均。

即：设i A 的收益率为i r (i ＝1，2，…，N)，
那么证券组合P ＝(N x x x x ,,,,321 )的收益率为：
推导可得证券组合P 的期瞧收益率和方差为：
∑==N
i i i P r E x r E 1)()(〔7，9〕
∑∑=≤≤≤+=N i N j i ij j i j i i i x x x 11222
ρδδδ〔7，10〕
式中，2i δ为i A 的收益率i r 的方差；ij ρ为i r 与j r 的相关系数(i 、j
＝1，2，…，N)。

由式(5，9)和〔7，10〕可知，要估量)(P r E 和2P δ，当N 特不
大时，计算量十分巨大，在计算机技术尚不兴盛的20世纪50年代，证券组合理论不可能运用于大规模市场，只有在不同种类的资产间，如股票、债券、银行存单之间分配资金时，才可能运用这一理论。

20世纪60年代后，马柯维茨的学生
威廉.夏普提出了指数模型以简化计算，随着计算机技术的开展，已开发出计算)(P r E 和2P 的计算机运用软件，如Matlab 、
SPSS 和Eviews 等，大大方便了投资者。

二、证券组合的可行域
在准许卖空的情况下，要是只考虑投资于两种证券A 和B ，投资者能够在结合线上获得任意自己满足的位置，即结合线上的组合均是可行的(合法的)。

要是不准许卖空，那么投资者只能在结合线上介于A 、B 之间(包括A 和B)获得一个组合，因而投资组合的可行域确实是根基结合线上的AB 曲曲折折曲曲折折折折线段。

现在假设可供选择的证券有三种：
A 、
B 和
C ，这时，可能的投资组合便不再局限于一条曲曲折折曲曲折折折折线上，而是坐标系中的一个区域，如图〔7，5〕。

在不准许卖空的情况下，A 、B 、C 三种证券所能得到的所有合法组合将落进并填满坐标系中结合线AB 、BC 、AC 围成的区域，该区域称为不准许卖空时证券A 、B 和C 的证券组合可行域。

每一个合法的组合称为一个可行组合。

什么缘故讲图〔7，5〕中的区域根基上可行组合呢?区域内的每一点能够通过三种证券组合得到，比方区域内的F 点能够通过证券C 与某个A 与B 的组合
D 的再组合得到。

E A
DF C
B
0δ
图〔7，5〕不准许卖空时三种证券组合的可行域
要是准许卖空，三种证券组合的可行域不再是如图〔7，5〕的有限区域，而是包含该有限区域的一个无限区域(图5，6)。

本节将阐述任意有限种证券组合的期瞧收益率和方差以及在E －σ坐标系中的可行域的特征。

EA
B
0δ
图〔7，6〕准许卖空时三种证券组合的可行域
证券组合的可行域是所有合法证券组合构成的E －σ坐标系中的一个区域。

那个区域的外形依靠于可供选择的单个证券的特征〔)(i r E 和i δ〕以及它们收益率之间的相互关系〔ij ρ〕，还依靠于投资组合中权数的约束，比方，权数除满足全然约束∑==N i i
x 11以外，还满足约束i i i H x h ≤≤，
i h 和i H 为投资比例的上、下限，约束讲明(N x x x x ,,,,321 )局限于N 维空间的有限区域，
这时可行组合将局限于E －σ坐标系中的一个有限区域内，最常见的约束是不准许卖空，即要求权数(N x x x x ,,,,321 )满足10≤≤i x ，最极端的情况是准许对任意证券无限制地卖空，也确实是根基权数除满足全然约束之外没有其他约束。

可行域满足一个共同的特点：左边缘必定向外凸或呈线
性，也确实是根基讲可不能出现凹陷。

图〔7，7〕左边缘自W到V之间出现凹陷，由于W、V是可行组合，W与V的组合也是可行的，而W、V的结合线是连接W、V的直线段，或者是向外弯曲曲折折曲曲折折折折的曲曲折折曲曲折折折折线，W、V的组合作为一个可行组合却落在图中区域的右面，因而该区域不可能是一个可行域。

E
V
W
图〔7，7〕可行域外凸或线性
三、投资者的共同偏好与有效组合
证券组合的可行域表示了所有可能的证券组合，它为投资者提供了一切可行的投资组合时机，投资者需要做的是在其中选择自己最满足的证券组合进行投资，不同的投资者由于对期瞧收益率和风险的偏好有区不，因而他们所选择的最正确组合将不同。

但投资者的偏好具有某些共性，在那个共性下，某些证券组合将被所有投资者视为差的，因为按照偏好的共性总存在比它更好的证券组合，我们需要把大伙儿都认为差的证券组合剔除掉。

大量事实讲明，投资者普遍喜好期瞧收益率而厌恶风险，因而人们在投资决策时盼瞧期瞧收益率越大越好，风险
越小越好。

这种态度反映在证券组合的选择上可由下述规那么来描述：(1)要是两种证券组合具有相同的收益率方差，和
不同的期瞧收益率，即,22B A δδ=而)()(B A r E r E ，那么投资者选择
期瞧收益率高的组合，即A ，马柯维茨把它称为“不满足假设〞；(2)要是两种证券组合具有相同的期瞧收益率和不同的
收益率方差，即)()(B A r E r E =，而,22B A
δδ 那么他选择方差较小的组合，即A ，马柯维茨把它称为“风险厌恶假设〞。

这种选择原那么，我们称为投资者的共同偏好规那么。

人们在所有可行的投资组合中进行选择，要是证券组合的特征由期瞧收益率和收益率标准差来表示，那么投资者需要在E －σ坐标系中的可行域中寻寻最好的点，但不可能在可行域中寻到一点被所有投资者都认为是最好的。

按照投资者的共同偏好规那么，能够排除那些被所有投资者都认为差的组合，我们把排除后余下的这些组合称为有效证券组合。

依据有效组合的定义，有效组合不止一个，描绘在可行域的图形中，如图〔7，8〕粗实线局部，它是可行域的上边缘局部，我们称它为有效边缘。

关于可行域内部及下边缘上的任意可行组合，均能够在有效边缘上寻到一个有效组合比它好。

但有效边缘上的不同组合，比方B 和C ，按共同偏好规那么不能区分好差。

因而有效组合相当于有可能被某位投资者选作最正确组合的候选组合，不同投资者能够在有效边缘上获得任一位置。

作为一个理性投资者，且厌恶风险，那么他可不
能选择有效边缘以外的点。

此外，A 点是一个特别的位置，它是上边缘和下边缘的交汇点，这一点所代表的组合在所有可行组合中方差最小，因而被称作最小方差组合。

E
C
B
A
图〔7，8〕有效边缘
四、有效边缘确实定
确定有效边缘的方法许多，那个地点介绍的一种方法是确定左边缘，左边缘的顶部即为有效边缘。

左边缘上任何一点均对应于某个给定期瞧收益率下的最小方差组合，因而也称左边缘为最小方差集合，求解最小方差集合确实是根基求解优化咨询题:
对每一个给定的期瞧收益率值)(P r E ，求解上述咨询题得一组解〔N x x x x ,,,,321 〕，该组合为给定)(P r E 下的最小方差组合。

)(P r E 取遍所有可能值，那么可得到最小方差集合。

这局部将借助于图形阐述这种方法，有利于获得更直瞧的熟悉，但图形方法只能在三种证券组合的情况下进行，一般情况与之完全一样。

〔一〕准许卖空时求最小方差集合。