3.2.3 直线的一般式方程
专题3.2.3 直线的一般式方程-高一数学人教版(必修2)(解析版)
一、选择题1．已知直线0Ax By C ++=不经过第一象限，且A ，B ，C 均不为零，则有 A ．0C < B ．0C > C ．0BC >D ．0BC <【答案】C【名师点睛】本题考查了直线的斜率与截距的意义，属于基础题． 2．经过点A (2,-1),B (-4,5)的直线的一般式方程为 A ．x+y+1=0B ．x-y+1=0C ．x-y-1=0D ．x+y-1=0【答案】D【解析】因为直线过A (2,-1),B (-4,5),所以由直线方程的两点式得直线方程为()()125142y x ---=----,化为一般式得x+y-1=0.故选D.3．已知直线()410a x y -++=与直线2350x y +-=垂直，则a =A ．143 B ．52C ．112D ．3【答案】B【解析】直线（a ﹣4）x +y +1=0与直线2x +3y ﹣5=0垂直，可得2（a ﹣4）+3=0，解得a =52． 故选B ．【名师点睛】本题考查两直线垂直的条件，考查方程思想和运算能力，属于基础题．运用两直线垂直的条件，可得2（a ﹣4）+3=0，解方程即可得到所求值．4．把直线310x y -+-=绕点()1,3逆时针旋转15°后，所得直线l 的方程是 A ．3y x =-B ．3y x =C ．320x y -+=D ．320x y +-=【答案】B【解析】已知直线310x y -+-=的斜率为1，则其倾斜角为45°，所以直线l 的倾斜角α＝45°＋15°＝60°，直线l 的斜率为tan α＝tan 60°＝3，∴直线l 的方程为y －3＝3(x －1)，即y ＝3x . 故选B.【名师点睛】本题主要考查由直线方程求得斜率及倾斜角及结合象灵活运用，还有由点斜式写直线方程. 5．已知直线ax ＋by ＋c =0的图象如图，则下列结论正确的是A ．若c >0，则a >0，b >0B ．若c >0，则a <0，b >0C ．若c <0，则a >0，b <0D ．若c <0，则a >0，b >0【答案】D6．过点P (1,3)，且与x ，y 轴的正半轴围成的三角形的面积等于6的直线l 的一般式方程是A ．3x ＋y −6=0B ．x ＋3y −10=0C ．3x −y =0D ．x −3y ＋8=0【答案】A【解析】设所求直线l 的方程为1x y a b +=(a >0，b >0)，则有162ab =，且131a b+=.由122 1361ababab=⎧=⎧⎪⇒⎨⎨=+=⎩⎪⎩，∴直线l 的方程为126x y+=，即为3x ＋y−6=0.7．已知直线(2m 2－m＋3)x＋(m2＋2m)y＝4m＋1在x轴上的截距为1，则实数m的值为A．2或12B．2或－12C．－2或－12D．－2或12【答案】A【名师点睛】本题考查直线的截距，注意验证直线是正确解题的关键，属于基础题.由题意可知，直线过点()1,0，代入可得关于m的方程，解方程注意验证直线即可.二、填空题8．已知直线过定点,且倾斜角为60︒,则直线的一般式方程为________.【答案】【解析】由题可得，该直线的斜率为,所以该直线的点斜式方程为，其一般式方程为.9．已知直线222()(0)32a x a a y a++---=在x轴上的截距为3，则该直线在y轴上的截距为________．【答案】415-【解析】把(3,0)代入已知方程，得(a＋2)×3−2a=0，∴a=−6，∴直线方程为−4x＋45y＋12=0.令x=0，得415y=-.10．已知直线1:210l ax y--=，直线2:l320x y+-=，则1l过定点_________；当a=________时，1l 与2l平行．【答案】10,2⎛⎫-⎪⎝⎭23-【解析】直线1l 的方程变形为()210ax y -+=，令0210x y =⎧⎨+=⎩，解得012x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩，所以直线1l 过定点10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭．当1l 与2l 平行时，则有23=-，解得23a =-，即23a =-时，1l 与2l 平行． 【名师点睛】直线过定点的问题实质上是恒成立的问题，判断直线过定点时，先把直线方程整理成()(),,0f x y kg x y +=（k 为参数）的形式，解方程组()(),0,0f x yg x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩可得定点的坐标．将直线1l 的方程变形为()210ax y -+=，令0210x y =+=且可得定点坐标；根据两直线平行的等价条件可得a 的值． 三、解答题11．把直线的一般式方程化成斜截式，求出直线的斜率以及它在轴与轴上的截距，并画出图形.12．根据下列条件求解直线的一般式方程.(1)直线的斜率为2，且经过点A (1，3)； (2)斜率为，且在y 轴上的截距为4；(3)经过两点A (2，－3)，B (－1，－5)； (4)在x ，y 轴上的截距分别为2，－4.13．已知直线l 的方程为34120x y +-=，求：（1）过点()1,3-，且与l 平行的直线方程； （2）过点()1,3-，且与l 垂直的直线方程. 【解析】由直线34120x y +-=，得其斜率为34-， （1）因为所求直线与l 平行，则所求直线的斜率34k =-， 又直线过点()1,3-，所以由直线的点斜式方程可得()3314y x -=-+，即3490x y +-=. （2）因为所求直线与l 垂直，则所求直线的斜率43k =，又直线过点()1,3-，所以由直线的点斜式方程可得()4313y x -=+，即43130x y -+=. 【名师点睛】本题主要考查了直线方程的求解，其中熟记两条直线的位置关系的判定方法是解答的关键，着重考查了学生的推理与运算能力．14．已知直线l 平行于直线，直线l 与两坐标轴围成的三角形的周长是15，求直线l 的方程.15．已知直线()1:280l m x my -+-=与直线2:30l mx y +-=，其中m 为常数.（1）若12l l ⊥，求m 的值；（2）若点()1,2P m 在2l 上，直线l 过P 点，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线l 的方程. 【解析】（1）∵12l l ⊥，∴()20m m m -+=，解得0m =或1m =.（2）当0m =时，P 为（1,0），2:3l y =，不合题意； 当1m =时，P 为（1,2），2:30l x y +-=，符合题意. ∵直线l 在两坐标轴上的截距之和为0，当直线l 过原点时，可设l 的方程为y kx =，将点P （1,2）代入得2k =， ∴此时l 为2y x =;当直线l 不经过原点时，可设l 的方程为x y λ-=，将点P （1,2）代入得1λ=-， ∴此时l 为10x y -+=.综上可得直线l 的方程为2y x =或10x y -+=.。
3.2.3直线的一般式方程(小结练习)
第三章直线与方程3.2.3直线的一般式方程一、选择题1. 如果ac<0，且bc<0，那么直线ax+by+c=0不通过（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2. 已知直线l1：(k-3)x+(4-k)y+1=0，与l2：2(k-3)x-2y+3=0平行，则k的值是（）A.1或3B.1或5C.3或5D.1或23.直线过点(-3，-2)且在两坐标轴上的截距相等，则这条直线方程为（）A.2x-3y=0B.x+y+5=0C. 2x-3y=0或x+y+5=0D. x+y+5=0或x-y+5=04.无论常数k为何值时，直线kx-y+1=3k都过定点（）A.(0，0)B.(0，1)C.(2，1)D.(3，1)5.直线x-y+3=0的倾斜角是（）A.30°B.45°C.60°D.90°6. 直线cos20xα+=的倾斜角范围是（）A.5[,](,)6226ππππB.5[0,][,)66πππC.5[0,]6πD.5[,]66ππ二、填空题7.直线50x-=的倾斜角为________.8. 和直线x+3y+1=0垂直，且在x轴上的截距为2的直线方程是________.9. 若直线l1：x+2my-1=0与l2：(3m-1)x-my-1=0平行，则m的值为________．10.直线l1：(a+2)x+(1-a)y-1=0与直线l2：(a-1)x+(2a+3)y+2=0垂直，则实数a的值为________.三、解答题11. 已知直线l ：3x+4y+1=0和点A(1，2)，求：（1）过点A 与l 平行的直线l 1的方程；（2）过点A 与l 垂直的直线l 2的方程.12. 设直线l 的方程为22(23)(21)26m m x m m y m --++-=-，分别根据下列条件确定m 的值.①在x 轴上的截距是-3；②l 的斜率为-1.。
高中数学 必修二 3.2.3 直线的一般式方程教案 新人教A版必修2
3.2.3 直线的一般式方程（一）导入新课思路1.前面所学的直线方程的几种形式，有必要寻求一种更好的形式，那么怎样的形式才能表示一切直线方程呢?这节课我们就来研究这个问题.思路2.由下列各条件，写出直线的方程，并画出图形.(1)斜率是1，经过点A （1，8）；(2)在x 轴和y 轴上的截距分别是-7，7；(3)经过两点P 1（－1，6）、P 2（2，9）；(4)y 轴上的截距是7，倾斜角是45°.由两个独立条件请学生写出直线方程的特殊形式分别为y-8=x-1、77y x +-=1、121696++=--x y 、y=x+7，教师利用计算机动态显示，发现上述4条直线在同一坐标系中重合.原来它们的方程化简后均可统一写成：x-y+7=0.这样前几种直线方程有了统一的形式，这就是我们今天要讲的新课——直线方程的一般式.（二）推进新课、新知探究、提出问题①坐标平面内所有的直线方程是否均可以写成关于x,y 的二元一次方程?②关于x,y 的一次方程的一般形式Ax+By+C=0（其中A 、B 不同时为零）是否都表示一条直线? ③我们学习了直线方程的一般式，它与另四种形式关系怎样，是否可互相转化?④特殊形式如何化一般式?一般式如何化特殊形式?特殊形式之间如何互化? ⑤我们学习了直线方程的一般式Ax+By+C=0，系数A 、B 、C 有什么几何意义?什么场合下需要化成其他形式?各种形式有何局限性?讨论结果:①分析：在直角坐标系中，每一条直线都有倾斜角α.1°当α≠90°时，它们都有斜率，且均与y 轴相交，方程可用斜截式表示：y=kx+b.2°当α=90°时，它的方程可以写成x=x 1的形式，由于在坐标平面上讨论问题，所以这个方程应认为是关于x 、y 的二元一次方程，其中y 的系数是零.结论1°：直线的方程都可以写成关于x 、y 的一次方程.②分析：a 当B≠0时，方程可化为y=-B A x-BC ，这就是直线的斜截式方程，它表示斜率为-BA ，在y 轴上的截距为-BC 的直线.b 当B=0时，由于A 、B 不同时为零必有A≠0，方程化为x=-A C ，表示一条与y 轴平行或重合的直线.结论2°：关于x,y 的一次方程都表示一条直线.综上得：这样我们就建立了直线与关于x,y 的二元一次方程之间的对应关系.我们把Ax+By+C=0（其中A,B 不同时为0）叫做直线方程的一般式.注意：一般地，需将所求的直线方程化为一般式.在这里采用学生最熟悉的直线方程的斜截式（初中时学过的一次函数）把新旧知识联系起来. ③引导学生自己找到答案，最后得出能进行互化.④待学生通过练习后师生小结：特殊形式必能化成一般式；一般式不一定可以化为其他形式（如特殊位置的直线），由于取点的任意性，一般式化成点斜式、两点式的形式各异，故一般式化斜截式和截距式较常见；特殊形式的互化常以一般式为桥梁，但点斜式、两点式、截距式均能直接化成一般式.各种形式互化的实质是方程的同解变形（如图1）.图1⑤列表说明如下： 0轴上的截距 例1 已知直线经过点A(6,-4)，斜率为-34，求直线的点斜式和一般式方程.解：经过点A(6,-4)且斜率为-34的直线方程的点斜式方程为y+4=-34(x-6).化成一般式，得4x+3y-12=0.变式训练1.已知直线Ax+By+C=0，（1）系数为什么值时，方程表示通过原点的直线?（2）系数满足什么关系时,与坐标轴都相交?（3）系数满足什么条件时,只与x 轴相交?（4）系数满足什么条件时,是x 轴?（5）设P(x 0,y 0)为直线Ax+By+C=0上一点,证明这条直线的方程可以写成A(x-x 0)+B(y-y 0)=0.答案：（1）C=0；（2）A≠0且B≠0；（3）B=0且C≠0；（4）A=C=0且B≠0;（5）证明：∵P(x 0,y 0)在直线Ax+By+C=0上,∴Ax 0+By 0+C+0,C=-Ax 0-By 0.∴A(x -x 0)+B(y-y 0)=0.2.(2007上海高考,理2)若直线l 1:2x+my+1=0与l 2:y=3x-1平行,则m=____________.答案：-32例2 把直线l 的方程x-2y+6=0化成斜截式，求出直线l 的斜率和它在x 轴与y 轴上的截距，并画出图形.解：由方程一般式x －2y ＋6=0， ①移项，去系数得斜截式y=2x ＋3. ② 由②知l 在y 轴上的截距是3，又在方程①或②中，令y=0，可得x=－6.即直线在x 轴上的截距是－6.因为两点确定一条直线，所以通常只要作出直线与两个坐标轴的交点(即在x 轴，y 轴上的截距点)，过这两点作出直线l （图2）.图2点评：要根据题目条件，掌握直线方程间的“互化”.变式训练直线l 过点P(-6,3)，且它在x 轴上的截距是它在y 轴上的截距的3倍，求直线l 的方程.答案：x+3y-3=0或x+2y=0.（四）知能训练课本本节练习1、２、３.（五）拓展提升求证：不论m 取何实数，直线(2m －1)x －(m+3)y －(m －11)=0恒过一个定点，并求出此定点的坐标.解：将方程化为(x+3y-11)-m(2x-y-1)=0，它表示过两直线x+3y-11=0与2x-y-1=0的交点的直线系.解方程组⎩⎨⎧=--=-+,012,0113y x y x ,得⎩⎨⎧==3,2y x .∴直线恒过(2,3)点.（六）课堂小结通过本节学习，要求大家：（1）掌握直线方程的一般式，了解直角坐标系中直线与关于x 和y 的一次方程的对应关系；（2）会将直线方程的特殊形式化成一般式，会将一般式化成斜截式和截距式；（3）通过学习，培养相互合作意识,培养学生思维的严谨性，注意语言表述能力的训练.（七）作业习题3.2 A 组11.。
3.2.3直线的一般式方程
讲授新课
所有的直线方程是否都是二元一次方程？
y y1 k ( x x1 )
kx (1) y y1 kx1 0
kx (1) y b 0
( y2 y1 ) x ( x1 x2 ) y x1 ( y1 y2 ) y1 ( x2 x1 ) 0
课堂小结
点斜式 斜率和一点坐标 斜截式
y y0 k ( x x0 )
y kx b
y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
两点式
两点坐标 截距式
x y 1 a b
直线方程的一般式与特殊式的互化。
课堂抢答
⒈根据下列条件写出直线的方程，并且 化成一般式：
讲授新课
注：对于直线方程的一般式，一般作如下约定：
①按含x项、含y项、常数项顺序排列； ②x项的系数为正； ③x，y的系数和常数项一般不出现分数；
无特别说明时，最好将所求直线方程的结 果写成一般式。
课堂练习
若直线l在x轴上的截距-4时，倾斜角
4 的正切值是 ， 3
则直线l的点斜式方程是y-0=(-4/3)(x+4) ___________ y=(-4/3)x-16/3 直线l的斜截式方程是___________ 4x+3y+16=0 直线l的一般式方程是___________
讲授新课
例2 把直线 化成斜截式，求
出直线的斜率以及它在y轴上的截距。
3 解：将直线的一般式方程化为斜截式： y x 3 ， 5
3 它的斜率为： ，它在y轴上的截距是3 5
讲授新课
3.2.3 直线的一般式方程
要点突破
典例精析
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瞻前顾后
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想一想： 1．一般式方程 (1)定义：关于 x，y 的二元一次方程 Ax＋By＋C＝0(其中 A，B 不同时为 0)叫做直线的 一般式方程，简称一般式． A (2)斜率：直线 Ax＋By＋C＝0(A，B 不同时为 0)，当 B≠0 时，其斜率是－ ，在 y 轴 B C 上的截距是－ ；当 B＝0 时，这条直线垂直于 x 轴，没有斜率． B 2．二元一次方程与直线的关系 二元一次方程的每一组解都可以看成平面直角坐标系中的一个点的坐标，这个方程的全 体解组成的集合，就是坐标满足二元一次方程的全体点的集合，这些点的集合就组成了一条 直线．二元一次方程与平面直角坐标系中的直线是一一对应的．(同解方程视为同一方程)
由直线的斜率与截距判定两直线平行与垂直时，应注意斜率存在和不存在两 种情况的讨论．
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一般式的综合应用 【例 3】 已知直线 l：5ax－5y－a＋3＝0. (1)求证：不论 a 为何值，直线 l 总经过第一象限； (2)为使直线不经过第二象限，求 a 的取值范围．
截距式 一般式
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知识要点三：直线 l1：A1 x＋B1 y＋C1＝0，直线 l2：A2 x＋B2 y＋C2＝0 平行与垂直的判断 1．根据直线方程的一般式判断两直线平行 (1)当 B1≠0，B2≠0 时， A1 C1 A2 C2 k1 ＝－ ，b1＝－ ，k 2＝－ ，b2＝－ . B1 B1 B2 B2 A1 A2 C1 C2 当 l1∥l2 时， － ＝－ 且－ ≠－ (否则， 两直线重合)， A1 B2 －A2 B1＝0， B1 C2 即 且 B1 B2 B1 B2 －B2 C1≠0. C1 C2 (2)当 B1＝0，B2＝0 时，x1＝－ ，x2＝－ . A1 A2 ∵l1∥l2， C1 C2 ∴－ ≠－ ，即 A1 C2 －A2 C1≠0. A1 A2 综上所述：l1∥l2 ⇔A1 B2－A2 B1＝0 且 B1 C2－B2 C1≠0(或 A1 C2－A2 C1≠0)．
21-22版：3.2.3 直线的一般式方程(创新设计)
28
课前预习
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@《创新设计》
2.直线的一般式方程的结构特征 (1)方程是关于x，y的二元一次方程. (2)方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列. (3)x的系数一般不为分数和负数. (4)虽然一般式直线方程有三个系数，但只需两个独立的条件即可求得直线的方程. 特别提醒 在利用直线方程的四种特殊式时，一定要注意其适用的前提条件.
规律方法 已知含参数的直线的一般式方程求参数的值或范围的步骤
@《创新设计》
13
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【训练2】 已知方程(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y＝4m－1表示直线.当m＝____________ 时，直线的倾斜角为45°；当m＝____________时，直线在x轴上的截距为1.
22
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@《创新设计》 课堂反馈
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课堂达标
1.若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A，B应满足的条件为( )
A.A≠0
B.B≠0
C.A·B≠0
D.A2＋B2≠0
解析 方程Ax＋By＋C＝0表示直线的条件为A，B不能同时为0，即A2＋B2≠0. 答案 D
23
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法二 (1)由 l′与 l 平行，可设 l′的方程为 3x＋4y＋m＝0(m≠－12).将点(－1，3) 代入上式得 m＝－9. ∴所求直线的方程为 3x＋4y－9＝0. (2)由 l′与 l 垂直，可设 l′的方程为 4x－3y＋n＝0. 将(－1，3)代入上式得 n＝13. ∴所求直线的方程为 4x－3y＋13＝0.
课件6：3.2.3 直线的一般式方程
− 2,
2
3
−
2
2,斜率为 .
3
即直线l在x轴与y轴上的截距分别是3，-2.
则直线l与x轴、y轴的交点分别为A(3,0)，B(0,-2)，过点A，
B作直线，即为直线l，如图所示.
变式训练2 设直线l的方程为2x+(k-3)y-2k+6=0(k≠3)，
根据下列条件分别确定k的值：
(1)直线l的斜率为-1；
例1 根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式
方程：
(1)斜率是 3，且经过点A（5,3）；
(2)斜率为4，在y轴上的截距为-2；
(3)经过A(-1，5)，B(2，-1)两点；
(4)在x轴、y轴上的截距分别是-3，-1.
解：(1)由点斜式方程可知,所求直线方程为y-3= 3 − 5 ,
化为一般方程为 3 − + 3 − 5 3 = 0.
由题意得k-3+2=0，所以k=1.
题型三 利用一般式解决平行与垂直问题
例3 (1)求与直线3x+4y+1=0平行且过点(1，2)的直线l的
方程；
(2)求经过点A(2,1)且与直线2x+y-10=0垂直的直线l的方程.
解：(1)方法一：设直线l的斜率为k，
因为l与直线3x+4y+1=0平行，
3
所以k=− .
(2)由斜截式方程可知，所求直线方程为y=4x-2，
化为一般式方程为4x-y-2=0.
−5
(3)由两点式方程可知，所求直线方程为
−1−5
=
−(−1)
2−(−1)
化为一般式方程为2x+y-3=0.
3.2.3直线的一般式方程 (张用)
②什么叫二元一次方程？直线与二元一次方程有什么关系?
1、 复习回顾
名 称 几 何 条 件 方程
x x0
局限性
点斜式 点P(x0,y0)和斜率k 斜截式 斜率k,y轴上的 纵截距b
y y0 k ( x x0 )
不垂直于x 轴的直线 不垂直于x 轴的直线
(5) C=0，A、B不同时为0;
0 x
4. 深化探究
在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值时，方程表 示的直线： （1）平行于x轴;（2）平行于y轴;（3）与x轴重合; （4）与y轴重合; （5）过原点;（6）与x轴和y轴相交; y
(6)A≠0，B≠0;
0
x
巩固训练（四）：
⒈根据下列条件写出直线的方程，并且化成一般式： ①斜率是 – 0.5，经过点A（8，-2）；
k1k2 1
k1 k2
A1 A2 B1B2 0 A1B2 A2 B1 0
1.若直线 l1：x+y+a=0，l2：x+ay+1=0，
l3：ax+y+1=0能围成三角形,求a的取值范围.
解：由l1、l2相交，需要1· a-1·1≠0，得到 a ≠1，此时，解方程组
可解得
由l1、l3相交，需1· a≠0,∴a≠±1, 1-a·
4 m 时, l 的斜率为1. 故当 3
注意:解答本题时验算是必不可少的,即Ax+By+C=0 表示直线的条件是: A,B不同时为零
例4：利用直线方程的一般式，求过点（0，3） 并且与坐标轴围 成三角形面积是6的直线方程。
解：设直线为Ax+By+C=0， ∵直线过点（0，3）代入直线方程 得3B= -C， B= －C/3 又直线与x，y轴的截距分别为x= -C/A ,y= -C/B 由三角形面积为6得
3.2.3 直线的一般式方程
超级记忆法-记忆 规律
记忆中
选择恰当的记忆数量
魔力之七：美国心理学家约翰·米勒曾对短时记忆的广 度进行过比较精准的测定：通常情况下一个人的记忆 广度为7±2项内容。
超级记忆法-记忆 规律 TIP1：我们可以选择恰当的记忆数量——7组之内！
TIP2：很多我们觉得比较容易背的古诗词，大多不超过七个字，很大程度上也 是因 为在“魔力之七”范围内的缘故。我们可以把要记忆的内容拆解组合控制 在7组之 内（每一组不代表只有一个字哦，这7组中的每一组容量可适当加大）。 TIP3：比 如我们记忆一个手机号码18820568803，如果一个一组的记忆，我 们就要记11组，而如果我们拆解一下，按照188-2056-8803，我们就只需要 记忆3 组就可以了，记忆效率也会大大提高。
(1)3x + y - 5 = 0. (3)x + 2y = 0.
(2)x - y = 1. 45
(4)7x - 6y + 4 = 0.
(1)k = -3,b = 5.
y5
O5
x
3
(2)k = 5 ,b = -5. 4
y
O
4x
-5
(3)k = - 1 ,b = 0. 2
y
（-2,1）
O
x
(4)k = 7 ,b = 2 . 63
.
例3 已知直线l1：ax+(a+1)y-a=0和 l2： (a+2)x+2(a+1)y-4=0，若l1//l2，求a的值.
解：当a + 1 = 0,即a = -1时，l1 :x = 1,l2 :x = 4,显然平行.
当a≠-1时，l1
第三章 3.2.3 直线的一般式方程
3．2.3 直线的一般式方程 学习目标 1.掌握直线的一般式方程；2.理解关于x ，y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)都表示直线；3.会进行直线方程的五种形式之间的转化．知识点一 直线的一般式方程思考1 直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式这四种形式都能用Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)来表示吗？答案 能．思考2 关于x ，y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)一定表示直线吗？ 答案 一定．思考3 当B ≠0时，方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)表示怎样的直线？B ＝0呢？答案 当B ≠0时，由Ax ＋By ＋C ＝0得，y ＝－A B x －C B ，所以该方程表示斜率为－A B，在y 轴上截距为－C B 的直线；当B ＝0时，A ≠0，由Ax ＋By ＋C ＝0得x ＝－C A，所以该方程表示一条垂直于x 轴的直线．知识点二类型一 直线一般式的性质例1 设直线l 的方程为(m 2－2m －3)x －(2m 2＋m －1)y ＋6－2m ＝0.(1)若直线l 在x 轴上的截距为－3，则m ＝________.(2)若直线l 的斜率为1，则m ＝________.答案 (1)－53(2)－2 解析 (1)令y ＝0，则x ＝2m －6m 2－2m －3， ∴2m －6m 2－2m －3＝－3， 得m ＝－53或m ＝3(舍去)． ∴m ＝－53. (2)由直线l 化为斜截式方程得y ＝m 2－2m －32m 2＋m －1x ＋6－2m 2m 2＋m －1， 则m 2－2m －32m 2＋m －1＝1， 得m ＝－2或m ＝－1(舍去)．∴m ＝－2.反思与感悟 (1)方程Ax ＋By ＋C ＝0表示直线，需满足A ，B 不同时为0.(2)令x ＝0可得在y 轴上的截距．令y ＝0可得在x 轴上的截距．若确定直线斜率存在，可将一般式化为斜截式．(3)解分式方程注意验根．跟踪训练1 (1)若方程(a 2＋5a ＋6)x ＋(a 2＋2a )y ＋1＝0表示一条直线，则实数a 满足________．答案 a ≠－2解析 由⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋5a ＋6＝0，a 2＋2a ＝0，得a ＝－2， ∵方程(a 2＋5a ＋6)x ＋(a 2＋2a )y ＋1＝0表示一条直线，∴a ≠－2.(2)直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0，①若l 在两坐标轴上的截距相等，求a ；②若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．解 ①令x ＝0，则y ＝a －2，令y ＝0，则x ＝a －2a ＋1， ∵l 在两坐标轴上的截距相等，∴a －2＝a －2a ＋1， 得a ＝2或a ＝0.②由①知，在x 轴上截距为a －2a ＋1， 在y 轴上的截距为a －2，∵⎩⎪⎨⎪⎧ a －2a ＋1≥0，a －2≤0，得a <－1或a ＝2.类型二 判断两条直线的位置关系例2 判断下列直线的位置关系：(1)l 1：2x －3y ＋4＝0，l 2：3y －2x ＋4＝0；(2)l 1：2x －3y ＋4＝0，l 2：－4x ＋6y －8＝0；(3)l 1：(－a －1)x ＋y ＝5，l 2：2x ＋(2a ＋2)y ＋4＝0.解 (1)直线l 2的方程可写为－2x ＋3y ＋4＝0，由题意知2－2＝－33≠44，∴l 1∥l 2. (2)由题意知2－4＝－36＝4－8， ∴l 1与l 2重合．(3)由题意知，当a ＝－1时，l 1：y ＝5，l 2：x ＋2＝0，∴l 1⊥l 2.当a ≠－1时，－a －12≠12a ＋2， 故l 1不平行于l 2，又(－a －1)×2＋(2a ＋2)×1＝0，∴l 1⊥l 2，综上l 1⊥l 2.反思与感悟 (1)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x 、y 的系数不能同时为零这一隐含条件．(2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论． 跟踪训练2 (1)已知直线l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线l 2：mx ＋3y －2＝0平行，求m 的值；(2)当a 为何值时，直线l 1：(a ＋2)x ＋(1－a )y －1＝0与直线l 2：(a －1)x ＋(2a ＋3)y ＋2＝0互相垂直？解 方法一 (1)由l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0，l 2：mx ＋3y －2＝0知：①当m ＝0时，显然l 1与l 2不平行．②当m ≠0时，l 1∥l 2，需2m ＝m ＋13≠4－2. 解得m ＝2或m ＝－3，∴m 的值为2或－3.(2)由题意知，直线l 1⊥l 2.①若1－a ＝0，即a ＝1时，直线l 1：3x －1＝0与直线l 2：5y ＋2＝0显然垂直．②若2a ＋3＝0，即a ＝－32时，直线l 1：x ＋5y －2＝0与直线l 2：5x －4＝0不垂直． ③若1－a ≠0，且2a ＋3≠0，则直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2都存在，k 1＝－a ＋21－a ，k 2＝－a －12a ＋3. 当l 1⊥l 2时，k 1·k 2＝－1，即(－a ＋21－a )·(－a －12a ＋3)＝－1， ∴a ＝－1.综上可知，当a ＝1或a ＝－1时，直线l 1⊥l 2.方法二 (1)令2×3＝m (m ＋1)，解得m ＝－3或m ＝2.当m ＝－3时，l 1：x －y ＋2＝0，l 2：3x －3y ＋2＝0，显然l 1与l 2不重合，∴l 1∥l 2.同理当m ＝2时，l 1：2x ＋3y ＋4＝0，l 2：2x ＋3y －2＝0，显然l 1与l 2不重合，∴l 1∥l 2.∴m 的值为2或－3.(2)由题意知直线l 1⊥l 2，∴(a ＋2)(a －1)＋(1－a )(2a ＋3)＝0，解得a ＝±1，将a ＝±1代入方程，均满足题意．故当a ＝1或a ＝－1时，直线l 1⊥l 2.类型三 求平行、垂直的直线方程例3 已知直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0，求满足下列条件的直线l ′的方程：(1)过点(－1,3)，且与l 平行；(2)过点(－1,3)，且与l 垂直．解 方法一 l 的方程可化为y ＝－34x ＋3， ∴l 的斜率为－34. (1)∵l ′与l 平行，∴l ′的斜率为－34. 又∵l ′过点(－1,3)，由点斜式知方程为y －3＝－34(x ＋1)， 即3x ＋4y －9＝0.(2)∵l ′与l 垂直，∴l ′的斜率为43，又l ′过点(－1,3)， 由点斜式可得方程为y －3＝43(x ＋1)，即4x－3y＋13＝0.方法二(1)由l′与l平行，可设l′的方程为3x＋4y＋m＝0.将点(－1,3)代入上式得m＝－9. ∴所求直线的方程为3x＋4y－9＝0.(2)由l′与l垂直，可设l′的方程为4x－3y＋n＝0.将(－1,3)代入上式得n＝13.∴所求直线的方程为4x－3y＋13＝0.反思与感悟一般地，直线Ax＋By＋C＝0中系数A、B确定直线的斜率，因此，与直线Ax ＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0，与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋n＝0.这是经常采用的解题技巧．跟踪训练3已知点A(2,2)和直线l：3x＋4y－20＝0.求：(1)过点A和直线l平行的直线方程；(2)过点A和直线l垂直的直线方程．解(1)将与直线l平行的直线方程设为3x＋4y＋C1＝0，又过点A(2,2)，所以3×2＋4×2＋C1＝0，所以C1＝－14.所求直线方程为3x＋4y－14＝0.(2)将与l垂直的直线方程设为4x－3y＋C2＝0，又过点A(2,2)，所以4×2－3×2＋C2＝0，所以C2＝－2，所以直线方程为4x－3y－2＝0.1．若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A、B应满足的条件为()A．A≠0 B．B≠0C．A·B≠0 D．A2＋B2≠0答案 D解析方程Ax＋By＋C＝0表示直线的条件为A、B不能同时为0，即A2＋B2≠0.2．已知ab<0，bc<0，则直线ax＋by＝c通过()A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限答案 C解析 由ax ＋by ＝c ，得y ＝－a b x ＋c b， ∵ab <0，bc <0，∴直线的斜率k ＝－a b>0， 直线在y 轴上的截距c b<0. 由此可知直线通过第一、三、四象限．3．已知两直线l 1：x ＋my ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，(1)若l 1∥l 2，则m ＝________.(2)若l 1⊥l 2，则m ＝________.答案 (1)－1 (2)12解析 (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1×3－m (m －2)＝0，2m 2≠6×3， 得m ＝－1.(2)由题意知1×(m －2)＋m ×3＝0，得m ＝12. 4．求与直线3x ＋4y ＋1＝0平行，且过点(1,2)的直线l 的方程．解 由题意，设l 的方程为3x ＋4y ＋C ＝0，将点(1,2)代入l 的方程3＋4×2＋C ＝0得C ＝－11，∴直线l 的方程为3x ＋4y －11＝0.1．根据两直线的一般式方程判定两直线平行的方法(1)判定斜率是否存在，若存在，化成斜截式后，则k 1＝k 2且b 1≠b 2；若都不存在，则还要判定不重合．(2)可直接采用如下方法：一般地，设直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0.l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0，且B 1C 2－B 2C 1≠0，或A 1C 2－A 2C 1≠0.这种判定方法避开了斜率存在和不存在两种情况的讨论，可以减小因考虑不周而造成失误的可能性．2．根据两直线的一般式方程判定两直线垂直的方法(1)若一个斜率为零，另一个不存在，则垂直；若两个都存在斜率，化成斜截式后，则k 1k 2＝－1.(2)一般地，设l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0. 第二种方法可避免讨论，减小失误．1．若直线(m ＋2)x ＋(m 2－2m －3)y ＝2m 在x 轴上的截距为3，则实数m 的值为( ) A.65 B ．－6 C ．－65D ．6 答案 B解析 令y ＝0，则x ＝2m m ＋2， 由题意知，2m m ＋2＝3， 得m ＝－6.2．过点P (－1,3)且垂直于直线x －2y ＋3＝0的直线方程为( )A ．2x ＋y －1＝0B ．2x ＋y －5＝0C ．x ＋2y －5＝0D ．x －2y ＋7＝0答案 A解析 设所求直线方程为2x ＋y ＋c ＝0，将x ＝－1，y ＝3代入2x ＋y ＋c ＝0，得c ＝－1.故所求直线方程为2x ＋y －1＝0.3．已知直线(2＋m －m 2)x －(4－m 2)y ＋m 2－4＝0的斜率不存在，则m 的值是( )A ．1 B.34 C ．－2 D ．2解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧4－m 2＝0，2＋m －m 2≠0，解得m ＝－2. 4．已知直线ax ＋by －1＝0在y 轴上的截距为－1，且它的倾斜角是直线3x －y －3＝0的倾斜角的2倍，则a ，b 的值分别为( ) A.3，1 B.3，－1 C ．－3，1D ．－3，－1答案 D解析 原方程可化为x 1a ＋y 1b＝1，∴1b ＝－1，∴b ＝－1.又∵ax ＋by －1＝0的斜率k ＝－a b＝a ，且3x －y －3＝0的倾斜角为60°，∴k ＝tan 120°，∴a ＝－3，故选D.5．过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( )A ．x －2y －1＝0B ．x －2y ＋1＝0C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝0 答案 A解析 可设与直线x －2y －2＝0平行的直线的方程为x －2y ＋c ＝0，将点(1,0)代入x －2y ＋c ＝0，得c ＝－1.故所求直线方程是x －2y －1＝0.6．若ac <0，bc <0，则直线ax ＋by ＋c ＝0的图形只能是( )答案 C解析 令y ＝0，得x ＝－c a， ∵ac <0，∴－c a >0.令x ＝0，得y ＝－c b， ∵bc <0，∴－c b>0， ∴与x 轴、y 轴截距均为正值，故选C.7．直线l 1：ax －y ＋b ＝0，l 2：bx －y ＋a ＝0(a ≠0，b ≠0，a ≠b )在同一坐标系中的图形大致是答案 C解析 将l 1与l 2的方程化为斜截式得：y ＝ax ＋b ，y ＝bx ＋a ，根据斜率和截距的符号可得选C.二、填空题8．直线(2a 2－7a ＋3)x ＋(a 2－9)y ＋3a 2＝0的倾斜角为45°，则实数a ＝________.答案 －23解析 由题意知，斜率存在，倾斜角为45°，即k ＝1，∴2a 2－7a ＋3a 2－9＝－1，且a 2－9≠0， 解得a ＝－23. 9．垂直于直线3x －4y －7＝0，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线在x 轴上的截距是________．答案 ±3解析 由题意可设与直线3x －4y －7＝0垂直的直线的方程为4x ＋3y ＋c ＝0，令y ＝0得，x ＝－c 4， 令x ＝0，得y ＝－c 3， 则S △＝12|－c 4·(－c 3)|＝6， 得c 2＝122，c ＝±12，∴在x 轴上的截距为－c 4＝±3. 10．若直线mx －y ＋(2m ＋1)＝0恒过定点，则此定点是________．答案 (－2,1)解析 由y ＝mx ＋2m ＋1，得y －1＝m (x ＋2)，所以直线恒过定点(－2,1)．11．若三条直线x ＋y ＝0，x －y ＝0，x ＋ay ＝3能构成三角形，则a 的取值范围是________． 答案 a ≠±1解析 由直线x ＋y ＝0与x －y ＝0都过(0,0)点，而x ＋ay ＝3不过(0,0)点，只需满足x ＋ay ＝3不与x ＋y ＝0与x －y ＝0平行即可，故a ≠±1.三、解答题12．若方程(m 2－3m ＋2)x ＋(m －2)y －2m ＋5＝0表示直线，(1)求实数m 需满足的条件；(2)若该直线的斜率k ＝1，求实数m 的值．解 (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＋2≠0，m －2≠0，解得m ≠2. (2)由题意知，m ≠2，由－m 2－3m ＋2m －2＝1，解得m ＝0. 13．已知平面内两点A (8，－6)，B (2,2)．(1)求AB 的中垂线方程；(2)求过点P (2，－3)且与直线AB 平行的直线l 的方程；(3)一束光线从B 点射向(2)中的直线l ，若反射光线过点A ，求反射光线所在直线的方程．解 (1)因为8＋22＝5，－6＋22＝－2， 所以AB 的中点坐标为(5，－2)，因为k AB ＝－6－28－2＝－43， 所以AB 的中垂线的斜率为34， 故AB 的中垂线的方程为y ＋2＝34(x －5) 即3x －4y －23＝0.(2)由(1)知k AB ＝－43， 所以直线l 的方程为y ＋3＝－43(x －2)，即4x ＋3y ＋1＝0.(3)设B (2,2)关于直线l 的对称点B ′(m ，n )， 由⎩⎨⎧n －2m －2＝34，4×m ＋22＋3×n ＋22＋1＝0，解得⎩⎨⎧ m ＝－145，n ＝－85，所以B ′(－145，－85)，k B ′A ＝－6＋858＋145＝－1127， 所以反射光线所在直线方程为y ＋6＝－1127(x －8)． 即11x ＋27y ＋74＝0.。
§3.2.3 直线的一般式方程
练习 金榜P55_1~6 P57_1~8, 品味高考
7 明天讲评作业和练习，请做好准备！
8
9
10
②直线与二元一次方程有什么关系?
2
②直线与二元一次方程有什么关系?
y －y0 = k （x－x0）
3
直线方程的一般式:
Ax+By+C=0（A，B不同时为0）
例题分析
例5、已知直线经过点A（6，- 4），斜率为 求直线的点斜式和一般式方程.
4 ， 3
例6、把直线L 的方程x –2y+6= 0化成斜截式，求出直 线l 的斜率和它在X轴与Y轴上的截距，并画出图形.
§3.2.3 直线的一般式方程
1
复习回顾
①直线方程有几种形式？指明它们的条件及应用范围.
点斜式 y －y0 = k （x－x0） 斜截式 y = kx + b y y1 y2 y1 ( x1 x2 , y1 y2 ) 两点式 x x1 x2 x1 截距式 x y 1 ab 0 a b
4
5
金榜P56金榜ຫໍສະໝຸດ 576小结目前为止我们学习了直线方程的五种形式
1、点斜式 y －y0 = k （x－x0）
2、斜截式 y = kx + b y y1 y2 y1 3、两点式 x x x x ( x1 x2 , y1 y2 ) 1 2 1 x y 1 ab 0 4、截距式 a b 5、一般式 Ax+By+C=0（A，B不同时为0）
3.2.3 直线的一般式方程
1234
当堂检测
1.已知直线2x+ay+b=0在x轴、y轴上的截距分别为-1,2,则a,b的值 分别为( )
A.-1,2 B.-2,2
C.2,-2 D.-2,-2 解析:令 x=0,则 y=-������������=2;令 y=0,则 x=-���2���=-1,得 b=2,a=-1,故选 A. 答案:A
故当a=1或a=-1时,直线l1⊥l2.
探究一
探究二
思想方法
课堂篇 探究学习
反思感悟由直线的一般式方程解决平行与垂直问题
直线l1:A1x+B1y+C1=0,直线l2:A2x+B2y+C2=0. (1)l1∥l2⇔A1B2-A2B1=0,且B1C2-B2C1≠0(或A1C2-A2C1≠0). (2)l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0.
课堂篇 探究学习
探究一
探究二
思想方法
解法一 由题设 l 的方程可化为 y=-34x+3,
∴l 的斜率为-34. (1)∵直线 l'与 l 平行,∴l'的斜率为-34. 又∵直线 l'过(-1,3),由点斜式知方程为 y-3=-34(x+1),即 3x+4y-9=0. (2)由 l'与 l 垂直,∴l'的斜率为4,
当堂检测
1234
2.两直线ax-by-1=0(ab≠0)与bx-ay-1=0(ab≠0)的图象可能是图中的 哪一个( )
解析:当
a<0,b>0
时,直线
ax-by=1
高中数学必修二 3.2.3 直线的一般式方程
=
1.
重难点突破
12
由于直线方程的斜截式和截距式是唯一的,而两点式和点斜式不 唯一,因此,通常情况下,一般式不化为两点式和点斜式.
注意:在直线方程的几种形式中,任何形式的方程都可以化成一 般式方程,化为一般式方程以后原方程的限制条件就消失了;其他 形式的方程互化时,限制条件也可能发生变化;一般式方程化为其 他形式的方程时,要注意限制条件,它们有如下的转化关系:
������
������
一般式化截距式的步骤:
(1)把常数项移到方程右边,得 Ax+By=-C;
(2)当
C≠0
时,方程两边同除以-C,得
������������ -������
+
������������ -������
=
1;
(3)化为截距式
������ -������������
+
������ -������������
①当 B≠0 时,则− ������ = ������(斜率), − ������ = ������(������轴上的截距);
������
������
②当
B=0�
=
������(������轴上的截距),
此时斜率不存在.
知识梳理
知识拓展1.当AB>0时,k<0,倾斜角α为钝角;当AB<0时,k>0,倾斜角α 为锐角;当A=0,B≠0时,k=0,倾斜角α=0°;当B=0,A≠0时,k不存在,倾 斜角α=90°.
方法二:由两点式方程得 ������-0 = ������-1 , 即x+3y-1=0.
1-0 -2-1
精选例题
题型一 题型二 题型三 题型四
3.2.3 直线的一般式方程
3.2.3 │ 考点类析
► 考点三 直线的一般式方程的应用
例 3 已知直线 l 的方程为 3x＋4y－12＝0，若直线 l′与 l 垂直，且 l′与坐标轴围成的三角形面积为 6，则直线 l′的方程
为__4_x_－__3_y_＋__1_2_＝__0__或__4__x－___3_y_－__1_2_＝__0___．
解：设所求的直线方程为 2x－y＋c＝0， 令 y＝0，得 x＝－2c，令 x＝0，得 y＝c， 所以12－2c·c＝9，c＝±6， 故所求直线的方程为 2x－y±6＝0.
3.2.3 │ 当堂自测
当堂自测
1．若直线 3x＋y＋6＝0 的斜率为 k，在 y 轴上的截
距为 b，则( )
A．k＝3，b＝6
五点说明： (1)对于直线方程 Ax＋By＋C＝0，若 A≠0，则方程可变
为 x＋BAy＋CA＝0，只需确定BA________与_CA_________的值；若 B__≠_0_，__则__方的程 值． 可因变此为，ABx只＋要y给＋出CB ＝两0个，独只立需的确 AB条定件_就__可__求_CB_出_直 与
3.2.3 │ 重点难点
重点难点
• 【重点】 • 直线方程的一般式与各种形式的互化． • 【难点】 • 对直线方程一般式的理解与应用．
3.2.3 │ 教学建议
教学建议
(1)根据教材分析直线方程的一般式是本节课的重点，但由于 学生刚接触直线和直线方程的概念，教学中要求不能太高，因
此对直角坐标系中直线与关于x和y的一次方程的对应关系确定
3.2.3 │ 新课导入
新课导入
【导入一】 问题导入
直线的方程都可以写成关于x，y的二元一次方程吗？反过来，
二元一次方程都表示直线吗？
高中数学：3.2.3《直线的一般式方程》教案新人教版必修2A
直线的一般式方程教学目标1、知识与技能（1）明确直线方程一般式的形式特征；（2）会把直线方程的一般式化为斜截式，进而求斜率和截距；（3）会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式。
2、过程与方法学会用分类讨论的思想方法解决问题。
3、情态与价值观（1）认识事物之间的普遍联系与相互转化；（2）用联系的观点看问题。
教学重点、难点：1、重点：直线方程的一般式。
2、难点：对直线方程一般式的理解与应用。
教学过程：一、复习准备：1.写出下列直线的两点式方程.① 经过点A(-2,3)与 B(-3,0)； ②经过点B(-3,0)与()22,C -；2. 探讨:点斜式、斜截式、两点式和截距式能否表示垂直于坐标轴的直线?(我们需要直线的一般表示法)二、讲授新课：1问：直线的方程都可以写成关于,x y 的二元一次方程吗？反过来，二元一次方程都表示直线关于,x y 的二元一次方程:0Ax By C ++=(1) , 叫直线的一般方程,简称一般式. ① 当0B ≠,(1)式可化为A C y x B B=--,这是直线的斜截式. ② 当0B =,0A ≠时,(1)式可化为C x A=-.这也是直线方程. 定义一般式: 关于,x y 的二元一次方程:0Ax By C ++=(,A B 不全为0)叫直线的一般式方程,简称一般式.2.引导学生思考:直线与二元一次方程的对应是什么样的对应?(直线与二元一次方程是一对多的对应,同一条直线对应的多个二元一次方程是同解方程.) 直线方程的一般式与其他几种形式的直线方程相比，它有什么优点？（1）直线的一般式方程能够表示平面上的所有直线，而点斜式、斜截式、两点式方程，都不能表示与x 轴垂直的直线。
（2）对于直线方程的一般式，一般作如下约定：一般按含x 项、含y 项、常数项顺序排列；x 项的系数为正；x ，y 的系数和常数项一般不出现分数；无特加要求时，求直线方程的结果写成一般式。
出示例题1:已知直线经过点(6,4),斜率为43-,求直线的点斜式和一般式方程. 3.探讨直线0Ax By C ++=,当,,A B C 为何值时,直线①平行于x 轴;②平行于y 轴③与x 轴重合④与y 轴重合.4.出示例题2:把直线l 的一般方程3250y x -+=化成斜截式方程,并求出直线l 与x 轴、y 轴的截距,画出图形.三.练习与提高:1．教材P99面练习l 的方程为(2)3m x y m ++=,根据下列条件分别求的值.①l 在x 轴上的截距为2-. ②斜率为1-3．若直线0=++C By Ax 通过第二、三、四象限，则系数A 、B 、C 满足条件（ ）(A)A 、B 、C (B)AC<0,BC>0 (C)C=0,AB<0 (D)A=0,BC<04．已知直线l 经过点（－２，２）且与两坐标轴围成单位面积的三角形，求该直线的方程．四.小结:（1）请学生写出直线方程常见的几种形式，并说明它们之间的关系。
国家课程校本化：3.2.3 直线的一般式方程(导学案)
3.2.3 直线的一般式方程一、课标解读1．知识与技能（1）明确直线方程一般式的形式特征；（2）会把直线方程的一般式化为斜截式，进而求斜率和截距；（3）会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式。
2．过程与方法学会用分类讨论的思想方法解决问题。
3．情态与价值观（1）认识事物之间的普遍联系与相互转化；（2）用联系的观点看问题。
二、自学导引1．直线(2m 2－5m ＋2)x －(m 2－4)y ＋5m ＝0的倾斜角为45°，则m 的值为( )A ．－2B ．2C ．－3D ．32．直线l 的方程为Ax ＋By ＋C ＝0，若直线l 过原点和二、四象限，则( )A ．C ＝0，B >0 B ．A >0，B >0，C ＝0C ．AB <0，C ＝0D ．AB >0，C ＝03．直线x ＋2ay －1＝0与(a －1)x ＋ay ＋1＝0平行，则a 的值为( )A.32B.32或0 C ．0 D ．－2或0 4．直线l 过点(－1,2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则l 的方程是( )A ．3x ＋2y －1＝0B ．3x ＋2y ＋7＝0C ．2x －3y ＋5＝0D ．2x －3y ＋8＝05．已知直线(a ＋2)x ＋(a 2－2a －3)y －2a ＝0在x 轴上的截距为3，则该直线在y 轴上的截距为________．6．若直线l 1：x ＋ay －2＝0与直线l 2：2ax ＋(a －1)y ＋3＝0互相垂直，则a 的值为________．答案：1．D 2.D 3.A 4.A 5．－4156．0或－1 三、典例精析例1 根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：(1)斜率为3，且经过点A (5,3)；(2)过点B (－3,0)，且垂直于x 轴；(3)斜率为4，在y 轴上的截距为－2；(4)在y 轴上的截距为3，且平行于x 轴；(5)经过C (－1,5)，D (2，－1)两点；(6)在x 轴，y 轴上截距分别是－3，－1.解：(1)由点斜式方程得y －3＝3(x －5)，即3x －y ＋3－53＝0.(2)x ＝－3，即x ＋3＝0.(3)y ＝4x －2，即4x －y －2＝0.(4)y ＝3，即y －3＝0.(5)由两点式方程得y －5－1－5＝x －－2－－，即2x ＋y －3＝0. (6)由截距式方程得x －3＋y －1＝1，即x ＋3y ＋3＝0. 例2 已知直线l 1：(m ＋3)x ＋y －3m ＋4＝0，l 2：7x ＋(5－m )y －8＝0，问当m 为何值时，直线l 1与l 2平行．解 当m ＝5时，l 1：8x ＋y －11＝0，l 2：7x －8＝0.显然l 1与l 2不平行，同理，当m ＝－3时，l 1与l 2也不平行．当m ≠5且m ≠－3时，l 1∥l 2⇔⎩⎨⎧ －(m ＋3)＝7m －53m －4≠85－m ，∴m ＝－2.∴m 为－2时，直线l 1与l 2平行．例3 已知直线l ：5ax －5y －a ＋3＝0.(1)求证：不论a 为何值，直线l 总经过第一象限；(2)为使直线不经过第二象限，求a 的取值范围．(1)证明 将直线l 的方程整理为y －35＝a (x －15)， ∴l 的斜率为a ，且过定点A (15，35)．而点A (15，35)在第一象限，故l 过第一象限． ∴不论a 为何值，直线l 总经过第一象限．(2)解 直线OA 的斜率为k ＝35－015－0＝3.∵l 不经过第二象限，∴a ≥3.四、自主反馈1．直线l 1：ax －y ＋b ＝0，l 2：bx －y ＋a ＝0(a ≠0，b ≠0，a ≠b )在同一坐标系中的图形大致是()2．直线ax ＋by ＋c ＝0 (ab ≠0)在两坐标轴上的截距相等，则a ，b ，c 满足( )A ．a ＝bB ．|a |＝|b |且c ≠0C ．a ＝b 且c ≠0D ．a ＝b 或c ＝03．已知A (0,1)，点B 在直线l 1：x ＋y ＝0上运动，当线段AB 最短时，直线AB 的一般式方程为________________．答案：1．C 2．D 3．x －y ＋1＝0。
课件5：3.2.3 直线的一般式方程
〔跟踪练习 6〕 直线(t＋2)x＋(1－t)y＋3－t＝0 过定点__－__23_，__－__53___．
【解析】 分离参数得：(x－y－1)t＋2x＋y＋3＝0 由2x－x＋y－y＋13＝＝00得xy＝＝－－2353. ∴直线过定点－23，－53．
课堂小结
命题方向2 ⇨直线的一般式方程的应用
典例 2 设直线 l 的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R). (1)若 l 在两坐标轴上的截距相等，求 l 的方程； (2)若 l 不经过第二象限，求实数 a 的取值范围．
[解] (1)当直线过原点时，该直线在 x 轴和 y 轴上的截距都为零，当然相等． 则(a＋1)×0＋0＋2－a＝0，∴a＝2，方程即 3x＋y＝0； 若 a≠2，由题设 l 在两轴上的截距相等，∴aa－＋21＝a－2 即 a＋1＝1，∴a＝0，方程即 x＋y＋2＝0． ∴l 的方程为 3x＋y＝0 或 x＋y＋2＝0． (2)将 l 的方程化为 y＝－(a＋1)x＋a－2 ∴欲使 l 不经过第二象限，当且仅当－a－(a2＋≤01)>0或－a－(a2＋≤01)＝0，∴a≤－1． 综上可知 a 的取值范围是 a≤－1．
〔跟踪练习 1〕 已知直线 l 经过点 A(－5,6)和点 B(－4,8)，求直线的一般式方程和截距式方程．
[解] 直线过 A(－5,6)、B(－4,8)两点 由两点式得8y－－66＝－x＋4＋55 整理得 2x－y＋16＝0 ∴2x－y＝－16，两边同除以－16 得，－x8＋1y6＝1． 故所求直线的一般式方程为 2x－y＋16＝0，截距式方程为－x8＋1y6＝1.
3．直线 kx－y＋1－3k＝0，当 k 变化时，所有直线都恒过点
A．(0,0)
B．(0,1)
C．(3,1)
3.2.3直线的一般式方程及对称问题讲解(精华版)
求直线l1：2x y 4 0关于直线l：3x 4y 1 0 对称的直线l2的方程.
l
即 2x 11y 16 0 .
l2
l1 y
A
o.
B
.E
x
反射问题与最值问题
练习1、已知直线l : y 3x 3,求 (1)点A(5,3)关于直线l的对称点的坐标； (2)求直线l1 : x y 2 0关于直线l对称的直线方程l2.
• 2. 点(a, b)关于点(m, n)的对称点为(2m-a,2n-b) ;
(a, b)
• 3. 点(a, b)关于x轴的对称点为 (a,-b)
;
• 4. 点(a, b)关于y轴的对称点为 (-a,b)
;
• 5. 点(a, b)关于y=x的对称点为 (b,a)
;
• 6. 点(a, b)关于y= -x的对称点为 (-b,-a)
法2：在l'上任找一点P(x, y) ,设P关于m
的对称点为：P'(x0 , y0 ) ,
x x0
则
y
2
y0
y y0 2
1
5
0解得
x0 y0
y x
5 5
x x0
由于点P'在直线l上，所以3( y 5) (x 5) 3 0
整理得l'的方程为：x 3y 17 0.
练习1
A1(x,y)
PO A(2,0)
P A(2,0)
B(-2,-4)
B(-2,-4)
的对称点E'(x0 , y0 )的求法：
A x0 2
y0 b
a (
B y0 b 2
A) 1
C
0
x0 a B
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即 x2＋ (C1＋ C2)x＋ B1xy＋ C2B1y＋ C1C2 ＝ x2－x＋kxy＋ 4y－6,
C ＋C ＝－1， ∴ C B ＝ 4， C C ＝－6，
k＝ B1＞ 0，
1 2 1 2 1 2
解得 k＝ B1＝ 2,
C1＝－3, C2＝ 2, ∴两直线方程为 x＋ 2＝ 0, x＋ 2y－3＝0.
名师微博 这是求斜率的大前提.
【满分警示】两种方法各有优点 : 斜率法易 于记忆 , 系数法易于操作 , 比较而言 , 当方程 中含有字母时 , 化为一般式进行判定 , 可避免 6 2m 分类讨论 . 在法一中 , (1)的－ ≠－ 易丢掉 3 m 而产生增根 .
变式训练
3. (1)已知直线l1: 2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线
【方法小结】求直线方程的一般式, 首先 求直线方程的特殊式, 再化为一般式.
变式训练
1. 根据下列各条件写出直线的方程, 并且化 成一般式 . 1 (1)斜率是－ , 经过点 A(8, － 2); 2 (2)经过点 B(4,2), 平行于 x 轴; 3 (3)在 x 轴和 y 轴上的截距分别是 、－ 3; 2 (4)经过两点 P1(3, － 2), P2(5, － 4).
把①③代入直线方程 , 得 7 － 5Bx＋ By＋ B＝ 0. 3 7 又∵ B≠ 0, ∴－ 5x＋ y＋ ＝ 0. 3 故所求直线方程为 15x－3y－ 7＝ 0.
法二: ∵ A－2B＋ 3C＝0, 1 －2＋ C＝0, ∴ A·＋ B· 3 3 1 2 ∴直线经过点 3，－3 . 又∵斜率为 5, 1 2 ∴所求直线方程为 y＋ ＝ 5 x－3 , 3 即 15x－3y－ 7＝ 0.
a ＋2 a －1 k1＝－ , k2＝－ , 1 －a 2a＋ 3 当 l1⊥ l2 时 , k1· k2＝－1, a＋2 a－1 － 即－ · ＝－ 1, 1 － a 2 a ＋ 3 所以 a＝－ 1. 综上可知 , 当 a＝ 1 或 a＝－ 1 时 , 直线 l1⊥ l2.
解 : (1)设所求直线为 3x＋4y＋ C＝ 0, 在 x 轴上截距为 3, 即过定点(3,0). ∴ 3× 3＋ C＝0, ∴C＝－9, ∴方程为 3x＋4y－9＝0. (2)设所求直线为 4x－3y＋ m＝ 0. m 与 y 轴交点为(0, ), 3
m 与 y 轴交点为 (0, ), 3 与两坐标轴形成的线段中点纵坐标为 m 0＋ 3 3 ＝ , ∴ m＝ 9. 2 2 ∴方程为 4x－3y＋9＝0.
2. 已知直线Ax＋By＋C＝0的斜率为5, 且
A－2B＋3C＝0, 求直线的方程.
解 : 法一 : ∵直线 Ax＋ By＋ C＝ 0 的斜率为 5, A ∴ B≠ 0, 且－ ＝ 5, 即 A＝－5B.① B 又∵ A－ 2B＋3C＝0, ② 7 由①②得 , － 5B－2B＋ 3C＝ 0, ∴ C＝ B.③ 3
法二: 由直线 l1⊥ l2, 所以(a＋ 2)(a－1)＋(1－ a)(2a＋3)＝ 0, 解得 a＝ ± 1. 将 a＝ ± 1 代入方程, 均满足题意 . 故当 a＝ 1 或 a＝－ 1 时 , 直线 l1⊥ l2.
备选例题
1. 设k是正整数, 如果方程kxy＋x2－x＋4y－ 6 ＝0表示两条直线, 求k的值, 并求出这两条直
1 解 : (1)由点斜式得 y－ (－ 2)＝－ (x－8), 2 即 x＋ 2y－ 4＝ 0. (2)由斜截式得 y＝ 2, 得 y－ 2＝ 0. x y (3)由截距式得 ＋ ＝ 1, 即 2x－ y－ 3＝ 0. 3 －3 2 y－－ 2 x －3 (4)由两点式得 ＝ , － 4－－ 2 5－3 即 x＋ y－1＝0.
题型二
与平行或垂直有关的直线方
程的求法
例2 (1)求与直线3x＋4y＋1＝0平行且过 点(1,2)的直线l的方程; (2)求经过点A(2,1)且与直线2x＋y－10＝0垂 直的直线l的方程.
【解】
(1)法一: 设直线 l 的斜率为 k,
3 ∵ l 与直线 3x＋ 4y＋ 1＝ 0 平行 , ∴ k＝－ . 4 又∵ l 经过点 (1,2), 3 可得所求直线方程为 y－ 2＝－ (x－1), 4 即 3x＋ 4y－ 11＝0.
做一做 1.若方程Ax＋By＋C＝0表示直线, 则A, B应
满足的条件为(
A. A≠0 C. A· B≠0
)
B. B≠0 D. A2＋B2≠0
解析: 选D.A2＋B2≠0, 即A≠0或B≠0, 则表 示直线.
2. 直线2x＋y＋4＝0的斜率k＝________. 解析: 2x＋y＋4＝0可化为y＝－2x－4. ∴k＝－2. 答案: －2
想一想 直线Ax＋By＋C＝0过原点, A、B、C应满足 什么条件？ 提示: (0,0)在直线Ax＋By＋C＝0上,
∴C＝0.
即直线Ax＋By＋C＝0过原点, A、B、C应满 足C＝0. A∈R、B∈R, A、B不同时为0.
典题例证·技法归纳
题型一
例1
题型探究 求直线方程的一般式
根据下列条件分别写出直线的方程 ,
3. 2.3 直线的一般式方程
星期二，我们已经拥有一个成功的开始，就让我们拥抱明天吧！
星期五，希望就在眼前，让我们愉快的回忆过去！
1. 请回忆直线点斜式 斜截式 两点式和 截距式 ? 2. 请研究直线的一般式… ?
• 1阅读课本P97-P99,完成优化P64
新知初探·思维启动
1. 直线的一般式方程 在平面直角坐标系中, 对于任何一条直线, 都 有一个表示这条直线的关于x, y的 二元一次方程 ________________; 任何关于x, y的二元一 一条直线 次方程都表示 ___________. 方程Ax＋By＋ C＝0(其中A、B不同时为0)叫做 直线的一般式方程 _____________________. 简称一般式.
(2)由斜截式方程可知 , 所求直线方程为: y＝ 4x－2, 化为一般式为 4x－ y－2＝ 0. (3)由两点式方程可知 , 所求直线方程为: y－ 5 x－－1 ＝ . － 1－ 5 2－－1 化为一般式方程为 : 2x＋ y－3＝0.
(4)由截距式方程可得, 所求直线方程为 x y ＋ ＝1, －3 －1 化成一般式方程为 x＋ 3y＋3＝ 0.
法二: 令 2× 3＝ m(m＋1), 解得 m＝－3 或 m＝2. 当 m＝－ 3 时 , l1: x－ y＋ 2＝ 0, l2: 3x－3y＋2＝0, 显然 l1 与 l2 不重合 , ∴ l1∥ l2, 同理当 m＝ 2 时 , l1: 2x＋ 3y＋ 4＝0, l2: 2x＋ 3y－ 2＝ 0, l1 与 l2 不重合 , l1∥ l2, ∴ m 的值为 2 或－3.
(2)法一: 由题意 , 直线 l1⊥ l2, ①若 1－a＝0, 即 a＝1 时 , 直线 l1: 3x－ 1＝ 0 与直线 l2: 5y＋2＝0, 显然垂直 . 3 ②若 2a＋ 3＝ 0, 即 a＝－ 时 , 2 直线 l1: x＋5y－ 2＝ 0 与直线 l2: 5x－ 4＝ 0 不垂直 . ③若 1－a≠0, 且 2a＋ 3≠ 0, 则直线 l1, l2 的斜率 k1, k2 都存在 ,
并化为一般式方程 . (1)斜率是 3, 且经过点 A(5,3); (2)斜率为 4, 在 y 轴上的截距为－ 2;
(3)经过A(－1,5), B(2, －1)两点;
(4)在x、y轴上的截距分别是－3, －1.
【解】 (1)由点斜式方程可知 , 所求直线方
程为: y－3＝ 3(x－5), 化为一般式为: 3x－y＋3－5 3＝0.
线方程 解 : (1). 法一 : 求根公式法
∵ kxy＋x2－ x＋ 4y－6＝0, ∴ x2＋ (ky－ 1)x＋4y－ 6＝ 0,
1－ky ± ky－1 2－4 4y－ 6 解得 x＝ , 2 1－ky ± k2y2－ 2k＋ 8 y＋ 25 即 x＝ ① 2 ∵方程表示两条直线, ∴ k2y2－2(k＋8)y＋ 25 是完全平方式且 k 为正 整数 , ∴ [2(k＋ 8)]2－ 4× 25× k2＝ 0, 即 3k2－ 2k－8＝0,
法二: (1)l1∥ l2⇔1×3－ m· (m－ 2)＝0 且 1· (2m)－6· (m－2)≠0, 解得 m＝－ 1.4 分 ∴当 m＝－1 时 , l1∥ l2.6 分 (2)l1⊥ l2⇔ 1· (m－2)＋ m· 3＝ 0, 1 1 解得 m＝ .10 分∴当 m＝ 时, l1⊥ l2.12 分 2 2
又∵ l 经过点 A(2,1), 1 ∴所求直线 l 的方程为 y－1＝ (x－ 2), 2 即 x－ 2y＝ 0. 法二: 设与直线 2x＋ y－ 10＝ 0 垂直的直线方 程为 x－2y＋m＝ 0. ∵直线 l 经过点 A(2,1), ∴ 2－ 2× 1＋ m＝0, ∴ m＝ 0.
∴所求直线 l 的方程为 x－ 2y＝ 0.
l2: 2x－ 3y＝ 0, l1 与 l2 相交且不垂直 .3 分 1 6 当 m≠0 时 , l1: y＝－ x－ , m m m－ 2 2m l2: y＝－ x－ .6 分 3 3
m－ 2 1 6 2m (1)l1∥ l2⇔－ ＝－ 且－ ≠－ , 3 3 m m 解得 m＝－ 1. ∴当 m＝－ 1 时 , l1∥ l2.9 分 1 m－ 2 (2)l1⊥ l2⇔－m － ＝－1, 3 1 1 解得 m＝ .∴当 m＝ 时 , l1⊥ l2.12 分 2 2
【思维小结】 法一采用了直接求斜率, 建立点斜式方程. 法 二用了待定系数法, 先设出平行或垂直的直线 形式, 由点确定系数.
变式训练
2. 已知 l 的方程为 3x＋4y－ 12＝0, 求满足下 列条件的直线方程. (1)与 l 平行且在 x 轴上的截距为 3. (2)与 l 垂直, 且与两坐标轴相交的线段中点的 3 纵坐标为 . 2