2020高三第一学期期中理科数学试题及答案

海淀区高三年级第一学期期中练习
数学（理科） xx.11
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一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. (1) 在复平面内，复数
21i
i
+对应的点位于 （ ） （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 (2) 函数1
3(10)x y x +=-<≤的反函数是 （ ）
（A ）31log (0)y x x =+> （B ）31log (0)y x x =-+>
(C)31log (13)y x x =+<≤ (D) 31log (13)y x x =-+<≤
（3）“1a >”是“
1
1a
<”成立的 （ ） （A ）充分必要条件 （B ）充分不必要条件 （C ）必要不充分条件 （D ）既非充分也非必要条件
（4）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是 （ ）
（A ）2log y x =-（0x >） （B ）3
y x x =+（x ∈R ）
（C ）3x
y =（x ∈R ） （D ）1
y x
=-
（x ∈R ，0≠x ） （5）在一个口袋中装有5个黑球和3个白球，这些球除颜色外完全相同.从中摸出3个球，则摸出白球的
个数多于黑球个数的概率为 （ ）
（A ）
83 （B ）73 （C ） 72 （D ）28
9 （6）定义在R 上的函数()f x 为奇函数，且(5)()f x f x +=.若(2)1,(3)f f a >=，则 （ ） （Ａ）3a <- （Ｂ）3a > （Ｃ）1a <- （Ｄ）1a >
（7）给出下列命题：
①如果函数()f x 对任意的x ∈R ，都有()()f a x f a x +=-（a 为一个常数），那么函数()f x 必为偶函数；
②如果函数()f x 对任意的x ∈R ，满足(2)()f x f x +=-，那么函数()f x 是周期函数；
③如果函数()f x 对任意的12,x x ∈R 、且12x x ≠，都有1212)[()()]0x x f x f x -->(，那么函数()f x 在
R 上是增函数；
④函数()y f x =和函数(1)2y f x =-+的图象一定不能重合.
其中真命题的序号是 （ ） （A ）①④ （B ）②③ （C ）①②③ （D ）②③④
(8)如果数列{}n a 满足：首项11a =且12,2,n n n
a n a a n +⎧=⎨
+⎩为奇数,
为偶数,那么下列说法中正确的是（ ）
（A ）该数列的奇数项135,,,a a a L 成等比数列，偶数项246,,,a a a L 成等差数列 （B ）该数列的奇数项135,,,a a a L 成等差数列，偶数项246,,,a a a L 成等比数列 （C ）该数列的奇数项135,,,a a a L 分别加4后构成一个公比为2的等比数列 （D ）该数列的偶数项246,,,a a a L 分别加4后构成一个公比为2的等比数列
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上. (9)22
41
lim(
)42x x x
→--=-+__________________. (10)已知等差数列{}n a 中，12981a a a +++=L 且6714171a a a +++=L ，则5a = ，公差
d =_________.
(11)
若2)n
x
的展开式中第三项是常数项，则n = ，且这个展开式中各项的系数和为_______.
(12)在1，2，3，4，5，6这六个数字组成的无重复数字的三位数中，奇数共有 个. (13)若不等式22x x a >+对于一切[]2,3x ∈-恒成立，则实数a 的取值范围为__ __ . (14) 近几年来，在欧美等国家流行一种“数独”推理游戏，游戏规则如下：
①在9×9的九宫格子中,分成9个3×3的小九宫格,用1到9这9个数字填满整个格子; ②每一行与每一列都有1到9的数字，每个小九宫格里也有1到9的数字，并且一个数字在每行、每列及每个小九宫格里只能出现一次，既不能重复也不能少.
那么A 处应填入的数字为__________；B 处应填入的数字为__ _.
三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.
(15)（本小题共12分）
已知全集U =R ，集合{}2|log (3)2,A x x =-≤集合5|12B x x ⎧
⎫=⎨⎬+⎩⎭
≥. （I ）求A ，B ； (II)求 ()U A B I ð.
(16)（本小题共13分）
已知函数24().f x x x
=+
（I ）求函数f (x )的单调减区间；
（II ）当[1,4],().x f x ∈时求函数的最大值和最小值.
（17）（本小题共13分）
今有一长2米宽1米的矩形铁皮，如图，在四个角
上分别截去一个边长为x 米的正方形后，沿虚线折起可做成一个无盖的长方体形水箱（接口连接问题不考虑）.
（I ）求水箱容积的表达式()f x ，并指出函数()f x 的 定义域；
（II ）若要使水箱容积不大于43x 立方米的同时，又使
得底面积最大，求x 的值.
（18）（本小题共14分）
某选手进行实弹射击训练，射击中每次射击的结果是相互独立的.已知他每次射击时，命中环数 的分布列如下表：
该选手在训练时先射击三次，若三次射击的总环数不小于29环，则射击训练停止；若三次射击的总环数小于29环，则再射击三次，然后训练停止.
（I ）求该选手在射击训练中恰好射击三次的概率；
（II ）求该选手训练停止时，射击的次数η的分布列及期望.
（19）（本小题共14分）
已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且111,(2)n n a na n S +==+(1,2,3,n =)….
（I ）求证：数列{
}n
S n
为等比数列； （II ）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ，并求lim
n
n n
S a →∞；
（III ）若数列{}n b 满足：112b =，11n n n
b b S n n
++=
+(1,2,3,n =)…，求数列{}n b 的通项公式.
（20）（本小题共14分）
设函数()f x 的定义域为R ，若()f x x ≤对一切实数x 均成立，则称函数()f x 为Ω函数．
（I ）试判断函数1()sin f x x x =、()2e e 1x x f x -=+和()2
321
x f x x =+中哪些是Ω函数，并说明理由；
（II ）若函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且满足对一切实数x 1、x 2，均有()()1212f x f x x x --≤，
求证：函数()f x 一定是Ω函数；
（III ） 求证：若1a >，则函数2
()ln()ln f x x a a =+-是Ω函数.
海淀区高三年级第一学期期中练习
数学（理科）
参考答案及评分标准 xx.11
一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分.）
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分.有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分） （9）1
4
（10）9，2 （11）6，1 （12）60 （13）(,8)-∞- （14）1，3
三、解答题（本大题共6小题,共80分.） (15) （共12分）
解: （I ）由已知得： 22log (3)log 4x -≤， ∴ 34
30,
x x -⎧⎨
->⎩≤
解得 13x -<≤， ∴{|13}A x x =-<≤. ……………….3分 由51,(2)(3)0,202
x x x x +-+≠+≥得≤且， 解得23x -<≤. ∴{|23}B x x =-<≤. …………………………………………………….8分 （II ）由（I ）可得{|13}R A x x x =<-或≥ð. …………………………………….10分
故(){|21U A B x x =-<<-I ð或3}x =. .……………….12分
(16) （共13分）
解：（I ）3
8
()1f x x '=-
， 3分 令33
8
0x x -<， 4分 0 2.x <<解得 --------------------------------------------------6分 ∴函数()f x 的单调减区间为(0,2).（注：也可以写为(0,2]） -----------------7分
（II ）1:
方法由（I ）可得
-----------------------------12分
min max ()(2)3,()(1) 5.f x f f x f ∴==== 13分
2:()0f x '=方法由，得1
2,(1)5,(2)3,(4)44
x f f f ====计算得. 11分
max min ()5,() 3.f x f x ∴== 13分
（17）（共13分）
解：（I ）由已知该长方体形水箱高为x 米，底面矩形长为﹙22x -﹚米，宽﹙12x -﹚米. 2分
∴该水箱容积为()(22)(12)f x x x x =--32462x x x =-+. 4分
其中正数x 满足220,1
0.120,
2x x x ->⎧∴<<⎨
->⎩ ∴所求函数()f x 定义域为102x x ⎧⎫
<<
⎨⎬⎩⎭
. 7分 （II ）由3()4f x x ≤，得0x ≤或1
3
x ≥.
Q 定义域为102x x ⎧⎫<<
⎨⎬⎩⎭
,1
132x ∴<≤. 9分
此时的底面积为2()(22)(12)462S x x x x x =--=-+ 11
[,)32
x ∈. 10分 由231()4()44S x x =--
，可知()S x 在11
[,)32
上是单调减函数， 12分 ∴1
.3
x = 13分
答：满足条件的x 是1
3
米.
（18）（共14分）
解：（I ）“射击三次的总环数为30”的事件记为A ，“射击三次的总环数为29” 的事件记为B . ---1分
则3
()0.40.064P A ==，123()C 0.40.50.24P B =⨯=. ------------------------------5分
由已知，事件A 与B 互斥，所以射击三次的总环数不小于29环的概率为
()()()0.304P A B P A P B +=+=. ------------------------------------------------------7分 即该选手恰好射击了三次的概率为0.304. ---------------------------8分 （II ）由（Ⅰ）的结果可得分布列如下
---------------------------------11分
30.30460.696 5.088E η=⨯+⨯=. --------------------------------------------13分 即该选手训练停止时射击的次数η的期望为5.088. ---------------------------14分
（19）（共14分）
解：（I ）将11n n n a S S ++=-代入已知1(2)n n na n S +=+，
整理得
121n n S S
n n
+=+(1,2,3,n =)…. -----------------------------4分
又由已知
111S =，所以数列{}n S n
是首项为1，公比为2的等比数列. -------------------5分 （II ）由（I ）的结论可得12n n S n -=， ∴12n n S n -=. ----------------------------------------6分 当n ≥2时，()()12221212221(1)2n n n n n n n a S S n n n n n -----=-=⋅--=⋅-+=+，
由已知11a =，∵当1n =时， 2(1)2
1n n -+=， ∴ 2(1)2n n a n -=+(1,2,3,n =)…. ----------------9分 ∴22lim
lim lim 2111n n n n n S n a n n
→∞→∞→∞===++ ------------------------------------------------------10分 （III ）由11n n
n b b S n n ++=+(1,2,3,n =)…，得1121n n n b b n n -+=++， 由此式可得
2121
n n n b b n n --=+-， 312212
n n n b b n n ---=+--， L
3232232
b b -=+， 2221221
b b -=+. 把以上各等式相加化简得11112122122
n n n b n ---=+=--， --------------------------------13分 ∴(21)2
n n n b =-(1,2,3,n =)…-----------------------------------------------------------------------------14分 .
（20）（共14分）
证明：（I ）∵|||sin |||x x x ≤，∴1()sin f x x x =是Ω函数； 1分 ∵21(0)2
f =，∴不满足(0)|0|f ≤，∴2e ()e 1x
x f x -=+不是Ω函数； 3分 Q 当0x =时，(0)0f =，显然符合条件；当0x ≠
时，22321()||||12
x f x x x x ==+≤， ∴2
32()1
x f x x =+是Ω函数. 4分 （II ）∵函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，∴(0)(0),f f -=-即(0)0f =. 5分
∴()()00f x f x --≤即()f x x ≤，
∴函数()f x 一定是Ω函数. 7分 （III ）设()()F x f x x =-，则22()1x F x x a '=
-+. ①当0x >时，
∵1a >∴
221x x a =<+， 当0x =时，(0)10F '=-<，
∴当0x ≥时，22()10x F x x a
'=
-<+. ∴()F x 在[0,)+∞上减函数, ()(0)F x F ≤.又(0)(0)0.F f ==∴()()0F x f x x =-≤.
0x >Q 时，22()0x f x x a
'=>+，∴函数()f x 在[0,)+∞上增函数，()(0)0f x f ∴=≥. 0()f x x ∴≤≤，即|()|||f x x ≤.
②当0x <，0x ->，∴|()|||f x x --≤. 显然()f x 为偶函数，∴|()|||f x x -≤，即|()|||f x x ≤.
∴在R 上恒有|()|||f x x ≤成立，则函数()f x 一定是Ω函数. 14分
说明：其他正确解法按相应步骤给分.。